Адаптивный фильтр метод наименьших квадратов. Адаптивные фильтры

Вечная проблема любых измерений их низкая точность. Основных способов повышения точности два, первый состоит в повышении чувствительности к измеряемой величине, однако при этом как правило растёт чувствительность и к неинформативным параметрам, что требует принятия дополнительных мер по их компенсации. Второй способ состоит в статистической обработке многократных измерений, при этом среднеквадратичное отклонение обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений.

Статистические методы повышения точности разнообразны и многочисленны, но и они делятся на пассивные для статических измерений и активные для динамических измерений, когда измеримая величина изменяется во времени. При этом сама измеряемая величина так же, как и помеха являются случайными величинами с изменяющимися дисперсиями.

Адаптивность методов повышения точности динамических измерений следует понимать, как использование прогнозирования значений дисперсий и погрешности для следующего цикла измерений. Такое прогнозирование осуществляется в каждом цикле измерений. Для этой цели применяются фильтры Винера, работающие в частотной области. В отличии от фильтра Винера, фильтр Калмана работает во временной, а не в частотной области. Фильтр Калмана был разработан для многомерных задач, формулировка которых осуществляется в матричной форме. Матричная форма достаточно подробно описана для реализации на Python в статье , . Описание работы фильтра Калмана, приведенная в указанных статьях, рассчитана на специалистов в области цифровой фильтрации. Поэтому возникла необходимость рассмотреть работу фильтра Калмана в более простой скалярной форме.

Немного теории

Рассмотрим схему фильтра Калмана для его дискретной формы.

Здесь G(t) блок работа которого описывается линейными соотношениями. На выходе блока вырабатывается неслучайный сигнал y(t). Этот сигнал суммируется с шумом w(t), который возникает внутри контролируемого объекта. В результате такого сложения, получаем новый сигнал x(t). Этот сигнал представляет сумму неслучайного сигнала и шума и является случайный сигналом. Далее сигнал x(t) преобразуется линейным блоком H(t), суммируясь с шумом v(t), распределённым по-другому чем w(t) закону. На выходе линейного блока H(t) получаем случайный сигнал z(t), по которому и определяется неслучайный сигнал y(t). Следует отметить, что линейные функции блоков G(t) и Н(t) могут тоже зависеть от времени.

Будем считать, что случайные шумы w(t) и v(t) - это случайные процессы с дисперсиями Q, R и нулевыми математическими ожиданиями. Сигнал x(t) после линейного преобразования в блоке G(t) распределён во времени по нормальному закону. С учётом изложенного, соотношение для измеряемого сигнала примет вид:

Постановка задачи

После фильтра нужно получить максимально возможное приближение y"" к неслучайному сигналу y(t).

При непрерывном динамическом измерении каждое следующее состояние объекта, а, следовательно, и значение контролируемой величины отличается от предыдущего по экспоненциальному закону с постоянного времени T в текущем интервале времени ,

Ниже приведена программа на Python, в которой решается уравнение для неизвестного не зашумлённого сигнала y(t). Процесс измерения рассматривается для суммы двух псевдослучайных величин, каждая из которых образуется как функция нормального распределения от равномерного распределения.

Программа для демонстрации работы дискретного адаптивного фильтра Калмана

#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import exp,sqrt from scipy.stats import norm Q=0.8;R=0.2;y=0;x=0#начальные дисперсии шумов(выбраны произвольно) и нулевые значения переменных. P=Q*R/(Q+R)# первая оценка дисперсий шумов. T=5.0#постоянная времени. n=;X=;Y=;Z=#списки для переменных. for i in np.arange(0,100,0.2): n.append(i)#переменная времени. x=1-exp(-1/T)+x*exp(-1/T)#модельная функция для x. y=1-exp(-1/T)+y*exp(-1/T)# модельная функция для y. Y.append(y)#накопление списка значений y. X.append(x)# накопление списка значений x. norm1 = norm(y, sqrt(Q))# нормальное распределение с #математическим ожиданием – y. norm2 = norm(0, sqrt(R))#))# нормальное распределение с #математическим ожиданием – 0. ravn1=np.random.uniform(0,2*sqrt(Q))#равномерное распределение #для шума с дисперсией Q. ravn2=np.random.uniform(0,2*sqrt(R))# равномерное распределение #для шума с дисперсией R. z=norm1.pdf(ravn1)+norm2.pdf(ravn2)#измеряемая переменная z. Z.append(z)# накопление списка значений z. P=P-(P**2)/(P+Q+R) #переход в новое состояние для x. x=(P*z+x*R)/(P+R)# новое состояние x. P=(P*R)/(P+R)# прогноз для нового состояния x. plt.plot(n, Y, color="g",linewidth=4, label="Y") plt.plot(n, X, color="r",linewidth=4, label="X") plt.plot(n, Z, color="b", linewidth=1, label="Z") plt.legend(loc="best") plt.grid(True) plt.show()

В чём отличие предложенного алгоритма от известного

Мною был усовершенствован алгоритм работы фильтра Калмана, приведенный в методических указаниях для Mathcad:

В результате преждевременной смены состояния для сравниваемой переменной x(t) возрастала погрешность на участке резких изменений:

Тогда как в моем алгоритме используется начальная прогнозная оценка влияния шумов. Это дало возможность уменьшить ошибку измерений v(t).

В приведённом алгоритме используются заданные – модельные экспоненциальные функции, поэтому для наглядности приведём их отдельно на общем графике работы фильтра Калмана.

Код программы для графического анализ работы фильтра

#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import exp,sqrt from scipy.stats import norm Q=0.8;R=0.2;y=0;x=0#начальные дисперсии шумов(выбраны произвольно) и нулевые значения переменных. P=Q*R/(Q+R)# первая оценка дисперсий шумов. T=5.0#постоянная времени. n=;X=;Y=;Z=#списки для переменных. for i in np.arange(0,100,0.2): n.append(i)#переменная времени. x=1-exp(-1/T)+x*exp(-1/T)#модельная функция для x. y=1-exp(-1/T)+y*exp(-1/T)# модельная функция для y. Y.append(y)#накопление списка значений y. X.append(x)# накопление списка значений x. norm1 = norm(y, sqrt(Q))# нормальное распределение с #математическим ожиданием – y. norm2 = norm(0, sqrt(R))#))# нормальное распределение с #математическим ожиданием – 0. ravn1=np.random.uniform(0,2*sqrt(Q))#равномерное распределение #для шума с дисперсией Q. ravn2=np.random.uniform(0,2*sqrt(R))# равномерное распределение #для шума с дисперсией R. z=norm1.pdf(ravn1)+norm2.pdf(ravn2)#измеряемая переменная z. Z.append(z)# накопление списка значений z. P=P-(P**2)/(P+Q+R) #переход в новое состояние для x. x=(P*z+x*R)/(P+R)# новое состояние x. P=(P*R)/(P+R)# прогноз для нового состояния x. plt.subplot(221) plt.plot(n, Y, color="g",linewidth=2, label="Модельная функция \n не зашумленой \n переменной") plt.legend(loc="best") plt.grid(True) plt.subplot(222) plt.plot(n, X, color="r",linewidth=2, label="Модельная функция \n сравниваемой \n переменной") plt.legend(loc="best") plt.grid(True) plt.subplot(223) plt.plot(n, Z, color="b", linewidth=1, label="Измеряемая функция \n псевдослучайных переменных") plt.legend(loc="best") plt.grid(True) plt.subplot(224) plt.plot(n, Y, color="g",linewidth=2, label="Y") plt.plot(n, X, color="r",linewidth=2, label="X") plt.plot(n, Z, color="b", linewidth=1, label="Z") plt.legend(loc="best") plt.grid(True) plt.show()

Результат работы программы

Выводы

В статье описана модель простой скалярной реализации фильтра Калмана средствами условно бесплатного языка программирования общего назначения Python, что расширит область её применения в целях обучения.

Основным свойством адаптивной системы является изменяющееся во времени функционирование с саморегулированием. Необходимость такого функционирования очевидна из следующих рассуждений. Если разработчик проектирует «неизменяемую» систему, которую он считает оптимальной, то это означает, что разработчик предвидит все возможные условия на ее входе, по меньшей мере в статистическом смысле, и рассчитывает, что система будет работать при каждом из этих условий. Далее разработчик выбирает критерий, по которому должно оцениваться функционирование, например среднее число ошибок между выходным сигналом реальной системы и выходным сигналом некоторой выбранной модели или «идеальной» системы. Наконец, разработчик выбирает систему, которая оказывается лучшей в соответствии с установленным критерием функционирования, обычно из некоторого априорно ограниченного класса (например, из класса линейных систем).

Однако во многих случаях весь диапазон входных условий может быть не известен точно даже в статистическом смысле или условия могут время от времени изменяться. Тогда адаптивная система, которая, используя регулярный процесс поиска, постоянно ищет оптимум в пределах допустимого класса возможностей, имеет преимущества по сравнению с неизменяемой системой.

Адаптивные системы по своей природе должны быть изменяющимися во времени и нелинейными. Их свойства зависят, помимо всего прочего, от входных сигналов. Если на вход подается сигнал х 1 , то адаптивная система настроится на него и сформирует выходной сигнал – назовем его у 1 . Если на вход подается другой сигнал х 2 , то система настроится на этот сигнал и сформирует выходной сигнал – назовем его у 2 . В общем случае структура и процессы коррекции адаптивной системы будут различными для двух различных входных сигналов.

Для получения оптимального решения существует много методов подстройки значений весовых коэффициентов фильтра. Применялись методы случайных возмущений, которые изменяли весовые коэффициенты фильтра; далее анализировался входной сигнал для того, чтобы установить, приближается ли его случайное возмущение к искомому решению или отдаляет от него. В настоящее время для расчета весовых коэффициентов адаптивных фильтров широко применяется адаптивный алгоритм, основанный на методе наименьших квадратов (МНК), поскольку в нем используются градиентные методы, которые значительно эффективнее, чем другие, обеспечивают сходимость к оптимальному решению. Можно показать, что градиентный метод наименьших квадратов очень схож с методом максимизации отношения сигнал – шум, который разрабатывался с целью применения в тех случаях, когда необходимо получить оптимальные весовые коэффициенты адаптивных антенных решеток. Было также показано, что обнуляющий корректирующий фильтр Лаки является упрощением более общего градиентного метода наименьших квадратов.

Таким образом, адаптивный фильтр - это фильтр, передаточная функция (или частотная характеристика) которого адаптируется, т.е. изменяется таким образом, чтобы пропустить без искажений полезные составляющие сигнала и ослабить нежелательные сигналы или помехи . Схема адаптивного фильтра представлена на рис.5.5.

В этой книге рассматриваются теория, расчет и применение адаптивных фильтров. Первый адаптивный, или самообучающийся, фильтр часто приписывают Лаки из-за разработанного им в 1966 г. обнуляющего корректирующего фильтра, компенсирующего искажения в системах передачи данных. Однако более ранняя работа по адаптивному распознаванию формы сигнала была выполнена в 1960 г. Яковацом и др. . В 1961 г. Глезер в США провел теоретическое исследование по адаптивным фильтрам, а Габор и др., в том же году, в Великобритании, воспользовались аналоговым лентопротяжным механизмом для подстройки весов нелинейного «обучающегося» фильтра. Мы можем считать, что название «обучающийся» относится к адаптивному процессору.

Яндекс.ДиректВсе объявленияОптимизация оплаты. Оклады Премии Семинар 26-27.02 в Москве, 11-12.03 в Киеве. Первым лицам скидки до 50%. lityagin.ru Решение задач по механике он-лайн Более 1000 преподавателей он-лайн! Решение задач по механике! liveexpert.ru

Большинство ранних работ по адаптивным фильтрам выполнено в ходе независимых исследований различными научно-исследовательскими организациями. Заслуживающие упоминания исследования проводились в Высшей технической школе г. Карлсруэ в ФРГ и в Станфордском университете, где в 1959 г. было начато создание адаптивных систем распознавания образов. В ходе совместной работы этих организаций в 1964 г. была произведена сравнительная оценка каждого метода , что впоследствии привело к разработке наиболее широко используемого алгоритма для подстройки весовых коэффициентов процессора. Дальнейшая работа в данном направлении одновременно проводилась в Институте автоматики и телемеханики в Москве. В середине 60-х годов прекрасный сводный обзор по адаптивным фильтрам и предварительные рекомендации по их применению для адаптивного или автоматического выравнивания был представлен в работе . Позднее были подготовлены несложные обзорные статьи по гашению отраженного сигнала в телефонии и адаптивному выравниванию .

Для получения оптимального решения существует много методов подстройки значений весовых коэффициентов фильтра. Применялись методы случайных возмущений , которые изменяли весовые коэффициенты фильтра; далее анализировался выходной сигнал для того, чтобы установить, приближает ли его случайное возмущение к искомому решению или отдаляет от него. В гл. 3 подробно рассматривается разработка адаптивного алгоритма метода наименьших квадратов (МНК), который использовался в работе Станфордского университета, по распознаванию образов и впервые был официально описан в 1967 г. Уидроу и др. для адаптивных антенных решеток, а в 1971 г. для адаптивных фильтров . В настоящее время этот алгоритм широко применяется для расчета весовых коэффициентов адаптивных фильтров, поскольку в нем используются градиентные методы, которые значительно эффективнее, чем другие, обеспечивают сходимость к оптимальному решению. Можно показать, что градиентный метод наименьших квадратов очень схож с методом максимизации отношения сигнал – шум, который параллельно разрабатывал Эпплбаум c целью применения в тех случаях, когда необходимо получить оптимальные весовые коэффициенты адаптивных антенных решеток. Было также показано, что обнуляющий корректирующий фильтр Лаки является упрощением более общего градиентного метода наименьших квадратов.

Введение
При поиске оптимальных алгоритмов обработки сигнала неизбежно приходится опираться на некоторые статистические модели сигналов и шумов. Чаще всего при формировании этих моделей используются концепции линейности, стационарности и нормальности. Однако перечисленные принципы далеко не всегда выполняются на практике, а от адекватности выбранной модели в значительной мере зависит качество приема сигнала. Возможным решением проблемы является использование адаптивных фильтров, которые позволяют системе подстраиваться под статистические параметры входного сигнала, не требуя при этом задания каких либо моделей. Появившись в конце 1950-х годов, адаптивные фильтры прошли большой путь, превратившись из экзотической технологии, применявшейся преимущественно в военных целях, в «ширпотреб», без которого сейчас была бы не мыслима работа модемов, сотовых телефонов и многого другого.


Базовая идея адаптивной обработки сигнала
Общая структура адаптивного фильтра показана на рис. 1.
Входной дискретный сигнал x(k) обрабатывается дискретным фильтром, в результате чего получается выходной сигнал y(k). Этот выходной сигнал сравнивается с образцовым сигналом d(k), разность между ними образует сигнал ошибки e(k). Задача адаптивного фильтра — минимизировать ошибку воспроизведения образцового сигнала. С этой целью блок адаптации после обработки каждого отсчета анализирует сигнал ошибки и дополнительные данные, поступающие из фильтра, используя результаты этого анализа для подстройки параметров фильтра. Возможен и иной вариант адаптации, при котором образцовый сигнал не используется. Такой режим работы называется слепой адаптацией. Разумеется, в этом случае требуется некоторая информация о структуре полезного входного сигнала (например, знание типа и параметров используемой модуляции).
Применение адаптивных фильтров
Идентификация систем
Все способы использования адаптивных фильтров так или иначе сводятся к решению задачи идентификации, то есть определения характеристик некоторой системы. Возможны два варианта идентификации — прямая и обратная. В первом случае адаптивный фильтр включается параллельно с исследуемой системой (рис. 3, а). Входной сигнал является общим для исследуемой системы и адаптивного фильтра, а выходной сигнал системы служит для адаптивного фильтра образцовым сигналом. В процессе адаптации временные и частотные характеристики фильтра будут стремиться к соответствующим характеристикам исследуемой системы. При обратной идентификации адаптивный фильтр включается последовательно с исследуемой системой (рис. 3, б). Выходной сигнал системы поступает на вход адаптивного фильтра, а входной сигнал системы является образцом для адаптивного фильтра. Таким образом, фильтр стремится компенсировать влияние системы и восстановить исходный сигнал, устранив внесенные системой искажения


Рис. 3. Идентификация систем с помощью адаптивного фильтра: а - прямая, б - обратная
Подавление шума
Пусть необходимо обеспечить пилота самолета или, скажем, водителя трактора системой речевой связи. При этом воспринимаемый микрофоном речевой сигнал неизбежно окажется сильно зашумленным звуками работающего двигателя и т. п. Избавиться от этих шумов нельзя, но можно получить образец шумового сигнала, установив второй микрофон в непосредственной близости от двигателя (или иного источника шумов). Разумеется, этот шум нельзя просто вычесть из речевого сигнала, поскольку по дороге до двух микрофонов шум следует разными путями и, следовательно, претерпевает разные искажения (рис. 4). Однако шумовые случайные процессы, воспринимаемые двумя микрофонами, будут коррелированными, так как они происходят из общего источника. В то же время очевидно, что шумовой сигнал не коррелирован с полезным речевым сигналом.


Рис. 4. Подавление шума с помощью адаптивного фильтра.
Выравнивание канала связи
При передаче по каналу связи информационный сигнал неизбежно претерпевает некоторые искажения. В системах цифровой связи эти искажения могут привести к возникновению ошибок при приеме цифровых данных. Для снижения вероятности ошибок необходимо компенсировать влияние канала связи, то есть решить задачу обратной идентификации. В частотной области компенсация вносимых каналом искажений означает выравнивание его частотной характеристики, поэтому фильтры, выполняющие такое выравнивание, получили название эквалайзеров. При использовании адаптивного фильтра в качестве эквалайзера возникает проблема получения образцового сигнала. Эта проблема решается путем передачи специального настроечного сигнала перед началом передачи данных. После окончания настроечного сигнала начинается собственно передача данных. Приемник при этом переключается в другой режим, называемый режимом оценивания. После приема очередного временного такта ищется ближайшее к принятому сигналу допустимое значение. Оно используется в качестве образцового сигнала, а разность между этим значением и принятым сигналом дает сигнал ошибки, используемый для адаптации.


Эхоподавление
Данная технология, также как и выравнивание канала связи, широко используется в современных модемах. Скоростные модемы для телефонных линий связи работают в дуплексном режиме, то есть передают и принимают данные одновременно, при этом для передачи и приема используется одна и та же полоса частот. Однако сигнал собственного передатчика в данном случае неизбежно просачивается в приемник, мешая работе последнего. Просачивающийся сигнал может распространяться разными путями, приобретая при этом неизвестные заранее искажения. Подавить эхосигнал можно с помощью адаптивного фильтра. При этом решается задача прямой идентификации тракта распространения эха. На вход адаптивного фильтра поступает сигнал передатчика модема, а в качестве образцового сигнала используется принимаемый сигнал, содержащий эхо. Адаптивный фильтр формирует оценку эхосигнала, а сигнал ошибки представляет собой принимаемый сигнал, очищенный от эха. Для правильной работы системы эхо подавления необходимо, чтобы передаваемый и принимаемый сигналы были некоррелированы. Поэтому входные данные, поступающие в модем для передачи, прежде всего подвергаются скремблированию, то есть преобразуются в псевдослучайный битовый поток. При этом два взаимодействующих модема используют разные скремблеры, что и обеспечивает некоррелированность.

Основным свойством адаптивной системы является изменяющееся во времени функционирование с саморегулированием. Необходимость такого функционирования очевидна из следующих рассуждений. Если разработчик проектирует «неизменяемую» систему, которую он считает оптимальной, то это означает, что разработчик предвидит все возможные условия на ее входе, по меньшей мере в статистическом смысле, и рассчитывает, что система будет работать при каждом из этих условий. Далее разработчик выбирает критерий, по которому должно оцениваться функционирование, например среднее число ошибок между выходным сигналом реальной системы и выходным сигналом некоторой выбранной модели или «идеальной» системы. Наконец, разработчик выбирает систему, которая оказывается лучшей в соответствии с установленным критерием функционирования, обычно из некоторого априорно ограниченного класса (например, из класса линейных систем).

Однако во многих случаях весь диапазон входных условий может быть не известен точно даже в статистическом смысле или условия могут время от времени изменяться. Тогда адаптивная система, которая, используя регулярный процесс поиска, постоянно ищет оптимум в пределах допустимого класса возможностей, имеет преимущества по сравнению с неизменяемой системой.

Адаптивные системы по своей природе должны быть изменяющимися во времени и нелинейными. Их свойства зависят, помимо всего прочего, от входных сигналов. Если на вход подается сигнал х 1 , то адаптивная система настроится на него и сформирует выходной сигнал – назовем его у 1 . Если на вход подается другой сигнал х 2 , то система настроится на этот сигнал и сформирует выходной сигнал – назовем его у 2 . В общем случае структура и процессы коррекции адаптивной системы будут различными для двух различных входных сигналов.

Для получения оптимального решения существует много методов подстройки значений весовых коэффициентов фильтра. Применялись методы случайных возмущений, которые изменяли весовые коэффициенты фильтра; далее анализировался входной сигнал для того, чтобы установить, приближается ли его случайное возмущение к искомому решению или отдаляет от него. В настоящее время для расчета весовых коэффициентов адаптивных фильтров широко применяется адаптивный алгоритм, основанный на методе наименьших квадратов (МНК), поскольку в нем используются градиентные методы, которые значительно эффективнее, чем другие, обеспечивают сходимость к оптимальному решению. Можно показать, что градиентный метод наименьших квадратов очень схож с методом максимизации отношения сигнал – шум, который разрабатывался с целью применения в тех случаях, когда необходимо получить оптимальные весовые коэффициенты адаптивных антенных решеток. Было также показано, что обнуляющий корректирующий фильтр Лаки является упрощением более общего градиентного метода наименьших квадратов.

Таким образом, адаптивный фильтр - это фильтр, передаточная функция (или частотная характеристика) которого адаптируется, т.е. изменяется таким образом, чтобы пропустить без искажений полезные составляющие сигнала и ослабить нежелательные сигналы или помехи . Схема адаптивного фильтра представлена на рис.5.5.

Рис.5.5. Адаптивный фильтр

Подобный фильтр действует по принципу оценки статистических параметров сигнала и подстройки собственной передаточной функции таким образом, чтобы минимизировать некоторую целевую функцию. Эту функцию обычно формируют с помощью “эталонного” сигнала на задающем входе. Этот эталонный сигнал можно рассматривать как желаемый сигнал на выходе фильтра. Задача блока адаптации состоит в подстройке коэффициентов цифрового фильтра таким образом, чтобы свести к минимуму разность n = n - n , определяеющую ошибку в работе фильтра.

Важнейшей функцией, выполняемой адаптивным фильтром, является моделирование системы. Это иллюстрируется на рис. 5.6, где первичный сигнал с равномерной спектральной плотностью подается непосредственно либо на вход s , либо на вход y адаптивного фильтра. Первичный сигнал поступает на вход системы с импульсной характеристикой H(n) , выход системы соединен со вторым входом адаптивного фильтра. Для получения оптимальных весовых векторов H opt адаптивного фильтра можно применить два разных подхода, которые приведут к совершенно различным результатам. Это имеет место в следующих случаях:

1. Неизвестная система H(n) подключена ко входу y адаптивного фильтра (рис. 5.6, а ). В этом случае оптимальная импульсная характеристика адаптивного фильтра является точной моделью соответствующей характеристики системы H(n) .

2. Неизвестная система H(n) подключена ко входу s адаптивного фильтра (рис. 5.6, б). В этом случае оптимальная импульсная характеристика адаптивного фильтра является функцией, обратной соответствующей характеристике неизвестной системы.

Рис. 5.6. Применение адаптивного фильтра для прямого моделирования системы: H opt =H(n) (а ) и обратного моделирования системы: H opt =H -1 (n) (б ).

Практическим примером, иллюстрирующим работу адаптивного фильтра первого типа (т.е. прямое моделирование системы), является подавление отраженного сигнала в гибридной телефонной линии.

Примером, которым можно воспользоваться для иллюстрации принципа действия адаптивного фильтра, моделирующего обратную характеристику системы, является коррекция искажений при передаче данных по телефонным линиям. В этом случае вход телефонной линии возбуждается известным сигналом, а искаженный сигнал с выхода линии поступает на вход s(n) адаптивного фильтра. Затем фильтр перестраивается с помощью подачи на вход y(n) последовательной серии известных (неискаженных) первичных сигналов. Адаптивный фильтр моделирует импульсную характеристику, обратную характеристике линии, для получения на выходе отфильтрованных (свободных от искажений) данных.

Следующая область применения адаптивных фильтров – подавление шумов. В этой схеме первичный сигнал, содержащий искомую информацию наряду с мешающим сигналом, приложен к входу y(n) . Затем от другого источника, не содержащего никаких составляющих исходного сигнала, поступает независимый коррелированный сигнал – образец мешающего сигнала. Если этот коррелированный сигнал поступает непосредственно на вход s(n) адаптивного фильтра, фильтр формирует импульсную характеристику, обеспечивающую получение выходного сигнала y(n) , который когерентно вычитает из y(n) нежелательную составляющую, оставляя на выходе e(n) лишь искомый сигнал.

Одним из примеров использования этого метода является регистрация сердцебиения плода. Первичный сигнал поступает от преобразователь, расположенного на поверхности живота матери. Этот преобразователь вырабатывает сигнал, содержащий импульсы сердечных сокращений плода, которые, однако, существенно маскируются сердцебиением матери. Затем от второго преобразователя, расположенного на груди матери, получают вторичный сигнал, регистрирующий только сердцебиение матери. Далее адаптивный фильтр моделирует тракт искажений от преобразователя, расположенного на груди, до преобразователя расположенного на животе, для получения сигнала, который когерентно вычитается из сигнала с поверхности живота. Адаптивные фильтры применяются и в других случаях, например для устранения шума двигателя в микрофоне пилота в кабине самолета или для подавления акустических шумов окружающей среды, например на крупных электростанциях.

Еще одно применение адаптивных фильтров – это реализация самонастраивающегося фильтра, используемого для выделения синусоиды, маскируемой широкополосным шумом. Такое применение в адаптивном линейном усилителе (АЛУ) осуществляется путем подачи сигнала непосредственно на вход фильтра y(n) и подачи модификации сигнала с временной задержкой на вход фильтра s(n) . В том случае, если задержка превышает величину, обратную ширине полосы пропускания фильтра, шумовые составляющие на двух входах не будут коррелированы. Адаптивный фильтр дает на выходе синусоиду с увеличенным отношением сигнал – шум, тогда как на выходе сигнала ошибки синусоидальные составляющие уменьшаются.

Адаптивные фильтры БИХ-типа в основном применялись для решения таких проблем, как ослабление влияния многолучевого распространения сигнала в системах радиолокации и радиосвязи. В этом случае принятый сигнал содержит исходный передаваемый сигнал, свернутый с импульсной характеристикой канала, которая при многолучевом распространении содержит только нули. Тогда для исключения интерференционных помех адаптивный приемник моделирует характеристику, обратную характеристике канала (рис. 5.6, б ). Это наиболее эффективно осуществляется путем использования модели адаптивного фильтра с характеристикой, содержащей только полюсы, причем положения полюсов подбираются таким образом, чтобы они совпадали с положением нулей в характеристике канала.

При конструировании адаптивного фильтра КИХ-типа можно также учесть эту модель, но более экономично воспользоваться рекурсивной структурой, поскольку она реализует инверсную структуру фильтра при его более низком порядке и с меньшими весами. Отсюда с полным основанием можно сказать, что такая структура будет обеспечивать более быструю сходимость, чем ее трансверсальный аналог. Однако для обеспечения устойчивости адаптивного рекурсивного фильтра необходима высокая степень точности при расчете цифровой схемы. Метод адаптивной обработки сигналов на основе фильтров БИХ-типа применяется в электронных радиолокационных измерительных приемниках для выделения импульсов. Адаптивные же фильтры Калмана представляют интерес для идентификации типов радиолокационных колебаний, генерируемых определенными типами излучателей. Они также находят применение при фильтрации и ослаблении влияния многолучевого распространения в высокочастотных (от 3 до 30 МГц) каналах цифровой связи, где первоочередное значение имеет присущая этим фильтрам высокая скорость сходимости.

Большинство КИХ-фильтров строится с учетом довольно простых общепринятых допущений. Эти допущения приводят к хорошо известным несложным алгоритмам адаптации (например, МНК), реализация которых подробно разработана в отношении скорости сходимости, остаточной ошибки и т.д. Таким подходом шире всего пользуются при применении адаптивных фильтров в системах дальней связи, например для выравнивания и гашения отраженного сигнала.

В 1971 г. Чанг внес значительный вклад в классификацию типов фильтров: он предпринял попытку объединить все подходы и создать одну обобщенную структуру выравнивателя, или корректирующего фильтра (рис. 5.7.). Эта структура содержит набор произвольных фильтров, подключенных к линейной взвешивающей и комбинирующей цепи. Фильтр КИХ-типа можно получить из этой обобщенной структуры путем замены произвольного фильтра линией задержки с отводами, дающей на выходах серию выборок сигнала с временной задержкой. Фильтр БИХ-типа благодаря наличию элементов рекурсивной обратной связи осуществляет дальнейшую обработку сигнала до получения выборок сигнала с временной задержкой, которые последовательно поступают на взвешивающую и комбинирующую цепь.