Совместная функция распределения двух случайных величин. Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин
В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Матрица - это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.
Разные способы записи матриц: показать\скрыть
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Т.е., указанные ниже записи означают одну и ту же матрицу:
$$ \left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$
Произведение $m\times n$ называют размером матрицы . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".
Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Можно записать и несколько более развёрнуто:
$$ A_{m\times n}=(a_{ij}) $$
где запись $(a_{ij})$ означает обозначение элементов матрицы $A$. В полностью развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:
$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$
Введём еще один термин - равные матрицы .
Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными , если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.
Пример №1
Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.
Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.
Ответ : $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка . Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец . Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:
$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$
Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали ; их называют побочными диагональными элементами . Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:
Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$
Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы.
Пусть матрица $A_{m\times n}$ имеет такой вид:
Тогда данную матрицу называют трапециевидной . Она может и не содержать нулевых строк, но уж если они есть, то располагаются в низу матрицы. В более общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:
Повторюсь, наличие нулевых строк в конце не является обязательным. Т.е. формально можно выделить такие условия для трапециевидной матрицы:
- Все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
- Все элементы от $a_{11}$ до $a_{rr}$, лежащие на главной диагонали, не равны нулю: $a_{11}\neq 0, \; a_{22}\neq 0, \ldots, a_{rr}\neq 0$.
- Либо все элементы последних $m-r$ строк равны нулю, либо $m=r$ (т.е. нулевых строк нету вообще).
Примеры трапециевидных матриц:
Перейдём к следующему определению. Матрицу $A_{m\times n}$ называют ступенчатой , если она удовлетворяет таким условиям:
Например, ступенчатыми матрицами будут:
Для сравнения, матрица $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ не является ступенчатой, поскольку у третьей строки нулевая часть такая же, как и у второй строки. Т.е., нарушается принцип "чем ниже строка - тем больше нулевая часть". Добавлю, что трапециевидная матрица есть частный случай ступенчатой матрицы.
Перейдём к следующему определению. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно.
Диагональная матрица называется единичной , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
Плотность условного распределения. Пусть вероятностное пространство, есть алгебра боролевских множеств на прямой, под алгебра условное распределение Xотносительно алгебры и … Математическая энциклопедия
дифференциальная энтропия условного распределения вероятностей - Мера неопределенности условного распределения вероятностей непрерывной случайной величины при условии, что задано значение другой непрерывной случайной величины, усредненная по значениям последней; ее выражение имеет вид где w(xn, ym)=w(x1, ...,… … Справочник технического переводчика
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВНАЯ - функция распределения вероятностей случайной величины X при условии В, где В случайное событие, Р(В) > 0: Если X, У непрерывные случайные величины, f(x,y) их совместная плотность, то условная плотность X, при условии, что Y приняло данное… … Геологическая энциклопедия
Порядковая статистика - Порядковые статистики в математической статистике это упорядоченная по возрастанию выборка. Это статистика, занимающая строго определенное место в ранжированной совокупности. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
ДОСТАТОЧНАЯ СТАТИСТИКА - для семейства распределений вероятностей {Pq; } или для параметра статистика (векторная случайная величина) такая, что для любого события Асуществует вариант условной вероятности Pq(А|Х=x), не зависящий от 9. Это эквивалентно требованию, что… … Математическая энциклопедия
ПОРЯДКОВАЯ СТАТИСТИКА - член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=(Х 1, Х 2, ..., Х п), принимающий значения х=(х 1, х 2, . . ., х п).в n мерном евклидовом пространстве, и пусть в задана функция,… … Математическая энциклопедия
ВЕРОЯТНОСТИ - (плотность распределения вероятностей) случайной величины X ф ция р (х)такая, что и при любых аФизическая энциклопедия
Марковская сеть - Марковская сеть, Марковское случайное поле, или неориентированная графическая модель это графическая модель, в которой множество случайных величин обладает Марковским свойством, описанным неориентированным графом. Марковская сеть отличается … Википедия
РАНГОВ ВЕКТОР - векторная статистика R= =(R1, . . ., Rn), построенная по случайному вектору наблюдений X= (Х 1 . .., Х п), i я компонента к рой Ri=Ri(X), i=l, 2, . . ., п, определяется по правилу где характеристическая функция множества, т. е. Статистика Ri наз … Математическая энциклопедия
УСЛОВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - функция элементарного события и борелевского множества, при каждом фиксированном элементарном событии являющаяся распределением, вероятностей, а при каждом фиксированном борелевском множестве условной вероятностью. Пусть вероятностное… … Математическая энциклопедия
ГАУССА ЗАКОН - употребительное название нормального распределения. Название связано с той ролью, к рую это распределение играет в ошибок теории К. Гаусса. Плотности (именно они первоначально назывались Г. з.) появились у К. Гаусса в соч. Теория движения… … Математическая энциклопедия
Между потоками исходов события X и события Y равен нулю. Поэтому, если бы имела место стохастическая независимость, то можно было бы ожидать, что вероятность Х = 0 и Y = 3 будет равна (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Вместо этого, эта вероятность равняется нулю, подтверждая тем самым принятую теорему условных вероятностей о том, что совместные плотности не могут быть получены из безусловных плотностей компонентов.
Было известно, как определять коэффициент корреляции при наличии только совместной плотности и безусловных плотностей, но долгое время считалось, что нельзя определить совместную плотность, располагая лишь безусловными плотностями и коэффициентом корреляции потоков. А именно это мне и было нужно.
ФУНКЦИЯ СОВМЕСТНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим систему одновременных уравнений (2.1), для которой выполнены условия нормальности (условие 1) и ранга (условие 2). Тогда, (i) совместная плотность (г/1,. . . , г/п) зависит от (Во, Го, Но) только через параметры приведенной формы (По, о)5 (п) По и 1 глобально идентифицируемы.
Действительно, пусть
случайного вектора ограничений Ъ. Плотность распределения компоненты 6, равна
Обозначим через f совместную плотность распределения компонент вектора Ь(ш).
По данной формуле можно определить совместную вероятность (совместную плотность вероятности) этих СВ
Совместная вероятность, совместная функция распределения , совместная плотность вероятности не дают ясного представления о поведении каждой из компонент рассматриваемой СВ и их взаимосвязи друг с другом. В этом случае могут быть построены законы распределений каждой из составляющих многомерной СВ. При этом каждая из них принимает те же значения, но с соответствующими маргинальными вероятностями либо маргинальными функциями распределения , рассчитываемыми по формулам (1.23), (1.24). Например, двумерная дискретная СВ (X, Y) может быть задана в табличной форме
Что такое совместная вероятность, совместная функция распределения , совместная плотность вероятности
Приведите пример совместной плотности распределения вероятности двух случайных величин и нарисуйте их линии уровня для различных значений коэффициента корреляции этих величин.
Это предположение аналитически может быть переписано следующим образом актив /-и корпорации генерирует поток доходов X, (1), X, (2),..., X,(Т). Элементы этого потока - случайные величины , имеющие совместную плотность распределения вида хЛ-У, (1), Х,(2),. .., X, (Т)]. Доходность i -й кор-
Мы будем рассматривать в основном временные ряды , у которых совместное распределение случайных величин Х, . .., Х имеет совместную плотность распределения р(х, х,. .., х).
При таких предположениях совместная плотность распределения случайных векторов ul,...,un имеет вид
Поскольку и, = у,Т - xtB, то переходя от переменных щ,...,ипк переменным у1,...,уп, получаем выражение для совместной плотности значений векторов у1,...,у в виде
Известно, что при f (x)- f(x,y)dy и ftj(y)- f(x,y)dx, совместная плотность
Все эти условные плотности легко выражаются через совместную плотность
Вследствие совместного влияния случайных и систематических факторов технологические параметры и параметры продукции являются случайными величинами . Они обычно распределены по нормальному или усеченному нормальному закону с плотностью распределения f(x) (-)]
За триста лет совместной активной деятельности многих поколений физиков и математиков удалось построить стройное здание - систему математических моделей физических процессов. Это здание состоит из многих этажей. В его фундаменте лежат принципы, служащие основой моделей физических явлений. Эти принципы являются продуктом долгого развития науки, в них воплощен опыт воздействия человека на окружающую его природу, т. е. практики (в философском смысле этого слова), важное место в которой в естественных науках занимает натурный эксперимент . Три принципа механики, сформулированные Исааком Ньютоном , служат достаточной основой для построения математических моделей в механике в том случае, когда интересующие нас объекты можно с достаточной степенью точности описать в виде материальных точек и скорости их далеки от скорости света. К объектам такого рода относится широкий класс изучаемых явлений, начиная от колебаний маятника до управляемого полета космического корабля. Добавив к трем ньютоновским принципам принципы описания деформации твердого тела, мы сможем уже описать взаимодействие твердых тел, имеющих конечные размеры. Добавив к принципам Ньютона принцип рассмотрения жидкости как непрерывной, сплошной среды (т. е. пренебрегая ее молекулярным строением), принцип описания связи между плотностью и давлением, а также принцип сохранения массы, имеющей вид уравнения сплошности среды, мы получим математическую модель жидкости.
Из этого примера видно, что сумма вероятностей в первом столбце должна равняться безусловной плотности, ассоциированной со столбцом Хорошие исходы (0,4). То есть сумма совместных вероятностей Войны, Кризиса, Стагнации, Мира и Процветания, с одной стороны, и Хороших исходов, с другой - должна быть строго равна 0,4.
Заметьте, что если потребовать, чтобы совместные вероятности в каждой строке и в каждом столбце суммарно равнялись безусловной плотности, ассоциированной с каждой строкой и каждым столбцом (как и должно быть), то уже не нужно будет беспокоиться о том, чтобы ни одна совместная вероятность не превысила бы верхней границы (и, пока все ваши совместные вероятности больше или равны 0, как это и положено, не нужно беспокоиться о пересечении ими нижней границы). Кроме того, если совместные вероятности в каждой строке и в каждом столбце равны безусловным плотностям, ассоциированным с каждой строкой и каждым столбцом, то
Подлинное страдание причиняла мне известная теорема об условных вероятностях , утверждавшая, что совместную плотность вероятности нельзя получить из безусловных плотностей вероятности компонент. Согласно традиционной точке зрения считалось, что в отсутствие стохастической независимости функция совместной плотности вероятности является уникальной, вполне самостоятельной, которая возникает как бы ниоткуда То есть она не выражается через функции безусловных плотностей составляющих, а есть новая, самостоятельная функция плотности вероятности , которая не может быть восстановлена из функций безусловных плотностей составляющих. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую таблицу, позаимствованную у Феллера, которую мы графически проиллюстрировали на рис. 3.1.
Современное албанское общество всё еще затронуто индустриализацией меньше, чем любая другая европейская страна рост городов, миграции населения из деревень в города, из одних городов в другие, расселение работающих на одном предприятии людей в разных концах города, размельчение (нуклеаризация) семей в этой стране не зашли так далеко, как, скажем, в России. Не только в деревнях, но и в городах Албании соседи с детства знают
Случайные вектора
Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин
Пусть у функции существуют производные по, а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция
Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.
1. Справедливо соотношение:
Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:
Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности.
2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть, тогда (51.2) принимает вид:
Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).
3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , тогда из (51.2) следует равенство:
поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности.
4. Если - плотность вероятности вектора, и - плотность вероятности случайной величины, то
Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка. Если известна плотность второго порядка, то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины. Аналогично,
Доказательство (51.6) получим на основе равенства
Представим через плотность согласно (51.4), а через, тогда из (51.8) следует
Дифференцирование (51.9) по приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.
5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и. Для независимых случайных величин и:
Доказательство следует из определений функций и, . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и. Поэтому
Справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по и, тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:
6. Пусть - произвольная область на плоскости, тогда
Вероятность того, что вектор принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности.
Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Число определяется из условия нормировки:
Вклад Б.В. Гнеденко в развитие теории вероятностей
В 1930-е годы внимание Бориса Владимировича привлекли задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин. Интерес к таким задачам появился в математике еще в 17 веке...
Математическая статистика
Используя точечные оценки параметров нормального закона распределения и запишем плотность вероятности и функцию распределения...
Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [а, b]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной,......
Случайные вектора
В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин...
Случайные вектора
Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины при условии называется функция: . (53.1) Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда. (53.2) Отсюда следует. (53.3) - формула умножения для плотностей...
Случайные вектора
Для независимых случайных величин и ковариация. В отличие от этого рассмотрим другой крайний случай, когда случайные величины и связаны функциональной зависимостью: , (56.1) где - числа. Вычислим ковариацию случайных величин и: . (56...
Случайные вектора
Пусть случайный вектор имеет функцию распределения вероятностей и существует частная производная, (61.1) тогда функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора или - мерной плотностью вероятности...
Случайные вектора
Пусть - случайные величины, имеющие совместную плотность и совместную функцию распределения вероятностей. Пусть также заданы функций, переменных. Вместо аргументов функции подставим случайные величины, тогда (64...
Случайные вектора
66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности преобразованной величины через плотность исходной случайной величины, можно обобщить на случай преобразования случайных величин...
Случайные процессы
Если имеет производную, (71.1) тогда эта производная называется -мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71...
Теория вероятностей
Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество...
Теория вероятностей
Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка...
Теория вероятности и случайные величины
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку . Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х...
Что такое случайная величина
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины...
Элементы теории вероятностей
Математическое ожидание: Величина (6) называется математическим ожиданием. По существу, - это среднее значение с учетом веса реализации текущего значения. Чтобы пояснить понятие веса, примем здесь, что - дискретная величина...
Загрузка...
