Унитарный оператор. Унитарное преобразование

Называется унитарным , если оно сохраняет норму вектора.

Свойства унитарных преобразований:

Примеры

• вращение вектора в n-мерном евклидовом пространстве

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве . Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени - это некоторый оператор, зависящий от времени , и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Слегка недостаточные числа
• Зиллион

Смотреть что такое "Унитарное преобразование" в других словарях:

унитарное преобразование - unitarinė transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. unitary transformation vok. unitäre Transformation, f rus. унитарное преобразование, n pranc. transformation unitaire, f … Fizikos terminų žodynas

УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи. из Lимеет место равенство (Ах, Ау) =(х, у). У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если… … Математическая энциклопедия

Унитарное преобразование - Линейное преобразование x’i = ui1x1 + ui2x2 +... + uinxn (i = 1, 2,..., n) с комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин У. п. представляет собой… … Большая советская энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО - простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненных центральным… … Юридическая энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО - простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненное центральным… … Энциклопедический словарь экономики и права

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ТОВАРИЩЕСТВ И ОБЩЕСТВ - в соответствии со ст. 65 ГК хозяйственные товарищества и общества одного вида могут преобразовываться в хозяйственные товарищества и общества другого вида или в производственные кооперативы по решению общего собрания участников в случаях и… … Юридический словарь современного гражданского права

ПЕРРОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - ортогональное (унитарное) преобразование (1) гладко зависящее от tи преобразующее линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) в систему треугольного вида (3) Введено О. Перроном . Справедлива теорема Перрона: для всякой… … Математическая энциклопедия

Квантовый вентиль - (квантовый логический элемент) это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов на выходные по определённому закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами, а следовательно… … Википедия

Квантовое сверхплотное кодирование - Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Квантовое сверхплотное кодирование … Википедия

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ - оператора, действующего в функциональном пространстве, ненулевые ф ции, переводящиеся оператором А в пропорциональные им: Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве ф цийиа множестве … Физическая энциклопедия

U : H → H на гильбертовом пространстве H , который удовлетворяет соотношению

где U ∗ - эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Образ U - плотное множество . Очевидно, что U −1 = U ∗ .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

U ∗ U = U U ∗ = I {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

Примеры [ | ]

• Тождественный оператор - тривиальный пример унитарного оператора.
• Вращения в R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} - это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
• В векторном пространстве комплексных чисел умножение на число с модулем 1 {\displaystyle 1} , то есть число вида e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} для θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} } , является унитарным оператором. называется фазой. Можно заметить, что значение θ {\displaystyle \theta } , кратное 2 π {\displaystyle 2\pi } , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в C {\displaystyle \mathbb {C} } топологически эквивалентно окружности.

Свойства [ | ]

Унитарные преобразования в физике [ | ]

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве . Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени - это некоторый оператор, зависящий от времени , и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований, когда линейный оператор [см. (8.1.1)] точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности . В результате прямого унитарного преобразования матрицы изображения размера образуется матрица преобразованного изображения того же размера, элементы которой по определению равны

, (10.1.1)

где - ядро прямого преобразования. Исходное изображение можно получить с помощью обратного преобразования, описываемого соотношением

, (10.1.2)

где - ядро обратного преобразования. Преобразование является унитарным, если выполняются следующие условия ортогональности:

Преобразование называют разделимым, если оба его ядра можно представить в следующей форме:

где через (или ) и (или ) обозначены соответственно одномерные операторы преобразования столбцов и строк. Результат воздействия оператора разделимого двумерного унитарного преобразования можно находить в два этапа. Сначала выполняется одномерное преобразование по всем столбцам матрицы изображения, причем образуется матрица с элементами

. (10.1.5)

Затем выполняется второе одномерное преобразование по всем строкам полученной матрицы, в результате которого образуется массив чисел вида

. (10.1.6)

Унитарные преобразования удобно записывать с помощью векторных обозначений . Допустим, что и - матричное и векторное представления массива отсчетов исходного изображения, а и - матричное и векторное представления преобразованного изображения. Тогда двумерное унитарное преобразование в векторной форме выражается соотношением

где - матрица прямого преобразования. Обратное преобразование записывается как

где - матрица обратного преобразования. Очевидно, что

Для унитарных преобразований обратная матрица удовлетворяет соотношению

В этом случае матрицу называют унитарной. Действительная унитарная матрица называется ортогональной матрицей, и для нее справедливо соотношение

Если ядра преобразования разделимы, так что

где и - унитарные матрицы преобразования по строкам и столбцам, то матрицу преобразованного изображения можно получить из матрицы исходного изображения с помощью равенства

Обратное преобразование определяется соотношением

Разделимые унитарные преобразования можно также представлять в виде взвешенной суммы матричных произведений вектор-столбцов, сформированных из элементов матриц. Пусть и обозначают -й и -й столбцы матриц и . Нетрудно показать, что

. (10.1.14а)

Аналогично

, (10.1.14б)

где и - -й и -й столбы матриц и соответственно. Матричные произведения векторов, входящие в суммы (10.1.14), образуют последовательности матриц, называемых базисными матрицами, на основе которых и производится разложение матрицы исходного изображения или преобразованного изображения .

Возможны различные интерпретации унитарных преобразований. Преобразование изображения можно рассматривать как разложение исходного изображения в обобщенный двумерный спектр . Каждая спектральная составляющая характеризует вклад соответствующей спектральной (базисной) функции в энергию исходного изображения. При такой трактовке понятие частоты можно обобщить так, чтобы оно было применимо не только к синусам и косинусам, но и к другим функциям, на которых основываются преобразования. Подобный обобщенный спектральный анализ полезен для изучения тех конкретных разложений, которые в наибольшей мере подходят для данного класса изображений. Наглядное представление о преобразованиях изображений можно получить и по-другому, рассматривая преобразование как поворот многомерной системы координат. Одним из главных свойств унитарного преобразования является сохранение метрики. Например, евклидово расстояние между двумя изображениями равно евклидову расстоянию между их образами. Третья возможность интерпретации преобразований заключается в том, что равенство (10.1.2) можно рассматривать как способ составления изображения из набора двумерных функций , каждая из которых соответствует определенной точке плоскости обобщенных частот. В подобной интерпретации ядро называют двумерной базисной функцией, а коэффициент указывает «вес» этой базисной функции, необходимый для получения рассматриваемого изображения.

а обратное преобразование - как

Линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи. из Lимеет место равенство (Ах, Ау) =(х, у). У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если линейное преобразование унитарного пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно. Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Линейное преобразование Аконечномерного унитарного пространства Lявляется У. п. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий: 1) в любом ортонормированием базисе преобразованию Асоответствует унитарная матрица; 2) Апереводит любой ортонормированный базис в ортопормированный; 3) в Lсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных для Авекторов, причем соответствующая Ав этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1. У. п. данного унитарного пространства образуют относительно умножения преобразований группу (наз. унитарной группой). A. Л. Онищик.

Смотреть значение Унитарное Преобразование в других словарях

Преобразование — реорганизация
реформа
перестройка
переустройство
Словарь синонимов

Преобразование Ср. — 1. Процесс действия по знач. глаг.: преобразовать, преобразоваться (1а1-3). 2. Коренное изменение чего-л.
Толковый словарь Ефремовой

Государство Унитарное — - характеризуется простотой устройства, единой конституцией и гражданством, единой системой высших государственных органов, права и суда, действующих без ограничения........
Политический словарь

Унитарное Государство — (от лат. unitas - единство) - одна из форм территориально-политической организации и управления государством, в которой реализуется принцип распределения власти между центром........
Политический словарь

Акционирование; Преобразование Частной Компании В Публичную — Термин используется в том случае, когда частная компания впервые предлагает свои акции в открытой продаже. Право владения компанией, таким образом, переходит из рук........
Экономический словарь

Преобразование — преобразования, ср. (книжн.). 1. только ед. Действие по глаг. преобразовать. электрического тока. 2. Коренное изменение, реформа чего-н. (устар.). Преобразования Петра I.
Толковый словарь Ушакова

Преобразование — -я; ср.
1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую.
2. Коренное изменение, перемена. Крупные........
Толковый словарь Кузнецова

Предприятие Унитарное — предприятие, не обладающее правом собственности на закрепленное за ним имущество, владельцем которого является государство или муниципальный орган власти. П.у., находясь........
Экономический словарь

Предприятие, Унитарное — - коммерческая организация, не обладающая правом собственности на закрепленное за ним имущество. У.п. может быть государственным или муниципальным, соответственно........
Экономический словарь

Преобразование — Форма реорганизации юридических лиц. При преобразовании юридическое
лицо прекращает свое существование, и на его базе возникает новое. Ст. 57 ГК РФ. Например,
........
Экономический словарь

Преобразование Предприятия — -
прекращение деятельности предприятия с передачей всех прав и обязанностей вновь создаваемому предприятию
Экономический словарь

— - см. РЕОРГАНИЗАЦИЯ ЮРИДИЧЕСКОГО ЛИЦА.
Экономический словарь

Приватизация; Преобразование Публичной Компании В Частную — Преобразование публичной акционерной компании в частную либо путем выкупа компанией своих акций, либо путем покупки акций внешним инвестором. Такое преобразование........
Экономический словарь

Унитарное Государство — государство, предоставляющее минимальную хозяйственную самостоятельность регионам.
Экономический словарь

Унитарное Предприятие — -
коммерческая организация, не наделенная
правом собственности на закрепленное за ней собственником
имущество
Экономический словарь

Государственное Унитарное Предприятие
Юридический словарь

Муниципальное Унитарное Предприятие — - коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней собственником имущество. Имущество унитарного предприятия является неделимым........
Юридический словарь

Предприятие Унитарное — - см. Унитарное предприятие.
Юридический словарь

Преобразование Заявок — до публикации сведений о заявке на изобретение заявитель вправе преобразовать ее в заявку на полезную модель путем подачи соответствующего заявления. Преобразование........
Юридический словарь

Преобразование Юридического Лица — - см. Реорганизация юридического лица.
Юридический словарь

Унитарное Предприятие — - по гражданскому законодательству РФ коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней собственником имущество. Имущество У.п. является........
Юридический словарь

Унитарное Государство — - см. Унитаризм.
Юридический словарь

Унитарное Предприятие — - по гражданскому законодательству РФ коммерческая организация, не наделенная правом собственности на закрепленное за ней имущество. В форме У. п. могут быть созданы........
Юридический словарь

Аффинное Преобразование — геометрическое преобразование плоскости илипространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальныеотражения и гомотетии в направлениях координатных осей.

Преобразование Лоренца — , соотношение, выдвинутое Хендриком ЛОРЕНЦЕМ, связанное с координатами явления в пространстве и времени, наблюдаемого с двух разных точек, особенно при релятивистских........
Научно-технический энциклопедический словарь

Геометрическое Преобразование — взаимно однозначное отображение прямой,плоскости или пространства на себя. Примеры геометрическогопреобразования: подобие, движение, аффинное преобразование.
Большой энциклопедический словарь

Линейное Преобразование — линейное преобразование переменных x1, x2,..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которыепервоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:........
Большой энциклопедический словарь

Преобразование — замена одного математического объекта (геометрическойфигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом,получаемым из первого по определенным правилам.........
Большой энциклопедический словарь

Преобразование Представления Величин — (вычислительная техника) - переводмашинных переменных величин из аналоговой формы в цифровую или наоборот;применяется, напр., при работе ЭВМ в системе автоматического........
Большой энциклопедический словарь

Унитарное Государство — форма государственного устройства, при которойтерритория государства, в отличие от федерации, не имеет в своем составефедеративных единиц (штатов, земель), а подразделяется........
Большой энциклопедический словарь