Линейный фильтр калмана. Современные проблемы науки и образования

Винеровские фильтры лучше всего подходят для обработки процессов или отрезков процессов в целом (блочная обработка). Для последовательной обработки требуется текущая оценка сигнала на каждом такте с учетом информации, поступающей на вход фильтра в процессе наблюдения.

При винеровской фильтрации каждый новый отсчет сигнала потребовал бы пересчета всех весовых коэффициентов фильтра. В настоящее время широкое распространение получили адаптивные фильтры, в которых поступающая новая информация используется для непрерывной корректировки ранее сделанной оценки сигнала (сопровождение цели в радиолокации, системы автоматического регулирования в управлении и т.д). Особенный интерес представляют адаптивные фильтры рекурсивного типа, известные как фильтр Калмана.

Эти фильтры широко используются в контурах управления в системах автоматического регулирования и управления. Именно оттуда они и появились, подтверждением чему служит столь специфическая терминология, используемая при описании их работы, как пространство состояний.

Одна из основных задач, требующих своего решения в практике нейронных вычислений, – получение быстрых и надежных алгоритмов обучения НС. В этой связи может оказаться полезным использование в контуре обратной связи обучающего алгоритма линейных фильтров. Так как обучающие алгоритмы имеют итеративную природу, такой фильтр должен представлять собой последовательное рекурсивное устройство оценки.

Задача оценки параметров

Одной из задач теории статистических решений, имеющих большое практическое значение, является задача оценки векторов состояния и параметров систем, которая формулируется следующим образом. Предположим, необходимо оценить значение векторного параметра $X$, недоступного непосредственному измерению. Вместо этого измеряется другой параметр $Z$, зависящий от $X$. Задача оценивания состоит в ответе на вопрос: что можно сказать об $X$, зная $Z$. В общем случае, процедура оптимальной оценки вектора $X$ зависит от принятого критерия качества оценки.

Например, байесовский подход к задаче оценки параметров требует полной априорной информации о вероятностных свойствах оцениваемого параметра, что зачастую невозможно. В этих случаях прибегают к методу наименьших квадратов (МНК), который требует значительно меньше априорной информации.

Рассмотрим применения МНК для случая, когда вектор наблюдения $Z$ связан с вектором оценки параметров $X$ линейной моделью, и в наблюдении присутствует помеха $V$, некоррелированная с оцениваемым параметром:

$Z = HX + V$, (1)

где $H$ – матрица преобразования, описывающая связь наблюдаемых величин с оцениваемыми параметрами.

Оценка $X$, минимизирующая квадрат ошибки, записывается следующим образом:

$X_{оц}=(H^TR_V^{-1}H)^{-1}H^TR_V^{-1}Z$, (2)

Пусть помеха $V$ не коррелирована, в этом случае матрица $R_V$ есть просто единичная матрица, и уравнение для оценки становится проще:

$X_{оц}=(H^TH)^{-1}H^TZ$, (3)

Запись в матричной форме сильно экономит бумагу, но может быть для кого то непривычна. Следующий пример, взятый из монографии Коршунова Ю. М. "Математические основы кибернетики", все это иллюстрирует.
Имеется следующая электрическая цепь:

Наблюдаемые величины в данном случае – показания приборов $A_1 = 1 A, A_2 = 2 A, V = 20 B$.

Кроме того, известно сопротивление $R = 5$ Ом. Требуется оценить наилучшим образом, с точки зрения критерия минимума среднего квадрата ошибки значения токов $I_1$ и $I_2$. Самое важное здесь заключается в том, что между наблюдаемыми величинами (показаниями приборов) и оцениваемыми параметрами существует некоторая связь. И эта информация привносится извне.

В данном случае, это законы Кирхгофа, в случае фильтрации (о чем речь пойдет дальше) – авторегрессионная модель временного ряда, предполагающая зависимость текущего значения от предшествующих.

Итак, знание законов Кирхгофа, никак не связанное с теорией статистических решений, позволяет установить связь между наблюдаемыми значениями и оцениваемыми параметрами (кто изучал электротехнику – могут проверить, остальным придется поверить на слово):

$$z_1 = A_1 = I_1 + \xi_1 = 1$$

$$z_2 = A_2 = I_1 + I_2 + \xi_2 = 2$$

$$z_2 = V/R = I_1 + 2 * I_2 + \xi_3 = 4$$

Это же в векторной форме:

$$\begin{vmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} I_1\\ I_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{vmatrix}$$

Или $Z = HX + V$, где

$$Z= \begin{vmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{vmatrix} ; H= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} ; X= \begin{vmatrix} I_1\\ I_2 \end{vmatrix} ; V= \begin{vmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{vmatrix}$$

Считая значения помехи некоррелированными между собой, найдем оценку I 1 и I 2 по методу наименьших квадратов в соответствии с формулой 3:

$H^TH= \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 0 & 1& 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 3\\ 3 & 5 \end{vmatrix} ; (H^TH)^{-1}= \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -3 & 3 \end{vmatrix} $;

$H^TZ= \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 0 & 1& 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 2\\ 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7\\ 10 \end{vmatrix} ; X{оц}= \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -3 & 3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 7\\ 10 \end{vmatrix} = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5\\ 9 \end{vmatrix}$;

Итак $I_1 = 5/6 = 0,833 A$; $I_2 = 9/6 = 1,5 A$.

Задача фильтрации

В отличие от задачи оценки параметров, которые имеют фиксированные значения, в задаче фильтрации требуется оценивать процессы, то есть находить текущие оценки изменяющегося во времени сигнала, искаженного помехой, и, в силу этого, недоступного непосредственному измерению. В общем случае вид алгоритмов фильтрации зависит от статистических свойств сигнала и помехи.

Будем предполагать, что полезный сигнал – медленно меняющаяся функция времени, а помеха – некоррелированный шум. Будем использовать метод наименьших квадратов, опять же по причине отсутствия априорных сведений о вероятностных характеристиках сигнала и помехи.

Вначале получим оценку текущего значения $x_n$ по имеющимся $k$ последним значениям временного ряда $z_n, z_{n-1},z_{n-2}\dots z_{n-(k-1)}$. Модель наблюдения та же, что и в задаче оценки параметров:

Понятно, что $Z$ – это вектор–столбец, состоящий из наблюдаемых значений временного ряда $z_n, z_{n-1},z_{n-2}\dots z_{n-(k-1)}$, $V$ – вектор–столбец помехи $\xi _n, \xi _{n-1},\xi_{n-2}\dots \xi_{n-(k-1)}$, искажающий истинный сигнал. А что означают символы $H$ и $X$? О каком, например, векторе–столбце $X$ может идти речь, если все, что необходимо, – это дать оценку текущего значения временного ряда? А что понимать под матрицей преобразований $H$, вообще непонятно.

На все эти вопросы можно ответить только при условии введения в рассмотрение понятия модели генерации сигнала. То есть, необходима некоторая модель исходного сигнала. Это и понятно, при отсутствии априорной информации о вероятностных характеристиках сигнала и помехи остается только строить предположения. Можно назвать это гаданием на кофейной гуще, но специалисты предпочитают другую терминологию. На их "фене" это называется параметрическая модель.

В данном случае оцениваются параметры именно этой модели. При выборе подходящей модели генерации сигнала вспомним о том, что любую аналитическую функцию можно разложить в ряд Тейлора. Поразительное свойство ряда Тейлора заключается в том, что форма функции на любом конечном расстоянии $t$ от некой точки $x=a$ однозначно определяется поведением функции в бесконечно малой окрестности точки $x=a$ (речь идет о ее производных первого и высшего порядков).

Таким образом, существование рядов Тейлора означает, что аналитическая функция обладает внутренней структурой с очень сильной связью. Если, например, ограничиться тремя членами ряда Тейлора, то модель генерации сигнала будет выглядеть так:

$x_{n-i} = F_{-i}x_n$, (4)

$$X_n= \begin{vmatrix} x_n\\ x"_n\\ x""_n \end{vmatrix} ; F_{-i}= \begin{vmatrix} 1 & -i & i^2/2\\ 0 & 1 & -i\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

То есть формула 4, при заданном порядке полинома (в примере он равен 2) устанавливает связь между $n$-ым значением сигнала во временной последовательности и $(n-i)$–ым. Таким образом, оцениваемый вектор состояния в данном случае включает в себя, помимо собственно оцениваемого значения, первую и вторую производную сигнала.

В теории автоматического управления такой фильтр назвали бы фильтром с астатизмом 2-го порядка. Матрица преобразования $H$ для данного случая (оценка осуществляется по текущему и $k-1$ предшествующим выборкам) выглядит так:

$$H= \begin{vmatrix} 1 & -k & k^2/2\\ - & - & -\\ 1 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 0.5\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

Все эти числа получаются из ряда Тейлора в предположении, что временной интервал между соседними наблюдаемыми значениями постоянный и равен 1.

Итак, задача фильтрации при принятых нами предположениях свелась к задаче оценки параметров; в данном случае оцениваются параметры принятой нами модели генерации сигнала. И оценка значений вектора состояния $X$ осуществляется по той же формуле 3:

$$X_{оц}=(H^TH)^{-1}H^TZ$$

По сути, мы реализовали процесс параметрического оценивания, основанный на авторегрессионной модели процесса генерации сигнала.

Формула 3 легко реализуется программно, для этого нужно заполнить матрицу $H$ и вектор столбец наблюдений $Z$. Такие фильтры называются фильтры с конечной памятью , так как для получения текущей оценки $X_{nоц}$ они используют последние $k$ наблюдений. На каждом новом такте наблюдения к текущей совокупности наблюдений прибавляется новое и отбрасывается старое. Такой процесс получения оценок получил название скользящего окна .

Фильтры с растущей памятью

Фильтры с конечной памятью обладают тем основным недостатком, что после каждого нового наблюдения необходимо заново производить полный пересчет по всем хранящимся в памяти данным. Кроме того, вычисление оценок можно начинать только после того, как накоплены результаты первых $k$ наблюдений. То есть эти фильтры обладают большой длительностью переходного процесса.

Чтобы бороться с этим недостатком, необходимо перейти от фильтра с постоянной памятью к фильтру с растущей памятью . В таком фильтре число наблюдаемых значений, по которым производится оценка, должна совпадать с номером n текущего наблюдения. Это позволяет получать оценки, начиная с числа наблюдений, равного числу компонент оцениваемого вектора $X$. А это определяется порядком принятой модели, то есть сколько членов из ряда Тейлора используется в модели.

При этом с ростом n улучшаются сглаживающие свойства фильтра, то есть повышается точность оценок. Однако непосредственная реализация этого подхода связана с возрастанием вычислительных затрат. Поэтому фильтры с растущей памятью реализуются как рекуррентные .

Дело в том, что к моменту n мы уже имеем оценку $X_{(n-1)оц}$, в которой содержится информация обо всех предыдущих наблюдениях $z_n, z_{n-1}, z_{n-2} \dots z_{n-(k-1)}$. Оценку $X_{nоц}$ получаем по очередному наблюдению $z_n$ с использованием информации, хранящейся в оценке $X_{(n-1)}{\mbox {оц}}$. Такая процедура получила название рекуррентной фильтрации и состоит в следующем:

• по оценке $X_{(n-1)}{\mbox {оц}}$ прогнозируют оценку $X_n$ по формуле 4 при $i = 1$: $X_{\mbox {nоцаприори}} = F_1X_{(n-1)оц}$. Это априорная оценка;
• по результатам текущего наблюдения $z_n$, эту априорную оценку превращают в истинную, то есть апостериорную;
• эта процедура повторяется на каждом шаге, начиная с $r+1$, где $r$ – порядок фильтра.

Окончательная формула рекуррентной фильтрации выглядит так:

$X_{(n-1)оц} = X_{\mbox {nоцаприори}} + (H^T_nH_n)^{-1}h^T_0(z_n - h_0 X_{\mbox {nоцаприори}})$, (6)

где для нашего фильтра второго порядка:

Фильтр с растущей памятью, работающий в соответствии с формулой 6 – частный случай алгоритма фильтрации, известного под названием фильтра Калмана.

При практической реализации этой формулы необходимо помнить, что входящая в него априорная оценка определяется по формуле 4, а величина $h_0 X_{\mbox {nоцаприори}}$ представляет собой первую компоненту вектора $X_{\mbox {nоцаприори}}$.

У фильтра с растущей памятью имеется одна важная особенность. Если посмотреть на формулу 6, то окончательная оценка есть сумма прогнозируемого вектора оценки и корректирующего члена. Эта поправка велика при малых $n$ и уменьшается при увеличении $n$, стремясь к нулю при $n \rightarrow \infty$. То есть с ростом n сглаживающие свойства фильтра растут и начинает доминировать модель, заложенная в нем. Но реальный сигнал может соответствовать модели лишь на отдельных участках, поэтому точность прогноза ухудшается.

Чтобы с этим бороться, начиная с некоторого $n$, накладывают запрет на дальнейшее уменьшение поправочного члена. Это эквивалентно изменению полосы фильтра, то есть при малых n фильтр более широкополосен (менее инерционен), при больших – он становится более инерционен.

Сравните рисунок 1 и рисунок 2. На первом рисунке фильтр имеет большую память, при этом он хорошо сглаживает, но в силу узкополосности оцениваемая траектория отстает от реальной. На втором рисунке память фильтра меньше, он хуже сглаживает, но лучше отслеживает реальную траекторию.

Литература

1. Ю.М.Коршунов "Математические основы кибернетики"
2. А.В.Балакришнан "Теория фильтрации Калмана"
3. В.Н.Фомин "Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация"
4. К.Ф.Н.Коуэн, П.М. Грант "Адаптивные фильтры"

25 марта 2012 в 20:42

Фильтр Калмана - Введение

• Алгоритмы ,
• Программирование

Фильтр Калмана - это, наверное, самый популярный алгоритм фильтрации, используемый во многих областях науки и техники. Благодаря своей простоте и эффективности его можно встретить в GPS-приемниках, обработчиках показаний датчиков, при реализации систем управления и т.д.

Про фильтр Калмана в интернете есть очень много статей и книг (в основном на английском), но у этих статей довольно большой порог вхождения, остается много туманных мест, хотя на самом деле это очень ясный и прозрачный алгоритм. Я попробую рассказать о нем простым языком, с постепенным нарастанием сложности.

Для чего он нужен?

Любой измерительный прибор обладает некоторой погрешностью, на него может оказывать влияние большое количество внешних и внутренних воздействий, что приводит к тому, что информация с него оказывается зашумленной. Чем сильнее зашумлены данные тем сложнее обрабатывать такую информацию.

Фильтр - это алгоритм обработки данных, который убирает шумы и лишнюю информацию. В фильтре Калмана есть возможность задать априорную информацию о характере системе, связи переменных и на основании этого строить более точную оценку, но даже в простейшем случае (без ввода априорной информации) он дает отличные результаты.

Рассмотрим простейший пример - предположим нам необходимо контролировать уровень топлива в баке. Для этого в бак устанавливается емкостный датчик, он очень прост в обслуживании, но обладает некоторыми недостатками - например, зависимость от заправляемого топлива (диэлектрическая проницаемость топлива зависит от многих факторов, например, от температуры), большое влияние «болтанки» в баке. В итоге, информация с него представляет типичную «пилу» с приличной амплитудой. Такого рода датчики часто устанавливаются на тяжелой карьерной технике (не смущайтесь объемам бака):

Фильтр Калмана

Немного отвлечемся и познакомимся с самим алгоритмом. Фильтр Калмана использует динамическую модель системы (например, физический закон движения), известные управляющие воздействия и множество последовательных измерений для формирования оптимальной оценки состояния. Алгоритм состоит из двух повторяющихся фаз: предсказание и корректировка. На первом рассчитывается предсказание состояния в следующий момент времени (с учетом неточности их измерения). На втором, новая информация с датчика корректирует предсказанное значение (также с учетом неточности и зашумленности этой информации):

Уравнения представлены в матричной форме, если вы не знаете линейную алгебру - ничего страшного, дальше будет упрощенная версия без матриц для случая с одной переменной. В случае с одной переменной матрицы вырождаются в скалярные значения.

Разберемся сначала в обозначениях: подстрочный индекс обозначает момент времени: k - текущий, (k-1) - предыдущий, знак «минус» в верхнем индексе обозначает, что это предсказанное промежуточное значение.

Описание переменных представлены на следующих изображениях:

Можно долго и нудно описывать, что означают все эти таинственные матрицы переходов, но лучше, на мой взгляд, на реальном примере попробовать применить алгоритм - чтобы абстрактные значения обрели реальный смысл.

Опробуем в деле

Вернемся к примеру с датчиком уровня топлива, так как состояние системы представлено одной переменной (объем топлива в баке), то матрицы вырождаются в обычные уравнения:

Определение модели процесса

Для того, чтобы применить фильтр, необходимо определить матрицы/значения переменных определяющих динамику системы и измерений F, B и H:

F - переменная описывающая динамику системы, в случае с топливом - это может быть коэффициент определяющий расход топлива на холостых оборотах за время дискретизации (время между шагами алгоритма). Однако помимо расхода топлива, существуют ещё и заправки… поэтому для простоты примем эту переменную равную 1 (то есть мы указываем, что предсказываемое значение будет равно предыдущему состоянию).

B - переменная определяющая применение управляющего воздействия. Если бы у нас были дополнительная информация об оборотах двигателя или степени нажатия на педаль акселератора, то этот параметр бы определял как изменится расход топлива за время дискретизации. Так как управляющих воздействий в нашей модели нет (нет информации о них), то принимаем B = 0.

H - матрица определяющая отношение между измерениями и состоянием системы, пока без объяснений примем эту переменную также равную 1.

Определение сглаживающих свойств

R - ошибка измерения может быть определена испытанием измерительных приборов и определением погрешности их измерения.

Q - определение шума процесса является более сложной задачей, так как требуется определить дисперсию процесса, что не всегда возможно. В любом случае, можно подобрать этот параметр для обеспечения требуемого уровня фильтрации.

Реализуем в коде

Чтобы развеять оставшиеся непонятности реализуем упрощенный алгоритм на C# (без матриц и управляющего воздействия):

Class KalmanFilterSimple1D { public double X0 {get; private set;} // predicted state public double P0 { get; private set; } // predicted covariance public double F { get; private set; } // factor of real value to previous real value public double Q { get; private set; } // measurement noise public double H { get; private set; } // factor of measured value to real value public double R { get; private set; } // environment noise public double State { get; private set; } public double Covariance { get; private set; } public KalmanFilterSimple1D(double q, double r, double f = 1, double h = 1) { Q = q; R = r; F = f; H = h; } public void SetState(double state, double covariance) { State = state; Covariance = covariance; } public void Correct(double data) { //time update - prediction X0 = F*State; P0 = F*Covariance*F + Q; //measurement update - correction var K = H*P0/(H*P0*H + R); State = X0 + K*(data - H*X0); Covariance = (1 - K*H)*P0; } } // Применение... var fuelData = GetData(); var filtered = new List(); var kalman = new KalmanFilterSimple1D(f: 1, h: 1, q: 2, r: 15); // задаем F, H, Q и R kalman.SetState(fuelData, 0.1); // Задаем начальные значение State и Covariance foreach(var d in fuelData) { kalman.Correct(d); // Применяем алгоритм filtered.Add(kalman.State); // Сохраняем текущее состояние }

Результат фильтрации с данными параметрами представлен на рисунке (для настройки степени сглаживания - можно изменять параметры Q и R):

За рамками статьи осталось самое интересное - применение фильтра Калмана для нескольких переменных, задание взаимосвязи между ними и автоматический вывод значений для ненаблюдаемых переменных. Постараюсь продолжить тему как только появится время.

Надеюсь описание получилось не сильно утомительным и сложным, если остались вопросы и уточнения - добро пожаловать в комментарии)

UPD: Список источников.

Пусть имеется некоторая система, состояние которой однозначно характеризуется определенным набором величин, как правило, недоступных для измерения (аектор состояния системы).

Имеется ряд переменных. Некоторым образом, связанных с состоянием системы, которую можно измерить с заданной точностью. Алгоритм фильтра Калмана позволяет в реальном времени построить реальную оценку состояния системы, основываясь на измерениях, содержащих погрешности. Вектор измерений рассматривается в качестве многомерного выходного сигнала системы, при этом зашумленного, вектор состояния – неизвестный многомерный сигнал, подлежащий определению условием оптимальности построенной оценки является min ее средне – кв. ошибки.

Особенности фильтра Калмана:

Позволяет получит решение задачи, сформулированной в пр……………сост

Фильтр является не стационарным

Имеет рекурентную форму, то есть удобен для программирования. Новые оценки получаются корректировкой старых на основе новых наблюдений.

В общем случае задано п – мерное гильбертово пр – во.

Задан процесс, формируемый линейной динамичной системой, названной формирующим фильтром

Dx/dt =A(t) x(t) +B(t)u(t)+V(t)

X(t) - случайный п – мерный процесс.

- U(t) - c куч. процесс в виде б.ш.с ковариационной матрицей

K u (t , M   (t)  (t-  )

Х(t) наблюдается с помощью измерителя:

Y(t) = c(t)x(t) +n(t)

n(t) = Б.Ш.

K n (t ,  ) = M=R(t)  (t-  )

Основываясь на наблюдениях у в течение интервала времени , нужно найти оценку сигнала x(t) tx(t))

x (t)=x(t) – x(t) - ошибка оценивания

Критерием оптимальности является ее кв. Форма

//X(t) // 2  min

Процессы u(t) иx(t) иV(t) и n(t) не коррелированы, а формирующий фильтр удовлетворяет условиям физической реализуемости.

U(t)x(t) x(t)n(t)

Фф – формирующий фильтр

u

U(t) y(t)

L

x(t) x(t)

Динамические свойства системы зависят от L, выбор L обеспечивает

X(t) – x(t)  o

t 

Начальные условия на каждом новом цикле алгоритма служит оценка состояния системы и величина характеризует ее погрешность.

Алгоритм последовательно обрабатывает вновь поступающие векторы измерений, учитывая при этом значении, выч. на предыдущем цикле. На сп. Шаге, с обрабат измерений, уточняются н.у. для этого алгоритма выч. без поправок к ним на основе ковареац.матриц. Исправленные т.о. н.у. и являются выходными данными фильтра Калмана на каждом цикле. На заключительном этапе алгоритма происходит подготовка к поступлению нового вектора измерений. На основе заданного линейного преобразования, связывая его последующий вектор состояния с предыдущим, прогнозируется оценка состояния системы в момент следующее измерение.

Рассмотрим многомерный фильтр Калмана для стационарного случая. Должно быт известно само описание объекта:

X(K+1) = Ax(K)+Bu(K)+V(k)

Y(K) = cx(K0+n(K)

A 1 B 1 C=const (стационарный случай)

Должна быть известна априорная информация о сигнале:

M[x] =x o u cov [x] =  o

Должна быть известна априорная информация о шуме, то есть Р (v) – гаусовская плотность M[v]=o ; cov[V]=V

P(n)  M[n]=o ; cov[n]=N

V - шум объекта; n - шум измерения

Алгоритм работы фильтра Калмана:

X(K+1) = Ax(k)+Bu(k)+L(K+1)

Каждая оценка получается на основании предыдущего x(K) и на основании текущего измерения y(u+1) ; предсказывает текущую выборку – Ax(u)+Bu(K) - экстраполир.состояние.

L Cbu(K) корректирует текущую оценку на основании оценки ошибки

C - новизна между наблюдавшимся и предсказанным значением.

L(K+1) - изменяющийся во времени коэффициент Калмана.

L= KoC 1 p -1 p - матрица самого сигнала; Ko - единственное положительно определенное решение алгебраичного матричного уравнения (уравнение Реккати)

Этот идентификатор должен быть устойчив, то есть собственное значение матрицы имеет «-« вещественную часть.

Уравнение фильтра Калмана однозначно определяет все коэффициенты идентификатора по данным о характерах помех в соответствии с выбором критерия min CK погрешности.

Запишем рекурентную форму:

L(K+1) =  (K+1) c 1 -1 = P(K+1)C 1 N -1

(K+1) = AP(K)A 1 +V

P(K+1)= [  -1 (K+1)>C 1 N -1 C] -1 =  (K+1)-  (K+1)C 1 -1 c  (k+1)

(K+1)- априорное значение ковариац.матрицы сигнала x , основанное на k наблюдениях.

Сначала вычисляется:

1.  (k+1)

2. P(k+1)

3. L(k+1)

4. x(k+1)

Пример: упрощенный т.к.: априорный случай (скамерный фильтр Калмана); и с=1

Рассматривание стационарных случайных сигнал x(k) с известными статистическими характерами, искажается стац.б.ш. max / наилучшим образом оценить х(и)

X(k+1) = ax(k) +v(k)

Y(k) = x(k)+n(k)

X(o)= x o P(o)=P o

M[v]=o M=V  ij

M[k]=o M=N  ij

M=O

x^(n+1)=ax(k)+L(k+1)

l(k+1)=  (k+1)[  (k+1)+N] -1 =  (k+1)/  (k+1)+N

(k+1)=AP(k)A 1 +V=a 2 P(k)+v

P(k+1)=[  -1 (k+1)+N -1 ] -1 =  (k+1)N/  (k+1)+N

X(k+1)=(1-l(k+1))ax(k)+l(k+1)y(k+1)=N /  (k+1)+N ax(k)+  (k+1)/  (k+1)+N y(k+1)

L 

L(k+1)+  (k+1)=1

Предположим, что есть априорная информация:

X o =o P o =o N=V  =

K  (k) l(k) P(k)

1 N 0,5 0,5N

2 1 ,25 N 0 ,555 0,555 N

3 1 ,28 N 0,56 0,56N

4 1 ,28 N 0,56 0,56N

x o =o P o =  N=V a=

k  (k) l(k) P(k)

o 

1  1 N

2 1 ,5 N 0 ,6 0,6 N

3 1,3N 0 ,565 0,565 N

4 1 ,283 N 0 ,56 0,565 N

5 1 ,28 N 0 ,56 0,56 N

0 ,56 N

P(k) =P(k-1)=P - условие стационарности фильтра

Р =  N/  +N =(a 2 P+V)N/ a 2 P +N+V

(a 2 P +V)N =PN+P(a 2 P+V)

P 2 + N+V-a 2 N/a 2  P – VN/a 2 =O

P 2 +3Np – 2N 2 =O

P = 0 ,56 N

Коэффициент усиления L не зависит от наблюдений и может быть вычислен заранее для всей процедуры.

Зависимость от времени матриц A , B , С не вносит принципиальных изменений (когда эти матрицы полностью известны)

Фильтр Калмана реализует процесс паралистического оценивания.

При порциальном распределении случайных величин в стационарном случае рассматриваемый фильтр оптимален, в смысле метода полим. Квадратов, если система не стационарна, то фильтр оптимален.

Одновременное оценивание параметров и состояние объекта

Рассматривая задачу оценки состояний, когда известна лишь структура матрицы объекта, то есть известны функции, которые содержат матрицы, и не известны значения параметров, которые содержат сами функции. Прямой подход к решению такой задачи предполагает расширение вектора состояний за счет неизвестных параметров.

U(t) x 1 (t)

Y 1 (t)

Y 2 (t)

Необходимо оценить состояние х и среднее значение помехи п по доступным наблюдениям сигналов у 1 и у 2 при этом а неизвестен.

Составим расширенный вектор состояния, который мы будем определять:

X 1 (t) x 1 (t)

X(t)= a = x 2 (t)

N x 3 (t)

A=n=o (так как не являются фильтрами времени)

X 1 (t)/u(t) = 1/a+s x 1 o (t) = -x 1 (t)x 2 (t)+u(t)

X 1 (t) = u(t)/a+s

X 1 (t)(a+s)= u(t)  x 1  x 2 +sx 1 =u

Для вектора состояния записать уравнение связи x(t) и u(t) невозможно.

X = A(x(t)+B(x(t),t) u(t)

-x 1 +x 2 (t) 1

A = o B = o

Рассмотрим вектор наблюдений

Y(t) =c(x(t) , t) + v(t)

C(x(t) , t) =

V(t) =

Пусть объект описывается

X = j (x,u , a , v , t)

Y = g(x,u ,с, n , t)

X  (x ,u, a , v , t)

[x/a ] нельзя преобразовать к M - линейная форма, где М не зависит от х и а .

Даже для линейного объекта задача совместная.

Оценивание параметров и состояний относительно этого вектора параметров и состояния. Все подходы должны осуществляться на основе настраивания модели и иметь итеративный характер.

Рассмотрим на основании выборочных сигналов:

X(k+1) = t(x(k), u(k) , a(k), v(k), k)

Y9k) = g(x(k) , n(k) ,с(k ), n(k) , k)

Используется нелинейный нестационарный объект

(x(k), u(k) , a(k), k) + G(k)V(k)g(x(k)u(k)c(k)k)+n(k)

(шум объекта аддитивный) (шум наблюдений аддетивный)

A(k)x(k) +B(k)u(k) c(k)x(k)+D(k)u(k)

(линейный объект) наблюдаемое линейно-относительных переменных состояний

Ax(k)+Bu(k) cx(k) + Du(k)

(стационарный объект) матрица наблюдений постоянная)

(k)=o

В таком виде задача называется двухточечной.

Идентификация нелинейных объектов

Тип нелинейности Гаммерштейна.

Эта модель опирается на предположение, что нелинейность и динамику можно разделить. Это можно представить в виде последовательных комбинаций 2х звеньев: нелинейного инерционного и динамического линейного.

U(t) y(t)

Y(t) = d 

В одномерном сигнале надо идентифицировать 2 функции. Эти функции представляются в виде разложения по некоторым заданным системой функциям.

(u)=  aj j (u) ; w(t) =  b i w i (t)

j=1 i=1

Введем следующие обозначения:

Y ij (t) = i ( ) j [ j ]= a [ i ][ j ];
}
}
для (int i = 0; i < 6; i ++){
для (int j = 0; j < 3; j ++){
B [ i ][ j ]= b [ i ][ j ];
}
}

/* инициализирует состояние*/
state=0.1;
state=0.1;
state=0.1;
state=0.1;
state=0.1;
state=0.1;

lastState= состояние ;

пустой kalman(){
lastState= состояние ;
state=c_a1;
state=c_a2;
state=c_a3;
state=a1d;
state=a2d;
state=a3d;

measurement=m_a1;
measurement=m_a2;
measurement=m_a3;
measurement=a1d;
measurement=a2d;
measurement=a3d;

action=tau1;
action=tau2;
action=tau3;

matrix temp1(6,6);
matrix temp2(6,6);
matrix temp3(6,6);
matrix temp4(6,1);
/************ Уравнения п рогнозировани я *****************/
x = A*lastState + B*action;
p = A*P*A’ + Q;
/************ Уравнения обновления **********/
K = p*C*pinv(C*p*C’+R);

y=C*state;

состояние = x + K*(y-C*lastState);

P = (eye(6) – K*C)*p;

a1=state;
a2=state;
a3=state;
a1d=state;
a2d=state;
a3d=state;
}

/* Эта функция не используется, так как я использую позиции, чтобы получить скорости (т.е. дифференциацию).
* Тем не менее я считаю, что это полезно включить, если вы хотите скорости и позицию
* от ускорения вы будете использовать его */
пустой integrate(){
new_a1d = a1d + a1dd*TIMESTEP;
a1 += (new_a1d + a1d)*TIMESTEP/2;
a1d = new_a1d;
new_a2d = a2d + a2dd*TIMESTEP;
a2 += (new_a2d + a2d)*TIMESTEP/2;
a2d = new_a2d;
new_a3d = a3d + a3dd*TIMESTEP;
a3 += (new_a3d + a3d)*TIMESTEP/2;
a3d = new_a3d;
TIME+=TIMESTEP;
}

/*Это дает мне скорость от позиции*/
пустой differentiation(){
a1d=(state-lastState)/TIMESTEP;
a2d=(state-lastState)/TIMESTEP;
a3d=(state-lastState)/TIMESTEP;
TIME+=TIMESTEP;
}

int main () {
initKalman();
char buffer;
ifstream readFile (“DATA.txt”); // вот тут я читал мои данные, так как я обрабатывал все это оффлайн

while (!readFile.eof()){
readFile.getline (buffer,500);
sscanf(buffer, “%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f “,&timeIndex,&m_a1,&m_a2,&m_a3,&c_a1,&c_a2,&c_a3,&tau1,&tau2,&tau3);

kalman();
differentiation();
//integrate();

/* вот тут я вношу в журнал результаты и / или выношу их на экран */
FILE *file=fopen(“filterOutput.txt”, “a”);
fprintf(file,”%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n”,TIME,a1,a2,a3,a1d,a2d,a3d,tau1,tau2,tau3);
fprintf(stderr,”%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n”,TIME,a1,a2,a3,a1d,a2d,a3d,tau1,tau2,tau3);
fclose(file);
}
return 1;
}

Заключение

Этот пост был сосредоточен на реализации фильтра Калмана. Надеюсь, вы сможете принять эту информацию, чтобы улучшить и усовершенствовать ваши робототехнические проекты. Для получения дополнительной информации я рекомендую Введение в фильтрацию Калмана Грега Уэлча и Гэри Бишопа http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/ и пост из TKJ Electronics .

Как то так повелось, что очень нравятся мне всякие алгоритмы, имеющие четкое и логичное математическое обоснование) Но зачастую их описание в интернете настолько перегружено формулами и расчетами, что общий смысл алгоритма понять просто невозможно. А ведь понимание сути и принципа работы устройства/механизма/алгоритма намного важнее, чем заучивание огромных формул. Как это ни банально, но запоминание даже сотни формул ничем не поможет, если не знать, как и где их применить 😉 Собственно, к чему все это.. Решил я замутить описание некоторых алгоритмов, с которыми мне приходилось сталкиваться на практике. Постараюсь не перегружать математическими выкладками, чтобы материал был понятным, а чтение легким.

И сегодня мы поговорим о фильтре Калмана , разберемся, что это такое, для чего и как он применяется.

Начнем с небольшого примера. Пусть перед нами стоит задача определять координату летящего самолета. Причем, естественно, координата (обозначим ее ) должна определяться максимально точно.

На самолете мы заранее установили датчик, который и дает нам искомые данные о местоположении, но, как и все в этом мире, наш датчик неидеален. Поэтому вместо значения мы получаем:

где – ошибка датчика, то есть случайная величина. Таким образом, из неточных показаний измерительного оборудования мы должны получить значение координаты (), максимально близкое к реальному положению самолета.

Задача поставлена, перейдем к ее решению.

Пусть мы знаем управляющее воздействие (), благодаря которому летит самолет (пилот сообщил нам, какие рычаги он дергает 😉). Тогда, зная координату на k-ом шаге, мы можем получить значение на (k+1) шаге:

Казалось бы, вот оно, то что надо! И никакой фильтр Калмана тут не нужен. Но не все так просто.. В реальности мы не можем учесть все внешние факторы, влияющие на полет, поэтому формула принимает следующий вид:

где – ошибка, вызванная внешним воздействием, неидеальностью двигателя итп.

Итак, что же получается? На шаге (k+1) мы имеем, во-первых, неточное показание датчика , а во-вторых, неточно рассчитанное значение , полученное из значения на предыдущем шаге.

Идея фильтра Калмана заключается в том, чтобы из двух неточных значений (взяв их с разными весовыми коэффициентами) получить точную оценку искомой координаты (для нашего случая). В общем случае, измеряемая величина можем быть абсолютно любой (температура, скорость..). Вот, что получается:

Путем математических вычислений мы можем получить формулу для расчета коэффициента Калмана на каждом шаге, но, как условились в начале статьи, не будем углубляться в вычисления, тем более, что на практике установлено, что коэффициент Калмана с ростом k всегда стремится к определенному значению. Получаем первое упрощение нашей формулы:

А теперь предположим, что связи с пилотом нет, и мы не знаем управляющее воздействие . Казалось бы, в этом случае фильтр Калмана мы использовать не можем, но это не так 😉 Просто “выкидываем” из формулы то, что мы не знаем, тогда

Получаем максимально упрощенную формулу Калмана, которая тем не менее, несмотря на такие “жесткие” упрощения, прекрасно справляется со своей задачей. Если представить результаты графически, то получится примерно следующее:

Если наш датчик очень точный, то естественно весовой коэффициент K должен быть близок к единице. Если же ситуация обратная, то есть датчик у нас не очень хороший, то K должен быть ближе к нулю.

На этом, пожалуй, все, вот так вот просто мы разобрались с алгоритмом фильтрации Калмана! Надеюсь, что статья оказалась полезной и понятной =)