Двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ)

Лекции 13. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и , то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.

Введем линейный дифференциальный оператор

Здесь обозначает оператор дифференцирования .

Тогда линейное однородное уравнение можно записать в виде , а линейное неоднородное – в виде .

Так как линеен, то

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено - решение однородного уравнения, - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений .

1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения противоположное решение тоже является решением. Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что - решение, справедлива ассоциативность по умножению на число . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения на число .

Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще раз подробнее дома.

Линейная зависимость и независимость.

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n -ого порядка равна n .

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

2. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

..........................................................................

Второе решение – это линейная комбинация решений с теми же коэффициентами .

Вычисляя начальные условия в точке для решения , убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решения . Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений .

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения. Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

Является общим решениям (удовлетворяет пунктам определения общего решения)

1. - решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.

2. Зададим произвольные начальные условия , покажем, что можно подобрать константы такие, что удовлетворяет этим начальным условиям.

.........................................................................

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант . Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

.

Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.

Известна формула для производной определителя

.

Вычислим ...+

0+...+0+ .

, .

Замечание . В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.

Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка .

Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения

Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.

Так как , то = .

Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля

Формула для построения второго частного решения по известному

(построение фундаментальной системы).

.

Разделим обе части уравнения на

.

Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C 1 =0, получим .

Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения.

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1. - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

Опр. 14.5.3.1. Система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно зависимой на интервале (a , b ), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a , b ): для
.

Если равенство для
возможно только при , система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно независимой на интервале (a , b ).

Другими словами, функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), если существует равная нулю на (a , b ) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно независимы на интервале (a , b ), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a , b ).

Примеры: 1. Функции 1, x , x 2 , x 3 линейно независимы на любом интервале (a , b ). Их линейная комбинация
- многочлен степени
- не может иметь на (a , b ) больше трёх корней, поэтому равенство для
возможно только при .

3. Функции
линейно независимы на любом интервале (a , b ), если
. Действительно, если, например,
, то равенство
имеет место в единственной точке
.

4. Система функций
также линейно независима, если числа k i (i = 1, 2, …, n ) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.

Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского .

Опр. 14.5.3.2. Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется определитель

. (2 6 )

14.5.3.3. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций . Если система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима на интервале (a , b ), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во . Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), то найдутся числа
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

Для
. (27)

Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно
. Определитель этой системы - определитель Вронского (26). В каждой точке
эта система имеет нетривиальное решение
, следовательно, в каждой точке
её определитель равен нулю. Итак, W (x ) = 0 при
, т.е.
на (a , b ).

14.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25).

14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во . Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y (x ) для которых L n (y ) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y , y 1 (x ), y 2 (x ) - частные решения (25), то функции Cy , y 1 (x ) + y 2 (x ) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства , получим

если L n (y ) = 0, то L n (Cy ) = CL n (y ) = 0;

если L n (y 1) = 0 и L n (y 2) = 0, то L n (y 1 + y 2) = L n (y 1) + L n (y 2) = 0.

Следствие. Если y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).

Теорема 14.5.4.2. Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке
, то система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a , b ).

Док-во . Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W (x 0) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C 1 , C 2 , …, C n . Рассмотрим линейную комбинацию функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) с этими коэффициентами C 1 , C 2 , …, C n : y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ + C n y n (x ). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x 0 , т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y (x ) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a , b ). Вследствие единственности решения задачи Коши y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) = 0 для любого
. Таким образом, система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима на (a , b ), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a , b ).

Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W (x ) системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке
, то W (x ) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке
определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a , b ), что противоречит условию
.

Теорема 14.5.4.4. Если W (x ) - определитель Вронского системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо
на интервале (a , b ) (что означает линейную зависимость этих решений на (a , b )), либо
в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a , b )).

14.5.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения . В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) его n частных решений.

Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения . Общее решение y (x ) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).

Док-во . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y чо (x ) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x C 1 , C 2 , …, C n . Возьмём любую точку
, вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1 , C 2 , …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен
. Рассмотрим линейную комбинацию y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C 1 , C 2 , …, C n и сравним её с функцией y чо (x ). Функции y (x ) и y чо (x ) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x 0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y чо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n . Осталось доказать, что эта размерность не меньше n .

Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во . Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.	Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x 0 для i -ой задачи возьмём из i -го столбца этого определителя:
L n (y 1) = 0;		L n (y 2) = 0;		L n (y n ) = 0;

Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a , b ), так как её определитель Вронского в точке x 0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n , и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

14.5.6. Формула Лиувилля .

Теорема 14.5.6.1 . Определитель Вронского системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p 1 (x ) - коэффициент при n - 1 производной.

Док-во . Докажем эту теорему для уравнения второго порядка . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, тогда , .

Так как y 1 (x ), y 2 (x ) - решения уравнения, то

В первой из квадратных скобок стоит W (x ), во второй -
, поэтому , что и требовалось доказать.

Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n -го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

Решим это уравнение относительно W (x ). Функция W (x ) = 0 является решением этого уравнения; если
, то
Интегрируем последнее выражение в пределах от x 0 до x :

(Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W (x ) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W (x ) и W (x 0) всегда имеют один знак). Окончательно

. (28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W (x 0) = 0, то
; если
, то
ни в одной точке интервала (a , b ).

14.5.7. Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) с отличным от нуля на отрезке (a , b ) вронскианом W (x ). Требуется составить линейное однородноеуравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ).

Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ), система функций y (x ), y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:

Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна y 1 (x ) = cos x , y 2 (x )= x 3 . Решение:

Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений:
Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором
.

14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения, если известно одно его частное решение. Пусть для линейного уравнения

известно частное решение y 1 (x ). Заменой y (x ) = z (x ) y 1 (x ), это уравнение может быть преобразовано в уравнение, допускающее понижение порядка. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка . Пусть y 1 (x ) - частное решение этого уравнения, т.е. . Перейдём к переменной z (x ), связанной с y (x ) соотношением y (x )=z (x )y 1 (x ). Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение:

Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z (x ), поэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается:

Можно доказать, что вронскиан системы функций
равен
, т.е. отличен от нуля и, следовательно, функции y 1 (x ), y 2 (x ) образуют фундаментальную систему решений. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y 2 (x ) исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишемформулу Лиувилля так

Поделив это выражение на y 1 (x ), (y 1 (x )) 2 , получим
. Выражение слева - производная дроби
, поэтому
. Интегрируем:
,
, и так как мы ищем решение y 2 (x ), линейно независимое с y 1 (x ), то берём
.

Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. В рассматриваемом случае в коэффициенты уравнения входят степени x и ln x , поэтому можно попытаться искать частное решение в виде y = x k или y = ln x . Предположим, что уравнение имеет частное решение вида y 1 = x k . Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим ,
. Уравнение удовлетворяется, если
это имеет место только при k = 1. Итак, функция y 1 (x ) = x - частное решение этого уравнения. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице: ,

и воспользуемся формулой
:

Итак, фундаментальная система решений этого уравнения: y 1 (x ) = x , y 2 (x ) = ln x , общее его решение y (x ) = C 1 x + C 2 ln x .

14.5.9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Терема 14.5.9.1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a , b ) коэффициентами и правой частью

(2 0 )

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(2 1 )

и частного решения неоднородного уравнения (20):

y он (x ) = y оо (x ) + y чн (x ) = (C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x )) + y чн (x ).

Док-во . Мы должны доказать, что если известно частное решение y чн (x ) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение
может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n . Так как и y чн (x ), и
- решения неоднородного уравнения (20), то L n (y чн (x ))=f (x ) и
, следовательно, по линейности оператора L n (y ), . Функция
удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n : . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида (
- постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f (x ) = f 1 (x ), f (x )=f 2 (x ):

Теорема 14.5.9.2 о наложении решений. Если y 1,чн (x L n (y ) = f 1 (x ), y 2,чн (x ) - частное решение неоднородного уравнения L n (y ) = f 2 (x ), то функция является частным решением неоднородного уравнения .

Док-во основано на линейности оператора L n (y ): , что и требовалось доказать.

14.5.10. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

. (29 )

Пусть y 1 (x ), y 2 (x ) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

y оо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) - общее решение однородного уравнения (30). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (29) в том же виде y (x )=C 1 (x )y 1 (x ) + C 2 (x )y 2 (x ), предполагая, что постоянные C 1 , C 2 - не постоянные, а функции, зависящие от x : C 1 = C 1 (x ), C 2 = C 2 (x ). Мы должны найти эти функции. Находим производную
: . Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y (x ) мы ищем две функции C 1 (x ) и C 2 (x ), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной
не участвовали вторые производные функций C 1 (x ) и C 2 (x ), в качестве этой связи положим

. (3 1 )

Подставляем выражения для y (x ) и её производных в уравнение (29):

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y 1 (x ), y 2 (x ) - решения однородного уравнения (30), поэтому окончательно

Уравнения (31),(32) дают замкнутую систему для функций
и
:

(33)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y 1 (x ), y 2 (x ) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение
,
. Находя это решения и интегрируя выражения производных для
и
, получим C 1 (x ) и C 2 (x y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ).

Пример: найти общее решение уравнения .

Мы начали решать эту задачу в разделе 14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения . Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение y оо (x ) = C 1 x + C 2 ln x . В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной в виде y (x ) = C 1 (x ) x + C 2 (x ) ln x . Система (33) для производных коэффициентов
и
будет такой:

Ответ: общее решение уравнения y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (- x ln x + C 1 0)x +

(в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).

В общем случае неоднородного уравнения n -го порядка ,

если известна фундаментальная система решений y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде

y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ). Тогда

Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций C i (x ), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

Опять положим , и т.д. Дляn -ой производной получим

Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции y i (x ) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим .

Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных
получим систему уравнений

Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение
. Находя это решение и интегрируя, найдём C i (x ) (i = 1, 2, …, n ), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ).

14.5.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (p i (x ) = a i = const, i = 1, 2, …, n ), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

14.5.11.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

(3 4 )

постоянны на рассматриваемом интервале (a , b ) (a i = const при i = 1, 2, …, n ). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = e kx . Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на e kx , получим алгебраическое уравнение n -ой степени

k n + a 1 k n -1 + a 2 k n -2 + a 3 k n -3 + …. + a n = 0 . (35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k 1 , k 2 , …, k n , некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

Если k j - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция
в ФСР;

если k j - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k j = k j +1 = k j +2 = …= k j + r -1), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;

если
- простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь
- мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k j число
. Паре корней k j , k j +1 соответствуют функции
,
в ФСР;

если
- комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число
. Паре корней k j , k j +1 , каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций
,
,
,
,
,
, ….,
,
в ФСР.

Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

. (36 )

Его характеристическое уравнение k 2 + a 1 k + a 2 = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a 1 2 - 4a 2 , может иметь

1. действительные неравные корни k 1 , k 2 (D > 0). Функции
, по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения (36). Вронскиан этой системы функций

Следовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае -
.

2. действительные равные корни
. Функция
, как и в предыдущем случае, решение уравнения (36). Докажем, что функция
тоже удовлетворяет уравнению:

Так как k 1 - корень характеристического уравнения:
. Функции
- фундаментальная система решений, так как

Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

3. комплексные корни. В этом случае , где
. Мы должны доказать, что функции

удовлетворяют уравнению. Находим:

Подставляем в уравнение:

Рассмотрим по отдельности коэффициенты при
и при
: ,
. Итак,
, т.е. функция
- действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция
- решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

Т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

Характеристическое уравнение k 2 + 4 k - 5 = 0. Его корни k 2 = 1. Фундаментальная система решений y 1 (x ) = e -5 x , y 2 (x ) = e x , общее решение y (x ) = C 1 e -5 x + C 2 e x .

Характеристическое уравнение 16k 2 - 40 k + 73 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений
, общее решение
.

Характеристическое уравнение 64k 2 + 112 k + 49 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений
, общее решение
.

Это уравнение 7-го порядка, его характеристическое уравнение k 7 + 2k 6 + 8k 4 +16k 3 = 0. Преобразуем его левую часть: k 3 (k 4 + 2 k 3 + 8 k + 16) = k 3 [k 3 (k + 2) + 8(k + 2)] = k 3 (k + 2)( k 3 + 8) =

= k 3 (k + 2)( k + 2)( k 2 -2 k + 4) = k 3 (k + 2) 2 (k 2 - 2 k + 4). Корни: k 1,2,3 = 0, k 4,5 = -2,
.

Фундаментальная система решений y 1 = e 0 x = 1, y 2 = xe 0 x = x , y 2 = x 2 e 0 x = x 2 , y 4 = e -2 x , y 5 = xe -2 x , общее решение .

Рассмотрим более подробно характеристики двигателя параллельного возбуждения, которые определяют его рабочие свойства.

Скоростная и механическая характеристики двигателя определяются равенствами (7) и (9), представленными в статье " ", при U = const и i в = const. При отсутствии дополнительного сопротивления в цепи якоря эти характеристики называются естественными .

Если щетки находятся на геометрической нейтрали, при увеличении I а поток Ф δ несколько уменьшится вследствие действия поперечной реакции якоря . В результате этого скорость n , согласно выражению (7), представленному в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", будет стремится возрасти. С другой стороны, падение напряжения R а × I а вызывает уменьшение скорости. Таким образом, возможны три вида скоростной характеристики, изображенные на рис. 1: 1 – при преобладании влияния R а × I а; 2 – при взаимной компенсации влияния R а × I а и уменьшения Ф δ ; 3 – при преобладании влияния уменьшения Ф δ .

Ввиду того что изменение Ф δ относительно мало, механические характеристики n = f (M ) двигателя параллельного возбуждения, определяемые равенством (9), представленным в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", при U = const и i в = const совпадают по виду с характеристиками n = f (I а) (рисунок 1). По этой же причине эти характеристики практически прямолинейны.

Характеристики вида 3 (рисунок 1) неприемлемы по условиям устойчивой работы (смотрите статью " "). Поэтому двигатели параллельного возбуждения изготавливаются со слегка падающими характеристиками вида 1 (рисунок 1). В современных высокоиспользованных машинах ввиду довольно сильного насыщения зубцов якоря влияние поперечной реакции якоря может быть настолько большим, что получить характеристику вида 1 (рисунок 1) невозможно. Тогда для получения такой характеристики на полюсах помещают слабую последовательную обмотку возбуждения согласного включения, намагничивающая сила которой составляет до 10% от намагничивающей силы параллельной обмотки возбуждения. При этом уменьшение Ф δ под воздействием поперечной реакции якоря частично или полностью компенсируется. Такую последовательную обмотку возбуждения называют стабилизирующей , а двигатель с такой обмоткой по-прежнему называется двигателем параллельного возбуждения.

Изменение скорости вращения Δn (рисунок 1) при переходе от холостого хода (I а = I а0) к номинальной нагрузке (I а = I ан) у двигателя параллельного возбуждения при работе на естественной характеристике мало и составляет 2 – 8% от n н. Такие слабо падающие характеристики называются жесткими. Двигатели параллельного возбуждения с жесткими характеристиками применяются в установках, в которых требуется, чтобы скорость вращения при изменении нагрузки сохранялась приблизительно постоянной (металлорежущие станки и прочее).

Рисунок 2. Механические и скоростные характеристики двигателя параллельного возбуждения при разных потоках возбуждения

Регулирование скорости посредством ослабления магнитного потока

Регулирование скорости посредством ослабления магнитного потока производится обычно с помощью реостата в цепи возбуждения R р.в (смотрите рисунок 1, б в статье " " и рисунок 1 в статье "Пуск двигателей постоянного тока "). При отсутствии добавочного сопротивления в цепи якоря (R ра = 0) и U = const характеристики n = f (I а) и n = f (M ), определяемые равенствами (7) и (9), представленными в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", для разных значений R р.в, i в или Ф δ имеют вид, показанный на рисунке 2. Все характеристики n = f (I а) сходятся на оси абсцисс (n = 0) в общей точке при весьма большом токе I а, который, согласно выражению (5), представленному в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", равен

I а = U / R а.

Однако механические характеристики n = f (M ) пересекают ось абсцисс в разных точках.

Нижняя характеристика на рисунке 2 соответствует номинальному потоку. Значения n при установившемся режиме работы соответствуют точкам пересечения рассматриваемых характеристик с кривой M ст = f (n ) для рабочей машины, соединенной с двигателем (жирная штриховая линия на рисунке 2).

Точка холостого хода двигателя (M = M 0 , I а = I а0) лежит несколько правее оси ординат на рисунке 2. С увеличением скорости вращения n вследствие увеличения механических потерь M 0 и I а0 также увеличиваются (тонкая штриховая линия на рисунке 2).

Если в этом режиме с помощью приложенного извне момента вращения начать увеличивать скорость вращения n , то E а [смотрите выражение (6) в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока "] будет увеличиваться, а I а и M будут, согласно равенствам (5) и (8), представленным в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", уменьшаться. При I а = 0 и M = 0 механические и магнитные потери двигателя покрываются за счет подводимой к валу механической мощности, а при дальнейшем увеличении скорости I а и M изменят знак и двигатель перейдет в генераторный режим работы (участки характеристик на рисунке 2 левее оси ординат).

Двигатели общего применения допускают по условиям коммутации регулирование скорости ослаблением поля в пределах 1: 2. Изготавливаются также двигатели с регулированием скорости таким способом в пределах до 1: 5 или даже 1: 8, но в этом случае для ограничения максимального напряжения между коллекторными пластинами необходимо увеличить воздушный зазор, регулировать поток по отдельным группам полюсов (смотрите статью "Регулирование скорости вращения и устойчивость работы двигателей постоянного тока ") или применить компенсационную обмотку. Стоимость двигателя при этом увеличивается.

Регулирование скорости сопротивлением в цепи якоря, искусственные механическая и скоростная характеристики

Если последовательно в цепь якоря включить добавочное сопротивление R ра (рисунок 3, а ), то вместо выражений (7) и (9), представленных в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока ", получим

(1)

(2)

Сопротивление R ра может быть регулируемым и должно быть рассчитано на длительную работу. Цепь возбуждения должна быть включена на напряжение сети.

Рисунок 3. Схема регулирования скорости вращения двигателя параллельного возбуждения с помощью сопротивления в цепи якоря (а ) и соответствующие механические и скоростные характеристики (б )

Характеристики n = f (M ) и n = f (I а) для различных значений R ра = const при U = const и i в = const изображены на рисунке 3, б (R ра1 < R ра2 < R ра3). Верхняя характеристика (R ра = 0) является естественной. Каждая из характеристик пересекает ось абсцисс (n = 0) в точке, для которой

Продолжения этих характеристик под осью абсцисс на рисунке 3 соответствуют торможению двигателя противовключением. В этом случае n < 0, э. д. с. E а имеет противоположный знак и складывается с напряжением сети U , вследствие чего

а момент двигателя M действует против направления вращения и является поэтому тормозящим.

Если в режиме холостого хода (I а = I а0) с помощью приложенного извне момента вращения начать увеличивать скорость вращения, то сначала достигается режим I а = 0, а затем I а изменит направление и машина перейдет в режим генератора (участки характеристик на рисунке 3, б слева от оси ординат).

Как видно из рисунка 3, б , при включении R ра характеристики становятся менее жесткими, а при больших значениях R ра – круто падающими, или мягкими.

Если кривая момента сопротивления M ст = f (n ) имеет вид, изображенный на рисунке 3, б жирной штриховой линией, то значения n при установившемся режиме работы для каждого значения R ра определяются точками пересечения соответствующих кривых. Чем больше R ра, тем меньше n и ниже коэффициент полезного действия (к. п. д.).

Регулирование скорости посредством изменения напряжения якоря

Регулирование скорости посредством изменения напряжения якоря может осуществляется с помощью агрегата "генератор – двигатель" (Г – Д), называемого также агрегатом Леонарда (рисунок 4). В этом случае первичный двигатель ПД (переменного тока, внутреннего сгорания и тому подобный) вращает с постоянной скоростью генератор постоянного тока Г . Якорь генератора непосредственно подключен к якорю двигателя постоянного тока Д , который служит приводом рабочей машины РМ . Обмотки возбуждения генератора ОВГ и двигателя ОВД питаются от независимого источника – сети постоянного тока (рисунок 4) или от возбудителей (небольших генераторов постоянного тока) на валу первичного двигателя ПД . Регулирование тока возбуждения генератора i в.г должно производиться практически от нуля (на рисунке 4 с помощью реостата, включенного по потенциометрической схеме). При необходимости реверсирования двигателя можно изменить полярность генератора (на рисунке 4 с помощью переключателя П ).

Рисунок 4. Схема агрегата "генератор – двигатель" для регулирования скорости двигателя независимого возбуждения

Пуск двигателя Д и регулирование его скорости осуществляют следующим образом. При максимальном i в.д и i в.г = 0 производят пуск первичного двигателя ПД . Затем плавно увеличивают i в.г, и при небольшом напряжении генератора U двигатель Д придет во вращение. Регулируя, далее, U в пределах до U = U н, можно получить любые скорости вращения двигателя до n = n н. Дальнейшее увеличение n возможно путем уменьшения i в.д. Для реверсирования двигателя уменьшают i в.г до нуля, переключают ОВГ и снова увеличивают i в.г от значения i в.г = 0.

Когда рабочая машина создает резко пульсирующую нагрузку (например, некоторые прокатные станы) и нежелательно, чтобы пики нагрузки полностью передавались первичному двигателю или в сеть переменного тока, двигатель Д можно снабдить маховиком (агрегат Г – Д – М, или агрегат Леонарда – Ильгнера). В этом случае при понижении n во время пика нагрузки часть этой нагрузки покрывается за счет кинетической энергии маховика. Эффективность действия маховика будет больше при более мягкой характеристике двигателя ПД или Д .

В последнее время все чаще двигатель ПД и генератор Г заменяют полупроводниковым выпрямителем с регулируемым напряжением. В этом случае рассматриваемый агрегат называют также вентильным (тиристорным ) приводом.

Рассмотренные агрегаты используются при необходимости регулирования скорости вращения двигателя с высоким к. п. д. в широких пределах – до 1: 100 и более (крупные металлорежущие станки, прокатные станы и так далее).

Отметим, что изменение U с целью регулирования n по схеме рисунка 1, б , показанного в статье "Общие сведения о генераторах постоянного тока " и рисунка 3, а , не дает желаемых результатов, так как одновременно с изменением напряжения цепи якоря изменяется пропорционально U также ток возбуждения. Так как регулирование U можно производить только от значения U = U н вниз, то вскоре магнитная цепь окажется насыщенной, вследствие чего U и i в будут изменяться пропорционально друг другу. Согласно равенству (7), представленному в статье "Общие сведения о двигателях постоянного тока "), n при этом существенным образом не меняется.

В последнее время все больше распространяется так называемое импульсное регулирование двигателей постоянного тока. При этом цепь якоря двигателя питается от источника постоянного тока с постоянным напряжением через тиристоры, которые периодически, с частотой 1 – 3 кГц включаются и отключаются. Чтобы сгладить при этом кривую тока якоря, на его зажимах подключаются конденсаторы. Напряжение на зажимах якоря в этом случае практически постоянно и пропорционально отношению времени включения тиристоров ко времени продолжительности всего цикла. Таким образом, импульсный метод позволяет регулировать скорость вращения двигателя при его питании от источника с постоянным напряжением в широких пределах без реостата в цепи якоря и практически без дополнительных потерь. Таким же образом, без пускового реостата и без дополнительных потерь, может производиться пуск двигателя.

Импульсный способ регулирования в экономическом отношении весьма выгоден для управления двигателями, работающими в режимах переменной скорости вращения с частыми пусками, например на электрифицированном транспорте.

Рисунок 5. Рабочие характеристики двигателя параллельного возбуждения P н = 10 кВт, U н = 200 В, n н = 950 об/мин

Рабочие характеристики

Рабочие характеристики представляют собой зависимости потребляемой мощности P 1 , потребляемого тока I , скорости n , момента M , и к. п. д. η от полезной мощности P 2 при U = const и неизменных положениях регулирующих реостатов. Рабочие характеристики двигателя параллельного возбуждения малой мощности при отсутствии добавочного сопротивления в цепи якоря представлены на рисунке 5.

Одновременно с увеличением мощности на валу P 2 растет и момент на валу M . Поскольку с увеличением P 2 и M скорость n несколько уменьшается, то M ∼ P 2 / n растет несколько быстрее P 2 . Увеличение P 2 и M , естественно, сопровождается увеличением тока двигателя I . Пропорционально I растет также потребляемая из сети мощность P 1 . При холостом ходе (P 2 = 0) к. п. д. η = 0, затем с увеличением P 2 сначала η быстро растет, но при больших нагрузках в связи с большим ростом потерь в цепи якоря η снова начинает уменьшаться.

Доброго времени суток, дорогие читатели! В этой статье я расскажу о том, что такое возбуждение в двигателях постоянного тока и «с чем его едят».

Наверное, каждый из нас в детстве имел игрушки с электроприводом. Те же, кто в те годы отличался любопытностью, не упустили возможность разобрать эти игрушки, дабы посмотреть, а что там внутри.

Заглянув внутрь такой игрушки, нами был найден маленький электромоторчик постоянного тока. Естественно, тогда мы и не задумывались над тем, почему он работает. Некоторые из нас, найдя в игрушке моторчик, решались разобрать и его. Вот эти-то любопытные товарищи, разобрав моторчик, находили там постоянный магнит (иногда не один), щетки и якорь с коллектором.

Так вот, как раз постоянный магнит и является простейшей системой возбуждения для моторов постоянного тока . Ведь якорь моторчика вращается только тогда, когда вокруг него присутствует постоянное магнитное поле, которое и создается при помощи постоянного магнита.

Двигатели постоянного тока промышленных масштабов, в качестве возбудителей, используют специальные обмотки, именуемые обмотками возбуждения.

Подключение же этих обмоток может быть самым различным. Они могут включаться параллельно якорю, последовательно с ним, смешано и, даже, независимо от них.

Кстати, моторчики, имеющие в качестве возбудителя постоянный магнит, считаются устройствами с независимым возбуждением.

Возбуждающая обмотка состоит из значительно большего числа витков, нежели якорная. В связи с этим, ток якорной обмотки в десятки раз превосходит ток возбуждающей. Скорость вращения такого движка может меняться в зависимости от нагрузки и магнитного потока. Благодаря свойствам подключения, движки параллельного включения довольно мало подвержены перемене частоты вращения.

Теперь рассмотрим вариант раздельного подключения рабочей и возбуждающей обмоток. Такой движок именуется мотором с независимым возбуждением. Скорость такого движка может регулироваться при помощи смены сопротивления якорной цепи или магнитного потока.

Тут есть небольшой нюансик: не стоит слишком уменьшать ток возбуждения при таком включении двигателя, поскольку это чревато очень большим подъемом якорного тока. Тем же самым опасен и обрыв цепи возбуждения этих двигателей. Кроме того, если нагрузка мотора с таким включением мала, либо при его включении на холостой ход может произойти такой сильный его разгон, что возникнет опасность для движка.

Как я уже говорил, разновидностью ДПТ независимого возбуждения считаются устройства, имеющие в качестве возбудителя постоянные магниты. Скажу несколько слов и о них.

Поскольку ДПТ и машины синхронного типа могут использовать вместо возбудителей постоянные магниты, то подобный вариант считается достаточно привлекательным. И вот почему:

• у такого устройства снижено потребления тока за счет уменьшения числа обмоток, в результате чего такие показатели подобных машин, как КПД, оказываются выше;
• с использованием вместо возбудителя постоянных магнитов упрощается конструкция возбуждающих цепей движка, что повышает его надежность, ведь постоянный магнит не требует питания, следовательно, у такого мотора нет токосъемного узла на роторе.

Теперь о последовательном включении обмоток (двигатели с последовательным возбуждением).

В этом варианте подключения, якорный ток будет являться и возбуждающим. Это становится причиной изменения магнитного потока в сильной зависимости от нагрузки. Это является причиной большой нежелательности пуска их на холостом ходу и при маленькой нагрузке.

Применение же такое включение нашло там, где требуется значительный момент пуска, либо возможность выдерживания кратковременных перегрузок. В связи с этим, их применяют, как средства тяги для трамваев, троллейбусов, электровозов, метро и подъемных кранов. Кроме того, их применяют, как средство запуска для ДВС (в качестве стартеров).

Последним вариантом включения движков постоянного тока считается их смешанное включение. Каждый из полюсов этих моторов оснащен парой обмоток, одна из которых параллельная, а другая – последовательная. Подключать их возможно двумя способами:

• согласный метод (в этом случае токи складываются);
• встречный вариант (вычитание токов).

Соответственно, в зависимости от варианта подключения (от чего меняется и соотношение магнитных потоков), такой мотор может оказаться приближен либо к устройству, имеющему последовательное возбуждение, либо к движку с параллельным возбудом.

В большинстве случаев, основной обмоткой у них считают последовательную обмотку, а параллельную – вспомогательной. За счет параллельной обмотки у таких моторов скорость при небольших нагрузках практически не растет.

Если требуется получение значительного момента при пуске и возможность регулирования скорости на переменных нагрузках, используется подключение согласного типа. Встречное же подключение используется при необходимости получения постоянной скорости при изменяющейся нагрузке.

Если возникает необходимость реверсирования ДПТ (смены направления его вращения), то меняют направление тока в одной из его рабочих обмоток.

Методом смены полярности подключения клемм двигателя возможно поменять направление только тех моторов, которые включены по независимой схеме, либо движков с постоянным магнитом в качестве возбудителя. Во всех иных устройствах необходима смена направления тока в одной из рабочих обмоток.

Кроме того, движки постоянного тока нельзя включать методом подключения полного напряжения. Это связано с тем, что величина их пускового тока примерно в 2 десятка раз выше номинального (это зависит от размеров и скорости двигателя). Токи пуска движков больших размеров могут и в полсотни раз превосходить их номинальный рабочий ток.

Токи больших величин способны вызвать эффект кругового искрения коллектора, в результате чего коллектор разрушается.

Чтобы выполнить включение ДПТ, используется методика , либо применение пусковых реостатов. Включение прямого типа возможно лишь на небольших напряжениях и для маленьких движков, имеющих большое сопротивление якорной обмотки.

Пишите комментарии, дополнения к статье, может я что-то пропустил. Загляните на , буду рад, если вы найдете на моем сайте еще что-нибудь полезное. Всего доброго.

Лекция №9

Двигатели постоянного тока

По габаритам;

По способу защиты;

По мощности;

По скорости вращения;

Схемы возбуждения электродвигателей постоянного тока показаны на рисунке.

Рис. 9.1 Схемы возбуждения электродвигателей постоянного тока: а - независимое, б - параллельное, в - последовательное, г - смешанное

Основные формулы и уравнения

Если принять скорость вращения якоря в системе СИ (рад/с), то формула 4.13 из лекции №4 примет вид

М - электромагнитный момент машины постоянного тока, Н/м (ньютон делить на метр)

k - постоянная для данной машины величина;

Ф - основной маг­нитный поток, Вб (вебер)

р - число пар полюсов обмотки якоря

N - число пазовых сторон обмотки якоря

а - число пар параллельных ветвей обмотки якоря

I а или просто I - ток якоря, А;

Для двигателя, работающего с постоянной час­тотой вращения, можно получить уравнение на­пряжений (Э.Д.С.) для цепи якоря генератора:

Это уравнение получают на основании второго закона Кирхгофа

. (9.3)

Сумма сопротивлений всех участков цепи якоря:

Обмотки якоря r а или, r я

Обмотки добавочных полюсов r д,

Компенсационной обмотки r ко,

Последовательной обмотки возбуждения r с

Переходного щеточного контакта r щ.

При отсутствии в машине каких-либо из указан­ных обмоток в (9.4) не входят соответствующие слагаемые.

Из (9.3) следует, что подведенное к двигателю напряжение уравновешивается противо-ЭДС обмот­ки якоря и падением напряжения в цепи якоря.

На основании (9.3) получим формулу тока якоря

. (9.5)

Умножив обе части уравнения (9.3) на ток яко­ря I а, получим уравнение мощности для цепи якоря:

, (9.6)

, (9.7)

(9.8)

ω- угловая частота вращения якоря;

Электромаг­нитная мощность двигателя.

Следовательно, выражение представляет собой электромаг­нитную мощность двигателя.

Рабочие характеристики

Рабочие характеристики двигателя представлены на рис 9.2б

Частота вращения двигателя с ростом нагрузки Р 2 уменьшается, а график ω= f(Р 2) приобретает падающий вид . Чтобы обеспечить характеристике частоты вращения форму падающей кривой, в некоторых двигателях параллельного возбу­ждения применяют легкую (с небольшим числом витков) последо­вательную обмотку возбуждения, которую называют стаби­лизирующей обмоткой. При включении этой обмотки согласованно с параллельной обмоткой возбуждения ее МДС компенсирует размагничивающее действие реакции якоря так, что поток Ф во всем диапазоне нагрузок остается практически неизменным.

Изменение частоты вращения двигателя при переходе от но­минальной нагрузки к х.х., выраженное в процентах, называют номинальным изменением частоты вращения:

, (9.12)

∆ω ном = 100

где 0 (n 0) - частота вращения двигателя в режиме х.х.

Обычно для двигателей параллельного возбуждения ∆ω ном =2-8%, поэтому характеристику частоты вращения двигателя па­раллельного возбуждения называют жесткой .

Зависимость полезного момента от нагрузки установлена формулой . При график имел бы вид прямой. Однако с увеличением нагрузки частота вращения двига­теля снижается, и поэтому зависимость криволинейна .

График зависимости М эл =f(Р 2) проходит параллельно кривой М 2 =f(Р 2) .

Пуск двигателя

Ток якоря двигателя определяется формулой

В начальный момент пуска якорь двигателя неподвижен и в его обмотке не индуцируется ЭДС Е а =0. Поэтому при непо­средственном подключении двигателя к сети в обмотке его якоря возникает пусковой ток

I п = (9.13)

Обычно сопротивление невелико, поэтому значение пус­кового тока достигает недопустимо больших значений, в 10-20 раз превышающих номинальный ток двигателя.

Такой большой пусковой ток весьма опасен для двигателя. Во-первых, он может вызвать в машине круговой огонь, а во-вторых, при таком токе в двигателе развивается чрезмерно большой пус­ковой момент, который оказывает ударное действие на вращаю­щиеся части двигателя и может механически их разрушить. И на­конец, этот ток вызывает резкое падение напряжения в сети, что неблагоприятно отражается на работе других потребителей, вклю­ченных в эту сеть. Поэтому пуск двигателя непосредственным подключением в сеть (безреостатный пуск) обычно применяют для двигателей мощностью не более 0,7-1,0 кВт. В этих двигате­лях благодаря повышенному сопротивлению обмотки якоря и не­большим вращающимся массам значение пускового тока лишь в 3-5 раз превышает номинальный, что не представляет опасности для двигателя.

Что же касается двигателей большей мощности, то при их пуске для ограничения пускового тока используют пуско­вые реостаты (ПР), включаемые последовательно в цепь якоря (реостатный пуск).

Перед пуском двигателя необходимо реостат ввести, т.е поставить наибольшее сопротивление. Затем включают рубиль­ник и постепенно уменьшают сопротивление реостата.

Рис. 9.4. Схема включения пускового реостата

Пусковой ток якоря при полном сопротивлении пускового реостата

. (9.14)

Сопротивление пус­кового реостата выбирают обычно таким, чтобы наибольший пус­ковой ток превышал номинальный не более чем в 2-3 раза.

Для пуска двигателей большей мощности применять пусковые реостаты нецелесообразно, так как это вызвало бы значительные потери энергии. Кроме того, пусковые реостаты были бы громозд­кими. Поэтому в двигателях большой мощности применяют без­реостатный пуск двигателя путем понижения напряжения.

Приме­рами этого являются пуск тяговых двигателей электровоза переключением их с последовательного соединения при пуске на параллельное при нормальной работе или пуск двига­теля в схеме «генератор-двигатель».

Реверсирование двигателей

Реверсирование двигателя - это изменение направления вращения якоря.

Реверсирование двигателя осуществляется либо изменением полярности напряжения на обмотке якоря, либо на обмотке возбуждения. В обоих случаях изменяется знак электромагнитного момента двигателя М эм и соответственно направление вращения якоря.

КПД машин постоянного тока

η = P 2 /P 1 , (9.20)

Р 2 - полезная мощность машины (у генератора - это электрическая мощность, отдаваемая приемнику, у двигателя - механическая мощность на валу);

Р 1 - подводимая к машине мощность (у генератора - это механическая мощность, сообщаемая ему первичным двигателем, у двигателя - мощность, потребляемая им от источника постоянного тока; если генератор имеет независимое возбуждение, то P 1 включает в себя также мощность, необходимую для питания цепи обмотки возбуждения).

Очевидно, мощность Р 1 может быть выражена следующим образом: Р 1 = Р 2 + ΣΔP,

где ΔP - сумма перечисленных выше потерь мощности.

С учетом последнею выражения

η = P 2 /(P 2 + ΣΔP). (9.21)

Когда машина работает вхолостую, полезная мощность Р 2 равна нулю и η = 0. Характер изменения КПД при увеличении полезной мощности зависит от значения и характера изменения потерь мощности. Примерный график зависимости η=f(Р 2) приведен на рис. 9.5.

При увеличении полезной мощности КПД сначала возрастает при некотором значении Р 2 , достигает наибольшего значения, а затем уменьшается. Последнее объясняется значительным увеличением переменных потерь, пропорциональных квадрату тока. Машины рассчитывают обычно таким образом, чтобы наибольшее значение КПД находилось в области, близкой к номинальной мощности Р 2ном. Номинальное значение КПД машин мощностью от 1 до 100 кВт лежит примерно в пределах от 0,74 до 0,92 соответственно.

Литература: Кацман М.М. Электрические машины. Глава 29.

§29.1, 29.2, 29.3, 29.4, 29.5, 29.6, 29.8, 29.10

Лекция №9

Двигатели постоянного тока

Способы возбуждения электродвигателей постоянного тока

Двигатели постоянного тока используются в промышленности в случае необходимости регулирования скорости ЭП (электропривода). В основном применяются системы УВ-Д (управляемый выпрямитель-двигатель), которые обеспечивают регулирование скорости с высоким качеством.

По способу возбуждения электрические двигатели постоянного тока делят на четыре группы:

1. С независимым возбуждением, у которых обмотка возбуждения НОВ питается от постороннего источника постоянного тока.

2. С параллельным возбуждением (шунтовые), у которых обмотка возбуждения ШОВ включается параллельно источнику питания обмотки якоря.

3. С последовательным возбуждением (сериесные), у которых обмотка возбуждения СОВ включена последовательно с якорной обмоткой.

4. Двигатели со смешанным возбуждением (компаундные), у которых имеется последовательная СОВ и параллельная ШОВ обмотки возбуждения.

Двигатели с независимым возбуждением и параллельным возбуждением обладают одинаковыми свойствами, поэтому эти группы объединяют и относят к одной группе: двигатели с независимым возбуждением предназначенные для работы в регулируемых ЭП.

Промышленность выпускает двигатели постоянного тока основной общепромышленной серии 2П и 4П, они подразделяются по следующим признакам:

По габаритам;

По способу защиты;

По мощности;

По скорости вращения;

По напряжению на якоре (110В, 220В, 340В, 440В);

На напряжению обмотке возбуждения (110 и 220 В);

Если напряжение на якоре и на обмотке возбуждения (ОВ) совпадают, то обмотка возбуждения подключается параллельно обмотке якоря.

Кроме серий 2П и 4П выпускаются и другие специализированные серии.