Оптимальная линейная фильтрация непрерывных сигналов. Линейная фильтрация

При проектировании фильтров или, в более общем случае, систем для обработки сигналов, линейные системы играют существенную роль. Когда производится проектирование линейной части системы обработки сигналов, в большинстве случаев можно обосновать принятые решения и вести проектирование с помощью формальных расчетных процедур. С другой стороны, при расчете нелинейной части чаще всего приходится руководствоваться интуицией и эмпирическими суждениями.

Понятие обобщенной суперпозиции дает возможность, по крайней мере в некоторых случаях, применить к классу задач нелинейной фильтрации формальный метод, который является расширением формального подхода, лежащего в основе линейной фильтрации.

Задача линейной фильтрации как это констатируется, связана с применением линейной системы для извлечения сигнала из суммы сигнала и шума. С точки зрения векторного пространства задачей линейной фильтрации можно считать определение такого линейного преобразования в векторном пространстве, которое сводит длину или норму вектора ошибки к минимуму. Норма для данного векторного пространства определяет используемый критерий ошибки. Во многих случаях, когда сигнал суммируется с шумом, линейная система не является лучшей системой. Рассмотрим, например, квантованный сигнал с уровнями квантования 1, 2, 3,..., и допустим, что к нему добавились шумы с пиковыми значениями ±0,25. Ясно, что сигнал может быть точно восстановлен с помощью квантизатора, хотя его нельзя формально обосновать как оптимальный нелинейный фильтр. В менее очевидных случаях могут существовать одновременно формальные обоснования как для "лучшего" линейного фильтра, так и для «лучшего» нелинейного фильтра из некоторого класса, но при этом не всегда может быть проведено полное и точное сравнение этих фильтров, хотя бы из-за того, что они часто используют различную информацию о входных сигналах.

Обобщение понятия линейной фильтрации может производиться при фильтрации сигнала и шума, которые комбинируются неаддитивно, лишь при условии, что правило их комбинирования удовлетворяет алгебраическим постулатам векторного сложения. Например, если нужно восстановить сигнал s(t) после такого воздействия шума n(t), что принятым сигналом является s(t)On(t), то необходимо связать s(t) и n(t) с векторами в векторном пространстве, а операцию О с векторным сложением. Тогда класс линейных преобразований в этом векторном пространстве окажется связанным с классом гомоморфных систем, для которых операция О является входной и выходной операцией. Таким образом, при обобщении проблемы линейной фильтрации получают задачу гомоморфной фильтрации. Здесь класс фильтров, из которого должен быть выбран оптимальный, будет классом таких гомоморфных систем, входные и выходные операции которых производятся по правилу, согласно которому объединены выделяемые сигналы.

Если x1 и х2 обозначают два сигнала, которые объединяются с помощью операции О, то каноническая форма для класса гомоморфных фильтров, которые можно было бы использовать для восстановления x1 или х2, имеет вид, приведенный на рис. 1.

Рис. 1.

Система и обратная ей являются характеристическими для этого класса, и, следовательно, при выборе системы из класса необходимо определить только линейную систему L. Кроме того, мы видим что, поскольку система гомоморфна с входной операцией O и выходной операцией +, то входным сигналом линейной системы L является. Так как выходной сигнал линейного фильтра затем преобразуется с помощью обращения и так как сигнал должен быть восстановлен из комбинации, то требуемым выходным сигналом линейной системы является. Следовательно, задача сводится к линейной фильтрации, и может полностью применяться формальный аппарат.

Следует подчеркнуть, что подход к нелинейной фильтрации, основанный на обобщенной суперпозиции, является лишь одним из многих возможных подходов. Основное его ценное качество состоит в том, что так же, как и при линейной фильтрации просуммированных сигналов, он удобен с точки зрения анализа и фактически сводится к проблеме линейной фильтрации. Хотя на практике при решении большинства задач линейной фильтрации для оптимального выбора фильтра обычно не выполняются формальные расчеты, критерием ошибки, получившим самое широкое распространение, является среднеквадратическая ошибка (или интегральная квадратическая ошибка для апериодических сигналов). При рассмотрении критерия ошибки для гомоморфных фильтров естественно было бы выбрать такой тип критерия, который позволяет выбирать линейный фильтр на основе среднеквадратической ошибки. Этот выбор может быть обоснован формально, но в любом случае естественно считать, что система оптимизируется, если оптимизируется линейный фильтр.

К двум типам задач, где оказалась полезной идея гомоморфной фильтрации, относятся фильтрация перемноженных сигналов и фильтрация свернутых сигналов.

Применение гомоморфной фильтрации

Рассмотрим некоторые специфические случаи применения гомоморфной фильтрации и фильтрации перемноженных и свернутых сигналов. Ограничимся рассмотрением только двух примеров применения, а именно сжатия динамического диапазона и усиления контрастности изображений.

Гомоморфная обработка изображений

Как показал Стокхэм, образование изображения является преимущественно мультипликативным процессом. В естественных условиях наблюдаемая яркость, запечатленная на сетчатке глаза или на фотографической пленке, может рассматриваться как произведение двух составляющих: функции освещенности и функции отражательной способности. Функция освещенности описывает освещенность спектра в различных точках, и ее можно считать независимой от предметов, расположенных на этой сцене. Функция отражательной способности характеризует детали сцены и может считаться независимой от освещенности. Отрицательные значения яркости по физическим причинам исключаются, а нулевая яркость исключается по практическим соображениям.

При обработке изображения часто возникают две задачи -- сжатие динамического диапазона и усиление контрастности. Первая из их вызвана тем, что часто встречаются сцены с чрезмерными отношениями уровня светлого к уровню темного, что приводит к слишком большому динамическому диапазону по сравнению с возможностями имеющегося приемника, например фотографической пленки. Решение состоит в записи модифицированной интенсивности, связанной с в следующем виде:

Имея перед собой эту задачу, можно говорить об обработке изображения с помощью гомоморфного фильтра, т.е. о раздельной обработке составляющих освещенности и отражательной способности. Такое устройство обработки изображения могло бы иметь вид, показанный на рис. 2. Функция освещенности обычно изменяется медленно, в то время как отражательная способность часто (но не всегда) изменяется быстро, так как предметы изменяют структуру и размеры и почти всегда имеют хорошо очерненные края. Если бы и имели частотные составляющие, занимающие отдельные области пространственных частот, то их можно было бы обработать по отдельности в соответствии с рис. 2.

Рис. 2.

Рис. 3.

При выполнении этой обработки частотная характеристика фильтра выбиралась так, чтобы она имела общий вид, как на рис. 3, и была изотропной с нулевой фазой. Линейная обработка проводилась с применением методов высокоскоростной свертки, выполняемых в двух измерениях. На рис. 4 приведены два примера изображений, обработанных таким образом для одновременного изменения динамического диапазона и усиления контрастности.

Рис. 4. Изображения а) и в) после обработки с целью одновременного изменения (растяжения или сжатия) динамического диапазона и усиления контрастности. Результаты обработки представлены на рис. 4 б) и г) соответственно.

Частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом, называют оптимальным линейным фильтром.

Проблема оптимальной обработки суммы известного по форме сигнала и шума возникает, например, в радиолокации. Здесь принятый полезный сигнал есть точная масштабная копия переданного сигнала , т. е.

причем постоянное число .

Амплитуда принятого сигнала может оказаться весьма малой и сопоставимой с эффективным напряжением шума, действующего на входе приемника.

Приемное устройство радиолокатора выполняет следующие операции:

а) обнаруживает сигнал, т. е. устанавливает сам факт присутствия отраженного сигнала в принятом колебании;

б) измеряет время задержки , пропорциональное расстоянию до цели.

При работе радиолокационной системы не требуется сохранять форму полезного сигнала. Более того, в процессе обработки желательно трансформировать полезный сигнал таким образом, чтобы подача его на вход фильтра приводила в некоторый момент времени к значительному «всплеску» мгновенных значений выходного колебания. Шумовой сигнал, будучи, как правило, гауссовым, характеризуется малой вероятностью больших выбросов. Поэтому если выходной сигнал в некоторые моменты времени существенно превосходит эффективное напряжение шума, то это с большой вероятностью свидетельствует о присутствии полезного сигнала на входе приемника.

Согласованный линейный фильтр.

Пусть системой, осуществляющей обработку суммы сигнала и шума, является стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой . Детерминированный полезный сигнал создает на выходе фильтра отклик

Зафиксируем некоторый, пока произвольный момент времени и постараемся так выбрать функцию чтобы величина достигала максимально возможного значения. Если такая функция действительно существует, то отвечающий ей линейный фильтр называют фильтром, согласованным с заданным входным сигналом или согласованным фильтром.

Итак, пусть

(16.15)

Отклик на выходе фильтра, подлежащий максимизации по модулю. На основании неравенства Коши - Буняковского

(16.16)

Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу:

где к - произвольный коэффициент.

Выполнив формальную замену переменной отсюда получаем

(16.18)

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, которая, однако, располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени [об этом говорит отрицательный знак при t в формуле (16.18)]. Помимо этого импульсная характеристика согласованного фильтра смещена относительно сигнала ) на отрезок

Рис. 16.1 иллюстрирует принцип построения функции Лсогп применительно к некоторому импульсному сигналу длительностью возникающему при

Рис. 16.1. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

Анализируя построение, приведенное на рис. 16.1, можно сформулировать необходимое (но не достаточное) условие физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток времени между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. В противном случае импульсная характеристика системы была бы отличной от нуля при t Смысл этого условия таков: для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

Согласованный фильтр как коррелятор.

Пусть - некоторый входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие

(16.19)

Легко заметить, что последний интеграл представляет собой взаимокорреляционную функцию сигналов (см. гл. 3), т. е.

В момент времени мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов:

(16.21)

Рис. 16.2. Построение сигнала да выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом: а - сигнал на входе; б - его автокорреляционная функция; в - сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в мойент окончания импульса на входе

Предположим теперь, что , т. е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. формулы (16.20) следует, что в этом случае

(16.22)

т. е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок . В качестве примера на рис. 16.2 изображено построение сигнала на выходе конкретного согласованного фильтра.

Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра.

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (16.18)

Введя новую переменную интегрирования отсюда получаем

(16.24)

Последнюю формулу можно записать следующим образом:

(16.25)

Итак, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выделения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности к в формуле (16.25) определяет уровень усиления, вносимого, фильтром.

Значение момента времени входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину

Физическая интерпретация частотного коэффициента передачи согласованного фильтра.

Фильтр, выделяющий известный сигнал из смеси с шумом, должен с малым ослаблением пропускать гармонические колебания, частоты которых отвечают лишь тем участкам спектра, где спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. При этом, естественно, модуль частотного коэффициента передачи должен быть пропорционален модулю спектральной плотности сигнала, т. е. тому вкладу в выходной сигнал, который вносится каждым малым участком на оси частот. Если спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (например, сигнал является периодическим), то данный принцип приводит к фильтрам с гребенчатой формой АЧХ, широко применяемым в радиотехнике.

Согласованный фильтр действует подобно гребенчатому фильтру. Однако здесь удается добиться еще большей эффективности обнаружения сигнала путем использования свойств фазового спектра. Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра [см. формулу (16.22)] достигает максимума

(16.26)

Энергия выделяемого сигнала) в момент времени когда все элементарные составляющие спектра входного колебания складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.

Таким образом, эффект согласованной фильтрации связан с коррекцией фазовых сдвигов между отдельными спектральными составляющими выделяемого сигнала.

Прохождение суммы сигнала и шума через согласованный фильтр.

Рассмотрим случай, когда на входе фильтра, согласованного с некоторым известным сигналом , присутствует сумма этого сигнала и стационарного белого гауссова шума характеризуемого двусторонней плотностью спектра мощности Согласованный фильтр, будучи линейной стационарной системой, обрабатывает сигнал и шум независимо друг от друга.

Поскольку числитель в формуле (16.27) представляет собой предельно достижимый отклик, ясно, что согласованная фильтрация обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе системы.

По этой причине согласованный фильтр является оптимальным фильтром, выделяющим известный сигнал из смеси с белым гауссовым шумом при максимально возможном отношении сигнал/шум.

Пример 16.3. Полезный сигнал представляет собой прямоугольный радишмпульс с некоторой амплитудой и длительностью Белый шум на входе фильтра характеризуется спектральной плотностью мощности Определить минимальное значение при котором возможно надежное обнаружение этого сигнала, если приемник уверенно индицирует присутствие сигнала при отношении сигнал/шум 2 дБ.

Требуемую величину бвых найдем из условия бвых откуда . Так как энергия прямоугольного радиоимпульса то

Замечательная особенность согласованного фильтра состоит в том, что возможность обнаружения сигнала оказывается зависящей от его энергии, а не от формы. В частности, всегда можно добиться надежного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличивать длительность импульса. Однако при этом, естественно, будет снижаться скорость передачи информации по радиоканалу.

Оптимальная линейная фильтрация непрерывных сигналов

Рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации стационарных процессов – фильтр Колмогорова-Винера или оптимальный линейный фильтр (ОЛФ).

Пусть на входе линейного фильтра с передаточной функцией H (j w) действует сумма полезного сигнала s (t ) и помехи n (t ). Отклик фильтра на это действие – восстановленный полезный сигнал (оценка сигнала s (t )). Будем считать, что s (t ) и n (t ) – стационарные взаимнонекоррелированные процессы с известными спектральными плотностями мощности (СПМ) G s (f ) и G n (f ). Нужно найти такую функцию H (j w), которая обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала

. (22.1)

Иначе говоря, критерием оптимальности фильтра является минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала. В такой постановке задача была решена А.Н. Колмогоровым (1939 г.) для дискретных случайных последовательностей и Н. Винером (1941 г.) для непрерывных процессов. Поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называется фильтром Колмогорова-Винера.

Действующие на входе фильтра сигнал s (t ) и помеха n (t ) проходят через фильтр независимо и создают на выходе фильтра соответственно фильтрованные сигнал s вых (t ) и помеху n вых (t ). С учетом этого ошибка восстановления запишется

Слагаемое Ds (t ) отражает составляющую ошибки, обусловленную линейными искажениями полезного сигнала фильтром. Средний квадрат ошибки запишется

. (22.3)

Величина линейных искажений полезного сигнала фильтром зависит от степени отличия АЧХ фильтра от постоянной величины и степени отличия ФЧХ от линейной зависимости. Средний квадрат шума на выходе фильтра зависит только от АЧХ фильтра. Для того чтобы линейные искажения полезного сигнала были минимальными, ФЧХ фильтра должна быть линейной

j(w) = –wt 0 , (22.4)

где t 0 – задержка сигнала в фильтре. Ясно, что с учетом задержки соотношение (22.1) имеет вид . Это уточнение не влияет на критерий оптимальности, поскольку в системах связи и вещания ожидаемая задержка сигнала в фильтре несущественная.

Перейдем к определению АЧХ фильтра. Для этого определим спектральные плотности мощностей левой и правой частей соотношения (22.2)

Выразим СПМ помехи на выходе фильтра через СПМ помехи n (t ) и искомую АЧХ фильтра:

. (22.6)

По определению СГП ергодичного процесса

, (22.7)

где S D s (w) – амплитудный спектр ошибки за счет линейных искажений Ds (t );

Т – длительность реализации Ds (t ).

Поскольку амплитудный спектр сигнала s в ых (t ) определяется как S (w)×H (w), где S (w) – амплитудный спектр сигнала s (t ), то

Переходя от амплитудных спектров к СПМ, получим

После подстановки соотношений (22.6) и (22.9) в (22.5) получим

Средний квадрат ошибки восстановления (средняя мощность) вычисляется

. (22.11)

Поскольку функция G e (w) ³ 0 на всех частотах, то, обеспечив min G e (w) на всех частотах, достигнем минимума величины . Искомую АЧХ H (w) определим из условия экстремума функции G e (w):

После решения уравнения (22.13) получим выражение для АЧХ фильтра

. (22.14)

На рис. 22.1 иллюстрируется АЧХ ОЛФ, определенная соотношением (22.14).

Из рис. 22.1 видно особенности АЧХ ОЛФ:

На частотах, где G n (f ) = 0, значение АЧХ H (f ) = 1 – в этих областях частот фильтр не должен вносить искажений;

На частотах, где G s (f ) = 0, значение АЧХ H (f ) = 0 – в этих областях частот фильтр должен полностью ослаблять составляющие помехи;

На частотах, на которых G s (f ) = G n (f ), АЧХ H (f ) = 0,5;

На других частотах значения АЧХ определяются вычислениями по формуле (22.14).

Подставим выражение (22.14) в соотношение (22.10) для определения СПМ ошибки:

(22.15)

При подстановке соотношения (22.15) в выражение (22.11) можно вычислить средний квадрат ошибки восстановления сигнала .

Из (22.15) видно, что ошибка равна нулю только в том случае, когда G s (f )G n (f ) = 0, т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются (хотя бы один с сомножителей равен нулю).

Перепишем соотношение (22.14) в виде

. (22.16)

Из последнего соотношения видно, что коэффициент передачи оптимального фильтра на каждой из частот тем меньше, чем больше отношение G n (f )/G s (f ) на этой частоте.

Следует отметить, что оптимальные линейные фильтры, обеспечивающие минимум ошибки , существенным образом отличаются от согласованных фильтров, рассмотренных ранее. Если основное назначение рассмотренных здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении формы сигнала, то задача согласованных фильтров состоит в формировании максимального отношения сигнал/шум в момент отсчета.

При использовании ОЛФ в аналоговых системах связи и вещания выявляется такая особенность. Имеет место высокое отношение спектральных плотностей сигнала и шума: G s (f )/G n (f ) >> 1. Выражение для АЧХ ОЛФ (22.14) в случае полосовых сигналов переходит в следующее

(22.17)

где f min и f max – граничные частоты спектра сигнала. В случае НЧ сигналов

(22.18)

где F max – максимальная частота спектра сигнала.

Таким образом, оптимальные линейные фильтры в системах связи и вещания имеют П-образную АЧХ.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте критерий оптимальности ОЛФ.

2. При каком условии ошибку восстановления сигнала можно свести к нулю?

3. Объясните отличие ОЛФ и согласованного фильтра с точки зрения ослабления помех.

23. Сравнение помехоустойчивости оптимальных
демодуляторов сигналов аналоговых видов модуляции

Мы выяснили, что в условиях слабых помех демодулятор должен содержать: фильтр додетекторной обработки, детектор, фильтр последетекторной обработки. Для того чтобы демодулятор был оптимальным, фильтры должны быть оптимальными. В условиях слабой помехи АЧХ фильтров должны быть П-образными:

– фильтр додетекторной обработки – полосовой фильтр, граничные частоты полосы пропускания которого совпадают с граничными частотами спектра модулированного сигнала;

– фильтр последетекторной обработки – ФНЧ, частота среза которого совпадает с максимальной частотой спектра первичного сигнала F max .

Помехоустойчивость определим в условиях действия АБГШ. Анализ помехоустойчивости состоит в определении выигрыша демодулятора в отношении сигнал/шум

Для определения выигрыша нужно определить 4 величины: P b , P e , P s , P n .

Оптимальныйдемодулятор сигнала балансовой модуляции . Математически сигнал БМ записывается

s БМ (t ) = A 0 b (t )cos2pf 0 t . (23.2)

Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF БМ = 2F max . Для детектирования БМ сигнала необходимо использовать синхронный детектор (рис. 23.1). ФНЧ, являющийся обязательным элементом схемы синхронного детектора, используется как фильтр последетекторной обработки, т.е. частота среза фильтра равна F max , а АЧХ в полосе пропускания постоянная и равна 1.

P s = = = 0,5 P b . (23.3)

Средняя мощность помехи на входе демодулятора P n .

На выходе перемножителя за счет сигнала имеем

A 0 b (t )cos2pf 0 t ×2cos2pf 0 t = A 0 b (t ) + A 0 b (t ) cos2p2f 0 t . (23.4)

ФНЧ пропускает первый компонент, а второй ослабляет. С учетом умножения на 1/A 0 на выходе демодулятора получим b (t P b .

Помеху на входе синхронного детектора (как полосовой процесс) представим квадратурными составляющими

n (t ) = N C (t )cos2pf 0 t + N S (t )sin2pf 0 t . (23.5)

Мощность помехи делится поровну между квадратурными составляющими, мощность каждой из них P n /2. Квадратурная составляющая помехи не проходит через синхронный детектор, и на выходе демодулятора получим

e(t ) = N C (t )/A 0 . (23.6)

Поскольку = P n /2, а левая часть равенства равняется 0,5 , то = P n , а

P e = P n / . (23.7)

g БМ = = 2. (23.8)

Оптимальныйдемодулятор сигнала однополосной модуляции . Математически сигнал ОМ записывается

s ОМ (t ) = A 0 b (t )cos2pf 0 t ± A 0 sin2pf 0 t . (23.9)

Оптимальный демодулятор сигнала ОМ выполняется по схеме, приведенной на рис. 23.1. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF ОМ = F max .

Средняя мощность модулированного сигнала

P s = = P b . (23.10)

Средняя мощность помехи на входе синхронного детектора P n .

Синхронный детектор не пропускает квадратурную составляющую сигнала ОМ, поэтому на основе анализа демодуляции сигнала БМ на выходе демодулятора сигнала ОМ получим сигнал b (t ). Его средняя мощность равняется P b . Прохождение помехи через синхронный детектор проанализирован выше и получено значение мощности помехи на выходе демодулятора (23.7).

Определим выигрыш демодулятора

g ОМ = = 1. (23.11)

Оптимальныйдемодулятор сигнала амплитудной модуляции на базесинхронного детектора . Математически сигнал АМ записывается

s АМ (t ) = A 0 (1 + m АМ ×b (t ))cos2pf 0 t . (23.12)

Схема демодулятора сигнала АМ приведена на рис. 11.5. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF АМ = 2F max . Исходя из приведенного выше анализа, очевидно, что на выходе ФНЧ за счет сигнала получим A 0 + A 0 m АМ ×b (t ). Фильтр верхних частот ослабляет постоянную составляющую A 0 и пропускает вторую составляющую A 0 m АМ ×b (t ).

Средняя мощность модулированного сигнала

P s = = 0,5 (1 + m АМ P b ). (23.13)

Для дальнейшего анализа удобно учесть (см. модуль 1), что P b = 1/ , где K A – коэффициент амплитуды сигнала b (t ).

Прохождение шума через синхронный детектор проанализирован выше. Мощность шума на выходе демодулятора сигнала АМ

P e = . (23.14)

Определим выигрыш демодулятора

= . (23.15)

Демодулятор сигнала амплитудной модуляции на базедетектора огибающей . Схема такого демодулятора приведена на рис. 23.3. Она отличается от схемы демодулятора на рис. 23.2 типом амплитудного детектора – синхронный детектор заменен детектором огибающей с целью упрощения схемы демодулятора. Выходной сигнал детектора огибающей пропорциональный огибающей входного сигнала .

Поэтому помеху на выходе демодулятора создают как косинусная, так и синусная составляющие. Мощность помехи e(t ) будет вдвое большей, чем в случае синхронного детектора: Выигрыш демодулятора будет вдвое меньшим:

(23.16)

Оптимальныйдемодулятор сигнала фазовой модуляции . Математически сигнал ФМ записывается

s ФМ (t ) = A 0 cos(2pf 0 t + Δj д ∙b (t )), (23.17)

где Δj д – девиация фазы сигнала, которую часто называют индексом фазовой модуляции m ФМ.

Схема оптимального демодулятора сигнала ФМ приведена на рис. 23.4: ФНЧ1 и ФНЧ2 имеют частоты среза F max (m ФМ + 1); ФНЧ3 – фильтр последетекторной обработки с частотой среза F max ; АЧХ фильтров постоянная в полосах пропускания и равна 1; ФД – фазовый детектор.

Средняя мощность модулированного сигнала

. (23.18)

Средняя мощность исходного сигнала P b = 1/ .

Средняя мощность помехи на входе ФД P n . Прохождение помехи через ФД анализируют при отсутствии модулирующего сигнала, т.е. b (t ) º 0, и s (t ) = A 0 cos2pf 0 t . Помеху представляют квадратурными составляющими в виде (23.5). Тогда

В условиях слабой помехи |N c (t )| << A 0 , и помеха на выходе ФД N s (t )/(A 0 m ФМ), а ее мощность равна P n /(A 0 m ФМ) 2 .

Полоса пропускания ФНЧ3 в раз меньше, чем полоса пропускания ФНЧ2 и ширина спектра помехи N s (t ).

Поскольку спектр помехи равномерный, то мощность помехи e(t ) в m ФМ + 1 раз меньше, чем мощность помехи N s (t )/(A 0 m ФМ) и определяется

. (23.20)

Определим выигрыш демодулятора

Оптимальныйдемодулятор сигнала частотной модуляции. Математически сигнал ЧМ записывается

где Δf д – девиация частоты. Для последующего изложения удобно использовать индекс ЧМ m ЧМ = Δf д /F max .

Схема оптимального демодулятора сигнала ЧМ приведена на рис. 23.5. Схема отличается от схемы демодулятора ФМ сигнала (рис. 23.4) наличием дифференциатора; ЧД – частотный детектор.

Средняя мощность модулированного сигнала

. (23.23)

Средняя мощность сигнала на выходе демодулятора P b =1/ .

Средняя мощность помехи на входе ЧД P n .

Прохождение помехи через ЧД аналогично прохождению помехи через ФД, следует рассмотреть прохождение помехи N s (t )/(A 0 2pΔf д) через дифференциатор. Поскольку помеха N s (t ) – квазибелый шум в полосе частот F max (m ЧМ + 1), то спектральная плотность мощности этой помехи на входе дифференциатора

Поскольку передаточная функция дифференциатора j ω, то спектральная плотность мощности помехи на выходе дифференциатора

Определим мощность помехи e(t )

Определим выигрыш демодулятора

При анализе мы выявили, что спектральная плотность мощности помехи e(t ) имеет параболическую зависимость – формула (23.24):

G e (f ) = kf 2 , (23.26)

где k – коэффициент пропорциональности. Эта особенность спектра часто учитывается при разработке систем передачи с ЧМ.

Сравнениеаналоговых систем передачи. Основными параметрами, по которым сравниваются системы передачи, является выигрыш демодулятора в отношении сигнал/шум g и коэффициент расширения полосы частот при модуляции a = ΔF s /F max. Для рассмотренных методов модуляции эти параметры сведены в табл. 23.1.

Проведем сравнение числовых значений параметров при некоторых исходных данных: K А = 5; m ЧМ = m ФМ = 6; m АМ = 1.

Вычисления дают: g АМ = 0,038; g БМ = 2; g ОМ = 1; g ЧМ = 60,5; g ФМ = 20,2.

Сравнение числовых значений выигрыша показывает, что самой низкая помехоустойчивость присуща системе передачи с АМ: выигрыш g АМ << 1, что логически назвать проигрышем. Однако АМ используется в системах радиовещания, где этот недостаток компенсируется простотой демодулятора на основе детектора огибающей (огромное количество более простых радиоприемников и один радиопередатчик с большей мощностью, чем при использовании БМ и ОМ).

Наибольшая помехоустойчивость присуща системе передаче с ЧМ. «Платой» за высокую помехоустойчивость является широкая полоса частот сигнала. Так, при F max = 3,4 кГц ΔF ЧМ = 47,6 кГц, в то время как полоса частот сигнала ОМ ΔF ОМ = 3,4 кГц.

Таблица 23.1 – Основные параметры аналоговых систем передачи

Метод модуляции	g	a	Примечания
АМ			Синхронный детектор
		Детектор огибающей
БМ
ОМ
ЧМ	×a	2(m ЧМ + 1)	r вх > r пр
ФМ	×a	2(m ФМ + 1)	r вх > r пр

Порогпомехоустойчивости демодулятора сигнала ЧМ. Из соотношения для выигрыша демодулятора ЧМ (23.25) вытекает, что, чем больше индекс m ЧМ, тем больше выигрыш (правда, ценой увеличения полосы частот сигнала). Может показаться, что это дает возможность работать демодулятору со слабым сигналом (низким отношением сигнал/шум). Но, когда отношение сигнал/шум на входе демодулятора r вх меньше порогового отношения сигнал/шум r пр, то выигрыш демодулятора резко уменьшается (рис. 23.6). Такое явление резкого уменьшения величины выигрыша называют порогом помехоустойчивости приема сигнала ЧМ.

Пороговое отношение сигнал/шум r пр несколько зависит от значения m ЧМ (рис. 23.6). Считают, что демодулятор по схеме стандартного частотного детектора характеризуется ориентировочным значением r пр = 10. Область значений r вх, когда r вх < r пр, – это нерабочая область.

Были предложены так называемые порогопонижающие схемы демодуляторов сигналов ЧМ, которые получили названия:

Демодулятор со следящим фильтром;

Демодулятор с обратной связью по частоте;

Демодулятор на основе синхронно-фазового детектора.

Схемы этих демодуляторов описаны в специальной литературе. Демодуляторы, которые выполнены по таким схемам, характеризуются пороговым отношением сигнал/шум r пр = 5...7 дБ (в зависимости от исходных данных на систему передачи). Снижение r пр разрешает:

1) работать демодулятору с более низким отношением сигнал/шум;

2) увеличить выигрыш, так как

,

и если допустить уменьшение отношения сигнал/шум r вх, то можно увеличить индекс m ЧМ, а увеличение m ЧМ приводит к увеличению выигрыша.

Литература

Основная

1. Стеклов В.К., Беркман Л.Н. Теорія електричного зв’язку: Підручник для ВНЗ під редакцією В.К. Стеклова. – К.: Техніка, 2006.

2. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998.

РАБОТА № 4

ЦИФРОВАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Цель работы: Изучение импульсных, переходных и амплитудно-частотных характеристик линейных фильтров. Оценка качества линейной фильтрации изображения, зашумленного нормальным и импульсным шумом, в зависимости от значения весовых коэффициентов и их числа в маске.

1. ВВЕДЕНИЕ

Двумерный дискретный сигнал – это функция, определенная на совокупности пар целых чисел:

Для обработки изображений в настоящее время широко применяют двумерные фильтры, соответствующие пространственной структуре изображения. Для линейных двумерных фильтров, физически реализуемых и инвариантных во времени, выходной сигнал записывается в виде двумерной дискретной свертки (1.1)

где
- импульсная характеристика фильтра.

Линейный цифровой фильтр – это устройство, в котором текущий выходной отсчет сигнала представлен в виде линейной комбинации текущего входного отсчета фильтра и предыдущих входных и выходных отсчетов.

Функцию передачи двумерного фильтра можно записать в виде:

. (1.2)

где значения
и
определяют параметры фильтрации.

Введем понятие опорных областей фильтра (набор значений сигналов, используемых при вычислениях) по входному и выходному сигналам соответственно:

При
двумерным фильтром реализуются нерекурсивные алгоритмы обработки данных, причем выражение для дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра имеет вид:

(1.3)

Tаким образом, отсчеты выходного сигнала двумерного нерекурсивного фильтра представляют собой взвешенную сумму отсчетов входного сигнала в опорной области. При реализации такого фильтра для формирования каждого из входных отсчетов необходимо выполнить (M1+1)(M2+1) умножений и (M1M2+M1+M2) сложений над задержанными отсчетами входного сигнала. Считывание видеосигнала в растровых системах производится «элемент за элементом» и «строка за строкой», и в этом случае при обработке видеоданных в реальном времени для реализации операторов и используются линии задержки. Причем оператор реализуется в виде линии задержки на период элемента разложения (Tэ), а оператор в виде линии задержки на период строки разложения (Tc). Структурная схема линейного двумерного фильтра, работающего по телевизионному сигналу в реальном времени в соответствии с разностным уравнением (1.3), приведена на рисунке 1.

Рис. 1. – Структурная схема линейного двумерного фильтра

размером 3*3 элемента

Набор линий задержек с соответствующими связями, обеспечивает в каждый момент времени доступ к текущему отсчету изображения. Различные виды линейных фильтров отличаются своими весовыми функциями и нормирующими коэффициентами. Обычно используются апертуры размером 3*3 элемента; увеличение размеров апертуры существенно увеличивает объем вычислений, в то время как качество обработки улучшается незначительно. Впрочем, с ростом производительности процессоров ЭВМ вычислительные затраты все меньше лимитируют размер применяемых апертур, и в последнее время в употребление входят апертуры размером 5*5 и даже 7*7 элементов.

Приведем примеры наиболее часто используемых при обработке информации в телевизионных измерительных системах нерекурсивных операторов, размером 3*3 элемента разложения.

На рисунке 1.2 коэффициенты двумерной фильтрации приведены в виде масок, описывающих импульсные характеристики соответствующих фильтров .

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и) к)

Рис. 2. – Импульсные характеристики линейных двумерных филь тров

Фильтр «скользящее среднее» (двумерный фильтр

нижних частот)

Фильтр, суммирующий отсчеты входного сигнала с равным весом, реализует алгоритм вычисления «скользящего среднего», (рисунок 1.2,а). При использовании такого фильтра для обработки видеоинформации можно увеличить отношение сигнал/шум в выходном сигнале . Выходной сигнал типа «скользящее среднее» вычисляется по выражению (1.1) при коэффициентах = 1 и имеет вид:

Низкочастотные двумерные фильтры оставляют низкочастотные компоненты нетронутыми и ослабляют высокочастотные компоненты. Такие фильтры используются для понижения визуального шума, содержащегося в изображении, а также для удаления высокочастотных компонентов из изображения с тем, чтобы можно было тщательно исследовать содержание низкочастотных компонент. Это означает, что все значения элементов изображения постоянные или медленно меняющиеся. По мере того, как низкочастотная маска проходит через область изображения, новое значение преобразуемых элементов изображения вычисляются по выражению (1.1). Если все значения элементов изображения в области примыкания постоянны (одинаковы), их новые значения будут такими же, как и исходные. Таким образом, при обработке сохраняются низкочастотные компоненты, любые быстрые изменения интенсивности усредняются с оставшимися элементами изображения в области примыкания и тем самым понижается уровень высокочастотных компонент. Визуальным результатом низкочастотной фильтрации является слабая нерезкость изображения .

Выделение «края» (перепада яркости в изображении)

Выделение «края» используется как предварительный шаг в процессе извлечения признаков изображения. Хотя выделение «края» в основном используется в машинном зрении, оно, конечно, имеет и другие применения. Например, информация о «крае», полученная в процессе его выделения, может быть, использована в исходном изображении для усиления его четкости. Выделение «края» можно использовать как метод для изготовления оригинальных изображений, которые могут затем ретушироваться в программах рисования для создания высокохудожественного изображения .

Выделение «края» методом направленного градиента

Для выделения перепадов определенной ориентации используются в зависимости от требуемого направления весовые функции, называемые курсовыми градиентными масками (рисунок 1.2д,е).

Название курса говорит о направлении перепада яркости, вызывающего максимальный отклик фильтра. Для высвечивания «краев» всего существует 8 различных масок и называются как стороны света: "восток", "север", "юг", "юго-восток" и т.д.

Интенсивность выходного элемента изображения будет зависеть от градиента изменения яркости (чем больше наклон, тем ярче элемент). Например, градиент восток будет усиливать «край», который содержит переход от черного к белому слева направо.

Выделение линий

Фильтр, представленный на рисунке 1.2ж, выделяет горизонтальные, а при повороте на 45 градусов, диагональные линии деталей изображения рисунок 1.2з, затем вертикальные рисунок 1.2и. Разностное уравнение для фильтра, выделяющего вертикальные детали изображения, имеет вид:

Для подчеркивания линий определенного направления, могут использоваться маски подобные показанной на рисунке 1.2к. В данном случае весовая функция подчеркивает большими весами четырех связные элементы исходного изображения, т.е. горизонтальные и вертикальные линии.

Выделение «края» по Лапласу (двумерные фильтры

высоких частот)

Фильтры высоких частот повышают уровень малоразмерных деталей в изображении. Такая фильтрация используется в тех случаях, когда необходимо исследовать высокочастотную структуру объекта .

Метод усиления «края» по Лапласу отличается от других методов тем, что «края» высвечиваются независимо от направления. Функция f(x,y) Лапласа записывается в виде:

где – вторая частная производная по x, а
– вторая частная производная по y.

Для дискретных функций вторые производные могут быть аппроксимированы следующим образом:

Таким образом, Лапласиан можно записать в следующем виде:

Это выражение можно рассматривать как импульсную характеристику фильтра, записанную в виде
. Для удобства знаки перед коэффициентами меняют на противоположные. Лапласиан для "четырех соседей", представлена на рисунке 1.2,б, для "восьми соседей" на рисунке 1.2,в.

Операторы обработки двумерных данных (рисунок 1.2б,в,г) реализуют функцию выделения сигналов малоразмерных объектов от фоновой составляющей в видеосигнале.

2. Описание программы

Лабораторная работа №4 (раздел 1) «Цифровая линейная фильтрация изображений» реализована в виде программы в среде мультимедиа.

Программа состоит из трех разделов:

«Введение».

«Экзамен».

«Лабораторная работа».

Каждый раздел программы состоит из страниц. На каждой странице, вверху, высвечивается название лабораторной работы, название раздела программы, номер страницы и их количество в данном разделе. В нижней части экрана располагаются кнопки для перехода на следующую страницу, предыдущую и для выхода из программы. Во втором разделе имеется дополнительная кнопка для выхода из экзамена и подведения итогов. В лабораторной работе есть кнопки «Задание» , «Справка» и «Числа/полутона» (переводит изображение в окнах в числа или полутона).

В разделе «Введение» представлены основные понятия линейной фильтрации, характеристики линейных фильтров с результатами фильтрации изображений различными фильтрами.

В экзамене вам предоставляется для контроля знаний пять задач. В первых двух вам необходимо «кликнуть» по правильному ответу (т.е. навести на него курсор с помощью мыши и быстро нажать и отпустить ее левую клавишу), в результате напротив выбранного ответа появится «галочка». В третьей и четвертой передвиньте номера (нажав левую клавишу мышки) в боксы в соответствии с заданием. Пятая задача представляет собой структурную схему двумерного линейного фильтра. Вам следует «кликнуть» мышкой по нужному блоку (выбранные блоки обведутся красной рамкой).

После того как выставили ответы, нажмите на кнопку « Результаты экзамена» и вы выйдите на результаты тестирования.

На каждой странице раздела «Лабораторная работа» есть структурная схема для исследования характеристик фильтра и окна, в которые выводятся изображения из разных частей схемы.

Работа на каждой странице третьего раздела программы выполняется в следующем прядке:

Выберите окно в которое необходимо вывести изображение, для этого «кликните» по названию (название активного окна будет обведено красной рамкой).

«Кликните» по блоку схемы параметры которого вам нужно задать (на активных блоках курсор изменяется).

«Кликните» по кружку (желтый с синей рамкой) на выходе блока, в результате, изображение из данной части схемы выведется в активное окно.

3. Порядок выполнения работы

В менеджере программ, в группе «Приложения», дважды «щелкните» по пиктограмме «LAB1».

3.1. Задание для первой страницы

3.1.1. Задайте фильтр Ф1 =

3.1.2. Задайте фильтр Ф1 =
. Снимите импульсную характеристику.

3.1.3. Сделайте вывод о виде импульсной характеристики на основе п.1 и п.2.

3.2. Задание для второй страницы

3.3. Задание для третьей страницы

Выберите три фильтра (по указанию преподавателя) и измерьте их амплитудно-частотную характеристику в направлении оси частот Х.

Для из выбранных фильтров измерьте двумерную АЧХ.

Результаты измерений занесите в таблицу. Постройте два графика зависимости коэффициента передачи фильтров от частоты.

Объясните результат.

3.4. Задание для четвертой страницы

Задайте коэффициенты фильтров, таким образом, чтобы выделить из представленной цифры линии присутствующие в ней.

Установите пороги так, чтобы цифра на выходе сумматора наилучшим образом повторяла исходную.

Результат обработки цифры занесите в отчет (в числовом виде).

Объясните результат.

3.5. Задание для пятой страницы

Снимите зависимость СКО, изображения зашумленного импульсным шумом, от количества коэффициентов в фильтре (не равных нулю) для четырех значений процента заполнения G=7,10,20,30 при А=100 (А – амплитуда импульсов, может принимать значения от0 до255).

В работе используйте фильтры, приведенные в таблице 1.

Таблица 1 – Сглаживающие фильтры

№ фильтра
Весовые коэффи-циенты фильтра
Число весовых коэффи-иентов

Повторите п.3.5.1 для изображения зашумленного нормальным шумом. Дисперсию брать в пределах: от 30 до 70.

Результаты измерений занесите в таблицу аналогичную таблице 2.

На основе данных таблицы постройте 9 графиков зависимостей СКО от числа ненулевых отсчетов в фильтре (все 9 графиков расположить на одном рисунке).

По окончании работы, нажмите кнопку «Выход из программы».

Таблица 2

Число весовых коэффициентов в фильтре
СКО, при G=7
СКО, при G=10
СКО, при G=20
СКО, при G=30
СКО, при =30
СКО, при =40
СКО, при =50
СКО, при =60
СКО, при =70

Название лабораторной работы.

Цель работы.

Введение.

Результаты измерений представленные в виде таблицы 2.

Построить на одном рисунке 9 графиков зависимости СКО от числа весовых коэффициентов в фильтре.

Список литературы

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1978.-848 с.

Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2 – х книгах. Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – Кн.1 – 312с., Кн.2 – 480c.

Казанцев Г. Д., Курячий М. И., Пустынский И. Н. Измерительное телевидение: Учеб. пособие для вузов/ – М.: Высш. школа, 1994. – 288с.

линейными работе студентов всех форм обучения для...Методические указания

... РАБОТА -2 ... изображений . Литература 1, 2, 3, 5, 8, 9 2.3 Темы для самостоятельного изучения Цифровая обработка изображений (ввод и представление изображений , улучшение контраста, фильтрация изображений ... Фаршатович. Методы решения линейных некорректных задач: ...

Линейная фильтрация (Moving average) позволяет сгладить колебания данных и таким образом более наглядно показать характер зависимости. Элементы данных усредняются, и полученный результат используется в качестве среднего значения для приближе-чм i Так, если параметр Точки равен 2, первая точка сглаживающей кривой определяется как среднее значение первых двух элементов данных, вторая точка - как среднее следующих двух элементов и так далее.
Линейная фильтрация, рассматриваемая в настоящем параграфе, позволяет уменьшить дисперсию ошибки при отказе. Однако значительно более эффективно снижает влияние выбросов при неисправности компонентов нелинейная фильтрация.
Линейная фильтрация сигнала для выделения его из смеси сигнал шум является одним из основных процессов, осуществляемых в любом радиоприемном устройстве. В основе фильтрации лежит использование частотной избирательности колебательных цепей. На протяжении первых 50 - 60 лет развития радиотехники к подобным частотным фильтрам предъявлялось требование возможно более равномерного проп екания спектра сигнала и возможно более полного подавления частот вне этого спектра. Идеальным считался фильтр с прямоугольной П - образной АЧХ.
Случай линейной фильтрации является аналогом ламинарному течению жидкости в трубной гидравлике. Ламинарное течение с энергетической точки зрения наиболее экономичное, поэтому в общем уравнении притока п больше единицы быть не может.
Алгоритм линейной фильтрации заключается в следующем.
Уравнение линейной фильтрации представ - Ляет собой Дифференциальное уравнение в частных производных, поэтому следует указать типы граничных условий, при которых оно должно интегрироваться. Перечислим простейшие из этих условий.
Обработка экспериментальных данных в координатах г Т (экспериментальные точки линий 1, 2, 3 соответствуют кривым Н. 9. Рассмотрим стационарную линейную фильтрацию газированной жидкости.
Анализ результатов линейной фильтрации показывает, что эффективность фильтрации тем больше, чем больше отношение ширины спектра сигнала к ширине спектра помехи и чем больше отношение сигнал / шум на входе фильтра. Следовательно, для повышения эффективности линейной фильтрации целесообразно применять широкополосные сигналы и большее отношение сигнал / шум.
Рассмотрим случай линейной фильтрации.
Поэтому алгоритм оптимальной линейной фильтрации для восстановления искомой величины на выходе динамического канала отдельно не рассматривается.
Рассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации, предполагая, что на жидкость действуют силы тяжести.
Рассматривается задача оптимальной линейной фильтрации векторных случайных функций, имеющих формирующие фильтры. Дается решение задачи как при полном, так и неполном ранге матрицы интенсивности аддитивных помех типа белый шум, содержащихся в наблюдаемой векторной случайной функции.
Получим основное уравнение нестационарной изотермической линейной фильтрации.
Схематизация температурного поля пласта при влажном внутрипла-стовом горении.
Методика справедлива для плоскорадиальной и линейной фильтрации нефти и воды.
Пиковый детектор. а - схема. б - эпюры напряжений. При демодуляции АИМ используется линейная фильтрация с применением узкополосных фильтров низкой частоты. Для повышения амплитуды выделяемого при фильтрации сигнала увеличивают амплитуду или длительность модулированных импульсов. Увеличение длительности импульсов при демодуляции АИМ применяется наиболее часто, так как при этом наряду с увеличением амплитуды выделяемого сигнала Б спектре АИМ резко уменьшаются высшие составляющие спектра, что упрощает фильтрацию полезной составляющей.
Поэтому для двумерных интерферограмм линейная фильтрация для подавления аддитивного шума и нелинейных искажений может быть применена только при пофрагментной обработке. Выделяя наинтерферограмме фрагменты с однородной структурой, можно рассматривать их как одномерные интерферограммы и производить фильтрацию каждого фрагмента независимо.
Традиционные (а и оптимальные (б, в, г интерполяционные функции ограниченной протяженности. & м, то подобная предварительная линейная фильтрация реализуема, а замена ядра (8) на оптимальное ядро (110) вообще не сопряжена с дополнительными вычислительными затратами.
Первая особенность - нарушение линейной фильтрации, обусловленное высокими скоростями фильтрации газа в призабойной зоне пласта. Дебит нефтяной скважины 100 м3 / сут считается достаточно высоким. Для газовой скважины за высокий может быть принят дебит в 1 млн. м3 / сут. Пусть пластовое давление составляет 15 МПа, а забойное 10 МПа.
Использование преобразований и процедур линейной фильтрации подробно рассматривается в большинстве книг, посвященных обработке изображений. Книга Прэтта является хорошим источником информации по проблемам, которым посвящена эта и следующая главы; она рассчитана на более подготовленного читателя. В ней много внимания уделено обработке сигналов и хорошо представлены оптические аспекты обработки изображений. Книга Каслмана лаконичнее, но она охватывает более узкий круг вопросов. Значительное число работ посвящено практическим аспектам квантования и дискретизации при использовании дискретных изображений. Наиболее глубокое теоретическое рассмотрение проблемы кодирования проведено в работах, включенных в сборник , в частности, интересна статья , посвященная зрительной системе человека.
Программа основывается на теории оптимальной линейной фильтрации сигналов, осуществляет полярную одноуровневую и многоуровневую корреляцию скважин, распределение ошибок корреляции по замкнутым треугольникам.
При применении формулы Дарси для линейной фильтрации расчет вытеснения производится при малых перепадах давления. Однако при притоке жидкости в несовершенную скважину возникают дополнительные фильтрационные сопротивления в призабойной зоне и у стенок скважины. Так как величина перепада давления будет изменяться при снижении нефтенасыщенной толщины, предлагается следующий метод решения задачи.
К вопросу о решении задач линейной фильтрации, Лифшиц Н. А., Виноградов В. Нзука, 1972 г. Работа представлена в сборнике аннотацией.
Свободное расположение шаров в модели фиктивного грунта.| Тесное расположение. Проницаемость горных пород в случае линейной фильтрации определяется по закону Дарси.
Закон Дарси справедлив в области линейной фильтрации. Для нелинейной фильтрации находят применение степенные законы. Обычно степенные законы записываются для одномерных случаев.
Следует отметить, что благодаря линейной фильтрации шума, которая имеет место за чувствительным элементом, на его выходе можно ограничиться отношением сигнал / шум, меньшим чем для всей системы.

Возможность рассмотрения рассеяния волн как линейной фильтрации сигналов обусловлена линейностью уравнений Максвелла в среде без потерь. Аппарат теории линейной фильтрации позволяет с помощью простых преобразований определять отраженный сигнал при облучении объекта сигналами с амплитудной, частотной, фазовой и кодовой внутриимпульсной модуляцией. Центральное место в теории линейной фильтрации занимает функция неопределенности. Ниже мы дадим ее определение и рассмотрим некоторые свойства.
Предложена математическая модель, описывающая линейную фильтрацию трех фаз равной плотности, состоящих из трех компонентов с учетом массообмена между фазами в однородном горизонтальном пласте, с целью описания вытеснения нефти о использованием двуокиси углерода.
Предложена математическая модель, описывающая линейную фильтрацию трех фаз равной платности, состоящих из трех компонентов, с учетом массобмена между фазами в однородном горизонтальном пласте, с целью описания вытеснения нефти о использованием двуокиси углерода. Уравнения решаются конечно-разностными методами на ЭЦВМ. Приводятся результаты расчетов для смеси, состоящей из воды, двуокиси углерода и гексадекана.
Это требование, тривиальное в задачах линейной фильтрации, оказывается необходимым дополнительным требованием при фильтрации с предельным градиентом; в противном случае решение задачи оказывается неединственным.
В качестве примера, иллюстрирующего теорию оптимальной линейной фильтрации, рассмотрим задачу о фильтрации квазидетерминированного сигнала (t) as (t), причем s (t) - известная функция, а амплитуда а случайна.
Количественно проницаемость определяется на основании закона линейной фильтрации Дарси и характеризуется коэффициентом проницаемости.
Изменение длины переходной вытесняющей зоны при линейной фильтрации смешивающихся агентов в макрооднородной пористой среде происходит в зависимости от отношения вязкостей фильтрующихся агентов и длины участка, на котором осуществляется вытеснение.
В предыдущих параграфах уже отмечалось, что оптимальная линейная фильтрация является эффективным способом обработки импульсных сигналов заданной (известной) формы в системах, предназначенных для обнаружения (или измерения параметров) сигналов.
Следует отметить, что переход в область линейной фильтрации происходит постепенно. Поэтому для обеспечения единообразия в определении градиента давления предельного разрушения структуры целесообразно применять расчетный способ.
Соотношение (7.2.8) в дальнейшем называется основным уравнением линейной фильтрации. Для того чтобы записать его, необходимо задать модель наблюдаемой смеси г (t) и желаемого выходного сообщения.
Во всех случаях экспериментальные значения V для линейной фильтрации первые 10 - 15 мин фильтрации меньше теоретических значений, а затем они приближаются к теоретическим при достаточной длительности фильтрации. При радиальной фильтрации эти отношения для низкоконцентрированных суспензий больше их теоретических значений, а для высококонцентрированных суспензий из бентонита и дружковской глины они начинают превышать теоретические значения спустя лишь приблизительно 15 мин фильтрации.
В русле развития этих работ построена теория линейной фильтрации как для. Получены одномерные и многомерные уравнения Винера - Хопфа, определяющие импульсные переходные функции оптимальных линейных фильтров.
Для коррекции нелинейных искажений интерферограммы, кроме линейной фильтрации, существует еще одна возможность, применимая в отличие от линейной фильтрации для любых интерферограмм - адаптивное нелинейное преобразование шкалы сигнала. Оно может быть основано на использовании свойств математической интерферограммы в статистических измерениях и на том факте, что монотонное нелинейное преобразование однозначно сказывается на законе распределения значений сигнала.
Схема простейшего преобразователя (о и временные диаграммы, поясняющие ее работу (б. Известные первичные источники случайных сигналов не позволяют путем линейной фильтрации получать достаточно интенсивные сигналы с равномерным спектром в области инфранизких и звуковых частот. Поэтому в генераторах таких сигналов используют нелинейные преобразователи спектров.

Тем не менее использование понятий и методов теории линейной фильтрации сигналов для расчета характеристик отраженного поля представляется весьма плодотворным.
Рассмотрим, например, процедуру оценки точности при оптимальной линейной фильтрации сигнала х (t) (см. гл.
Закон Дарси (10.2.10) и его обобщения, справедливые в линейной фильтрации (которые все в дальнейшем будем называть коротко законом Дарси), устанавливают зависимость между расходом жидкости, связанным с физической скоростью и скоростью фильтрации, гидродинамическим давлением, плотностью жидкости и ее вязкостью. Таким образом, это динамический закон, который в теории линейной фильтрации играет такую же роль, как и уравнение Навье-Стокса в теории движения вязкой жидкости и уравнение Эйлера в теории движения идеальной жидкости.
Зависимость скорости [ IMAGE ] Результаты обработки дан-фильтрации пластовой нефти от гра - ных диента давления. Ясно, что использование параметра проницаемости справедливо только для линейной фильтрации, когда выполняется закон Дарси.
Рассмотрим подробнее механизм разрушения структуры суспензии на поверхности фильтра при линейной фильтрации (см. рис. III. Такое разрушение может происходить в порах корки, где под действием перепада давления структура подвергается сдвигу и разрыву в зоне каждой поры. При этом происходит высвобождение воды из суспензии и разделение жидкой и твердой фаз, которые образуют фильтрат и осевшую массу корки.
Суммирование сигналов пропорционального и интегрального блоков производится путем усиления и линейной фильтрации отдельно напряжений, снимаемых с триггеров Tpl и Тр2 и последующего затем суммирования полученных непрерывных сигналов.
Значительное внимание уделено перспективному направлению анализа процесса рассеяния волн методами линейной фильтрации сигналов (гл. Рассмотрены импульсные и частотные переходные функции рассеяния, а также обобщенная функция неопределенности. Показано, что случайные возмущения отраженного поля приводят к потерям разрешающей способности систем с временным или пространственным сжатием принимаемого сигнала. Последний раздел книги содержит необходимые сведения об особенностях измерений вероятностных характеристик поля, отраженного от колеблющихся объектов.
В этой статье имеется также обширная библиография публикаций по проблемам робастной линейной фильтрации сигналов, робастному обнаружению сигналов, робастному оцениванию параметров сигналов и робастному квантованию данных. Основное внимание уделено минимаксному подходу, который получил наибольшее применение при синтезе алгоритмов обработки сигналов с устойчивыми характеристиками в условиях непараметрической априорной неопределенности. Большая часть представленных в этой статье результатов была получена в 70 - 80 гг. прошлого столетия, однако упоминаются и более ранние идеи в области минимаксных методов обработки сигналов.
Исходя из этого, интересующее нас отношение градиентов давления при неустановившейся и установившейся линейной фильтрации может быть определено как частное от деления тангенсов углов наклона соответствующих прямолинейных отрезков кривых к оси абсцисс.