Сообщение на тему история пределов. Развитие теории пределов
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Универсальное определение предела функции
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Посвящены одному из основных понятий математического анализа - пределу. И в случае числовой последовательности и в случае действительной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении.
В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отображений произвольных метрических пространству причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению.
8.1. Понятие предела отображения
Пусть X и У - метрические пространства с заданными на них метриками р и d соответственно, X - некоторое подмножество в X с той же метрикой />, имеющее а 6 X своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
проколотую окрестность U(a) = U(a) \ {а} данной точки. Пусть область определения отображения /: А У включат ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено.
Определение 8.1. Точку 6 € У называют пределом отображения /: A -f У в точке а по множеству А и
записывают b = lim f(x) или f(x) -> b при х-^а, если, како-
ва бы ни была окрестность V(6) точки 6, существует такая проколотая окрестность U(a) точки а в X, что ее образ для
любой точки ж€Ща)ПЛ принадлежит У(6),т.е.
При выполнении (8.1) говорят также, что функция f(x) стремится к Ь при стремлении х по множеству А к точке а. Определение 8.1 является достаточно общим. В зависимости от того, какими множествами являются X, У, АСХ и какова точка а € X, можно получить различные конкретизации этого определения.
Напомним (см. 5.2), что любая окрестность точки включает е-окрестность этой точки и всякая ^-окрестность является окрестностью. Поэтому, заменяя в (8.1) произвольную окрестность V (6) точки b б Y на ее ^-окрестность
а проколотую окрестность точки а € X - на ее проколотую -окрестность
приходим к следующей символической записи определения предела отображения, эквивалентного определению 8.1:
При Y С R из (8.1) следует символическая запись определения предела отображения /: (предела действительной функции):
. Бели в (8.5) 6 = 0) то функцию f(x) называют бесконечно малой при стремлении х по множеству А к точке а € X и записывают
При У С R можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 является одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой R или их объединением (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид
Тогда из (8.1) следуют три довольно похожих между собой за-писи в символической форме определений бесконечных пределов функции:
. Пример 8.1. Покажем, что
lim f(x) = с,
если отображение / в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
V(c) точки с} Vx в U (а) П A /(х) = с, так как хе А. Поэтому
/(U (а) П А) = с € V(c), что соответствует определению 8.1. Убедимся, что
lim /(х) = а,
если отображение / тождественно, т.е. /(я) = х Vx 6 А. В
этом случае для любой окрестности V(a) при выборе U(a) = = V(a) \ {а} для тождественного отображения получим
что отвечает (8.1). В частности, когда А = R и а соответствует бесконечной точке +оо расширенной числовой прямой, имеем: /(х) -f оо при х +оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +оо достаточно выбрать множество U (+оо) = = {s € R: х > М}, чтобы получить /(х) > М и удовлетворить условию (8.7). #
Если в определении 8.1 X = У = R и подмножество А = = {а: € R: х > а}, то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 lim fix). Если же X = У = R
Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством X. При X = Y = R этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо lim /(х) пишут просто lim /(х).
Конечно, говоря о lim /(х), можно рассматривать всевоз-можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит к содержательным нетривиальным результатам. Так, если функцию Дирихле рассматривать на подмножестве Q С R рациональных чисел, то получим просто постоянную функцию, предел которой установлен в примере 8.1.
При определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение.
Определение 8.2. Точку 6 € У называют пределом последовательности {уп} точек уп метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность V(6) С У точки 6, существует натуральное число N , такое, что начиная с номера N +1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
При выполнении (8.10) говорят также, что {уп} стремится к точке 6. Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки 6 ее произвольную ^-окрестность, будем иметь
Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность {уп} точек уп метрического пространства стремится к точке 6, если числовая последовательность {d(yn> 6)} расстояний d(yni b) € R бесконечно малая, т.е.
Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается
на исследование сходимости числовых последовательностей. Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема.
Теорема 8.1. Отображение /:У имеет точку 6 € У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении / образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е.
Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и {х„} - произвольная последовательность точек хп из А, стремящаяся к точке a € X. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность V(b) С У
точки 6, существует проколотая окрестность U(a) С X точ-
ки а, такая, что /(и(а)ПА) С V(6). По определению 8.2, в
U(a)nA должны лежать начиная с некоторого номера W + 1 все точки стремящейся к а последовательности {хп}» т.е. в силу (8.10)
Тогда начиная с того же номера все точки f(xn) Е У последовательности {f(xn)} лежат в V(6), что, согласно определению 8.2, означает, что эта последовательность стремится к 6.
Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности {хп} точек хп из А последовательность {/(х„)} точек f(xn) из У стремится к 6. Если бы lim f(x) ф 6, то это означало бы существование такого числа е > 0, что при любом выборе 8 > 0 имеется точка х € А, удовлетворяющая условиям р(х, а) и d(f(x)y 6) > е. При сколь угодно малом S > О можно указать натуральное число N) такое, что 1 /N . Тогда для каждого номера п > N найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим хп, такая, что р(хп, ^ Таким образом, последовательность {хп}, составленная из таких точек хп 6 Ау в силу (8.11) стремится к а, тогда как {/(хп)} не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы.
Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1.
Определение 8.3. Точку б€ У называют пределом отображения /: А -> У в точке а по множеству А, если при отображении / образ любой стремящейся к а последоваг тельности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к Ь.
Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают.
Пример 8.2. Пусть X = R, А = R, а = +оо и в отображении /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Покажем, что
lim f(x) = lim cos a;
не существует. Возьмем последовательность {a:n} = {2птг}, которая стремится к +оо. Тогда cosin = соз2птг = 1, и в силу (6.9) lim {cos xn} = 1. Если же взять последовательность {хп} = {(2п + 1)тг/2}, также стремящуюся к +оо, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. указанный выше предел не существует. Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей {2п(-1)п7г} и {(2п+ 1)(-1)птг/2} приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить
то правомерна запись
lim cosx = 1 и limcoex = 0. #
Сопоставлением определений 8.1 и 5.13 может быть доказана следующая теорема.
Теорема 8.2. Отображение /: X -+Y будет непрерывным в точке а € X в том и только том случае, когда предел отображения при стремлении х по множеству X к точке а совпадает со значением /(а), т.е. когда
Л Пусть отображение / непрерывно в точке а в X. Тогда, по определению 5.13 непрерывного отображения, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6 = /(а) € У, существует такая окрестность U(a) точки а € А} что /(U(a)) С V(6), а
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
стало быть, существует и проколотая окрестность U (а) точки
а, такая, что /(U(a)) С V(b). Согласно определению 8.1 это означает, что справедливо (8.12).
Обратно, пусть выполнено (8.12). Тогда в силу определения 8.1 для любой окрестности V (Ь) точки b = /(a) су-
ществует проколотая окрестность U(a) точки а, такая, что
/(U(a)) С V(6). Рассмотрим окрестность U(a) = U(a) U {a}. Поскольку /(a) G V(6), согласно свойствам отображения множеств (см. 2.1), имеем 4
т.е. отображение / по определению 5.13 непрерывно в точке аеХ.
С учетом теоремы 8.2 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.13.
Определение 8.4. Отображение /: называют непрерывным в точке а 6 Ху если справедливо (8.12).
Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение.
Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения /: X -У Y в предельной точке абХ необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / любой стремящейся к а последовательности точек из X был последовательностью точек из У, сходящейся к точке /(а).
8.2. Некоторые свойства предела отображения
Пусть X и У, так же как и в 8.1, - метрические пространства, AC X и а € X - предельная точка множества А.
Теорема 8.3. Бели при стремлении х по множеству А к точке а отображение /: X У имеет предел, то он единственный.
Предположим, что при х-^а отображение / имеет два предела 6i и 62, причем 61 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей этих точек (V(61)flV(62) = 0), по определению 8.1, у точки а существует
проколотая окрестность U(a), такая, что и, а это невозможно в силу определения 2.1 отображения.
Теорема 8.4 (о пределе композиции). Бели существуют пределы
отображений /: AC X и д: У Z, причем {(х)фЬ при г-^a, где Ху У и Z - метрические пространства предельные точки соответственно для А С X и f(A) С У, то существует при х-^а и предел композиции (сложной функции)
Выберем произвольную окрестность W (с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно
найти такую проколотую окрестность V(6) точки 6, что
д(V(6) П f}