Метод переменных состояния расчета переходных процессов. Метод переменных состояния

Эта процедура описывает, как определить переменную пакета, в которой хранится информация состояния CDC.

Переменная состояния CDC загружается, инициализируется и обновляется с помощью задачи «Управление CDC» и используется компонентом потока данных «Источник CDC» в целях определения текущего диапазона обработки для записей с данными об изменениях. Переменная состояния CDC может быть определена в контейнере, который является общим для задачи «Управление CDC» и источника CDC. Такое определение может быть сделано на уровне пакета, а также в других контейнерах, таких как контейнер цикла.

Изменять вручную значение переменной состояния CDC не рекомендуется, но выполнение этой операции может оказаться полезным для ознакомления с содержимым переменной.

В следующей таблице приведено общее описание компонентов значения переменной состояния CDC.

Компонент	Description
	Это имя текущего состояния CDC.
CS	Это обозначает точку начала текущего диапазона обработки (Current Start).
	Это последний регистрационный номер транзакции в журнале, обработанный во время предыдущего запуска CDC.
CE	Это обозначает конечную точку текущего диапазона обработки (Current End). Наличие компонента CE в состоянии CDC указывает на то, что пакет CDC обрабатывается в данный момент или что произошел сбой пакета CDC до полного завершения обработки всего диапазона CDC.
	Это последний номер LSN, который должен быть обработан во время текущего выполнения CDC. Всегда предполагается, что последний последовательный номер, который должен быть обработан, является максимальным (0xFFF…).
IR	Это обозначает начальный диапазон обработки.
	Это номер LSN изменения прямо перед началом первоначальной загрузки.
	Это номер LSN изменения непосредственно после завершения первоначальной загрузки.
TS	Это обозначает отметку времени последнего обновления состояния CDC.
>	Это десятичное представление 64-разрядного свойства System.DateTime.UtcNow.
ER	Оно отображается в случае сбоя последней операции и содержит краткое описание причины ошибки. При наличии этого компонента он всегда отображается последним.
	Это краткое описание ошибки.

Номера LSN и последовательные номера кодируются в виде шестнадцатеричной строки длиной до 20 знаков, представляющей значение LSN Binary(10).

В следующей таблице описаны возможные значения состояния CDC.

Состояние	Description
(INITIAL)	Это исходное состояние до выполнения какого-либо пакета в текущей группе CDC. Это состояние также имеет место, если состояние CDC пусто.
ILSTART (запуск начальной загрузки)	Это состояние, когда запускается начальная загрузка пакета после вызова задачи «Управление CDC» операцией MarkInitialLoadStart .
ILEND (завершение начальной загрузки)	Это состояние, когда начальная загрузка пакета успешно завершается после вызова задачи «Управление CDC» операцией MarkInitialLoadEnd .
ILUPDATE (обновление начальной загрузки)	Это состояние после выполнения пакета обновления тонкого канала после начальной загрузки во время продолжения обработки диапазона начальной обработки. Это происходит после вызова задачи «Управление CDC» операцией GetProcessingRange .
TFEND (завершение обновления тонкого канала)	Это состояние, ожидаемое для регулярного выполнения CDC. Оно показывает, что предыдущее выполнение завершилось успешно и можно начинать новое выполнение с новым диапазоном обработки.
TFSTART	Это состояние, которое возникает при последующем выполнении пакета обновления тонкого канала после вызова задачи "Управление CDC" операцией GetProcessingRange . Оно показывает, что регулярное выполнение CDC начато, но еще не завершено или завершено неверно (MarkProcessedRange ).
TFREDO (повторная обработка обновления тонкого канала)	Это состояние операции GetProcessingRange , наступающее после TFSTART. Оно показывает, что предыдущее выполнение не завершилось успешно. Если используется столбец __$reprocessing, он получает значение 1, чтобы показать, что пакет может повторно обрабатывать строки, уже находящиеся в целевой базе данных.
ERROR	Группа CDC находится в состоянии ERROR.

Ниже приведены примеры значений переменной состояния CDC.

ILSTART/IR/0x0000162B158700000000//TS/2011-08-07T17:10:43.0031645/

TFEND/CS/0x0000025B000001BC0003/TS/2011-07-17T12:05:58.1001145/

TFSTART/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:43.9344900/

TFREDO/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:59.5544900/

Определение переменной состояния CDC

В SQL Server Data Toolsоткройте пакет SQL Server 2016 Integration Services (SSIS) , в котором имеется поток CDC, где необходимо определить переменную.

Щелкните вкладку Обозреватель пакетов и добавьте новую переменную.

Присвойте переменной имя, которое поможет обозначить ее как переменную состояния.

Назначьте переменной тип данных String .

Не присваивайте переменной значение в составе ее определения. Значение должно быть задано задачей «Управление CDC».

Если намечено использовать задачу «Управление CDC» с параметром Автоматическое сохранение состояния , то переменная состояния CDC будет считываться из указанной таблицы состояния в базе данных и после обновления снова записываться в ту же таблицу при изменении ее значения. Дополнительные сведения о таблице состояния см. в разделах и .

Если не используется задача «Управление CDC» с параметром автоматического сохранения состояния, то необходимо загружать значение переменной из постоянного хранилища, в котором это значение было сохранено в последний раз при прогоне пакета, а затем снова записывать его в постоянное хранилище после завершения работы с текущим диапазоном обработки.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

Независимость уравнений;

Возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

;

(2)

.

(3)

Здесь и - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; - матрица-столбец источников внешних воздействий; - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

;

(4)

;

(5)

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

С

D

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1 . Таблица соединений

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство тривиально)

,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

.

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

(7)

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

.

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

Контрольные вопросы и задачи

А
В

В. Н. Непопалов

Метод переменных состояния

Учебное пособие

Челябинск 2003

УДК 621.3.011(075.8)

Непопалов В. Н. Метод переменных состояния: Учебное пособие. – Нижневартовск, Изд. 2003.– 26 с.

Рассматривается метод переменных состояния расчета переходных процессов в линейных электрических цепях. Учебное пособиепредназначено в помощь студентам при самостоятельной работе по курсу «Дополнительные главы электротехники».

1. Нормальная форма уравнений состояния 4

2. Получение нормальной формы уравнений состояния 5

3. Примеры получения нормальной формы уравнений состояния 6

4. Решение уравнений состояния классическим методом 9

5. Использование элементов теории матриц для решения уравнений состояния 15

6. Применение к расчету переходных процессов 22

7. Контрольные вопросы 24

Метод переменных состояния

Переменными состояния будем называть определенный в момент времени t 0 набор функций (напряжений, потокосцеплений, токов или зарядов), значений которого вместе с заданными для t  t 0 входными воздействиями, достаточно для однозначного определения выходных функций для любого момента времени t  t 0 .

В качестве переменных состояния электрической цепи можно выбрать некоторый набор напряжений, зарядов, токов или потокосцеплений, определенных строго для момента времени , т. е. в момент непосредственно после коммутации. Это обстоятельство ограничивает возможность выбора переменных состояния напряжениями или зарядами на емкостях и токами или потокосцеплениями в индуктивностях, так как значения этих величин не изменяются в момент коммутации t  0:

,,,.

Число величин, определяющих количество переменных состояния, равно числу независимых физических начальных условий.

1. Нормальная форма уравнений состояния

Переменные состояния в момент времени t определяются матрицей-столбцом
, размерностью

С помощью переменных состояния математическая модель линейной электрической цепи, с независящими от времени параметрами, определяется совокупностью дифференциальных уравнений:

и алгебраических уравнений:

где X (t )– матрица-столбец переменных состояния размерностью
;

матрица-столбец производных переменных состояния;

F (t )– матрица-столбец заданных входных переменных или входных воздействий;

Y (t )– матрица-столбец выходных переменных;

А ,В ,С ,D – матрицы известных величин, причем,А – квадратная матрица порядкаn . Размерности матрицВ, С , D определяются условиями конкретной задачи.

Дифференциальные уравнения вида

будем называть нормальной формой уравнений состояния, а алгебраические уравнения вида

уравнениями выходных функций.

2. Получение нормальной формы уравнений состояния

Для получения нормальной формы уравнений состояния

1. Нарисовать направленный граф схемы электрической цепи. Составить для этого графа нормальное дерево. В нормальное дерево необходимо включить все ветви с емкостями и источниками э. д. с . Если этого недостаточно для получения дерева, добавить ветви с резисторами, если и этого недостаточно для получения дерева, добавить ветви с индуктивностями. Связями (хордами) графа должны быть ветви с индуктивностями, источниками тока и резистивными ветвями, не вошедшими в дерево графа.

2. Для каждой ветви дерева определить сечение, в которое входит только одна ветвь дерева и некоторый набор связей графа (хорд). Число независимых сечений равно числу ветвей дерева: b t  q – 1, где –q число узлов. Записать уравнения Кирхгофа для токов каждого главного сечения и выразить токи ветвей дерева через токи ветвей хорд. Основными из уравнений являются те, в которые входят токи емкостей (если они есть).

3. Для каждой связи определить контур, в который входит только одна связь и некоторый набор ветвей дерева. Число независимых контуров равно числу связей: b l  b – q+ 1, гдеb – число ветвей графа. Записать уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура и выразить напряжения на индуктивностях (если они есть) через напряжения на других элементах. Если связями является ветви с источниками тока, то при составлении уравнений состояния уравнения по второму закону Кирхгофа для этих контуров не записываются. Основными являются те уравнения, в которые входят напряжения на индуктивностях.

4. С помощью оставшихся уравнений исключить из основных уравнений напряжения и токи резистивных ветвей. Выразить токов емкостей и напряжения на индуктивностях через напряжения на емкостях и токи в индуктивностях.

5. Подставить в основные уравнений уравнения элементов:

;
.

6. Преобразовать полученную систему в нормальную форму уравнений состояния.

7. Записать алгебраические уравнения выходных функций.

Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.

Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):

Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь переменными, которые называются переменными состояния, служат переменная х и ее производные.

Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений r, L, С, М) и действующих источников , определяется независимыми начальными (t = 0) условиями - токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах , которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи и напряжения . Действующие источники можно назвать входными величинами , искомые величины - выходными . Для цепи с n независимыми токами и напряжениями должны быть заданы еще n независимых начальных условий.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:

или короче

где X матрица-столбец (размера n x 1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F - матрица-столбец (размера m x 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица размера п х m (матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид

или короче

где W - матрица-столбец (размера l x 1); M - матрица связи (размера l x n); N - матрица связи (размера l x m).

Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.

Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е. и переменными состояния , а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41,6), у которой каждый заданный ток представлен источником тока , а каждое заданное напряжение - источником напряжения (ЭДС) . Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения и токи (сначала учитываем действие источников затем и далее источников, действующих в цепи):

Так как , то

Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений ре-зистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.

Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме.

Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упрощаются

и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде

где X (0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния; - матричная экспоненциальная функция.

Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество.

При решение уравнения (14.91) представим в виде

где Ф(t) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим

Сравним (14.96) с (14.91а)

и, умножив на , после интегрирования найдем, что

где q - переменная интегрирования, или

Подставим это выражение в (14.95):

В частности, при t = 0 имеем

Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде

(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии).

Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов, рассматриваемый в разделе .

Выходные величины можно найти по (14.92).

Если состояние цепи задано не при t = 0, а при , то в (14.97) первое слагаемое записывается так: , а нижний предел интеграла не 0, а t.

Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения l матрицы А, т. е. корни уравнения

где 1 - единичная матрица порядка n, которые определяются из уравнения

где - элементы матрицы А.

Собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

Матричная экспонента, аргумент которой - матрица Аt, имеющая порядок n, представима конечным числом n слагаемых. Если собственные значения различны, то

где - функции времени; и т. д.

Наконец, определив из (14.100), по (14.99) находим и затем X (t) по (14.97).

Пример 14.6. Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при .

Решение. Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока . Независимые начальные условия: . Дифференциальные уравнения цепи

Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:

т. е. согласно (14.91)

и матрица-столбец начальных значений

Вычислим собственные значения; по (14.98)

откуда . Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения .

Находим коэффициенты ак по (14.100), т. е. из системы уравнений

Значения тока вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0 - 0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.

Таблица 14.1

Если среди n собственных значений матрицы А есть q кратных , то для n - q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по от обеих частей уравнения с корнем , т. е.

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы-это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче­ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе­мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где^,^) иy2(t) есть выходные переменные, a ux(t) и u2(t)- вход­ные переменные. Для ЭТОЙ системы переменные (*[, х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] и входные сигналы щ(і) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест­ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений - «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе­ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

xx(t)=y(i) И x2(t) = -

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, яв­ляется ТЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4. Состояние системы характеризуется двумя переменными (Х[, х2) где хх есть напряжение на конденсаторе vc(/), и х2 - ток через ин­дуктивность //(/). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за­пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5) Таким образом, Х](/0) и x2(t0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле­довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЛіС-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю­щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне­ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе: іс ~С - у - = u(t)~ і і (3.6)

Источник4^ тока

Рис. 3.4. RLC-цепь

Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре­деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния хх и х2:

*L-lx --Х Г3 9Ї

Тогда выходной сигнал будет равен

^i(0 = v0(0 = R х2. (3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия , мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все­гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис­темы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации xx{t) и x2(t). Так, для RLC-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и v; (/), где vL - напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, х, их"2, будут связаны со старыми переменными хх и х2 соотношениями:

х =vc =х, (3.11)

х* = Vj =vc - RiL =х, - Rx2. (3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе­ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате­льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо­льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи­ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле­ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи­

тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче­редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так­же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя­ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со­стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю­щие будущее поведение системы.