Формула метод замены переменной. II

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где \(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример 7. ∫x√x-5dx

Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t 2 +5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe -2x dx

Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e -2x dx. Тогда du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Следовательно по формуле имеем: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e -2x -e -2x +C

23 . Рациональная дробь - это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной , в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: , где M(x)- многочлен, а правильная дробь.

Пример: Пусть дана неправильная рациональная дробь.

Тогда ,так как, при делении уголком получим остаток (4x-6).

Т. к. интегрирование многочленов не представляет принципиальных затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Можно выделить несколько типов рациональных дробей:

II. Вид:(k-целое положительное число ³2).

IY. Вид:(k-целое³2).

Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей.

I. .

II. =A .

24 . Интегрирование рациональных дробей

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n , так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) где R(x)и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n . Тогда

, (1.1)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 – 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x 4 + 2x 2 – 4x + 7 и остаток S(x) = 9x 2 – 14x +12 от этого деления. По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность. Пусть полином Q(x) имеет n различных корней . Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где - числа подлежащие определению. Если - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x j - комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если – корни кратности один. Если – корни кратности , то им соответствует слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле , которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой . Одним из способов нахождения коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

25. Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

26 . Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:


Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Непосредственное интегрирование

Основные формулы интегрирования

1. С – константа	1*.
2. , n ≠ –1
3. +С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием .

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки используют схему решения:

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) выполнить обратную замену.

Найдите интегралы:

Пример 1 . Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt,

Решение:

Пример 2. ∫e -x3 x 2 dx Подстановка: -x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Решение: ∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Пример 3. Подстановка: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Решение: .

РАЗДЕЛ 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления.

п.1 Понятие определенного интеграла

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x) , при переходе аргумента x от значения a к значению b .

Решение . Положим, что интегрированием найдено: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Тогда F(x)+C 1 , где С 1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x) . Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b . Получим:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C 1 отсутствует постоянная величина C 1 . А так как под C 1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C , первообразные для данной функции f(x) , имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a) .

Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: и читается: интеграл от а до b от функции f(x) по dх или, короче, интеграл от а до b от f(х)dх.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним ; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x , удовлетворяющих условиям: a  x  b

Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b , равное разности F(b)-F(a) , называется определенным интегралом и обозначается символом: так, что если ∫ (x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) - данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

п.2 Основные свойства определённого интеграла

Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Пример 2: Вычислить интеграл:

п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Подстановка: 1+cosx=t, -sinxdx = dt,

РАЗДЕЛ 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции:

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Найдем площадь этой трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x , двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции у = ƒ(х) (рисунок), определяется по формуле:

В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х 2 .+2, у=0, х= -2, х=1.

Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у=0 задает ось Ох).

Ответ:S = 9 ед 2

Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= - е х, х=1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж.
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох , то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

РАЗДЕЛ 1.7 . Применение определенного интеграла

п.1 Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция прилежит к оси Оx, а прямые у=a, у=b и график функции у= F(x) (Рис.1), тогда объем тела вращения определяется по формуле, содержащей интеграл.

Объем тела вращения равен:

Пример:

Найти объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси Ох при 0≤ х ≤4.

Решение: V

ед 3 . Ответ:ед 3 .

РАЗДЕЛ 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

п.1 Понятие о дифференциальном уравнении

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных.

Общий вид такого уравнения =0, где F- известная функция своих аргументов, заданная в фиксированной области; х - независимая переменная(переменная, по которой дифференцируется);у - зависимая переменная (та, от которой берутся производные и та, которую надо определить); - производная зависимой переменной у по независимой переменной х.

п.2 Основные понятия дифференциального уравнения

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например:

Уравнение второго порядка, - уравнение первого порядка.

Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по .

Общее решение, записанное в неявном виде =0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения =0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении - фиксированное число.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида

называется задачей Коши.

п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде можно переписать в виде . Если . Интегрируем: .

Чтобы решить уравнение такого вида надо:

1. Разделить переменные;

2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.

Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: . Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представим в виде C/2. Имеем или - общее решение. Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид

Пример 2. Найдите частное решение уравнения, еслипри.

Решение: , , , , , общее решение.

Подставляем значения х и у в частное решение: , , частное решение.

Пример 3. Найдите общее решение уравнения. Решение: , , , - общее решение.

п.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого

Уравнение вида или решается двукратным интегрированием: , , откуда . Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ; . Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные и .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: , , ,

Пример 2. Решить уравнение . Решение: , , .

РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида ++…++…, (1)

где , , …, , …- числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i = 1, 2, …, n, …

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) - это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x - это функция от t .
(2) ,
где t - это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2) . Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b - постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2 - это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.