Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации. Оптимальная частота работы ГАС

Обнаружение радиолокационных сигналов 1 страница

2.1.1. Качественные показатели и критерии оптимального обнаружения сигналов

Первая задача радиолокационного приема - задача обнаружения сигнала. В результате процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии цели в, произвольном разрешаемом объеме зоны обнаружения. средства радиолокации (СРЛ). Решение может быть принято при двух взаимно исключающих условиях:

условие А - «объект есть»,

условие А о - «объекта нет», которые в процессе получения решения неизвестны.

За счет помех и флюктуации полезного сигнала каждому условию могут соответствовать два вида решений:

решение А * - «объект есть»,

решение A* - «объекта нет»,

При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «условия» и «решения»:

1) ситуация А *А (правильное обнаружение);

2) ситуация A *A (пропуск цели);

3) ситуация А *А 0 (ложная тревога);

4) ситуация А *А 0 (правильное не обнаружение)

Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмеще­ния событий: Р(А *А ), Р(A *A ), Р(А *А 0), Р(А *А 0). Каждому ошибочному решению ставится в соответствие некоторая плата - стоимость ошибки . Для безошибочных решений эта стоимость равна

0 . Средняя стоимость (математическое ожидание стоимости) ошибочных решений оп­ределится следующим образом:

Лучшей системой обработки считается та, которая удовлетворяет крите­рию минимума этой стоимости - критерию минимума среднего риска. На прак­тике переходят к условным вероятностям, являющимся качественными показа­телями обнаружения при условиях наличия и отсутствия объекта радиолока­ции.

Качественными показателями обнаружения при условии наличия объекта являются соответствующие условные вероятности правильного обнаружения

и пропуска цели

Поскольку соответствующие одному и тому же условию решения и взаимоисключающие, то

Качественными показателями обнаружения при условии отсутствия объ­екта являются условные вероятности ложной тревоги

и правильного обнаружения

Используя приведенные соотношения (2) - (5), выражение (1) для сред­ней стоимости ошибки можно представить в следующем виде

или после замены D-1-D и простых преобразований,

При этом критерий оптимизации обнаружения по минимуму среднего риска сводится к весовому критерию

I = D-l 0 F = max. (7)

Последний показывает, что по совокупности требований повышения ус­ловной вероятности правильного обнаружения D и понижения условной веро­ятности ложной тревоги F следует стремиться к увеличению «взвешенной» разности D- l 0 F. Множитель l 0 , называемый весовым множителем, зависит от

соотношения стоимостей ошибок каждого вида и вероятностей наличия или от­сутствия объектов в исследуемом участке пространства. Дать рекомендации по выбору D и F затруднительно. Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги обычно устанавливают из практи­ческих соображений.

Оптимизация обнаружителей может достигаться одновременным умень­шением условных вероятностей ложной тревоги и пропуска цели. В таких об­наружителях оба вида ошибок нежелательны в одной и той же степени. Поэто­му полагают и средний риск приобретет смысл суммарной вероят­ности ошибки (Р ош)

Фиксированном значении вероятности ложной тревоги F. Это является основой критерия Наймана – Пирсона.

Обычно значения априорных вероятностей Р(А 0) и Р(А1) заранее неиз­вестны. Наибольшую информативность, в этом случае, обеспечивает равенство этих вероятностей Р(А 0) = Р(А1) = 0,5. Тогда вероятность суммарной ошибки

.

Условие минимума вероятности ошибочного решения

носит название критерия максимального правдоподобия.

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана -Пирсона. При этом основными качественными показателями радиолокационно­го обнаружения являются условные вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F.

2.1.2. Оптимизация обнаружения

Обнаружитель сигнала решает задачу выяснения следующего: содержит принимаемое колебание отраженный сигнал или нет. На вход обнаружителя поступает колебание у, которое при отсутствии сигнала представляет собой шум п, а при наличии сигнала - сумму шума и сигнала (п+х). В общем случае входной сигнал можно записать в такой форме

у = п + Ах,

где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А*, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия.

Полагаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожи­даемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной ве­личины п также известен (будем полагать его нормальным). На рис. 2.1 изо­бражены графики плотностей вероятности случайной величины у при условиях отсутствия сигнала А=А 0 =0 и его наличия A=A1 =1:

,

.

Индексы «П » и «СП» указывают на наличие одной помехи или наличии сигнала с поме­хой. Кривая РСП (у) сдвинута по отношению к кривой Р П (у) на постоянную величину х.

Рис. 2.1. Условные плотности веро­ятности Р П (у) и РСП (у) и график решающей функции А*(у)

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решающей функцией А* = А*(у), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: 0 или 1. Из графика решающей функции следует, что для y0D и F имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал при условии «сигнал + помеха» или «помеха» и соответствуют заштри­хованным областям на рисунке. Для произвольной решающей функции выражения для D и F можно запи­сать в виде интегралов в бесконечных пределах

Выражение D- l 0 F, соответствующее весовому критерию, может быть представлено следующим образом

(9)

Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обна­ружения, которая обеспечивает максимум интеграла (9). Чтобы выполнить это условие, достаточно добиться для каждого у наибольшего значения подынте­грального выражения за счет выбора решающей функции А*(у). Эта функция

принимает только два значения: 0 или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в 0, либо умножается на 1. Поэтому полагаем:

1) А*(у)=1, если подынтегральное выражение положительное;

2) А*(у)=0 в противном случае.

Поскольку плотность вероятности Р П (у) не может принимать отрица­тельных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения мо­жет быть записано в виде

(11)

Величина называется отношением правдоподобия. Оно характеризует, какую из гипотез следует считать правдоподобной. Отно­шение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает по­роговую величину l 0 , в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

В случае, если помеха описывается центральным гауссовым распределе­нием со стандартным отклонением n 0и дисперсией , отношение правдоподо­бия будет равно

(12)

Зависимость l(y) для х > 0 изображена на рис. 2.2.

При х>0

Величина у 0 называется порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги F зависит только от величины у 0:

, (13)

где - интеграл вероятности.

Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана-Пирсона.

Рис. 2.2. Зависимость отно- Рис. 2.3. Условие плотности веро-
шения правдоподобия от ре- ятности Р п (у), Р С П (у) и график ре­
зультатов наблюдения шающей функции А* опт (у)

Условная вероятность правильного обнаружения определится следую-

щим образом:

(14)

При заданном уровне помех n0 величина D зависит не только от порога у 0 , но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 2.4). Зависимость D(x) может быть построена качественно из анализа площади под кривой РСП (у) на рис. 2.3 и количественно в соответствии с выражением (14). Чем выше уровень порога у 0

и меньше условная вероятность ложной тревоги F, тем больше кривая D(x)

сдвигается вправо.

При этом для обеспечения той же вероят­ности D требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис. 2.4 на­зываются кривыми обнаружения.

Рис. 2.4. Кривые обнаружения

2.1.3. оптимальное обнаружение полностью известного сигнала

Будем полагать, что ожидаемый сигнал x(t, а) полностью известен, т.е. из­вестны его форма, амплитуда, временное положение и т.д. Обнаружитель дол­жен выработать решение о наличии или отсутствии сигнала. На вход обнару­жителя поступает сигнал y(t), который обнаруживается на фоне белого гауссов- ского шума n(t).

Отношение правдоподобия для этого случая может быть представлено в следующем виде

где - фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала;

N0 - спектральная плотность шума; Э( ) - энергия ожидаемого игнала; Z( ) - корреляционный интеграл

.(16)

Отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляцион­ного интеграла, который может быть рассчитан по принятой реализации y(t) для любого фиксированного параметра . Сравнение отношения правдоподо­бия с порогом l0 эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соот­ветствующим порогом z0.

.

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять корреля­ционный интеграл (16) и сравнивать его с порогом. Структурная схема про­стейшего обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами изобра­жена на рис. 2.5.

Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом z 0 . Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность F ложного превышения порога

Рис. 2.5. Простейший корреляционный обнаружитель

была не больше допустимой. Опорное колебание x(t, ) может вырабатываться специальным гетеродином или получаться непосредственно от передатчика пу­тем задержки сигнала на время .

2.1.4. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Обычно сигнал, принимаемый приемником, неизвестен точно. Как пра­вило, его амплитуда, начальная фаза, время запаздывания и другие параметры заранее неизвестны. Возможны два способа приема сигналов с неизвестными параметрами. Первый способ предполагает предварительное измерение всех его неизвестных параметров и последующий прием как полностью известного сигнала. Этот способ требует выделения специального времени на выполнение указанных выше измерений, усложнения аппаратуры и значительной величины отношения сигнал-шум. Этот способ может быть заменен другим, при котором неизвестные параметры сигнала считаются случайными, а его прием ведется без учета конкретных значений параметров путем статистического усреднения принятого колебания.

Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со слу­чайными нефиксированными параметрами по принятой реализации y(t) сводит­ся:

1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и
частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах и ( -
случайный нефиксированный при обнаружении параметр или совокупность па­-
раметров: начальная фаза, амплитуда);

2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефикси­
рованному параметру .

Для указанной выше ситуации частное отношение правдоподобия опре­делится следующим образом:

,(17)

где Z и Э - частные значения корреляционного интеграла и нергии сигнала.

(18)

.(17)

Ведя речь о фазовой структуре сигналов, следует определиться с коге­рентностью. Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой струк­турой, однако начальная фаза радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной. Такой сигнал может быть представлен в ви­де:

Тогда частное значение корреляционного интеграла (18) приводится к виду:

где ,

Для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, частное значение энергии от не зависит .

Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от 0 до 2 с плотностью вероятности . Определяя математическое ожидание частного отношения прав­доподобия и вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода нулево­го порядка , получим

(20)

где Z - модульное значение корреляционного интеграла, определяемое для принятой реализации y(t) с учетом фиксированного параметра а

Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой изображена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой имеют тот же вид, что и при точно известном сигнале, но лежат несколько пра­вее, что свидетельствует о проигрыше в отношении сигнал-шум.

Если реализуется прием одиночного сигнала со случайной начальной фа­зой, простейшая схема оптимального обнаружителя имеет вид, изображенный на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Оптимальный приемник для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой

Согласованный фильтр такой, у которого коэффициент передачи K есть величина, комплексно сопряженная спектру S сигнала. Импульсная переходная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянно­го множителя является зеркальным отражением входного сигнала на оси вре­мени. Такой фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум.

Если принимается последовательность импульсных сигналов со случай­ной начальной фазой, то выбор схемы обнаружителя существенно зависит от взаимосвязи фаз отдельных сигналов. При когерентной пачке импульсных сиг­налов (имеет место функциональная зависимость фазы колебаний от времени) оптимальный приемник может быть реализован в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Оптимальный приемник для обнаружения пачки когерентных импульсов одинаковой амплитуды и длительности

Согласованный фильтр в данной схеме является оптимальным для от­дельного импульса пачки. Линия задержки имеет (N-1) отводов (N - число им­пульсов в пачке). Если период следования импульсов Т, то общая задержка в линии равна (N-l)-T. В момент окончания пачки импульсов на выходе сумма­тора имеет место наибольшее значение отношения сигнал-шум, характеризуе­мое суммарной энергией пачки импульсов.

Для некогерентной пачки импульсов (начальные фазы отдельных им­пульсов статистически независимы) оптимальный приемник принимает вид, изображенный на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Оптимальный приемник для обнаружения пачки одинаковых некогерентных импульсов

Приемник включает: фильтр, согласованный с одиночным импульсным сигналом; детектор амплитудный; рециркулятор, используемый для накопления видеоимпульсов; пороговое устройство. Рециркулятор имеет коэффициент пе­редачи меньше единицы, вследствие чего накопление импульсов происходит неоптимальным образом и поэтому схема на рис. 2.9 является квазиоптималь­ной.

В момент окончания пачки импульсов отношение сигнал-шум на выходе рециркулятора имеет максимальное значение. Суммирование импульсных сиг­налов происходит после нелинейного элемента - детектора амплитудного, ко­торый ухудшает отношение сигнал-шум на выходе по сравнению с этим отно­шением до детектора. Вследствие этого, результирующее отношение сигнал-шум некогерентной пачки импульсов оказывается меньшим, чем у когерентной.

2.1.5. Оптимальное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Часто случайной бывает не только начальная фаза, но и амплитуда, что приводит к дальнейшему ухудшению характеристик обнаружения по сравне­нию с полностью известным сигналом. Для этого случая сигнал может быть за­писан следующим образом:

Для такого сигнала частное отношение правдоподобия при фиксированном В будет равно

где Z(b) = BZ, Э(B) = В 2 Э; Э и Z - энергия и модульное значение корреляци­онного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу, соответствую-

щему В =1.

При этом величина Э выбирается равной средней энергии

.

Задаваясь релеевским распределением амплитуд

окончательно получим:

(23)

Для сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла Z( ), как и в случае, когда неизвестна только начальная фа­за. Совпадение алгоритмов обнаружения позволяет использовать в обоих слу­чаях одинаковые схемы обработки.

Особенность характеристик обнаружения в рассматриваемом случае со­стоит в том, что с ростом отношения сигнал-шум вероятность обнаружения возрастает сначала быстро, а после достижения значений D = 0,5 - 0,6 это уве­личение замедляется, а затем становится очень медленным. Это объясняется тем, что при действии таких сигналов изменяются лишь параметры распреде­ления Релея величины Z в оптимальном обнаружителе.

На рисунке 2.10 изображены кривые обнаружения для различных сигна­лов.

Рис. 2.10. Кривые обнаружения для сигналов: с полностью извест­ными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир), со случайными амплитудой и начальной фазой (сплош­ные линии)

Приведенные выше схемы являются оптимальными лишь тогда, когда положение ожидаемого сигнала на оси времени известно. Ответ о наличии сиг­нала с неизвестным временем запаздывания может быть дан, если установить факт его наличия или отсутствия для различных значений времени запаздыва­ния. Приходим, таким образом, к необходимости многоканальных корреляци­онных схем, что является недостатком при реализации алгоритмов обнаруже­ния в радиолокации.

Для одноканальной обработки радиолокационной информации могут быть применены фильтровые и корреляционно-фильтровые системы.

2.1.6. Принципы фильтровой и корреляционно-фильтровой обработки сигналов

Считая вначале параметры сигнала известными полностью, потребуем,
чтобы элемент схемы оптимального приема вычислял корреляционный инте­
грал для произвольного времени запаздывания ожидаемого сигнала .(24)

Тогда корреляционный интеграл будет

,(25)

откуда видно, что схема вычисления корреляционного интеграла должна осу­ществлять операцию интегральной свертки. Для реализации математической операции (25) можно использовать фильтр, который будем называть оптималь­ным или согласованным фильтром.

Одной из основных характеристик произвольного линейного фильтра яв­ляется его импульсная характеристика, которая описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичного импульса, поданного в момент времени t=0. Импульсная характеристика оптимального фильтра описывается следую­щим выражением:

,

Каргашин Виктор Леонидович
Кандидат технических наук
Специальная техника, № 4, 2000

Часть 2. Эффективность приемников многоканального типа

Как отмечалось в первой статье сигналы от специальных радиотехнических средств (СРТС) систем негласного контроля информации должны рассматриваться как случайные процессы в условиях неизвестности их параметров. Случайный характер базы сигналов определяет структуру оптимального приемника таких сигналов как энергетического, известного как радиометр. Фактически оптимальный приемник для сигнала с неизвестными параметрами должен представлять собой измеритель мощности процесса, позволяющий выявлять энергетические приращения над мощностью шумов при наличии сигнала в анализируемом диапазоне частот. При условии неизвестности частоты работы СРТС подобные измерители мощности процессов должны быть построены во всем диапазоне частот, возможного для передачи сигналов негласного контроля, как показано на рис. 1.

Входной сигнал , состоящий из аддитивной смеси сигнала и помехи поступает на систему полосовых фильтров, после чего осуществляется вычисление средней мощности расфильтрованного процесса за время усреднения . В каждом частотном канале устанавливается собственный порог обнаружения и по превышению значений мощности в каналах принимается решение о наличии или отсутствии сигнала в исходном процессе. Такой приемник инвариантен относительно частотного диапазона сигнала и момента его появления, так как анализ процесса в частотной области осуществляется непрерывно. Очевидно, что при любой случайной базе сигнала его спектральные компоненты будут попадать в те или иные частотные полосы анализа приемника, то есть, будут регистрироваться независимо от способа распределения информационного сигнала в частотно-временном континууме.

Возможные квазиоптимальные варианты реализации приемных систем для обнаружения сигналов СРТС связаны с определенной конкретизацией модели принимаемого сигнала. Однако, эти модели не должны выходить за рамки потенциальных возможностей энергетических приемников, то есть не конкретизировать вид или способ модуляции, преобразования и кодирования сигнала. Наиболее существенным фактором является время передачи и ширина спектра передаваемого сигнала.

Среднее время длительности сигнала, например за сутки, определяется двумя факторами - длительностью контролируемого сигнала СРТС и степенью сжатия информации. Максимальная ширина спектра сигнала также обусловлена возможностями по сжатию информации с целью кратковременной ее трансляции или повышения помехоустойчивости за счет расширения полосы частот. Минимальная ширина спектра сигнала при длительности, большей, чем исходная длительность сигнала, целесообразна при попытках реализовать скрытность сигнала, например, за счет энергетического прикрытия другим сигналом. В то же время такой сигнал будет иметь повышенную длительность, что повышает вероятность его обнаружения.

Отметим, что СРТС скорее всего не является логическим интеллектуальным устройством, способным выполнять функции смыслового прореживания информационного потока, негласный контроль которого осуществляется, то есть осуществлять перехват только информации, представляющий интерес. В таком случае СРТС должно осуществлять передачу некоторого объема информации с минимальными потерями. Объем передаваемой информации определяется как , где – ширина спектра исходного контролируемого сигнала; - время существования контролируемого сигнала.

Так, для речевого сигнала в качестве минимальной полосы частот можно принять диапазон 300 – 3400 Гц, что соответствует нормативам телефонного тракта. Примем, что время непрерывного существования речи в виде переговоров в рабочих помещениях равно 1 – 2 часа в сутки, среднее время телефонных переговоров не превышает 1 часа. Следовательно, общий объем информации за сутки для речевого сигнала должен составить (10 – 20) Мбит. Весь этот объем информации можно передать при различных способах формирования базы сигнала СРТС при очевидном условии . Так, весь объем информации можно передавать в течение суток в полосе частот 120 – 240 Гц (замедление) или в полосе частот 10 МГц в течение 1 – 2 секунд (ускоренная передача). Оба варианта реализуются при наличии устройств запоминания всего или части объема информации, что требует наличия в составе СРТС соответствующих составных частей. Следует учитывать, что практически реализуемые способы передачи преобразованного речевого сигнала могут потребовать дополнительного увеличения времени передачи или расширения полосы частот, например, для синхронизации связи.

Оптимальный приемник для обнаружения сигналов СРТС должен быть инвариантен относительно любых способов преобразования исходного речевого сигнала, но учитывать в качестве параметра необходимость для СРТС трансляции определенного объема информации. Оптимальный приемник представляет собой по существу многоканальный анализатор с одновременным приемом сигналов по всем частотным полосам, причем при оптимальном приеме ширина полосы анализа должна выбираться из ограничений на длительность обнаруживаемого сигнала.

Процесс обнаружения сигнала зависит от его мощности и от соотношения ширины его спектра и частотных полос приемника, в которые попадают спектральные составляющие сигнала, как показано на рис. 2.

В зависимости от соотношения ширины полосы спектра сигнала и ширины полосы анализа приемника возможны две ситуации:

• весь спектр сигнала попадает в одну анализируемую частотную полосу;
• составляющие спектра сигнала попадают в несколько анализируемых частотных полос приемника.

При одинаковых мощностях узкополосного и широкополосного сигналов эффективности их обнаружения будут существенно различны. Для определения показателей обнаружения сигналов с различной шириной спектра рассмотрим характеристики обнаружения такого приемника в одной частотной полосе. Так как в силу неопределенности параметров сигнала СРТС он принимается за шумовой процесс, то мы имеем дело со случаем обнаружения одного шумового процесса на фоне другого, которые с общих позиций могут быть смоделированы нормальными процессами с нулевыми средними.

Точное решение поставленной задачи для произвольного времени накопления достаточно сложно, но решается для двух крайних случаев – нулевого времени анализа и бесконечно большого времени анализа . Первая ситуация интересна тем, что позволяет даже в отсутствие алгоритмов накопления сигнала получить оценки энергетических характеристик шума и сигнала и определить вероятности правильного обнаружения в этом предельном случае.

Считая, что в пределах полосы анализа приемника спектральные плотности шума и сигнала равномерны, при распределения процессов при шуме и сигнале соответствуют распределению квадрата гауссовой величины ( - распределение), получим выражения для вероятности правильного обнаружения сигнала в одной частотной полосе в следующем виде:

,

где – вероятность ложной тревоги; - отношение сигнал/помеха, равное отношению мощностей сигнала и шума в полосе анализа ; - интеграл вероятности – функция ошибок; – квантиль интеграла вероятности.

На рис. 3 приведены зависимости вероятности правильного обнаружения сигнала от отношения сигнал/помеха для некоторых значений вероятностей ложной тревоги. Для сравнения там же приведены аналогичные зависимости вероятности правильного обнаружения для сигнала с полностью известными параметрами (когерентный прием), которые определяются следующим известным выражением:

Следует отметить, что при некогерентном приеме при малых значениях отношения сигнал/помеха вероятность правильного обнаружения несколько выше, чем для когерентного, так как за счет высокой степени флуктуаций квадрата процесса возможны его выбросы над порогом. В то же время уже при отношениях сигнал/помеха более 10 дБ вероятность правильного обнаружения сигнала при когерентном приеме быстро достигает практически достоверного значения, равного 1, тогда как для некогерентного приема требуются значения отношения сигнал/помеха существенно больше, чем 40 дБ. Такие низкие показатели обнаруживаемости сигнала с неизвестными параметрами объясняются отсутствием накопления сигнала и шумовым характером принимаемого сигнала для некогерентного приемника.

С учетом времени накопления сигнала распределение мощности нормального процесса за конечное время усреднения является также асимптотически нормальным и при достаточно большом времени накопления оценка значения мощности нормального процесса также имеет гауссово распределение вида:

,

где - - среднее (истинное) значение оцениваемой мощности; - параметр временного накопления; - ширина спектра измеряемого процесса; - время измерения.

Вероятность ложной тревоги, определяемая как , равна:

,

где - среднее значение мощности помехи; - порог обнаружения.

Вероятность правильного обнаружения будет определяться выражением

,

где - отношение сигнал/помеха, - среднее значение мощности сигнала.

Характерной особенностью полученного распределения является зависимость среднего значения и дисперсии распределения от одного параметра – суммы средних значений мощностей сигнала и помехи. В результате вероятность правильного обнаружения имеет предельное значение, определяемое только временем накопления измерения.

Для значения , получим предельное значение вероятности правильного обнаружения сигнала от мощности процесса:

.

На рис. 4 приведены значения предельной вероятности правильного обнаружения, зависящие от времени анализа процесса.

Таким образом, для получения достоверных оценок вероятности правильного обнаружения шумового сигнала требуется время анализа не менее, чем , что определяет предельные показатели частотного разрешения многоканального приемника, рассчитанного на сигналы с ограниченной длительностью.

Полученные оценки справедливы для одного канала анализа многоканального приемника, показанного на рис. 1. Пусть на входе такого многоканального приемника присутствует случайный процесс, представляющий сумму сигнала и помехи, , где сигнал и помеха считаем гауссовыми процессами с нулевыми матожиданиями и дисперсиями и , которые являются фактическими мощностями процессов. Если приемник построен из идеальных полосовых фильтров, то на выходе каждого из них су­ществуют также гауссовы процессы, мощности которых равны , , где - ширина полосы спектра сигнала; - анализируемый приемником диапазон частот.

Если сигнал более широкополосен, чем полоса анализа приемника, то сигнал будет регистрироваться в нескольких частотных полосах приемника, причем число полос приемника, в которых будет регистрироваться сигнал не зависит от распределения спектра сигнала по частотному диапазону. В общем случае для сигнала, ширина спектра которого равна и частотные составляющие спектра некоррелированы, вероятность правильного обнаружения будет равна:

,

где - вероятность правильного обнаружения в одном канале; - число полос анализа приемника, перекрывающих спектр сигнала: , ; - весь частотный диапазон, подлежащий контролю приемником; – число каналов приемника; - ширина полосы анализа каждого канала приема.

Вероятность ложной тревоги также определяется вы­ражением, учитывающим возможность ложных выбросов в каждой из частотных полос анализируемого частотного диапазона:

.

С учетом этих выражений и, учитывая, что , вероятность правильного обнаружения сигнала запишется в следующем виде:

,

где - отношение мощностей сигнала и помехи в полосе частот СРТС; – отношение сигнал/помеха в полосе частот во всем частотном диапазоне; – относительный показатель широкополосности сигнала в сравнении с контролируемым частотным диапазоном.

При формула переходит в выражение для вероятности правильного обнаружения в одном канале приемника.

Проведем расчеты вероятности обнаружения многоканальным приемником с учетом объективного различия в значениях отношения сигнал/помеха на входе приемника СРТС и приемника контроля на 20 дБ, обусловленного разницей в расстояниях от СРТС до контрольного пункта и СРТС и приемника контроля и наличием на трассе распространения сигнала строительных конструкций, ослабляющих сигнал.

Проблема определения требуемых значений для различных видов сигналов представляет самостоятельный вопрос, однако, известно, что для сигналов, относящихся к классу широкополосных эффективная работа приемника возможна при отношениях сигнал/помеха меньше 1, а для узкополосных аналоговых видов модуляции требуется отношение сигнал/помеха существенно превышающих 1. Следовательно, неявным образом показатель степени широкополосности сигнала должен входить в значение .

Для определения показателей скрытности сигналов с различной базой рассмотрим следующие условные типы сигналов:

Зависимости вероятности правильного обнаружения многоканальным приемником различных типов от числа каналов приемника приведены на рис. 5.

Полученные зависимости вероятности правильного обнаружения имеют выраженный минимум при числе каналов приема 10 3 ...10 5 , который объясняется тем, что с увеличением числа каналов анализа приемника практически линейно снижается величина вероятности ложной тревоги, а показатель m остается равным 1, так как ширина спектра сигнала СРТС попадает в одну полосу приема. При увеличении числа каналов приемника и существенную роль начинает играть повышение вероятности обнаружения за счет попадания составляющих сигнала в несколько частотных полос приемника .

Для достоверного обнаружения сигналов различных типов число каналов одновременного анализа приемника должно составлять не менее 10 7 , а полоса анализа иметь величину порядка 200 Гц, что, очевидно не может быть реализовано в настоящее время без существенного изменения технологической базы создания радиоприемников. Для существующих приемников и комплексов радиоконтроля на базе перестраиваемых тюнеров, которые можно рассматривать как квазиоптимальные, если не учитывать конечное значение скорости сканирования по частотному диапазону, а приближение к оптимальному достигается расширением ширины полосы частот мгновенного анализа при минимальных значениях частотной дискретизации расфильтровки этой полосы.

Так, комплекс "Родея" реализует ширину полосы частот мгновенного анализа 10 МГц при частотной дискретизации 2.5 кГц, что эквивалентно значению числу каналов приемника = 4*10 6 . При таком числе каналов появляется возможность обнаружения в вероятностью не менее 0.9 любых типов сигналов, а для дальнейшего повышения вероятности правильного обнаружения сверхширокополосных сигналов целесообразно увеличивать количество контрольных антенн с целью увеличения отношения сигнал/помеха дополнительно на 6 – 10 дБ. Для приемников с мгновенной полосой частотного анализа 100 МГц, которые начинают разрабатываться за рубежом, возможно достоверное обнаружение всех типов сигналов из числа рассмотренных.

В ряде задач приёма сигналов в присутствии шумов нельзя ограничиться таким общим критерием, как отношение сигнал / шум. Возникает необходимость использовать более тонкие статистические свойства процессов, которые дают возможность количественно оценить достоверность полученных данных. (например, о координатах объекта по сигналам РНС или координатах цели по данным радиолокатора). Вследствие случайного характера помех принципиально невозможно добиться их полного устранения. Использование рассмотренных выше «оптимальных» фильтров меняет характеристики случайного процесса, но процесс остаётся случайным. Путём совершенствования приёмных устройств можно снизить вероятность ошибки только до некоторого уровня. .

В данном пособии ограничимся изложением классической задачи обнаружения сигнала. Пусть на выходе приёмного устройства имеется некий сигнал - случайный процесс:

U(t) = V(t) + z (t) (7.1)

Этот процесс может представлять либо только шумы - z (t) . либо сумму детерминированного сигнала V(t) и шума. Будем считать, что факт наличия сигнала V(t) тоже случаен.

Для решения вопроса о наличии сигнала в данный момент можно принять правило: сигнал присутствует, если U (t) > E, т.е. превышает некоторый уровень, порог и что сигнал отсутствует в противоположном случае. U(t)

Ошибочный ответ может быть дан в двух несовместимых между собою случаях:1) когда сигнал отсутствует, V(t) = 0, но напряжение шума превышает уровень Е. (событие А = «ложная тревога» .- Л.Т.) 2) Когда сигнал присутствует, V(t) 0, но сумма сигнала и шума не превышает уровня U(t) Б, «пропуск сигнала»).

Вероятность ложной тревоги (событие А ), т. е. того, что будут совмещены два события - отсутствие сигнала и превышение шумом уровня Е (при отсутствии сигнала) , равна априорной вероятности отсутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность превышения уровня Е, при условии, что сигнал отсутствует. Априорной вероятностью q отсутствия сигнала зададимся, а апостериорную вероятность превышения шумом уровня Е легко получить по одномерной функции распределения шума W(x).

Тогда (7.2)

Вероятность того, что будут совмещены два события - присутствие сигнала и непревышение суммарным напряжением уровня Е (вероятность события Б ) равна априорной вероятности присутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность непревышения уровня Е при условии, что сигнал присутствует. Априорная вероятность присутствия сигнала равна:

Апостериорную вероятность непревышения уровня Е можно получить, используя одномерную функцию распределения суммы сигнала и шума - .

, тогда (7.3),

Так как события А и Б несовместимы, то вероятность ошибочного ответа Р (А или Б ) равна:

Р(А или Б) = Р(А) + Р(Б) =

Следовательно, искомая вероятность правильного ответа равна:

Возникает вопрос: как выбрать пороговый уровень Е? Ясно, что если уровень выбрать высоким, то вероятность Р(А) - ложной тревоги будет мала, но вероятность пропуска имеющегося сигнала будет велика. Наоборот, при низком уровне Е мала будет вероятность пропуска сигнала, но будет значительной вероятность ложной тревоги Р (А).Эти качественные рассуждения можно облечь в количественные соотношения, зависящие от конкретной задачи.

Может быть поставлена задача нахождения оптимальной величины порога Е, для которого вероятность правильного ответа (7.5) при заданных функциях распределения сигнала и шума максимальна. Вычисляя производную выражения (7.5) по Е и приравнивая её нулю, получаем уравнение для определения оптимального уровня:

Что даёт (7.6).

Статистический критерий (7.6), обеспечивающий максимальную вероятность правильного ответа при одном или нескольких измерениях, называется критерием «идеального наблюдателя ».

Как следует из уравнения (7.6), определяемый уровень зависит от вида функций распределения.

Рассмотрим решение этого уравнения на примере обнаружения положительной телеграфной посылки (положительного импульса с амплитудой V) на фоне шума, подчиняющемуся нормальному закону распределения, с дисперсией . Наличие или отсутствие сигнала скажется только на среднем значении суммарного сигнала (7.1).

Соответственно плотности распределения будут иметь вид:

, (7.7).

Смысл выбора порога (см. уравнение 7.6) иллюстрируется рис.3.7 .

Рис. 36 Рис.37

Оптимальный уровень определяется точкой пересечения графика (1) - распределения шума с графиком (2) - совместного распределения сигнала и шума.(с учётом масштабных коэффициентов q,p). Как видно из рисунка 3.7 , при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума.

В случае, когда априорная вероятность появления сигнала неизвестна, часто полагают р=1/2, считая, что априорно равновероятно, как наличие, так и отсутствие сигнала. (заметим, что при этом q=1/2 тоже). Тогда для распределений (7.7) величина порога оказывается равной Е= V/2. (См. Рис 3.6).

Если уровень Е выбран, то для рассматриваемого примера, где плотность распределения вероятностей шума и сигнала с шумом определены выражениями (7.7), для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала, используя (7.2) и (7.3), получаются выражения:

- функция Крампа .

На практике обычно интересуются не вероятностью пропуска сигнала, а вероятностью правильного обнаружения D (при условии, что превышен уровень Е):

(при p=1/2)..(7.9).

Приведём другой пример. Подлежащий определению сигнал является огибающей суммарного высокочастотного колебания, которое вызвано как воздействием шума, так и полезного высокочастотного сигнала (радиоимпульса).

При воздействии одного шума плотность распределения огибающей r высокочастотного колебания описывается функцией Релея:

при , и при r

Дисперсия шума.

При совместном воздействии шума и высокочастотного сигнала огибающая

имеет плотность распределения, подчиняющуюся закону Релея - Райса:

, при r >0 (7.11).

и , при r модифицированная функция Бесселя.

Графики функций (7.10) и (7.11) приведены на рис. 38.

Если в этом примере опять принять p=q, то оптимальный уровень опять определится точкой пересечения кривой распределения шума с кривой совместного распределения сигнала и шума. Из рисунка видно: при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом сигнале этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума. При p q масштабы графиков функций (7.10) и (7.11) соответственно изменятся, но оптимальный уровень будетпо-прежнемуопределяться уравнением (7.6).то есть точкой пересечения соответствующих графиков.

Рассмотренный критерий идеального наблюдателя, когда как ложное обнаружение, так и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени, наиболее характерен для систем радиосвязи.

В радиолокационных системах обнаружения используется другой критерий, называемый критерием Неймана-Пирсона. Использование другого критерия объясняется тем, что ложное обнаружение цели может иметь весьма нежелательные последствия. Поэтому вероятность ложной тревоги должна быть весьма малой, обычно задаются её значением порядка -. Часто её значение не может быть увеличено даже учитывая то, что при этом снижается вероятность обнаружения сигнала. Итак, при использовании критерия Неймана-Пирсона вероятность ложной тревоги фиксируется изначально. Так как вероятность ложной тревоги функционально связана с относительным порогом, то последний также оказывается заданным

Практически стараются удовлетворить одновременно двум противоречивым требованиям: 1) чтобы вероятность Р(Б) пропуска сигнала не превосходила некоторой величины [Р(Б)

Левый график изображает функцию, а правый -.

Вертикальная линия, восстановленная из точки соответствующего значения относительного порога (E/s ), совместно с графиками ограничивает площади, соответствующие вероятностям Р(А) и Р(Б).Они отмечены разной штриховкой.. Приведенные графики позволяют качественно проанализировать различные ситуации. Так при увеличении отношения сигнал /шум (а/s ) график функции будет смещаться вправо(смотри рис.38). Поэтому для сохранения допустимой величины Р(Б) -вероятности пропуска сигнала, окажется возможным увеличить относительный порог E/s . При этом площадь Р(А) - вероятность ложной тревоги уменьшится! Верно и обратное.

Поэтому единственной возможностью увеличения вероятности правильного обнаружения цели остаётся повышение отношения сигнал /шум на входе порогового устройства, т. е. на выходе линейного тракта приёмного устройства. Эти вопросы были рассмотрены в предыдущих разделах. Методики расчета конкретных радиотехнических устройств и количественных оценок вероятностных характеристик приема реальных флуктуирующих сигналов в присутствии шума достаточно сложны и изложены в специальной литературе.

Страница 34 из 38

1. Вероятность обнаружения

Вероятность обнаружения объектов простой геометрической формы на однородном фоне в присутствии случайных шумов рассматривалась в гл. 4. Выводы, сделанные на основе этого рассмотрения, таковы, что визуальная система работает, как бы вычисляя отношение сигнала к шуму и сравнивая его с пороговым значением отношения сигнала к шуму как критерием важности полученного сигнала. Имеется значительное количество данных, подтверждающих эту теорию в различных условиях наблюдения. В условиях ограничения видимости квантовыми шумами или контрастом теория подтверждается данными Блэкуэлла , а при наличии аддитивных шумов - данными Кольтмана и Андерсона , Шаде , а также Розелла и Вильсона , проведенные с реальными объектами в натурных условиях, показали, что процент обнаруживаемых объектов действительно возрастает с увеличением контраста. Бернштейн , например, установил, что изображения на экране электронно-лучевой трубки автомашин и людей должны иметь контраст CJL (LT - LB)/L в, равный 90%, чтобы обеспечить максимально возможную вероятность различения.
Кроме того, Бернштейн установил, что разрешение влияет на вероятность обнаружения только в той мере, в какой оно изменяет отношение сигнала к шуму или контраст объекта. Однако Колюччио и др. }