Понятие функции свойства функций одной переменной. Лекция Введение в анализ функций одной переменной

Дифференциальное

И интегральное исчисление функции

Одной переменной

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)

С. А. Изотова

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной

Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,

М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,

М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,

2012. – 108 с.

ISBN 978-5-7237-0993-5

Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.

Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

УДК 517 (075)

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2012

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3

1. Определение функции одной переменной. 3

2. Способы задания функции. 3

3. Сложная и обратная функции. 3

4. Элементарные функции. 3

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3

1. Предел функции в конечной точке x 0 3

2. Односторонние пределы.. 3

3. Предел функции на бесконечности. 3

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3

5. Основные теоремы о конечных пределах. 3

6. Первый замечательный предел. 3

7. Второй замечательный предел. 3

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3

2. Точки разрыва функции и их классификация. 3

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3

3. Таблица производных основных элементарных функций. 3

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3

5. Правила дифференцирования. 3

6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3

7. Производные показательной и степенной функций. 3

8. Производные обратных тригонометрических функций. 3

9. Дифференциал функции. 3

10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3

§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37

1. Теорема Ролля. 3

2. Теорема Лагранжа. 3

3. Теорема Коши. 3

4. Правило Лопиталя. 3

§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3

1. Асимптоты плоской кривой. 3

2. Монотонность функции. 3

3. Экстремумы функции. 3

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3

6. Схема исследования функции. Построение графика. 3

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Первообразная функция и её свойства. 3

2. Понятие неопределённого интеграла. 3

3. Свойства неопределённого интеграла. 3

4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3

1. Непосредственное интегрирование. 3

2. Интегрирование подстановкой. 3

3. Интегрирование по частям. 3

4. Интегрирование рациональных дробей. 3

5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3

6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3

§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3

2. Свойства определённого интеграла. 3

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3

4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3

5. Приложения определённого интеграла. 3

§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3

1. Интегралы с бесконечными пределами. 3

2. Интегралы от разрывных функций. 3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y . Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x ) с областью определения X = D (f ) и областью изменения Y = E (f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией .

Частным значением функции y = f (x ) при фиксированном значении аргумента x = x 0 называют y 0 = f (x 0 ).

Графиком функции y = f (x ) называют геометрическое место точек M (x;f (x )) на плоскости Oxy , где x Î D (f ) и f (x ) Î E (f ).

Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f (x ).

Например: , где D (y ) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F (x ;y ) = 0.

Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции , когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

Сложная и обратная функции

Определение 1 . Пусть функция y = f (U ) определена на множестве D (f ), а функция U = g (x ) определена на D (g ), причём E (g ) D (f ).

Тогда функция y = F (x ) = f (g (x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2 . Пусть задана функция y = f (x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f ) на множество Y = E (f ).

Тогда функция x = g (y ) называется обратной к функции y = f (x ), т. е. любому y E (f ) соответствует единственное значение x D (f ), при котором верно равенство y = f (x ).

Замечание. Графики функций y = f (x ) и x = g (y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f (x ) и y = g (x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция ), D (y ) = R; E (y ) = c .

(линейная функция ), D (y ) = R; E (y ) = R .

y = (степенная функция ), α ÎR , E (y ), D (y ) зависят от α.

y = (показательная функция ), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = R , E (y ) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция )), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = (0;+∞), E (y ) = R .

Тригонометрические функции :

y = sin x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = cos x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = tg x , D (y ) = , E (y ) = R .

y = ctg x , D (y ) = , E (y ) = R .

Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x , D (y ) = , E (y ) = .

y = arccos x , D (y ) = , E (y ) = .

y = arctg x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = arcctg x , D (y ) = R , E (y ) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Определение 1. Окрестностью точки x 0 называется любой интервал, содержащий точкуx 0:

. и справедливо равенство:

Замечание 2. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f (x ) имеет предел, равный числу:

Замечание 3. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x 0 функция f (x ) не имеет предела.

Скачать с Depositfiles

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция № 13. Тема 1 : Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s , скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t .

В этом случае изменение одной величины (t ) произвольно, а другая (s ) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y .

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент
, при этом пишут

или
.

Элемент называется аргументом функции f , а элемент значением функции. Множество X , при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции , а множество Y  областью изменения функции . Эти множества соответственно обозначаются
и
.

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела
. Здесь X и Y  множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга
. Здесь X и Y  множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X  множество студентов группы, т.е.
, а
 множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки) :

 отрезок;

 интервал;

 числовая ось (множество действительных чисел);

или     окрестность точки a .

а
х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y , то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций :

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1.
. 2.
. 3.
.

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы):  для всех, любых;  существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей ) на некотором промежутке, если
из этого промежутка выполняется неравенство
или
и пишут
или
соответственно . Возрастающие и убывающие функции называются монотонными . Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если
выполняется условие
. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной ), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида .

Функция называется периодической с периодом Т , если выполня-ется условие
.

Например, функция
является возрастающей
и убывающей
. Функция
является монотонной . Функция
ограничена для , так как
. Функции:
являются четными, а функции
 нечетными. Функция
 периодическая с периодом
.

Функция может быть задана и уравнением вида

(1)

Если существует такая функция , что
, то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно . Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию
.

Пусть
, а
, тогда функция
называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f . Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций
и
.

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у , а в качестве функции – переменную х , то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается
. Например, для функции
обратной функцией служит
или
, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ ). Например, поставим в соответствие каждому числу
число 1, а каждому
число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

d

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y . Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

	х 1	х 2	x 3		x n
	у 1	у 2	у 3		у n

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.

1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся: . целая часть числа, где x  наибольшее целое число, не превосходящее x , например,
.

Тема 4 . Функция одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.

План лекции:

Понятие функции.

Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

Обратная функция.

Сложная функция.

Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Х и Y . Соответствие f , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y .

X

X

Y

Y

X

Y

Y

. .

X

Например, соответствия f и g , изображённые на рисунке, являются функциями, а  и u ‒ нет. В случае  ‒ не каждому соответствует элемент
. В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.

Элемент
, который соответствует данному , называют образом элемента х. Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом элемента у .

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D (f ). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х , называется множеством значений функции f и обозначается Е (f ).

Числовые функции. График функции. Способы задания.

Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией . В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.

Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Частное значение функции
при х=а записывают
. Например, если
, то
,

Г

М (х ;у )

у

х

1

О

рафиком функции
называется множество всех точек плоскости Оху , для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.

Например, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R =1 с центром О (0;0).

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.

Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.

Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.

Основные характеристики функций.

Функция
, определённая на множестве D , называется чётной , если
выполняются условия
и
; нечётной , если
выполняются условия
и
.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.

Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.

Пусть функция
определёна на множестве D и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:

а)
, то функция называется возрастающей на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

б)
, то функция называется неубывающей на множестве ;

в)
, то функция называется убывающей на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

г)
, то функция называется невозрастающей на множестве .

‒2 О 1 3 4 х

у

Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .

Ф

у=М

у

х

у= ‒М

Ункцию, определённую на множестве D называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.

:

.

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .

Функция
, определённая на множестве D , называется периодической на этом множестве, если существует такое число T >0 , что при каждом
значение
и
. При этом число Т называется периодом функции . Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ , где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т , удовлетворяющее равенству
.

Обратная функция.

Пусть задана функция
с областью определения D и множеством значений Е . Если для каждого
существует единственный прообраз в D , то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е и множеством значений D . Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными. . Заметим, что для функции промежуточным аргументом сложной функции.

Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x .

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой , а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x ).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией .

Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью ее значений .

Существует ряд способов задания функции:

а) наиболее простой - аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x , при которых формула имеет смысл;

б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x ) используется координатная плоскость (xy ).

Совокупность точек y , соответствующих заданным значениям x , определяет график функции на плоскости (xy );

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f (x ) называется четной , если для любого значения x , принадлежащего области определения функции X , значение (–x ) тоже принадлежит X и при этом выполняется

f (–x ) = f (x ).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x ) называется нечетной , если для любого x X следует (–x ) X и при этом

f (–x ) = –f (x ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f (x ) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида .

Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей на некотором интервале (a , b ), если для любых x 1 , x 2 (a , b ), таких,

что x 1 < x 2 , следует, что f (x 1) < f (x 2), и убывающей , если f (x 1) > f (x 2).

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b ) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b ) - интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными , а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f (x ) называется ограниченной на интервале (a , b ), если существует такое число С > 0, что для любого x (a , b ) следует |f (x )| < C , и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a , b ), что |f (x )| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a , b ).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической , если существует такое число t , что для любого x X выполняется

f (x + t ) = f (x ).

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т .

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константа y = c , где с - постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x .

2. Степенная функция , где - любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n ), целых отрицательных ( = –n ) и дробных ( = 1/n ) значениях представлен ниже.

4. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции : y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .

6. Обратные тригонометрические функции .

y = arcsin x y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x

б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log 2 y . Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

z = log 2 (sin x ).

Также можно ввести понятиеобратной функции .Пусть y = f (x ) задана в области определения X , а Y - множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y 0 и по нему найдем x 0 так, чтобы y 0 было равно f (x 0).Подобных значений x 0 может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x . Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y ), которая называется обратной для функции y = f (x ).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y , то значение x , удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log a y . То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log a y .

Следовательно, функция x = log a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y . Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x , то в этом случае говорят, что y = f (x ) и y = g (x ) - обратные функции.

Графики функции y = f (x ) и обратной ей функции y = g (x ) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.