Решение задачи о назначении венгерским методом. Пример

Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из конечного числа итераций. На подготовительном этапе строится матрица X0 (xij)m,n, элементы которой неотрицательны и удовлетворяют неравенствам:

Если эти условия являются равенствами, то матрица Хo - решение транспортной задачи. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации. На k-й итерации строится матрица Хk (xij)m,n. Близость этой матрицы к решению задачи характеризует число Dk - суммарная невязка матрицы Хk:

В результате первой итерации строится матрица Хl, состоящая из неотрицательных элементов. При этом Dl D0. Если Dl 0, то Хl - оптимальное решение задачи. Если Dl 0, то переходят к следующей итерации. Они проводятся до тех пор, пока Dk при некотором k не станет равным нулю. Соответствующая матрица Хk является решением транспортной задачи.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. В этом случае число итераций не превышает величины D0/2 (D0 - суммарная невязка подготовительного этапа).

Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок. Это позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Данное свойство существенно для задач большой размерности.

Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов. 2-е узд. / Под ред.. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Узд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 436 с.

Зайченко Ю.П. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Вища школа. Главное изд-во, 1979. 392 с.

И. А. Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 1986.- 319 с.

Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.

Таха Х. Введение в исследование операций: в двух книгах. Кн.1,2 Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

Хазанова Л.Э. Математическое программирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Издательство БЕК, 1998. – 141с.

• Tutorial

Привет, друзья! В этой статье хотел бы рассказать про интересный алгоритм из дисциплины «Исследование операций» а именно про Венгерский метод и как с его помощью решать задачи о назначениях. Немного затрону теории про то, в каких случаях и для каких задач применим данный алгоритм, поэтапно разберу его на мною выдуманном примере, и поделюсь своим скромным наброском кода его реализации на языке R. Приступим!

Пару слов о методе

Для того чтобы не расписывать много теории с математическими терминами и определениями, предлагаю рассмотреть пару вариантов построения задачи о назначениях, и я думаю Вы сразу поймете в каких случаях применим Венгерский метод:

• Задача о назначении работников на должности. Необходимо распределить работников на должности так, чтобы достигалась максимальная эффективность, или были минимальные затраты на работу.
• Назначение машин на производственные секции. Распределение машин так, чтобы при их работе производство было максимально прибыльным, или затраты на их содержание минимальны.
• Выбор кандидатов на разные вакансии по оценкам. Этот пример разберем ниже.

Как Вы видите, вариантов для которых применим Венгерский метод много, при этом подобные задачи возникают во многих сферах деятельности.

В итоге задача должна быть решена так, чтобы один исполнитель (человек, машина, орудие, …) мог выполнять только одну работу, и каждая работа выполнялась только одним исполнителем.

Необходимое и достаточное условие решения задачи – это ее закрытый тип. Т.е. когда количество исполнителей = количеству работ (N=M). Если же это условие не выполняется, то можно добавить вымышленных исполнителей, или вымышленные работы, для которых значения в матрице будут нулевыми. На решение задачи это никак не повлияет, лишь придаст ей тот необходимый закрытый тип.

Step-by-step алгоритм на примере

Постановка задачи: Пусть намечается важная научная конференция. Для ее проведения необходимо настроить звук, свет, изображения, зарегистрировать гостей и подготовиться к перерывам между выступлениями. Для этой задачи есть 5 организаторов. Каждый из них имеет определенные оценки выполнения той, или иной работы (предположим, что эти оценки выставлены как среднее арифметическое по отзывам их сотрудников). Необходимо распределить организаторов так, чтобы суммарная их оценка была максимальной. Задача имеет следующий вид:

Если задача решается на максимум (как в нашем случае), то в каждой строке матрицы необходимо найти максимальный элемент, его же вычесть из каждого элемента соответствующей строки и умножить всю матрицу на -1. Если задача решается на минимум, то этот шаг необходимо пропустить.

В каждой строке и в каждом столбце должен быть только один выбранный ноль. (т.е. когда выбрали ноль, то остальные нули в этой строке или в этом столбце уже не берем в расчет). В этом случае это сделать невозможно:

(Если задача решается на минимум, то необходимо начинать с этого шага ). Продолжаем решение далее. Редукция матрицы по строкам (ищем минимальный элемент в каждой строке и вычитаем его из каждого элемента соответственно):

Т.к. все минимальные элементы – нулевые, то матрица не изменилась. Проводим редукцию по столбцам:

Опять же смотрим чтобы в каждом столбце и в каждой строке был только один выбранный ноль. Как видно ниже, в данном случае это сделать невозможно. Представил два варианта как можно выбрать нули, но ни один из них не дал нужный результат:

Продолжаем решение дальше. Вычеркиваем строки и столбцы, которые содержат нулевые элементы (ВАЖНО! Количество вычеркиваний должно быть минимальным ). Среди оставшихся элементов ищем минимальный, вычитаем его из оставшихся элементов (которые не зачеркнуты) и прибавляем к элементам, которые расположены на пересечении вычеркнутых строк и столбцов (то, что отмечено зеленым – там вычитаем; то, что отмечено золотистым – там суммируем; то, что не закрашено – не трогаем):

Как теперь видно, в каждом столбце и строке есть только один выбранный ноль. Решение задачи завершаем!

Подставляем в начальную таблицу месторасположения выбранных нулей. Таким образом мы получаем оптимум, или оптимальный план, при котором организаторы распределены по работам и сумма оценок получилась максимальной:

Если же вы решаете задачу и у вас до сих пор невозможно выбрать нули так, чтобы в каждом столбце и строке был только один, тогда повторяем алгоритм с того места где проводилась редукция по строкам (минимальный элемент в каждой строке).

Реализация на языке программирования R

Венгерский алгоритм реализовал с помощью рекурсий. Буду надеяться что мой код не будет вызывать трудностей. Для начала необходимо скомпилировать три функции, а затем начинать расчеты.

Данные для решения задачи берутся из файла example.csv который имеет вид:

#Подключаем библиотеку для удобства расчетов library(dplyr) #Считываем csv фаил (первый столбик - названия строк; первая строка - названия столбцов) table <- read.csv("example.csv",header=TRUE,row.names=1,sep=";") #Проводим расчеты unique_index <- hungarian_algorithm(table,T) #Выводим cat(paste(row.names(table)," - ",names(table)),sep = "\n") #Считаем оптимальный план cat("Оптимальное значение -",sum(mapply(function(i, j) table, unique_index$row, unique_index$col, SIMPLIFY = TRUE))) #____________________Алгоритм венгерского метода__________________________________ hungarian_algorithm <- function(data,optim=F){ #Если optim = T, то будет искаться максимальное оптимальное значение if(optim==T) { data <- data %>% apply(1,function(x) (x-max(x))*(-1)) %>% t() %>% as.data.frame() optim <- F } #Редукция матрицы по строкам data <- data %>% apply(1,function(x) x-min(x)) %>% t() %>% as.data.frame() #Нахождение индексов всех нулей zero_index <- which(data==0, arr.ind = T) #Нахождение всех "неповторяющихся" нулей слева-направо unique_index <- from_the_beginning(zero_index) #Если количество "неповторяющихся" нулей не равняется количеству строк в исходной таблице, то.. if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) #..Ищем "неповторяющиеся" нули справа-налево unique_index <- from_the_end(zero_index) #Если все еще не равняется, то продолжаем алгоритм дальше if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) { #Редукция матрицы по столбцам data <- data %>% apply(2,function(x) x-min(x)) %>% as.data.frame() zero_index <- which(data==0, arr.ind = T) unique_index <- from_the_beginning(zero_index) if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) unique_index <- from_the_end(zero_index) if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) { #"Вычеркиваем" строки и столбцы которые содержат нулевые элементы (ВАЖНО! количество вычеркиваний должно быть минимальным) index <- which(apply(data,1,function(x) length(x)>1)) index2 <- which(apply(data[-index,],2,function(x) length(x)>0)) #Среди оставшихся элементов ищем минимальный min_from_table <- min(data[-index,-index2]) #Вычитаем минимальный из оставшихся элементов data[-index,-index2] <- data[-index,-index2]-min_from_table #Прибавляем к элементам, расположенным на пересечении вычеркнутых строк и столбцов data <- data+min_from_table zero_index <- which(data==0, arr.ind = T) unique_index <- from_the_beginning(zero_index) if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) unique_index <- from_the_end(zero_index) #Если все еще количество "неповторяющихся" нулей не равняется количеству строк в исходной таблице, то.. if(nrow(unique_index)!=nrow(data)) #..Повторяем весь алгоритм заново hungarian_algorithm(data,optim) else #Выводим индексы "неповторяющихся" нулей unique_index } else #Выводим индексы "неповторяющихся" нулей unique_index } else #Выводим индексы "неповторяющихся" нулей unique_index } #_________________________________________________________________________________ #__________Функция для нахождения "неповторяющихся" нулей слева-направо___________ from_the_beginning <- function(x,i=0,j=0,index = data.frame(row=numeric(),col=numeric())){ #Выбор индексов нулей, которые не лежат на строках i, и столбцах j find_zero <- x[(!x[,1] %in% i) & (!x[,2] %in% j),] if(length(find_zero)>2){ #Записываем индекс строки в вектор i <- c(i,as.vector(find_zero)) #Записываем индекс столбца в вектор j <- c(j,as.vector(find_zero)) #Записываем индексы в data frame (это и есть индексы уникальных нулей) index <- rbind(index,setNames(as.list(find_zero), names(index))) #Повторяем пока не пройдем по всем строкам и столбцам from_the_beginning(find_zero,i,j,index)} else rbind(index,find_zero) } #_________________________________________________________________________________ #__________Функция для нахождения "неповторяющихся" нулей справа-налево___________ from_the_end <- function(x,i=0,j=0,index = data.frame(row=numeric(),col=numeric())){ find_zero <- x[(!x[,1] %in% i) & (!x[,2] %in% j),] if(length(find_zero)>2){ i <- c(i,as.vector(find_zero)) j <- c(j,as.vector(find_zero)) index <- rbind(index,setNames(as.list(find_zero), names(index))) from_the_end(find_zero,i,j,index)} else rbind(index,find_zero) } #_________________________________________________________________________________

Результат выполнения программы:

Теорема 1.

Для того чтобы вариант назначения был оптимальным, необходимо и достаточно существование чисел таких, что

для из базиса

Метод потенциалов

Значения переменных можно расставить произвольно, например, методом максимального элемента или методом Фогеля. Для вычисления потенциалов необходимо, чтобы число базисных переменных было равно . Поэтому в число базисных переменных введем базисных нулей. Последние должны быть расставлены так, чтобы базисные элементы матрицы не образовывали циклов.

Вычисляются потенциалы, затем для небазисных пар индексов определяются оценки по формуле

Если все оценки неотрицательны , то процесс окончен: совокупность переменных соответствует оптимальному варианту назначения. Если имеются отрицательные оценки , то вариант выбора не является оптимальным и его следует улучшить. Для этого находим наименьшую отрицательную оценку (пусть это будет и строим цикл пересчета, который замыкается на разрешающей клетке .

Означим вершины цикла: начиная с вершины в разрешающей клетке, ставим знак «+», следующей вершине присваиваем знак «-» и так далее, поочередно, пока не пройдем все вершины. Определяем величину корректировки , которая равна минимальному значению переменной из переменных , принадлежащих вершинам отрицательного полуцикла. Далее вносим изменения в наш вариант назначения: переменные из отрицательного полуцикла уменьшаем на , переменные из положительного полуцикла увеличиваем на эту же величину; остальные переменные остаются без изменения. В результате получим новое назначение.

Задача является сильно вырожденной, в которой число базисных нулей равно . Критерий оптимальности предъявляет одинаковые требования к положительным переменным и к базисным нулям, поэтому в процессе решения результативные итерации часто чередуются холостыми.

Венгерский метод

Рассмотри задачу о назначениях с матрицей эффективностей

В соответствии с постановкой этой задачи, решить её - значит, иными словами, выбрать в матрице С элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца так, чтобы сумма выбранных элементов, равная общей эффективности, соответствующей данному выбору, была наибольшей по сравнению с её значениями при всех других таких выборах. Эту задачу можно свести к выбору нулевых элементов, по одному в каждом столбце и каждой строке, в некоторой матрице с неотрицательными элементами, в которой в каждой строке и каждом столбце есть нули.

Две матрицы и назовем эквивалентными , если одна из них получается из другой прибавлением к элементам каждой строки одного и того же числа (для разных строк эти числа могут быть разными) и прибавлением к элементам каждого столбца одного и того же числа (для разных столбцов эти числа могут быть различны)

Теорема 2 (Эгервари).

Множества оптимальных назначений двух задач выбора с эквивалентными матрицами совпадают.

Приведённая теорема позволяет, если это требуется, переходить от данной задачи выбора с матрицей к задаче выбора с любой другой матрицей , при условии, что эквивалентна .

Алгоритм венгерского метода

Предварительный этап

Шаг 1. Переходим от задачи на максимум к задаче на минимум, т.е. . Теперь перейдем от задачи на минимум с матрицей к задаче на минимум с эквивалентной ей матрицей, которая имела бы только неотрицательные элементы, и в каждой строке и каждом столбце которой было бы хотя бы по одному нулевому элементу. Для этого сначала из большего элемента каждого столбца матрицы вычтем элементы того же столбца матрицы , результат поместим на место вычитаемого:

Получится неотрицательная матрица , в каждом столбце которой есть хотя бы один нуль.

Шаг 2. Теперь вычтем из элементов каждой строки матрицы минимальный элемент той же строки матрицы , результат остаётся на месте уменьшаемых элементов:

Полученная матрица и будет неотрицательной матрицей, в каждом столбце и в каждой строке которой есть хотя бы один нуль.

Наименьшее возможное значение суммы элементов неотрицательной матрицы равно, очевидно, нулю. Таким образом, наша задача сводится теперь к выбору в матрице , или эквивалентной ей матрице с неотрицательными элементами нулевых элементов, по одному в каждой строке и каждом столбце. Покажем, как это сделать. Неформальный смысл приводимого ниже алгоритма заключается в последовательных переходах от одного правильного неполного выбора нулей к другому, содержащему на один нуль больше, чем предыдущий, до тех пор, пока не получится полный правильный выбор. При этом на отдельных этапах может потребоваться переход к новой матрице, эквивалентной предыдущей.

Пусть уже проделаны предварительные преобразования матрицы эффективностей данной задачи и получена неотрицательная матрица , содержащая хотя бы по одному нулевому элементу в каждой строке и каждом столбце.

Основной этап

1. Отмечаем звездочкой () какой-нибудь нуль в первом столбце матрицы ;отмечаем звездочкой какой-нибудь нуль во втором столбце, не лежащий в той строке, в которой находится из первого столбца (если такой нуль во втором столбце найдется); отмечаем звездочкой один из нулей третьего столбца, лежащий в строке, где нет еще нуля со звездочкой (если такой нуль в третьем столбце найдется); и так далее, пока не пройдем все столбцы матрицы.

Если число отмеченных звездочкой нулей равно , то процесс окончен: места, занимаемые нулями со звездочкой, соответствуют переменным равным 1, в оптимальном варианте назначения.

Если нулей со звездочкой меньше , то

2. Помечаем знаком «+» сверху столбцы матрицы, в которых есть , и считаем эти столбцы занятыми.

В процессе решения будут появляться и занятые строки. Элементы, стоящие на пересечении незанятой строки и незанятого столбца будем считать незанятыми; остальные элементы - занятыми.

Если в матрице нет незанятых нулей, то переходим к пункту 5.

Если незанятые нули есть, то выбираем первый из них (просматривая поочередно строки слева направо). Отмечаем его каким-нибудь промежуточным значком (например, штрихом ). Если в его строке нет нуля со звездочкой, то переходим к п.4; если в его строке есть, то

3. Столбец, в котором находится , лежащий в той же строке, что и только что отмеченный штрихом нуль, считаем снова незанятым и знак «+» сверху снимаем. Строку, в которой находится наш объявляем занятой и помечаем знаком «+» справа. Возвращаемся к третьему абзацу пункта 2.

4. Строим цепочку из нулей: начинаем с только что отмеченного штрихом нуля (), идем по столбцу до , от него по строке к , и т.д., пока это возможно. Цепочка оборвется на каком-то (возможно на первом же ). Звездочки у нулей в цепочке снимаем, а вместо штрихов у нулей в цепочке ставим звездочки. Получим новый набор нулей со звездочкой, который содержит на один нуль больше, чем предыдущий набор.

Снимаем все пометки, кроме звездочек, и возвращаемся ко второму абзацу пункта 1.

5. Находим минимальный элемент среди незанятых элементов матрицы (пусть он будет равен ) и вычитаем его из всех незанятых элементов, а затем прибавляем ко всем дважды занятым элементам. Остальные элементы переписываем без изменения. Никакие пометки при этом не снимаются. Получается матрица, эквивалентная предыдущей, и содержащая незанятые нули. Возвращаемся к четвертому абзацу п.2.

В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения Т.з. распределительный метод , метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент , способ двойного предпочтения , различные сетевые методы. Они относительно просты, по ним составлены десятки программ для различных вычислительных машин . Во многих снабженческих, транспортных и других организациях во всем мире с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями напр., в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственно-транспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции (скажем, различных кровельных материалов), оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель Т.з. позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.  

Полученные с помощью этого алгоритма сбалансированные планы поставок ресурсов и услуг могут быть в дальнейшем оптимизированы стандартными методами (потенциалов, венгерским и др.)  

Венгерский метод в классическом варианте применим только для замкнутой модели транспортной задачи. Поэтому при разработке алгоритмов решения транспортной задачи с открытой или полуоткрытой системой ограничений исследовались и были определены эффективные методы предварительного построения замыкания исходной модели с последующим применением венгерского метода. В общем случае схема решения такой задачи представляет собой двухэтапную процедуру, где на первом этапе определяется замыкание модели, а на втором по замыканию модели отыскивается оптимум задачи.  

Описание алгоритма венгерского метода  

После конечного числа построений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап и количество независимых нулей увеличится на единицу, т. е. (к + 1)-я итерация будет завершена. Обоснование отдельных этапов алгоритма венгерского метода для задачи выбора приведено в .  

Количество возможных вариантов назначений равно факториалу числа работ и ресурсов и огромно даже в небольшой задаче. Поэтому для нахождения оптимального варианта применяют специальные алгоритмы. Среди них особенно эффективен при решении 3. о н. вручную т.н. венгерский метод.  

Оптимизация цены, объема выпуска и постоянных затрат предприятия при освоении нового продукта чисто математически может быть осуществлена на основе постановки следующий оптимизационной задачи , которая, будучи выражена линейными уравнениями выручки, переменных и совокупных издержек предприятия, а также зависимости между располагаемыми инвестициями и максимально возможным объемом выпуска продукта, обусловленным созданием на средства этих инвестиций соответствующих новых производственных и торговых мощностей. Эта задача поддается решению методами линейного целочисленного программирования (например, симплекс-методом или так называемым венгерским методом)  

Известны различные способы решения этой задачи - распределительный, венгерский, метод потенциалов и др. Как правило, для расчетов применяется ЭВМ.  

В то же время в книге изложено немало организационных решений , с успехом применяемых на венгерских промышленных предприятиях , представляющих интерес и для наших условий. К таким решениям можно отнести обоснование механизма выявления новых назревших организационных проблем, подлежащих решению процедуру разработки вариантов организационной концепции при подготовке проектов рационализации организационных систем обоснование многофакторного подхода при выборе форм и методов организации производства применение гибких методов организации и диверсификации производства и др.  

Венгерские специалисты разработали методики комплексного исследования рынка для новых товаров как производственного назначения, так и народного потребления. Различие методов обусловлено назначением товаров, в силу чего, например, точнее можно определить круг потребителей изделий производственного назначения, так как покупателями являются определенные предприятия. А это, в свою очередь, говорит производителю о довольно ограниченном объеме выпуска. Маркетинг изделий производственного назначения характерен и тем, что практически возможен опрос всех будущих потребителей, т. v процедура выяснения запросов покупателей проще, чем в случае потребительских товаров.  

Рассматриваемый метод получения ацетилена успешно изучался венгерскими и румынскими химиками в Венгрии и Румынии были построены не только лабораторные, но и опытно-промышленные установки, на которых проводились интенсивные работы по промышленному освоению метода. Промышленные установки, работающие по этому методу, имеются также в ФРГ и в Канаде.  

Существует много частных способов (например, способ Фогеля, методы потенциалов, дифференциальных рент , способ Лебедева - Тихомирова, венгерский метод и др.), а также универсальных методов (например, алгоритм симплекс-метода) решения задач линейного программирования с такого рода условиями. Представляет интерес, как сам результат вычисления, так и его интерпретация.  

Корнай (Kornai) Янош (р. 1928), венгерский экономист-математик, академик АН Венгерской республики. Окончил Будапештский университет (1955), работал в АН, Институте текстильной промышленности , вычислительном центре Академии наук с 1967 г. - профессор и руководитель отдела АН Венгрии, с 1986 г. - профессор экономики в Гарвардском университете. В конце 50-х гг. вместе с Т. Липтаком разработал метод решения задач блочного программирования - метод планирования на двух уровнях (см. Корнай-Липтака метод). Исследовал проблемы функционирования экономики в условиях неравновесия, взаимоотношения между дефицитом и инфляцией. Был одним из идеологов венгерской экономической реформы конца 60-х гг. Иностранный член Британской, Шведской, Финляндской академий наук , почетный член Американской академии искусств и наук, Американской экономической ассоциации почетный доктор университетов многих стран мира . Государственная премия ВНР - 1983 г.  

Большинство конфликтов является ситуациями для торга, сделки, но существуют и такие, в которых возможность выигрыша одной строны в значительной степени зависит от поведения и принимаемых решений другой стороны. Это возможно продемонстрировать на примере, приведенном венгерским социологом Э. Ханкишем. Последний назвал этот метод дилеммой арестанта. Суть его в том, что, добиваясь признания от двух подозреваемых, следователь ставит следующие условия  

Особое место в программе уделяется методам, чувствительным к разладке технологического процесса , в частности, методу регулирования с предупреждающими границами и методу кумулятивных сумм . В программу включены документы по контрольным картам кумулятивных сумм для средних арифметических значений, дисперсий и размахов, числа дефектов и дефектных единиц продукции. По предложению Венгерской Народной Республики в программу внесено общее методическое руководство по применению контрольных карт . Разработка методов регулирования предусмотрена на основе использования критерия проверки гипотез Кеймана-Пирсона или, когда критерий Неймана-Пирсона оказывается неприемлемым, принципа

Задача о назначениях ставится весьма естественно.

Приведём несколько вариантов постановки (как легко видеть, все они эквивалентны друг другу):

Отметим, что все приведённые выше постановки "квадратны ": в них обе размерности всегда совпадают (и равны ). На практике часто встречаются аналогичные "прямоугольные " постановки, когда , и надо выбрать элементов. Впрочем, как легко заметить, от "прямоугольной" задачи всегда можно перейти к "квадратной", добавив строки/столбцы с нулевыми/бесконечными значениями соответственно.

Также заметим, что по аналогии с поиском минимального решения также можно ставить задачу поиска максимального решения. Впрочем, эти две задачи эквивалентны друг другу: достаточно все веса умножить на .

Венгерский алгоритм

Историческая справка

Алгоритм был разработан и опубликован Гарольдом Куном (Harold Kuhn) в 1955 г. Сам Кун дал алгоритму название "венгерский", потому что он был в значительной степени основан на более ранних работах двух венгерских математиков: Денеша Кёнига (Dénes Kőnig) и Эйгена Эгервари (Jenő Egerváry).

В 1957 г. Джеймс Манкрес (James Munkres) показал, что этот алгоритм работает за (строго) полиномиальное время (т.е. за время порядка полинома от , не зависящего от величины стоимостей).

Поэтому в литературе данный алгоритм известен не только как "венгерский", но и как "алгоритм Куна-Манкреса" или "алгоритм Манкреса".

Впрочем, недавно (в 2006 г.) выяснилось, что точно такой же алгоритм был изобретён за век до Куна немецким математиком Карлом Густавом Якоби (Carl Gustav Jacobi). Дело в том, что его работа "About the research of the order of a system of arbitrary ordinary differential equations", напечатанная посмертно в 1890 г., содержавшая помимо прочих результатов и полиномиальный алгоритм решения задачи о назначениях, была написана на латыни, а её публикация прошла незамеченной среди математиков.

Также стоит отметить, что первоначальный алгоритм Куна имел асимптотику , и лишь позже Джек Эдмондс (Jack Edmonds) и Ричард Карп (Richard Karp) (и независимо от них Томидзава (Tomizawa)) показали, каким образом улучшить его до асимптотики .

Построение алгоритма за

Сразу отметим во избежание неоднозначностей, что мы в основном рассматриваем здесь задачу о назначениях в матричной постановке (т.е. дана матрица , и надо выбрать из неё ячеек, находящихся в разных строках и столбцах). Индексацию массивов мы начинаем с единицы, т.е., например, матрица имеет индексы .

Назовём потенциалом два произвольных массива чисел и таких, что выполняется условие:

(Как видно, числа соответствуют строкам, а числа — столбцам матрицы.)

Назовём значением потенциала сумму его чисел:

С одной стороны, легко заметить, что стоимость искомого решения не меньше значения любого потенциала:

(Доказательство. Искомое решение задачи представляет из себя ячеек матрицы, и для каждой из них выполняется условие . Поскольку все элементы находятся в разных строках и столбцах, то, суммируя эти неравенства по всем выбранным , в левой части неравенства получаем , а в правой — , что и требовалось доказать.)

С другой стороны, оказывается, что всегда существует решение и потенциал, на которых это неравенство обращается в равенство . Венгерский алгоритм, описанный ниже, будет конструктивным доказательством этого факта. Пока же лишь обратим внимание на то, что если какое-либо решение имеет стоимость, равную по величине какому-либо потенциалу, то это решение — оптимально .

Зафиксируем некоторый потенциал. Назовём ребро жёстким , если выполняется:

Вспомним об альтернативной постановке задачи о назначениях, с помощью двудольного графа. Обозначим через двудольный граф, составленный только из жёстких рёбер. Фактически, венгерский алгоритм поддерживает для текущего потенциала максимальное по количеству рёбер паросочетание графа : и как только это паросочетание станет содержать рёбер, рёбра этого паросочетания и будут являться искомым оптимальным решением (ведь это будет решение, стоимость которого совпадает с величиной потенциала).

Перейдём непосредственно к описанию алгоритма .

• В начале алгоритма потенциал полагается равным нулю , и паросочетание полагается пустым.
• Далее, на каждом шаге алгоритма мы пытаемся, не меняя потенциала, увеличить мощность текущего паросочетания на единицу (напоминаем, паросочетание ищется в графе жёстких рёбер ).

  Для этого фактически используется обычный алгоритм Куна поиска максимального паросочетания в двудольных графах . Напомним здесь этот алгоритм.

  Все рёбра паросочетания ориентируются по направлению от второй доли к первой, все остальные рёбра графа ориентируются в противоположную сторону.

  Напомним (из терминологии поиска паросочетаний), что вершина называется насыщенной, если ей смежно ребро из текущего паросочетания. Вершина, которой не смежно ни одно ребро из текущего паросочетания, называется ненасыщенной. Путь нечётной длины, в котором первое ребро не принадлежит паросочетанию, а для всех последующих рёбер происходит чередование (принадлежит/не принадлежит) — называется увеличивающим путём.

  Из всех ненасыщенных вершин первой доли запускается обход в глубину /в ширину . Если в результате обхода удалось достигнуть ненасыщенной вершины второй доли, то это означает, что мы нашли увеличивающий путь из первой доли во вторую. Если прочередовать рёбра вдоль этого пути (т.е. первое ребро включить в паросочетание, второе исключить, третье включить, и т.д.), то тем самым мы увеличим мощность паросочетания на единицу.

  Если же увеличивающего пути не было, то это означает, что текущее паросочетание — максимально в графе , поэтому в таком случае переходим к следующему пункту.

• Если на текущем шаге не удалось увеличить мощность текущего паросочетания, то производится некий пересчёт потенциала таким образом, чтобы на следующих шагах появилось больше возможностей для увеличения паросочетания.

  Обозначим через множество вершин первой доли, которые были посещены обходом алгоритма Куна при попытке поиска увеличивающей цепи; через — множество посещённых вершин второй доли.

  Посчитаем величину :

  Эта величина строго положительна.

  (Доказательство. Предположим, что . Тогда существует жёсткое ребро , причём и . Из этого следует, что ребро должно было быть ориентированным от второй доли к первой, т.е. это жёсткое ребро должно входить в паросочетание . Однако это невозможно, т.к. мы не могли попасть в насыщенную вершину , кроме как пройдя по ребру из в . Пришли к противоречию, значит, >.)

  Теперь пересчитаем потенциал таким образом: для всех вершин сделаем , а для всех вершин — сделаем . Получившийся потенциал по-прежнему останется корректным потенциалом.

  (Доказательство. Для этого надо показать, что по-прежнему для всех и выполняется: . Для случаев, когда или — это так, поскольку для них сумма и не изменилась. Когда — неравенство только усилилось. Наконец, для случая — хотя левая часть неравенства и увеличивается, неравенство всё равно сохраняется, поскольку величина , как видно по её определению — это как раз максимальное увеличение, не приводящее к нарушению неравенства.)

  Кроме того, старое паросочетание из жёстких рёбер можно будет оставить, т.е. все рёбра паросочетания останутся жёсткими.

  (Доказательство. Чтобы некоторое жёсткое ребро перестало быть жёстким в результате изменения потенциала, надо, чтобы равенство превратилось в неравенство . Однако левая часть могла уменьшиться только в одном случае: когда . Но раз , то это означает, что ребро не могло быть ребром паросочетания, что и требовалось доказать.)

  Наконец, чтобы показать, что изменения потенциала не могут происходить бесконечно , заметим, что при каждом таком изменении потенциала количество вершин, достижимых обходом, т.е. , строго увеличивается. (При этом нельзя утверждать, что увеличивается количество жёстких рёбер.)

  (Доказательство. Во-первых, любая вершина, которая была достижимой, достижимой и останется. В самом деле, если некоторая вершина достижима, то до неё есть некоторый путь из достижимых вершин, начинающийся в ненасыщенной вершине первой доли; а поскольку для рёбер вида сумма не меняется, то весь этот путь сохранится и после изменения потенциала, что и требовалось доказать. Во-вторых, покажем, что в результате пересчёта потенциала появилась хотя бы одна новая достижимая вершина. Но это почти очевидно, если вернуться к определению : то ребро , на котором был достигнут минимум, теперь станет жёстким, а, значит, вершина станет достижимой благодаря этому ребру и вершине .)

  Таким образом, всего может происходить не более пересчётов потенциала, прежде чем обнаружится увеличивающая цепочка и мощность паросочетания будет увеличена.

Таким образом, рано или поздно будет найден потенциал, которому соответствует совершенное паросочетание , являющееся ответом на задачу.

Если говорить об асимптотике алгоритма, то она составляет , поскольку всего должно произойти увеличений паросочетания, перед каждым из которых происходит не более пересчётов потенциала, каждый из которых выполняется за время .

Реализацию за мы здесь приводить не будем, поскольку она всё равно получится не короче, чем описанная ниже реализация за .

Построение алгоритма за ()

Научимся теперь реализовывать тот же алгоритм за асимптотику (для прямоугольных задач — ).

Ключевая идея: теперь мы будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной , а не рассматривать их все сразу. Таким образом, описанный выше алгоритм примет вид:

Чтобы достичь требуемой асимптотики, надо реализовать шаги 2-3, выполняющиеся для каждой строки матрицы, за время (для прямоугольных задач — за ).

Для этого мы вспомним два факта, доказанных нами выше:

Отсюда вытекают ключевые идеи , позволяющие достичь требуемой асимптотики:

Таким образом, алгоритм принимает такой вид: во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время , поскольку при этом могло происходить лишь пересчётов потенциала (каждый — за время ), для чего за время поддерживается массив ; алгоритм Куна суммарно отработает за время (поскольку он представлен в форме итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет — или, если задача прямоугольна, .

Реализация венгерского алгоритма за ()

Приведённая реализация фактически была разработана Андреем Лопатиным несколько лет назад. Её отличает удивительная лаконичность: весь алгоритм помещается в 30 строк кода .

Данная реализация ищет решение для прямоугольной входной матрицы , где . Матрица хранится в -индексации в целях удобства и краткости кода. Дело в том, что в данной реализации вводятся фиктивные нулевая строка и нулевой столбец, что позволяет написать многие циклы в общем виде, без дополнительных проверок.

Массивы и хранят потенциал. Изначально он нулевой, что верно для матрицы, состоящей из нуля строк. (Отметим, что для данной реализации не важно, имеются или нет в матрице отрицательные числа.)

Массив содержит паросочетание: для каждого столбца он хранит номер соответствующей выбранной строки (или , если пока ничего не выбрано). При этом для удобства реализации полагается равным номеру текущей рассматриваемой строки.

Массив содержит для каждого столбца вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчёта потенциала:

Массив содержит информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы впоследствии смогли восстановить увеличивающую цепочку. На первый взгляд кажется, что в массиве для каждого столбца надо хранить номер строки, а также завести ещё один массив: для каждой строки запомнить номер столбца, из которого мы в неё пришли. Однако вместо этого можно заметить, что алгоритм Куна всегда попадает в строки, проходя по ребру паросочетания из столбцов, поэтому номера строк для восстановления цепочки всегда можно взять из паросочетания (т.е. из массива ). Таким образом, для каждого столбца содержит номер предшествующего столбца (или , если такого нет).

Сам алгоритм представляет из себя внешний цикл по строкам матрицы , внутри которого происходит добавление в рассмотрение -ой строки матрицы. Внутренняя часть представляет собой цикл "do-while (p != 0)", который работает, пока не будет найден свободный столбец . Каждая итерация цикла помечает посещённым новый столбец с номером (посчитанным на прошлой итерации; а изначально равным нулю — т.е. стартуем мы с фиктивного столбца), а также новую строку — смежную ему в паросочетании (т.е. ; а изначально при берётся -ая строка). Из-за появления новой посещённой строки нужно соответствующим образом пересчитать массив , заодно мы находим минимум в нём — величину , и в каком столбце этот минимум был достигнут (заметим, что при такой реализации могло оказаться равной нулю, что означает, что на текущем шаге потенциал можно не менять: новый достижимый столбец есть и без того). После этого производится пересчёт потенциала , соответствующее изменение массива . По окончании цикла "do-while" мы нашли увеличивающую цепочку, оканчивающуюся в столбце , "раскрутить" которую можно, пользуясь массивом предков .

Константа — это "бесконечность", т.е. некоторое число, заведомо большее всех возможных чисел во входной матрице .

Vector< int > u (n+ 1 ) , v (m+ 1 ) , p (m+ 1 ) , way (m+ 1 ) ; for (int i= 1 ; i<= n; ++ i) { p[ 0 ] = i; int j0 = 0 ; vector< int > minv (m+ 1 , INF) ; vector< char > used (m+ 1 , false ) ; do { used[ j0] = true ; int i0 = p[ j0] , delta = INF, j1; for (int j= 1 ; j<= m; ++ j) if (! used[ j] ) { int cur = a[ i0] [ j] - u[ i0] - v[ j] ; if (cur < minv[ j] ) minv[ j] = cur, way[ j] = j0; if (minv[ j] < delta) delta = minv[ j] , j1 = j; } for (int j= 0 ; j<= m; ++ j) if (used[ j] ) u[ p[ j] ] + = delta, v[ j] - = delta; else minv[ j] - = delta; j0 = j1; } while (p[ j0] ! = 0 ) ; do { int j1 = way[ j0] ; p[ j0] = p[ j1] ; j0 = j1; } while (j0) ; }

Восстановление ответа в более привычной форме, т.е. нахождение для каждой строки номера выбранного в ней столбца , делается следующим образом:

Vector< int > ans (n+ 1 ) ; for (int j= 1 ; j<= m; ++ j) ans[ p[ j] ] = j;

Стоимость найденного паросочетания можно просто взять как потенциал нулевого столбца (взятый с противоположным знаком). В самом деле, как легко проследить по коду, содержит в себе сумму всех величин , т.е. суммарное изменение потенциала. Хотя при каждом изменении потенциала изменяться могли сразу несколько величин и , суммарное изменение величины потенциала в точности равно , поскольку пока нет увеличивающей цепи, число достижимых строк ровно на единицу больше числа достижимых столбцов (только текущая строка не имеет себе "пары" в виде посещённого столбца):

int cost = - v[ 0 ] ;

Примеры задач

Приведём здесь несколько примеров на решение задачи о назначениях: начиная от совсем тривиальных, и заканчивая менее очевидными задачами:

• максимальное паросочетание минимального веса (т.е. в первую очередь максимизируется размер паросочетания, во вторую — минимизируется его стоимость).

  Для решения просто строим задачу о назначениях, ставя на месте отсутствующих рёбер число "бесконечность". После этого решаем задачу венгерским алгоритмом, и удаляем из ответа рёбра бесконечного веса (они могли войти в ответ, если у задачи нет решения в виде совершенного паросочетания).

• Дан двудольный граф, требуется найти в нём паросочетание максимальное паросочетание максимального веса .

  Решение опять же очевидно, только все веса надо умножить на минус единицу (либо в венгерском алгоритме заменить все минимумы на максимумы, а бесконечности — на минус бесконечности).

• Задача детектирования движущихся объектов по снимкам : было произведено два снимка, по итогам которых было получено два набор координат. Требуется соотнести объекты на первом и втором снимке, т.е. определить для каждой точки второго снимка, какой точке первого снимка она соответствовала. При этом требуется минимизировать сумму расстояний между сопоставленными точками (т.е. мы ищем решение, в котором объекты суммарно прошли наименьший путь).

  Для решения мы просто строим и решаем задачу о назначениях, где в качестве весов рёбер выступают евклидовы расстояния между точками.

• Задача детектирования движущихся объектов по локаторам : есть два локатора, которые умеют определять не положение объекта в пространстве, а лишь направление на него. С обоих локаторов (расположенных в различных точках) поступила информация в виде таких направлений. Требуется определить положение объектов, т.е. определить предполагаемые положения объектов и соответствующие им пары направлений так, чтобы минимизировать сумму расстояний от объектов до лучей-направлений.

  Решение — опять же, просто строим и решаем задачу о назначениях, где вершинами первой доли являются направлений с первого локатора, вершинами второй доли — направлений со второго локатора, а весами рёбер — расстояния между соответствующими лучами.

• Покрытие ориентированного ациклического графа путями : дан ориентированный ациклический граф, требуется найти наименьшее число путей (при равенстве — с наименьшим суммарным весом), чтобы каждая вершина графа лежала бы ровно в одном пути.
• Раскраска дерева . Дано дерево, в котором каждая вершина, кроме листьев, имеет ровно сыновей. Требуется выбрать для каждой вершины некоторый цвет из цветов так, чтобы никакие две смежные вершины не имели одинакового цвета. Кроме того, для каждой вершины и каждого цвета известна стоимость покраски этой вершины в этот цвет, и требуется минимизировать суммарную стоимость.

  Для решения воспользуемся методом динамического программирования. А именно, научимся считать величину , где — номер вершины, — номер цвета, а само значение — это минимальная стоимость раскраски вершины вместе с её потомками, причём сама вершина имеет цвет . Чтобы посчитать такую величину , надо распределить остальные цветов по сыновьям вершины , а для этого надо построить и решить задачу о назначениях (в которой вершины одной доли — цвета, вершины другой доли — вершины-сыновья, а веса рёбер — это значения соответствующих динамик ).

  Таким образом, каждая величина считается с помощью решения задачи о назначениях, что в итоге даёт асимптотику .

• Если в задаче о назначениях веса заданы не у рёбер, а у вершин, причём только у вершин одной доли , то можно обойтись без венгерского алгоритма, а достаточно лишь отсортировать вершины по весу и запустить обычный алгоритм Куна (более подробно см. ).
• Рассмотрим следующий частный случай . Пусть каждой вершине первой доли приписано некоторое число , а каждой вершине второй доли — . Пусть вес любого ребра равен (числа и нам известны). Решить задачу о назначениях.

  Для решения без венгерского алгоритма рассмотрим сначала случай, когда в обеих долях по две вершины. В этом случае, как нетрудно убедиться, выгодно соединять вершины в обратном порядке: вершину с меньшей соединить с вершиной с большей . Это правило легко обобщить на произвольное количество вершин: надо отсортировать вершины первой доли в порядке увеличения , второй доли — в порядке уменьшения , и соединять вершины попарно в таком порядке. Таким образом, мы получаем решение с асимптотикой .

• Задача о потенциалах . Дана матрица . Требуется найти два массива и такие, что для любых и выполняется , но при этом сумма элементов массивов и максимальна.

  Зная венгерский алгоритм, решение этой задачи не составит никакого труда: венгерский алгоритм как раз находит именно такой потенциал , который удовлетворяет условию задачи. С другой стороны, без знания венгерского алгоритма решить такую задачу представляется почти невозможным.

Литература

• Harold Kuhn. The Hungarian Method for the Assignment Problem
• James Munkres. Algorithms for Assignment and Transportation Problems