Понятие функциональной зависимости. Функциональная зависимость: логика и смысл

Реляционная база данных содержит как структурную, так и семантическую информацию. Структура базы данных определяется числом и видом включенных в нее отношений, и связями типа "один ко многим", существующими между кортежами этих отношений. Семантическая часть описывает множество функциональных зависимостей, существующих между атрибутами этих отношений. Дадим определение функциональной зависимости.

Определение: Если даны два атрибута X и Y некоторого отношения, то говорят, что Y функционально зависит от X, если в любой момент времени каждому значению X соответствует ровно одно значение Y. Функциональная зависимость обозначается X -> Y. Отметим, что X и Y могут представлять собой не только единичные атрибуты, но и группы, составленные из нескольких атрибутов одного отношения. Можно сказать, что функциональные зависимости представляют собой связи типа "один ко многим", существующие внутри отношения.

2-аянормальная форма (2НФ) отношения. Определение полной функциональной зависимости и 2НФ. Характеристика отношения во 2НФ. Алгоритм приведения ко 2НФ. Теорема Хита. Примеры.

Понятие полной функциональной зависимости.

Определение: неключевой атрибут функционально полно зависит от составного ключа если он функционально зависит от всего ключа в целом, но не находится в функциональной зависимости от какого-либо из входящих в него атрибутов.

Определение: избыточная функциональная зависимость - зависимость, заключающая в себе такую информацию, которая может быть получена на основе других зависимостей, имеющихся в базе данных.

2NF - вторая нормальная форма.

Определение второй нормальной формы: отношение находится во 2НФ , если оно находится в 1НФ и каждый неключевой атрибут функционально полно зависит от ключа.

Корректной считается такая схема базы данных, в которой отсутствуют избыточные функциональные зависимости. В противном случае приходится прибегать к процедуре декомпозиции (разложения) имеющегося множества отношений. При этом порождаемое множество содержит большее число отношений, которые являются проекциями отношений исходного множества. (Операция проекции описана в разделе, посвященном реляционной алгебре). Обратимый пошаговый процесс замены данной совокупности отношений другой схемой с устранением избыточных функциональных зависимостей называется нормализацией.

Условие обратимости требует, чтобы декомпозиция сохраняла эквивалентность схем при замене одной схемы на другую, т.е. в результирующих отношениях:

1)не должны появляться ранее отсутствовавшие кортежи;

2)на отношениях новой схемы должно выполняться исходное множество функциональных зависимостей.

Теорема Хита

Пусть дано отношение .

Если r удовлетворяет функциональной зависимости , то оно равно соединению его проекцийи

3-я нормальная форма (3НФ) отношения. Определение транзитивной зависимости и 3НФ.Алгоритм приведения к 3НФ.Нормальная форма Бойса-Кодда (НФБК).Определение и алгоритм приведения к НФБК. Характеристика отношения в 3НФ и в НФБК. Примеры.

a. При рассмотрении количественной стороны различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что переменные величины зависят друг от друга; например, путь проходимый свободно падающим в пустоте телом зависит только от времени, давление в паровом котле зависит только от температуры пара.

Глубина океана в одном пункте постоянна, но в различных пунктах различна, она зависит только от двух переменных - от географической долготы и географической широты места.

Высота растущего дерева зависим от многих переменных - от солнечного освещения, от влажности, от количества питательных веществ в почве и т. д.

Мы видим, что некоторые переменные изменяются независимо, они и называются независимыми переменными или аргументами, другие же от них зависят их называют функциями.

Сама зависимость называется функциональной. Между прочим, функциональная зависимость представляет собой одно из самых важных понятий математики.

b. Следует всегда различать, от какого числа независимых переменных зависит функция. Проще всего поддаются изучению функции одной переменной, ими мы будем заниматься в первую очередь. Изучение функций многих переменных сложнее, но так или иначе сводится к изучению функций одной переменной.

c. Если мы желаем записать математически, что переменная у зависит от , то будем употреблять такое обозначение:

Эта запись читается так:

Не; следует думать, что буква умножается на , она является лишь сокращением слова «функция», а вся запись является сокращенной фразой (2).

Точно так же, если функция U зависит от двух аргументов то эта зависимость обозначается следующим образом:

Здесь буквы f, х и у также не являются сомножителями.

Совершенно ясно, как обозначается функция трех четырех и большего числа аргументов.

Вместо буквы употребляют и другие буквы чаще всего .

d. Записи типа (1) и (3) являются самыми общими обовначениями функций, так как под ними можно понимать какие угодно функции, а потому, имея в руках только эти обозначения, мы ничего не сможем узнать о свойствах этих функций.

Для того чтобы иметь возможность изучать функцию нужно ее задать.

e. Имеется много способов задать функцию, но все они сводятся к трем основным типам:

1) функцию можно задать таблицей ее числовых значений, соответствующих числовым значениям ее аргумента;

2) функцию можно задать графически;

3) функцию можно задать математической формулой.

f. Приведем примеры. Известно, что при вращении махового колеса возникают напряжения, которые стремятся разорвать его обод. Если обод колеса сделан из однородного материала, то напряжения зависят только от скорости вращения. Обозначая скорость через v, а напряжение в ободе через , мы можем записать что

Теория сопротивления материалов дает такую таблицу для значений функции (4), если обод сделан из литой стали:

Здесь v измеряется в метрах в секунду - в ньютонах на квадратный сантиметр.

Большим достоинством табличного способа Зсдания функции является то, что числа таблицы непосредственно могут быть использованы для различных вычислений.

Недостатком является то, что всякая таблица дается не для всех значений аргумента, а через некоторые интервалы, так что, если каких-либо значений функции в таблице нет, то нужно брать более подробную таблицу; если же последней нет, то приходится подбирать нужное число более или менее приблизительног сообразуясь с характером изменения чисел таблицы,

g. Большим недостатком является также и то, что если таблица содержит много чисел, то характер изменения функции уловить трудно. Наконец, третьим недостатком является то, что изучать свойства функции, заданной таблицей, трудно; кроме того, полученные свойства будут неточными.

h. От первых двух недостатков свободен графический способ задания функции.

Чтобы пояснить графический способ рассмотрим такой пример.

Если какой-либо материал подвергнуть растяжению, то сила, необходимая для растягивания, будет зависеть от того, какое растяжение необходимо сделать, т. е. сила есть функция от удлинения. Если удлинение в процентах обозначить через X, а растягивающую силу, которая обычно измеряется в ньютонах на квадратный сантиметр, обозначить через , то

Для различных материалов эта зависимость будет различной. Возьмем координатные оси и будем считать к за абсциссу, а за ординату, тогда для каждой пары их значений получим точку на плоскости.

Все эти точки расположатся на некоторой кривой, которая имеет различный вид для различных материалов. Существуют приборы, которые такие кривые чертят автоматически.

Для мягкой стали мы получим следующую кривую (рис. 31):

k. Как мы видим, действительно графический снособ нагляден и дает значения функции для всех значений аргумента. Но третий недостаток и здесь имеет место. Изучать свойства функции заданной графически, все-таки затруднительно.

l. Теперь покажем способ задания функции формулой Возьмем такой пример. Площадь круга очевидно зависит от радиуса. Если радиус обозначить через я, а площадь через у, то, как известно из геометрии, где - отношение длины окружности к длине диаметра. Мы видим, что зависимость здесь задается математической формулой, поэтому третий способ называется математическим способом. Еще пример: длина гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от длин обоих катетов. Если длину гипотенузы обозначить через , а длины катетов через то по теореме Пифагора будем иметь

Так как оба катета мы можем изменять независимо друг от друга, то мы имеем здесь пример функции двух аргументов, заданной математически.

Можно привести еще много примеров функций, заданyых математически, из области различных наук.

m. Математический способ обладает огромным преимуществом перед другими способами задания функций, а именно: к изучению функций, заданных математически, можно привлечь математический анализ.

Помимо того, если необходимо, всегда можно математический способ превратить в табличный. Действительно, мы вправе задать аргументам желательные нам числовые значения и по формуле вычислить сколько угодно значений функции. Таким образом, одна формула заменяет всю таблицу.

n. Математический способ имеет только один недостаток, а именно, формула не дает наглядного представления об изменении функции. Однако этот недостаток мы всегда можем восполнить, так как всегда математический способ задания можно превратить в графический. Это делается так.

o. Если мы имеем функцию одной переменной, то составляем таблицу и каждую пару значений аргумента и функции принимаем за координаты, после этого строим возможно большее число точек. Все полученные точки расположатся на некоторой кривой линии, которая и будет графиком функции. Если мы имеем функцию двух или более аргументов, то и ее можно изобразить графически. Но это уже значительно сложнее, а потому этим вопросом мы займемся несколько позднее.

p. Все сказанное свидетельствует о том, что математический способ задания функций является наиболее выгодным.

Поэтому всегда стремятся, если функция задана таблицей или графиком, выразить ее формулой. Эта задача обычно очень трудная, но чрезвычайно важная для естествознания и технических наук. Без преувеличения можно сказать, что все проблемы механики, естествознания - прикладных наук сводятся к установлению и изучению функциональных зависимостей между теми переменными величинами, с которыми эти дисциплины имеют дело. Бела удается эти функциональные зависимости выразить формулами, то наука приобретает надежный рычаг для приложения всей огромной мощи математического анализа и далеко продвигается в своем развитии.

С другой стороны, математический анализ, получая эту прекрасную пищу, сам растет и совершенствуется.

q. Ввиду того, что перевод на язык формул функциональных зависимостей не является непосредственной задачей математики, мы будем предполагать, что функции уже выражены формулами. Таким образом, в дальнейшем мы будем заниматься только функциями, заданными матетатически.

И является, по сути, связью типа «один ко многим». Их использование обусловлено тем, что они позволяют формально и строго решить многие проблемы.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Лекция 2.5 | Функциональная зависимость. Применение векторной алгебры

Лекция 2.3 | Функциональная зависимость. Векторы и действия с ними

Нормализация в базе данных

02 - Погружение в СУБД. Проектирование схемы, часть I

Как обучиться программированию?

Субтитры

Определения

Функциональная зависимость

Пусть дано отношение r {\displaystyle r} со схемой (заголовком) R {\displaystyle R} , A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} - некоторые подмножества множества атрибутов отношения r {\displaystyle r} . Множество B {\displaystyle B} функционально зависит от A {\displaystyle A} тогда и только тогда, когда каждое значение множества A {\displaystyle A} связано в точности с одним значением множества B {\displaystyle B} . Обозначается .

Другими словами, если два кортежа совпадают по атрибутам A {\displaystyle A} , то они совпадают и по атрибутам B {\displaystyle B} .

В этом случае A {\displaystyle A} - детерминант, B {\displaystyle B} - зависимая часть.

Функциональная зависимость называется тривиальной , если зависимая часть является подмножеством детерминанта.

Замыкание множества зависимостей

Одни функциональные зависимости могут подразумевать другие функциональные зависимости. Например, транзитивная функциональная зависимость,

Множество всех атрибутов, которые подразумеваются данным множеством функциональных зависимостей S {\displaystyle S} называется замыканием множества S {\displaystyle S} .

Пусть Z {\displaystyle Z} - некоторое множество атрибутов отношения r {\displaystyle r} , а S {\displaystyle S} - множество функциональных зависимостей этого отношения. Замыканием Z + {\displaystyle {{Z}^{+}}} множества атрибутов Z {\displaystyle Z} в пределах S {\displaystyle S} называется такое множество всех атрибутов A i {\displaystyle {{A}_{i}}} отношения r {\displaystyle r} , что функциональная зависимость Z → A i {\displaystyle Z\to {{A}_{i}}} является членом замыкания S + {\displaystyle {{S}^{+}}} .

Неприводимые множества зависимостей

Пусть и - некоторые множества функциональных зависимостей.

• Если любая функциональная зависимость из S 1 {\displaystyle {{S}_{1}}} входит и в S 2 {\displaystyle {{S}_{2}}} , то S 2 {\displaystyle {{S}_{2}}} называют покрытием множества функциональных зависимостей S 1 {\displaystyle {{S}_{1}}} .
• Если S 2 {\displaystyle {{S}_{2}}} - покрытие для S 1 {\displaystyle {{S}_{1}}} , а S 1 {\displaystyle {{S}_{1}}} - для S 2 {\displaystyle {{S}_{2}}} (то есть S 1 + = S 2 + {\displaystyle S_{1}^{+}=S_{2}^{+}} ), то такие множества называются эквивалентными .
• Множество функциональных зависимостей S {\displaystyle S} называется неприводимым тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
• Для любого множества функциональных зависимостей существует по крайней мере одно эквивалентное множество, которое является неприводимым. Такое эквивалентное множество называется неприводимым покрытием .

Вычисление замыканий

Правила вывода Армстронга

В 1974 году Вильям Армстронг предложил набор правил вывода новых функциональных зависимостей на основе данных.

Пусть у нас есть отношение r (R) {\displaystyle r\left(R\right)} и множества атрибутов A , B , C , D ⊆ R {\displaystyle A,B,C,D\subseteq R} . Для сокращения записи вместо X ∪ Y {\displaystyle X\cup Y} будем писать просто X Y {\displaystyle XY} .

Правила вывода Армстронга полны (используя их, можно вывести все остальные функциональные зависимости, подразумеваемые данным их множеством) и надежны («лишних» функциональных зависимостей вывести нельзя; выведенная функциональная зависимость справедлива везде, где справедливо то множество функциональных зависимостей, из которого она была выведена).

Кроме того, из данных правил довольно просто выводятся несколько дополнительных правил, упрощающих задачу вывода функциональных зависимостей.

Теорема: Функциональная зависимость A → B {\displaystyle A\to B} выводима из данного множества функциональных зависимостей S {\displaystyle S} по правилам вывода Армстронга тогда и только тогда, когда B ⊆ A + {\displaystyle B\subseteq {{A}^{+}}} .

Замыкание множества атрибутов

Если применять правила из предыдущего раздела до тех пор, пока создание новых функциональных зависимостей не прекратится само собой, то мы получим замыкание для заданного множества функциональных зависимостей. На практике редко требуется вычислять это замыкание само по себе, чаще всего нам гораздо интереснее узнать, будет ли та или иная функциональная зависимость входить в замыкание. Для этого нам достаточно вычислить замыкание детерминанта. Для этого существует довольно простой алгоритм.

Применение

Проектирование БД

Функциональные зависимости являются ограничениями целостности и определяют семантику хранящихся в БД данных. При каждом обновлении СУБД должна проверять их соблюдение. Следовательно, наличие большого количества функциональных зависимостей нежелательно, иначе происходит замедление работы. Для упрощения задачи необходимо сократить набор функциональных зависимостей до минимально необходимого.

Если I {\displaystyle I} является неприводимым покрытием исходного множества функциональных зависимостей S {\displaystyle S} , то проверка выполнения функциональных зависимостей из I {\displaystyle I} автоматически гарантирует выполнение всех функциональных зависимостей из S {\displaystyle S} . Таким образом, задача поиска минимально необходимого набора сводится к отысканию неприводимого покрытия множества функциональных зависимостей, которое и будет использоваться вместо исходного множества.

Декомпозиция отношений

Последовательный переход от одной нормальной формы к другой при нормализации схем отношений реализуется через декомпозицию. Основной операцией, с помощью которой осуществляется декомпозиция, является проекция.

Декомпозицией схемы отношения R = {А1, А2, ...,Аn} называется замена её совокупностью подмножеств R, таких, что их объединение дает R. При этом допускается, чтобы подмножества были пересекающимися.

Алгоритм декомпозиции основан на следующей теореме.

Теорема Хита

Пусть дано отношение r (A , B , C) {\displaystyle r\left(A,B,C\right)} .

Если r {\displaystyle r} удовлетворяет функциональной зависимости A → B {\displaystyle A\to B} , то оно равно соединению его проекций r [ A , B ] {\displaystyle r\left} и r [ A , C ] {\displaystyle r\left} .

Функциональные зависимости. Основные определения.

В реляционных БД даталогическое или логическое проектирование приводит к разработке схемы БД, то есть совокупности схем отношений, которые адекватно моделируют абстрактные объекты предметной области и семантические связи между этими объектами. Основой анализа корректности схемы являются так называемые функциональные зависимости между атрибутами БД. Некоторые зависимости между атрибутами отношений являются нежелательными из-за побочных эффектов и аномалий, которые они вызывают при модификации БД. При этом под процессом модификации БД мы понимаем внесение новых данных в БД или удаление некоторых данных из БД, а также обновление значений некоторых атрибутов.

Однако этап логического или даталогического проектирования не заканчивается проектированием схемы отношений. В общем случае в результате выполнения этого этапа должны быть получены следующие результирующие документы:

• Описание концептуальной схемы БД в терминах выбранной СУБД.
• Описание внешних моделей в терминах выбранной СУБД.
• Описание декларативных правил поддержки целостности базы данных.
• Описание процедур поддержки семантической целостности базы данных.

Однако перед тем как описывать построенную схему в терминах выбранной СУБД, нам надо выстроить эту схему. Именно этому процессу и посвящен данный раздел. Мы должны построить корректную схему БД, ориентируясь на реляционную модель данных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Корректной назовем схему БД, в которой отсутствуют нежелательные зависимости между атрибутами отношений.

Процесс разработки корректной схемы реляционной БД называется логическим проектированием БД.

Проектирование схемы БД может быть выполнено двумя путями:

• путем декомпозиции (разбиения), когда исходное множество отношений, входящих в схему БД заменяется другим множеством отношений (число их при этом возрастает), являющихся проекциями исходных отношений;
• путем синтеза, то есть путем компоновки из заданных исходных элементарных зависимостей между объектами предметной области схемы БД.

Классическая технология проектирования реляционных баз данных связана с теорией нормализации, основанной на анализе функциональных зависимостей между атрибутами отношений. Понятие функциональной зависимости является фундаментальным в теории нормализации реляционных баз данных. Мы определим его далее, а пока коснемся смысла этого понятия. Функциональные зависимости определяют устойчивые отношения между объектами и их свойствами в рассматриваемой предметной области. Именно поэтому процесс поддержки функциональных зависимостей, характерных для данной предметной области, является базовым для процесса проектирования.

Процесс проектирования с использованием декомпозиции представляет собой процесс последовательной нормализации схем отношений, при этом каждая последующая итерация соответствует нормальной форме более высокого уровня и обладает лучшими свойствами по сравнению с предыдущей.

Каждой нормальной форме соответствует некоторый определенный набор ограничений, и отношение находится в некоторой нормальной форме, если удовлетворяет свойственному ей набору ограничений.

В теории реляционных БД обычно выделяется следующая последовательность нормальных форм:

• первая нормальная форма (1НФ);
• вторая нормальная форма (2НФ);
• третья нормальная форма (3НФ);
• нормальная форма Бойса-Кодда (НФБК);
• четвертая нормальная форма (4НФ);
• пятая нормальная форма, или форма проекции-соединения (5НФ).

Основные свойства нормальных форм:

• каждая следующая нормальная форма в некотором смысле улучшает свойства предыдущей;
• при переходе к следующей нормальной форме свойства предыдущих нормальных форм сохраняются.

В основе классического процесса проектирования лежит последовательность переходов от предыдущей нормальной формы к последующей. Однако в процессе декомпозиции мы сталкиваемся с проблемой обратимости, то есть возможности восстановления исходной схемы. Таким образом, декомпозиция должна сохранять эквивалентность схем БД при замене одной схемы на другую.

Схемы БД называются эквивалентными , если содержание исходной БД может быть получено путем естественного соединения отношений, входящих в результирующую схему, и при этом не появляется новых кортежей в исходной БД.

При выполнении эквивалентных преобразований сохраняется множество исходных фундаментальных функциональных зависимостей между атрибутами отношений.

Функциональные зависимости определяют не текущее состояние БД, а все возможные ее состояния, то есть они отражают те связи между атрибутами, которые присущи реальному объекту, который моделируется с помощью БД.

Поэтому определить функциональные зависимости по текущему состоянию БД можно только в том случае, если экземпляр БД содержит абсолютно полную информацию (то есть никаких добавлений и модификации БД не предполагается). В реальной жизни это требование невыполнимо, поэтому набор функциональных зависимостей задает разработчик, системный аналитик, исходя из глубокого системного анализа предметной области.

Приведем ряд основных определений.

Функциональная зависимость(ФЗ) является связью типа многие – к – одному между множествами атрибутов внутри данного отношения.

Пусть R – отношение, а А и В – произвольные подмножества множества атрибутов отношения R. Тогда В функционально зависит от А (A B), если каждое значение множества А отношения R определяет одно значение множества В отношения R. Иначе говоря, если два кортежа отношения R совпадают по значению А, они также совпадают и по значению В.

Левая и правая части ФЗ называются детерминантом и зависимой частью соответственно.

Если ФЗ выполняется для всех возможных значений отношения, то она является ограничением целостности для отношения, т.к. при этом накладываются определенные ограничения на все допустимые значения.

Если А является потенциальным ключом отношения R, напр., А является первичным ключом, то все атрибуты отношения R должны быть функционально зависимы от А (это следует из определения потенциального ключа).

Множество ФЗ может быть большим, а поскольку ФЗ являются ограничениями целостности, они должны проверяться при каждом обновлении БД. Поэтому актуальна задача сокращения множества ФЗ до компактного размера.

Очевидным способом сокращения множества ФЗ является исключение тривиальных ФЗ.

Функциональная зависимость тривиальна , если ее правая часть является подмножеством левой части. Например, для БД поставщиков и деталей тривиальная ФЗ:

(PNUM, DNUM)®PNUM

Тривиальные зависимости не могут не выполняться и поэтому не представляют практического интереса в отличие от нетривиальных, являющихся ограничениями целостности. Тривиальные зависимости могут быть исключены из множества ФЗ.

Неключевым атрибутом называется любой атрибут отношения, не входящий в состав ни одного ключа отношения.

Взаимно-независимые атрибуты - это такие атрибуты, которые не зависят функционально один от другого.

Аннотация: В данной лекции вводится понятие функциональной зависимости. Это понятие является основой математической теории реляционных баз данных.

Информация, данные, информационные системы

Понятие функциональной зависимости в данных

Оставим пока в стороне ответ на вопрос, почему проекты реляционных баз данных бывают плохими, т.е. зачем нужно проектировать реляционную базу данных. Попытаемся сначала ответить на вопросы "В чем заключается проектирование реляционных баз данных ? и "Что лежит в основе процедур ?"

Как известно, основной единицей представления данных в реляционной модели является отношение, которое математически задается списком имен атрибутов, иначе - схемой отношения . На стадии логического проектирования реляционной базы данных проектировщик определяет и выстраивает схемы отношений в рамках некоторой предметной области, а именно - представляет сущности, группирует их атрибуты, выявляет основные связи между сущностями. Так, в самом общем смысле проектирование реляционной базы данных заключается в обоснованном выборе конкретных схем отношений из множества различных альтернативных вариантов схем.

На практике построение логической модели базы данных, независимо от используемой модели данных, выполняется с учетом двух основных требований: исключить избыточность и максимально повысить надежность данных. Эти требования вытекают из требования коллективного использования данных группой пользователей. Формальных средств описания данных, необходимых для проверки правильности заполнения конструкций моделей, явно недостаточно. Выбор сущностей, атрибутов и фиксация взаимосвязей между сущностями зависит от семантики предметной области и выполняется системным аналитиком субъективно в соответствии с его личным пониманием специфики прикладной задачи. Разные люди определяют и представляют данные по-разному.

Поэтому любое априорное знание об ограничениях предметной области, накладываемых на взаимосвязи между данными и значения данных, и знания об их свойствах и взаимоотношениях между ними может сыграть определенную роль в соблюдении указанных выше требований. Формализация таких априорных знаний о свойствах данных предметной области базы данных нашла свое отражение в концепции функциональной зависимости данных, т.е. ограничений на возможные взаимосвязи между данными, которые могут быть текущими значениями схемы отношений .

Кортежи отношений могут представлять экземпляры сущности предметной области или фиксировать их взаимосвязь. Но даже если эти кортежи определены правильно, т.е. отвечают схеме отношения и выбраны из допустимых доменов, не всякий из них может быть текущим значением некоторого отношения. Например, возраст человека редко бывает более 120 лет, или один и тот же пилот не может одновременно выполнять два различных рейса. Такие ограничения семантики домена практически не влияют на выбор той или иной схемы отношений . Они представляют собой ограничения на типы данных.

Априорные ограничения предметной области на взаимосвязь значений отдельных атрибутов оказывают наибольшее влияние на процесс проектирования схем реляционных баз данных . Соответствие по значению определенных атрибутов различных отношений базы данных, т.е. зависимость их значений друг от друга, определяет показатели надежности и корректности сохраняемых данных при их коллективном и согласованном использовании.

Вспомним определение функции как соответствия множества аргументов определенным значениям из множества определения функции и способы задания функций: формула, график и перечисление (таблица). Нетрудно понять, что функциональную зависимость (ФЗ) можно определить на довольно широком классе объектов. Определение функции не накладывает никаких ограничений на множество аргументов и множество значений функции, кроме их существования и наличия соответствия между их элементами. Поскольку ФЗ можно задать таблично, а таблица есть форма представления отношения, то становится очевидной связь между ФЗ и отношением. Отношение может задавать ФЗ. Это утверждение является первой (1) конструктивной идеей, которая положена в основу теории проектирования реляционных баз данных .

Определение 1. Пусть r (A 1 , A 2 , ..., A n) - схема отношения R , a X и Y - подмножества r . Говорят, что Х функционально определяет Y , если каждому значению атрибутов кортежа отношения из Х соответствует не более одного значения атрибутов того же кортежа отношения из Y . Такая ФЗ обозначается как .

Как видно из определения, функциональная зависимость инвариантна к изменению состояний базы данных во времени.

Пример. Понятие функциональной зависимости Продемонстрируем понятие функциональной зависимости на примере графика полетов аэропорта. ГРАФИК_ПОЛЕТОВ (Пилот, Рейс, Дата_вылета, Время_вылета)

Известно, что:

• каждому рейсу соответствует определенное время вылета;
• для каждого пилота, даты и времени вылета возможен только один рейс;
• на определенный день и рейс назначается определенный пилот.

Следовательно:

• "Время_вылета" функционально зависим от "Рейс" : "Рейс" -> "Время_{} вылета" ;
• "Рейс" функционально зависим от {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} : {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} -> "Рейс" ;
• "Пилот" функционально зависим от {"Рейс", "Дата_вылета"} : {"Рейс", "Дата_вылета"} -> "Пилот" .

Важной задачей при выявлении функциональных зависимостей на атрибутах отношения, которое по определению является множеством, является выяснение, какой из атрибутов выступает как аргумент, а какой - как значение ФЗ. Наиболее подходящими кандидатами в аргументы ФЗ являются возможные ключи , так как кортежи представляют экземпляры сущности , которые идентифицируются значениями атрибутов своего ключа. Нестрого говоря, функциональная зависимость имеет место на отношении, когда значения кортежа на одном множестве атрибутов однозначным образом определяют значения кортежа на другом множестве атрибутов. Это рабочее определение ФЗ не содержит в себе тех формальных элементов, которые позволяют ответить на вопрос "А как проверить наличие ФЗ между атрибутами отношения?" Необходимый для этого формализм дает нам использование реляционных операций . Для получения формального (строгого) определения наличия ФЗ в отношении обратимся к реляционным операциям .

Определение 2. Пусть имеется отношение R со схемой r , X и Y - два подмножества R . ФЗ имеет место на R , если множество имеет не более одного кортежа для каждого значения х . Такая ФЗ называется также F -зависимостью.

Как видно из определения, формальная проверка наличия ФЗ в отношении R состоит в выборе ( селекции ) отношения по значениям возможного ключа и установлении наличия однозначности между его значением и значениями других атрибутов.

Алгоритм, который проверяет, удовлетворяет ли отношение R ФЗ , состоит в сортировке отношения по значениям возможного ключа и установления факта однозначности между его значением и значениями других атрибутов. Этот алгоритм полезен, но он носит вспомогательный характер.

Ясно, что если семантика предметной области базы данных сложна, то проверить кортежи на принадлежность к ФЗ достаточно сложно. Сложно вообще установить наличие самой функциональной зависимости , отвечающей природе рассматриваемых данных. С помощью такого формального метода можно выявить ФЗ, которые не являются реальными и носят случайный характер. Проектировщику реляционных баз данных следует знать о таком методе проверки наличия ФЗ, но при проектировании новой базы данных его применение малоэффективно. Он может быть полезен при реинжиниринге существующей базы данных.

Функциональные зависимости фактически представляют собой утверждения обо всех отношениях предметной области. Эти отношения могут являться значениями схемы r и, в сущности, не могут быть получены формальными методами. Единственный способ установления функциональных зависимостей для схемы отношения r - это исследование семантики атрибутов сущностей предметной области . Являясь высказываниями о сущностях предметной области , они не могут быть доказаны. Это обстоятельство по существу порождает неединственность представления предметной области отношениями реляционной БД.

Здесь уместно высказать гипотезу о том, почему бывают хорошие и плохие проекты баз данных. Во-первых, в силу субъективности подходов к анализу предметной области аналитики могут упустить важные ФЗ. Это может привести к тому, что, работая на множестве заведомо неэквивалентных схем, проектировщик создаст неудовлетворительный проект базы данных. Во-вторых, неединственность представления предметной области отношениями приводит к проблеме выбора из множества альтернатив. При этом схема базы данных, выбранная из набора эквивалентных схем, является правильной, но может организовывать данные для пользователя непривычным образом. В-третьих, можно определить ("накроить") схемы баз данных таким образом, что в результате операций с ФЗ будут потеряны и ФЗ, и сами данные.