Обнаружение сигнала в шумах. Основные положения теории обнаружения сигналов

В результате изучения данной главы студенты будут:

знать

• основные положение статистической модели обнаружения сигнала;
• основные методические процедуры оценки чувствительности в теории обнаружения сигнала;

уметь

• строить рабочую характеристику приемника в линейных и нормальных координатах;
• оценивать чувствительность и определять положение критерия принятия решения на основе рабочей характеристики приемника;
• правильно выбирать меру чувствительности в зависимости от соотношения дисперсии сигнала и шума;

владеть

• базовым теоретически аппаратом теории обнаружения сигнала;
• методами оценки процесса принятия решения, разработанными в теории обнаружения сигнала, и способами обработки данных, полученных на их основе.

Статистическая модель обнаружения сигнала

Как уже упоминалось выше, подход, предполагающий рассматривать ощущение как процесс принятия решения, был предложен Таннером и Светсом в 1954 г. В деталях он был разработан в работе Грина и Светса, опубликованной в 1966 г. Данный подход основан на применении принципов статистической теории принятия решения и аналогии процесса ощущения с работой электронных систем целевого обнаружения, используемых в оборонных системах.

Для рассматриваемого подхода, получившего название теории обнаружения сигнала (ТОС), центральным понятием является сенсорный шум. Этим термином обозначается любая спонтанная активность самих сенсорных систем независимо от модальности перерабатываемой информации. Такая активность может быть вызвана неспецифическим раздражением рецепторов, колебаниями внимания наблюдателя, изменением его мотивации или функционального состояния его организма и другими подобными факторами. Кроме того, шумом обозначают любую внешнюю сенсорную активность, мешающую уверенному опознанию сигнала. Таким образом, процесс обнаружения сигнала в рассматриваемой теории понимается как процесс выделения сигнала из шума, на фоне которого он воспринимается.

Если различия между шумом как таковым и сигналом на фоне шума оказываются крайне незначительными, процесс обнаружения сигнала может оказаться сложным и сопровождаться ошибками, связанными с пропусками самого сигнала или ложными тревогами по поводу шума. В последнем случае наблюдатель может ошибочно принять шумовые эффекты за сигнальные.

Дело в том, что, согласно предположению теории, шумовые эффекты оказываются нестабильными и подвержены мгновенными флуктуациям. Если в какой-то момент шум оказывается выраженным в значительной степени, он принимается наблюдателем за сигнал. Напротив, при незначительной выраженности шума сигнал на его фоне может ошибочно приниматься за шум.

Можно задать некоторую функцию, которая будет описывать плотность распределения шума. Обозначим ее как f N (X). Сигнал на фоне шума также можно описать с помощью функции плотности распределения - f s / N (X). Понятно, что такая функция будет сдвинута по оси абсцисс относительно функции распределения шума на некоторую величину (рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Тогда выбор ответа в ситуации выделения сигнала из шума будет определяться оценкой отношения правдоподобия β, показывающего, во сколько раз более правдоподобно, что данная сенсорная активность X вызвана сигналом на фоне шума, а не только шумом:

Задача наблюдателя, таким образом, сводится к принятию решения на основе полученной оценки. Проблема, однако, состоит в том, что само по себе значение отношения правдоподобия еще не определяет необходимости выбора какого-либо варианта ответа, а лишь определяет то, в какой мере наблюдатель рискует совершить ошибки первого или второго рода.

Ошибкой первого рода в теории статистического решения, или α-ошибкой, называют ситуацию, когда исследователь обнаруживает статистические закономерности (например, различия между двумя выборками) в ситуации, когда на самом деле таких закономерностей не существует. В теории обнаружения сигнала Грина и Светса такая ошибка называется ложной тревогой.

Ошибка второго рода, или β-ошибка, заключается в том, что исследователь не замечает имеющихся различий между двумя рядами данных. В рассматриваемой теории такая ошибка получила название пропуска, или промаха. Собственно, вся теория построена на том, как наблюдатель осуществляет выбор между риском совершить эти две ошибки. Понятно, что, уменьшая опасность совершить один тип ошибки, наблюдатель неминуемо увеличивает риск ошибки другого рода.

Таким образом, принимая решение, наблюдатель на самом деле выбирает между двумя возможностями: возможностью не заметить сигнал на фоне шума - пропуском сигнала, и возможностью принять шум за сигнал на его фоне - ложной тревогой. Результатом правильного выбора становятся попадания и правильные отрицания.

Этот выбор всегда осуществляется на основе оценки ряда дополнительных факторов. В качестве таких факторов, влияющих на процесс принятия решения, могут выступать знания испытуемого о ситуации эксперимента или, по крайней мере, его догадки по этому поводу. Такие знания принято называть предварительной информацией, хотя такая информация не обязательно сообщается испытуемому до эксперимента в явном виде.

Скажем, если испытуемый знает, что сигнал появляется только в половине проб, он, очевидно, будет стремиться балансировать положительные и отрицательные ответы, тогда как в ситуации исключительно редкого появления сигнала ответы "да" будут встречаться также крайне редко. Следовательно, величина отношения правдоподобия р, на основе которой необходимо принять решение, будет варьировать в зависимости от того, насколько вероятным для испытуемого может показаться сам факт появления сигнала.

Также ответы испытуемого могут зависеть от того, какая информация о правильности или неправильности его ответов оказывается доступной испытуемому. Эта информация называется обратной связью. Если в серии проб испытуемый стабильно получает от экспериментатора сигналы, свидетельствующие о неверности его решения, это скорее всего заставит испытуемого пересмотреть свою стратегию выбора ответа.

Выбор ответа испытуемого также зависит и от того, какой из двух вариантов ответа, "да" или "пет", может в силу тех или иных обстоятельств казаться ему более ценным и значимым. Скажем, в ожидании важного телефонного звонка мы с большей вероятностью будем склонны к совершению ложных тревог - ошибочному доставанию телефона из сумки или кармана, особенно если условия обнаружения сигнала будут затруднены внешним шумом (например, если мы находимся в метро или едем в автомобиле с большой скоростью). В экспериментальной ситуации ценность ответов испытуемого задается с помощью специальной системы штрафов и поощрений, которая получила название платежной матрицы.

Величина отношения правдоподобия β, относительно которой принимается решение и которая определяется совокупностью рассмотренных нами факторов, получила название критерия принятия решения. Предполагается, что как только величина сенсорной активности превышает это пороговое значение, испытуемый всегда выбирает положительный ответ. Напротив, если уровень сенсорной активности оказывается меньше заданного критерия, всегда следует ответ "нет". Оптимальный уровень отношения правдоподобия, на основе которого устанавливается такой критерий, может быть выражен следующим соотношением:

где V(H) и V(CR) представляет собой соответственно ценность попаданий и правильных отрицаний, а С(0) и C(FA) - стоимость пропусков и ложных тревог.

Изобретение относится к области гидроакустики, а именно - к способам обнаружения гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения с учетом искажений сигнала, проявляющихся при отражении и рассеянии волн на границах канала, а также явления полного внутреннего отражения сигнала. Техническим результатом является повышение помехоустойчивости и дальности действия гидролокационных станций. Способ обнаружения широкополосных сигналов включает операции взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с копией излученного сигнала и принятие решения об обнаружении, при этом дополнительно проводят операции взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с Гильберт-образом копии излученного сигнала, возведения в квадрат результатов взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с эталоном и Гильберт-образом эталона излученного сигнала и их суммирования и сравнивают полученное значение с порогом. 1 ил.

Изобретение относится к области гидроакустики, а именно - к способам обнаружения гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения с учетом отражающих границ, потерь и искажений, проявляющихся при отражении и рассеянии волн.

Известно , что реализация оптимального приема при решении задач обнаружения сигналов во многом определяется уровнем априорных знаний о принимаемом сигнале. Для сигналов с неизвестной начальной фазой оптимальным является квадратурный приемник (аналог), обеспечивающий незначительные (1-1,2 дБ) потери по сравнению с согласованной фильтрацией . Основным недостатком квадратурного приема является то, что его применение ограничено классом узкополосных сигналов. Если же используются широкополосные сигналы, то необходима многоканальная схема, осуществляющая квадратурную фильтрацию по каждой составляющей.

Если фазовый спектр сигнала неизвестен, используют энергетические методы приема (аналог), представляющие собой последовательное выполнение операций фильтрации, детектирования и интегрирования. Основным недостатком таких методов является "эффект подавления малого сигнала", что является следствием того факта, что выходное отношение сигнал/помеха пропорционально квадрату входного отношения сигнал/помеха.

Если форма принимаемого сигнала известна, то потенциальную помехоустойчивость при обнаружении сигналов (в том числе и широкополосных) на фоне белого шума, в принципе, обеспечивает согласованная фильтрация или коррелятор, реализующий корреляционное сравнение принимаемой реализации сигнала с копией (прототип).

Корреляционная функция во временной области для этого случая записывается:

где: S 1 (t) - принимаемая реализация сигнала,

S 2 (t) - эталон,

* - индекс свертки,

Индекс сопряжения сигнала.

Корреляционным способам обнаружения сигналов присущ основной недостаток: в условиях реального канала распространения происходит не только аддитивное сложение сигнала и шума, но и возникают искажения самого сигнала вследствие многочисленных явлений отражения волн на границах канала, рассеяния на различных неоднородностях, а также годного внутреннего отражения волн.

Неучет этих явлений при приеме приводит к значительному снижению помехоустойчивости корреляционного приемника вследствие раскорреляции сигнала и эталона.

Рассмотрим подробнее процессы искажения гидролокационных сигналов при распространении в реальном канале вследствие вышеперечисленных явлений. При этом излучаемый физический сигнал S(t) удобнее представить как реальную часть аналитического сигнала S А (t), действительная и мнимая части которого связаны преобразованием Гильберта :

Аналитический сигнал,

Преобразование

Гильберта сигнала.

При распространении сигнал отражается от границ. Отраженный сигнал S 1 (t) описывается как произведение падающего S A (t) на комплексный коэффициент отражения k=|k|e jϕ k :

Выражение (3) можно переписать в виде:

Модуль аналитического сигнала,

Фаза аналитического сигнала.

В общем случае, если сигнал, распространяющийся в канале, испытывает N отражений:

Соотношение (4) представимо также в виде:

Для физического (принимаемого) сигнала:

Обозначив: |k|cosϕ k =ν и |k|sinϕ k =μ , запишем:

Известно также , c.122, что при полном внутреннем отражении отраженный сигнал всегда состоит из двух частей, одна из которых повторяет форму падающего сигнала, а вторая выражается

Известно, что скалярное произведение S(t) и

Равно нулю:

Таким образом, наличие ϕ k приводит к тому, что при одноканальной корреляционной обработке мы теряем часть энергии сигнала, и прием для этого случая будет не оптимальным:

при τ =0 имеем:

так как ν , μ

Целью предлагаемого изобретения является устранение недостатков, присущих традиционному корреляционному способу обнаружения широкополосных гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения, тем самым повышается помехоустойчивость и дальность действия гидролокационных систем.

В предлагаемом способе обнаружения сигналов предполагается двухканальная обработка с корреляционным сравнением принимаемой реализации с копией излученного сигнала и с результатом преобразования Гильберта копии излученного сигнала. Как ниже будет показано, для данного случая такая обработка сигнала является оптимальной.

Как известно , разработка оптимального обнаружителя сигналов (для различных ситуаций, т.е. учета различных явлений) предполагает наличие модели принимаемого сигнала и модели помехи.

В данном случае модель принимаемого сигнала, учитывающая случайные искажения при отражениях и рассеянии волн в канале, в соответствии с (7), представляет собой выражение:

При этом считаем, что случайная величина ϕ k распределена по равномерному закону: р(ϕ k)=1/2п, 0≤ ϕ k <2, а случайная величина |k| - по закону Рэлея: p(|k|)=2|k|exp(-|k| 2). Кроме того, считаем случайные величины ϕ k и |k| взаимно независимыми: p(ϕ k ,|k|)=p(ϕ k)-р(|k|).

Модель помехи - белый гауссов шум n(t). Реализация этого шума, спектральная интенсивность которого F(∞)=N 0 , на интервале 0

Обнаружение радиолокационных сигналов 1 страница

2.1.1. Качественные показатели и критерии оптимального обнаружения сигналов

Первая задача радиолокационного приема - задача обнаружения сигнала. В результате процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии цели в, произвольном разрешаемом объеме зоны обнаружения. средства радиолокации (СРЛ). Решение может быть принято при двух взаимно исключающих условиях:

условие А - «объект есть»,

условие А о - «объекта нет», которые в процессе получения решения неизвестны.

За счет помех и флюктуации полезного сигнала каждому условию могут соответствовать два вида решений:

решение А * - «объект есть»,

решение A* - «объекта нет»,

При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «условия» и «решения»:

1) ситуация А *А (правильное обнаружение);

2) ситуация A *A (пропуск цели);

3) ситуация А *А 0 (ложная тревога);

4) ситуация А *А 0 (правильное не обнаружение)

Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмеще­ния событий: Р(А *А ), Р(A *A ), Р(А *А 0), Р(А *А 0). Каждому ошибочному решению ставится в соответствие некоторая плата - стоимость ошибки . Для безошибочных решений эта стоимость равна

0 . Средняя стоимость (математическое ожидание стоимости) ошибочных решений оп­ределится следующим образом:

Лучшей системой обработки считается та, которая удовлетворяет крите­рию минимума этой стоимости - критерию минимума среднего риска. На прак­тике переходят к условным вероятностям, являющимся качественными показа­телями обнаружения при условиях наличия и отсутствия объекта радиолока­ции.

Качественными показателями обнаружения при условии наличия объекта являются соответствующие условные вероятности правильного обнаружения

и пропуска цели

Поскольку соответствующие одному и тому же условию решения и взаимоисключающие, то

Качественными показателями обнаружения при условии отсутствия объ­екта являются условные вероятности ложной тревоги

и правильного обнаружения

Используя приведенные соотношения (2) - (5), выражение (1) для сред­ней стоимости ошибки можно представить в следующем виде

или после замены D-1-D и простых преобразований,

При этом критерий оптимизации обнаружения по минимуму среднего риска сводится к весовому критерию

I = D-l 0 F = max. (7)

Последний показывает, что по совокупности требований повышения ус­ловной вероятности правильного обнаружения D и понижения условной веро­ятности ложной тревоги F следует стремиться к увеличению «взвешенной» разности D- l 0 F. Множитель l 0 , называемый весовым множителем, зависит от

соотношения стоимостей ошибок каждого вида и вероятностей наличия или от­сутствия объектов в исследуемом участке пространства. Дать рекомендации по выбору D и F затруднительно. Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги обычно устанавливают из практи­ческих соображений.

Оптимизация обнаружителей может достигаться одновременным умень­шением условных вероятностей ложной тревоги и пропуска цели. В таких об­наружителях оба вида ошибок нежелательны в одной и той же степени. Поэто­му полагают и средний риск приобретет смысл суммарной вероят­ности ошибки (Р ош)

Фиксированном значении вероятности ложной тревоги F. Это является основой критерия Наймана – Пирсона.

Обычно значения априорных вероятностей Р(А 0) и Р(А1) заранее неиз­вестны. Наибольшую информативность, в этом случае, обеспечивает равенство этих вероятностей Р(А 0) = Р(А1) = 0,5. Тогда вероятность суммарной ошибки

.

Условие минимума вероятности ошибочного решения

носит название критерия максимального правдоподобия.

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана -Пирсона. При этом основными качественными показателями радиолокационно­го обнаружения являются условные вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F.

2.1.2. Оптимизация обнаружения

Обнаружитель сигнала решает задачу выяснения следующего: содержит принимаемое колебание отраженный сигнал или нет. На вход обнаружителя поступает колебание у, которое при отсутствии сигнала представляет собой шум п, а при наличии сигнала - сумму шума и сигнала (п+х). В общем случае входной сигнал можно записать в такой форме

у = п + Ах,

где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А*, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия.

Полагаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожи­даемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной ве­личины п также известен (будем полагать его нормальным). На рис. 2.1 изо­бражены графики плотностей вероятности случайной величины у при условиях отсутствия сигнала А=А 0 =0 и его наличия A=A1 =1:

,

.

Индексы «П » и «СП» указывают на наличие одной помехи или наличии сигнала с поме­хой. Кривая РСП (у) сдвинута по отношению к кривой Р П (у) на постоянную величину х.

Рис. 2.1. Условные плотности веро­ятности Р П (у) и РСП (у) и график решающей функции А*(у)

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решающей функцией А* = А*(у), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: 0 или 1. Из графика решающей функции следует, что для y0D и F имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал при условии «сигнал + помеха» или «помеха» и соответствуют заштри­хованным областям на рисунке. Для произвольной решающей функции выражения для D и F можно запи­сать в виде интегралов в бесконечных пределах

Выражение D- l 0 F, соответствующее весовому критерию, может быть представлено следующим образом

(9)

Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обна­ружения, которая обеспечивает максимум интеграла (9). Чтобы выполнить это условие, достаточно добиться для каждого у наибольшего значения подынте­грального выражения за счет выбора решающей функции А*(у). Эта функция

принимает только два значения: 0 или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в 0, либо умножается на 1. Поэтому полагаем:

1) А*(у)=1, если подынтегральное выражение положительное;

2) А*(у)=0 в противном случае.

Поскольку плотность вероятности Р П (у) не может принимать отрица­тельных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения мо­жет быть записано в виде

(11)

Величина называется отношением правдоподобия. Оно характеризует, какую из гипотез следует считать правдоподобной. Отно­шение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает по­роговую величину l 0 , в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

В случае, если помеха описывается центральным гауссовым распределе­нием со стандартным отклонением n 0и дисперсией , отношение правдоподо­бия будет равно

(12)

Зависимость l(y) для х > 0 изображена на рис. 2.2.

При х>0

Величина у 0 называется порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги F зависит только от величины у 0:

, (13)

где - интеграл вероятности.

Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана-Пирсона.

Рис. 2.2. Зависимость отно- Рис. 2.3. Условие плотности веро-
шения правдоподобия от ре- ятности Р п (у), Р С П (у) и график ре­
зультатов наблюдения шающей функции А* опт (у)

Условная вероятность правильного обнаружения определится следую-

щим образом:

(14)

При заданном уровне помех n0 величина D зависит не только от порога у 0 , но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 2.4). Зависимость D(x) может быть построена качественно из анализа площади под кривой РСП (у) на рис. 2.3 и количественно в соответствии с выражением (14). Чем выше уровень порога у 0

и меньше условная вероятность ложной тревоги F, тем больше кривая D(x)

сдвигается вправо.

При этом для обеспечения той же вероят­ности D требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис. 2.4 на­зываются кривыми обнаружения.

Рис. 2.4. Кривые обнаружения

2.1.3. оптимальное обнаружение полностью известного сигнала

Будем полагать, что ожидаемый сигнал x(t, а) полностью известен, т.е. из­вестны его форма, амплитуда, временное положение и т.д. Обнаружитель дол­жен выработать решение о наличии или отсутствии сигнала. На вход обнару­жителя поступает сигнал y(t), который обнаруживается на фоне белого гауссов- ского шума n(t).

Отношение правдоподобия для этого случая может быть представлено в следующем виде

где - фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала;

N0 - спектральная плотность шума; Э( ) - энергия ожидаемого игнала; Z( ) - корреляционный интеграл

.(16)

Отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляцион­ного интеграла, который может быть рассчитан по принятой реализации y(t) для любого фиксированного параметра . Сравнение отношения правдоподо­бия с порогом l0 эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соот­ветствующим порогом z0.

.

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять корреля­ционный интеграл (16) и сравнивать его с порогом. Структурная схема про­стейшего обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами изобра­жена на рис. 2.5.

Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом z 0 . Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность F ложного превышения порога

Рис. 2.5. Простейший корреляционный обнаружитель

была не больше допустимой. Опорное колебание x(t, ) может вырабатываться специальным гетеродином или получаться непосредственно от передатчика пу­тем задержки сигнала на время .

2.1.4. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Обычно сигнал, принимаемый приемником, неизвестен точно. Как пра­вило, его амплитуда, начальная фаза, время запаздывания и другие параметры заранее неизвестны. Возможны два способа приема сигналов с неизвестными параметрами. Первый способ предполагает предварительное измерение всех его неизвестных параметров и последующий прием как полностью известного сигнала. Этот способ требует выделения специального времени на выполнение указанных выше измерений, усложнения аппаратуры и значительной величины отношения сигнал-шум. Этот способ может быть заменен другим, при котором неизвестные параметры сигнала считаются случайными, а его прием ведется без учета конкретных значений параметров путем статистического усреднения принятого колебания.

Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со слу­чайными нефиксированными параметрами по принятой реализации y(t) сводит­ся:

1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и
частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах и ( -
случайный нефиксированный при обнаружении параметр или совокупность па­-
раметров: начальная фаза, амплитуда);

2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефикси­
рованному параметру .

Для указанной выше ситуации частное отношение правдоподобия опре­делится следующим образом:

,(17)

где Z и Э - частные значения корреляционного интеграла и нергии сигнала.

(18)

.(17)

Ведя речь о фазовой структуре сигналов, следует определиться с коге­рентностью. Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой струк­турой, однако начальная фаза радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной. Такой сигнал может быть представлен в ви­де:

Тогда частное значение корреляционного интеграла (18) приводится к виду:

где ,

Для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, частное значение энергии от не зависит .

Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от 0 до 2 с плотностью вероятности . Определяя математическое ожидание частного отношения прав­доподобия и вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода нулево­го порядка , получим

(20)

где Z - модульное значение корреляционного интеграла, определяемое для принятой реализации y(t) с учетом фиксированного параметра а

Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой изображена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой имеют тот же вид, что и при точно известном сигнале, но лежат несколько пра­вее, что свидетельствует о проигрыше в отношении сигнал-шум.

Если реализуется прием одиночного сигнала со случайной начальной фа­зой, простейшая схема оптимального обнаружителя имеет вид, изображенный на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Оптимальный приемник для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой

Согласованный фильтр такой, у которого коэффициент передачи K есть величина, комплексно сопряженная спектру S сигнала. Импульсная переходная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянно­го множителя является зеркальным отражением входного сигнала на оси вре­мени. Такой фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум.

Если принимается последовательность импульсных сигналов со случай­ной начальной фазой, то выбор схемы обнаружителя существенно зависит от взаимосвязи фаз отдельных сигналов. При когерентной пачке импульсных сиг­налов (имеет место функциональная зависимость фазы колебаний от времени) оптимальный приемник может быть реализован в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Оптимальный приемник для обнаружения пачки когерентных импульсов одинаковой амплитуды и длительности

Согласованный фильтр в данной схеме является оптимальным для от­дельного импульса пачки. Линия задержки имеет (N-1) отводов (N - число им­пульсов в пачке). Если период следования импульсов Т, то общая задержка в линии равна (N-l)-T. В момент окончания пачки импульсов на выходе сумма­тора имеет место наибольшее значение отношения сигнал-шум, характеризуе­мое суммарной энергией пачки импульсов.

Для некогерентной пачки импульсов (начальные фазы отдельных им­пульсов статистически независимы) оптимальный приемник принимает вид, изображенный на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Оптимальный приемник для обнаружения пачки одинаковых некогерентных импульсов

Приемник включает: фильтр, согласованный с одиночным импульсным сигналом; детектор амплитудный; рециркулятор, используемый для накопления видеоимпульсов; пороговое устройство. Рециркулятор имеет коэффициент пе­редачи меньше единицы, вследствие чего накопление импульсов происходит неоптимальным образом и поэтому схема на рис. 2.9 является квазиоптималь­ной.

В момент окончания пачки импульсов отношение сигнал-шум на выходе рециркулятора имеет максимальное значение. Суммирование импульсных сиг­налов происходит после нелинейного элемента - детектора амплитудного, ко­торый ухудшает отношение сигнал-шум на выходе по сравнению с этим отно­шением до детектора. Вследствие этого, результирующее отношение сигнал-шум некогерентной пачки импульсов оказывается меньшим, чем у когерентной.

2.1.5. Оптимальное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Часто случайной бывает не только начальная фаза, но и амплитуда, что приводит к дальнейшему ухудшению характеристик обнаружения по сравне­нию с полностью известным сигналом. Для этого случая сигнал может быть за­писан следующим образом:

Для такого сигнала частное отношение правдоподобия при фиксированном В будет равно

где Z(b) = BZ, Э(B) = В 2 Э; Э и Z - энергия и модульное значение корреляци­онного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу, соответствую-

щему В =1.

При этом величина Э выбирается равной средней энергии

.

Задаваясь релеевским распределением амплитуд

окончательно получим:

(23)

Для сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреля­ционного интеграла Z( ), как и в случае, когда неизвестна только начальная фа­за. Совпадение алгоритмов обнаружения позволяет использовать в обоих слу­чаях одинаковые схемы обработки.

Особенность характеристик обнаружения в рассматриваемом случае со­стоит в том, что с ростом отношения сигнал-шум вероятность обнаружения возрастает сначала быстро, а после достижения значений D = 0,5 - 0,6 это уве­личение замедляется, а затем становится очень медленным. Это объясняется тем, что при действии таких сигналов изменяются лишь параметры распреде­ления Релея величины Z в оптимальном обнаружителе.

На рисунке 2.10 изображены кривые обнаружения для различных сигна­лов.

Рис. 2.10. Кривые обнаружения для сигналов: с полностью извест­ными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир), со случайными амплитудой и начальной фазой (сплош­ные линии)

Приведенные выше схемы являются оптимальными лишь тогда, когда положение ожидаемого сигнала на оси времени известно. Ответ о наличии сиг­нала с неизвестным временем запаздывания может быть дан, если установить факт его наличия или отсутствия для различных значений времени запаздыва­ния. Приходим, таким образом, к необходимости многоканальных корреляци­онных схем, что является недостатком при реализации алгоритмов обнаруже­ния в радиолокации.

Для одноканальной обработки радиолокационной информации могут быть применены фильтровые и корреляционно-фильтровые системы.

2.1.6. Принципы фильтровой и корреляционно-фильтровой обработки сигналов

Считая вначале параметры сигнала известными полностью, потребуем,
чтобы элемент схемы оптимального приема вычислял корреляционный инте­
грал для произвольного времени запаздывания ожидаемого сигнала .(24)

Тогда корреляционный интеграл будет

,(25)

откуда видно, что схема вычисления корреляционного интеграла должна осу­ществлять операцию интегральной свертки. Для реализации математической операции (25) можно использовать фильтр, который будем называть оптималь­ным или согласованным фильтром.

Одной из основных характеристик произвольного линейного фильтра яв­ляется его импульсная характеристика, которая описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичного импульса, поданного в момент времени t=0. Импульсная характеристика оптимального фильтра описывается следую­щим выражением:

,

Цифровые методы обнаружения импульсных сигналов

При использовании цифрового накопителя, выходное напряжение детектора квантуется по амплитуде на заданное число дискретных уровней. Одновременно производится дискретизация напряжения по времени с шагом, равным интервалу корреляции квантуемого напряжения.

В случае приема некогерентной пачки импульсов наиболее простым является двухуровневое или бинарное квантование. Т.е. на выходе устройства квантования выдается импульс стандартной амплитуды и длительности при превышении порога огибающей и нуль, если этот порог не превышен.

импульсный сигнал фильтрация квантование

Стандартному импульсу присваивается символ 1 или 0.

Схема приемника при квантовании сигнала отличается от схемы аналогового приемника наличием квантователя, а так же тем, что аналоговый накопитель (видеоинтегратор) заменен цифровым:

В случае двухуровнего квантования такой приемник называют бинарным интегратором .

При бинарном квантовании могут быть использованы, кроме рассмотренных ранее, и другие методы обнаружения сигнала, при которых, например, регистрируются определенные серии бинарно-квантовых напряжений, более вероятных при наличии сигнала, чем при его отсутствии. Примером является метод совпадений, при котором решение о наличии сигнала выдается в том случае, если в результате бинарного квантования получена серия подряд следующих единиц, число которых не меньше заданного.

Схема выглядит следующим образом:

Устройство обнаружения бинарно-квантованных сигналов таким методом включает в себя схему совпадений на входах и устройство памяти (например, ЛЗ). Время задержки сигналов каждой линии равно периоду следования. Схема совпадения выдает импульсное наличие сигнала, когда на все входы поступает 1. Достоинством метода совпадения является то, что при его использовании необходимая емкость памяти меньше, чем при методе бинарного интегрирования.

Классы зондирующих сигналов

а) Сигналы простые: - одиночный импульс, пачка радиоимпульсов.

б) Сложные сигнал: - это сигналы с внутриимпульсной модуляцией, пачка сложных импульсов (АЧМ, ФКМ).

Методы формирования, корреляционные свойства - самостоятельно по конспекту или Дымова А.И. «Радиотехнические системы.» стр. 90-108.

Особенности применения простых и сложных сигналов

Из анализа соотношения можно сделать заключение, что подход к выбору формы сигнала тривиально прост. Если предпочтение отдается дальности - уменьшают длительность импульса, тем самым расширяя его спектр. Если скорости - сужают спектр, увеличивая длительность сигнала. На самом деле, при сигналах более сложной формы, у тела неопределенности, проявляются новые свойства, которые при определенных разумных ограничениях, позволяют получить дополнительный выигрыш без нарушения общего принципа неопределенности.

Обычно от цели принимается не один, а несколько импульсов. Рассмотрим сигнал в виде пачки импульсов колокольной формы длительностью и периодом повторения. Огибающая амплитуды - тоже колокольной формы.

В этих условиях функция корреляции по времени - сигнал на выходе оптимального приемника, так же будет иметь вид импульсов того же периода, а функция корреляции по частоте - спектр на выходе оптимального приемника, приобретает вид дискретных полос, разделенных интервалами. Тело неопределенности имеет вид:

Тело неопределенности будет состоять из ряда пиков. Суммарный объем тела неопределенности, так же как и суммарная площадь его сечения, сохраняется равной 1. Пунктиром на рисунке показано тело неопределенности и сечение для единичного импульса.

Эффективная длительность сигнала возросла, а эффективная ширина спектра осталась неизменной: , следовательно: .

Однако совместная разрешающая способность не изменилась, покажем это:

Введем понятия частотной и временной протяженности.

Частотная протяженность - это ширина дискретного спектра, из которого выброшены пустые участки. Соответственно временная протяженность равна длительности сигнала, за исключением пустых участков. Из рисунка видно, что число дискретных полос спектра, разделенных интервалом в пределах, составляет: .

Поскольку ширина одной полосы равна, то частотная протяженность сигнала равна суммарной ширине всех полос:

При длительности одного импульса временная протяженность сигнала равняется примерной длительности всех импульсов: .

Таким образом, математически соотношение неопределенности в радиолокации для составного сигнала: , и формулируется так: произведение временной и частотной протяженности сигнала равна единице.

Разбиение тела неопределенности на дискретные участки приводит к новому явлению - неоднозначности ответа, которая является частью понятия разрешающей способности. Так сигналы двух целей, разделенные интервалом однозначности (или целым числом), не будут различаться, т.к. попадают в дискретные области неоднозначности.

Для исключения неоднозначности отсчета дальности, период следования импульсов выбирают из условия: или, где: - дальность действия РЛС.

При этом условии расстояние между любыми двумя целями в зоне обзора будет меньше, и интервал между этими сигналами меньше интервала однозначности.

Аналогично решается вопрос с неоднозначностью скорости. Различие состоит только в том, что у одной цели доплеровский сдвиг может быть положительным, а у другой - отрицательным. Поэтому интервал однозначности по частоте составляет, и однозначно измеряемая доплеровская частота:

При этих ограничениях по дальности и скорости, полный объем тела неопределенности, за исключением его центрального пика, не играет никакой роли.

Поэтому, совместная разрешающая способность определяется объемом только центрального пика, который значительно меньше 1. Из этого следует, что при одновременном измерении дальности и скорости, сигнал в виде последовательности импульсов более предпочтителен, чем одиночный импульс.

Однако, на практике условие выполняется лишь для целей, движущихся с малыми скоростями, поэтому для больших скоростей неоднозначность сохраняется. Дополнительное измерение скорости по доплеровскому сдвигу частоты можно устранить неоднозначность измерения скорости. Однако, разрешающая способность по дальности и скорости остается неизменной.

Для повышения однозначно измеряемой доплеровской частоты при заданном периоде следования, применяют пакетно-импульсный метод работы.

В каждом периоде излучают не одиночные импульсы, а импульсные пакеты с высокой частотой следования импульсов внутри пакета. Тогда интервал однозначности по скорости существенно возрастает, т.к. . При этом повышается разрешающая способность по скорости, но снижается по дальности. Поэтому, пакетно-импульсный режим работы используется в доплеровских измерителях путевой скорости, где единственной целью является земная поверхность и разрешающая способность по дальности не играет роли.

Для примера на рис. 1 представлены графики смеси сигнала и шума A(t)+z(t), самого сигнала z(t) и только шума A(t).

На глаз на верхнем графике невозможно обнаружить что-то, отличное от шума, особенно если у нас нет никакой априорной информации о форме сигнала и его параметрах – моменте возникновения, длительности, амплитуде и частоте. Такая ситуация типична для программы поиска сигналов внеземных цивилизаций.

Вы уже поняли, что априорная информация является одним из основных факторов, определяющих действенность процедур контроля, распознавания образов, диагностики идентификации систем.

При полном отсутствии априорной информации сбор и обработка данных бессмысленна – невозможно найти «то, не знаю, что». При наличии априори всей информации об объекте исследования применение каких-либо измерительных информационных технологий так же совершенно лишено смысла – мы и без того все знаем. При работе измерительных информационных систем любого назначения мы всегда сталкиваемся с недостаточностью априорной информации. Задача почти всегда заключается в том, чтобы получить как можно больше апостериорной информации, используя как можно лучше все имеющиеся априорные сведения.

В задачах обнаружения сигнала неизвестным является сам факт наличия сигнала. Априорной информацией здесь могут быть сведения о форме сигнала, о частотах его появления, вероятности существования и прочее.

В задачах различения сигналов неизвестен тип принимаемого в данный момент сигнала из заданного множества возможных типов сигналов. В качестве априорной информации здесь используются сведения о возможных видах сигналов и вероятности появления различных типов сигналов.

В задачах оценивания сигналов неизвестным является значение сигнала или вектор (совокупность) параметров сигнала. Априори хорошо бы иметь сведения о форме сигнала и распределении вероятностей его параметров.

Остальные компоненты сигнально - помеховой обстановки считаются, как правило, известными. Априори известно статистическое описание помех, значения неинформативных параметров сигнала, условия проведения эксперимента.

В простейших случаях задача обнаружения сигналов сводится к использованию специальных фильтров, повышающих отношение сигнал/шум:

где - мощность сигнала на промежутке Т его существования,

- мощность шума .

Рассмотрим вопросы применимости различных типов фильтров.

Частотная фильтрация.

Предположим, что передаваемый кодированный сигнал имеет форму отрезков синусоиды:

На рис. 2 сверху представлен отрезок сигнала x(t), а в середине – тот же сигнал, но в смеси с белым шумом n(t). Здесь нужно иметь большое воображение, чтобы заметить следы сигнала x(t) на фоне шума.

Для выделения сигнала естественно использовать полосовой фильтр с узкой полосой пропускания, средняя частота которого равна частоте сигнала .

На рис. 2 внизу представлен сигнал y(t) на выходе резонансного фильтра, настроенного на частоту сигнала x(t) при степени успокоения 0,2. Дифференциальное уравнение фильтра и порядок его решения в среде Math Cad представлено в листинге:

На графике (рис. 2) уже можно четко заметить полезный сигнал, несмотря на имеющие место искажения остатками шума.

Пусть n(t) – белый широкополосный шум с мощностью в полосе частот до . В этом случае мощность шума на выходе фильтра с полосой пропускания вокруг частоты составит:

.

Казалось бы, что, уменьшая полосу пропускания фильтра по отношению к полосе частот, занимаемых шумом, можно как угодно увеличивать отношение сигнал/шум и тем самым все более четко определять наличие сигнала на фоне шума.

Однако здесь следует иметь в виду следующее обстоятельство. Спектр синусоидального сигнала сосредоточен на его частоте только в том случае, когда эта синусоида задана на всем промежутке времени от до .

Отрезок синусоиды конечной протяженности имеет лепестковый спектр (рис. 3), главный максимум которого приходится на частоту сигнала . Полосовой фильтр обязательно поглощает часть энергии полезного сигнала вместе с энергией шума, что приводит к амплитудным и фазовым искажениям сигнала. Это хорошо видно на нижнем графике, на рис. 2.

Временная фильтрация

Принимаемый сигнал является аддитивной смесью сигнала и шума:

Определим автокорреляционную функцию этой смеси:

Если сигнал и шум не коррелированны, то их взаимнокорреляционная функция равна нулю, и поэтому автокорреляционная функция аддитивной смеси сигнала и шума равна сумме их автокорреляционных функций:

Если x(t) – синусоидальный сигнал со случайной фазой, то его автокорреляционная функция является косинусоидой той же частоты:

Автокорреляционная функция шума обычно быстро убывает с ростом τ, а для белого шума имеет форму δ – функции при τ=0. Поэтому автокорреляционная функция синусоидального сигнала на фоне почти белого шума будет всегда выглядеть так, как это показано на рис. 4 слева. При отсутствии сигнала () автокорреляционная функция будет просто быстро затухать, как на рис. 4 справа. Отсчет значения автокорреляционной функции по истечении времени в первом случае даст значение , а во втором случае – нуль.

Это обстоятельство и положено в основу построения временных (корреляционных) фильтров. Схема построения фильтра представлена на рис. 5.

Фильтр состоит из линии задержки на время , схемы перемножения принимаемого сигнала и сигнала на выходе линии задержки и интегратора, обеспечивающего интегрирование результата перемножения по времени в пределах от 0 до , после чего интегратор обнуляется и вновь включается в момент ожидаемого прихода нового радиоимпульса. Название этого устройства фильтром является в большой степени условным, поскольку он осуществляет не преобразование сигнала, а только вычисление фиксированных значений его автокорреляционной функции.

В качестве примера на рис. 6 представлены графики ожидаемого сигнала x(t, 1) и аддитивной смеси сигнала и шума n(t), единственно доступной для наблюдения. Нижний график на рис. 6 наглядно показывает, как сигнал почти полностью теряется на фоне шума.

Расчеты, реализуемые фильтром, дают при этом следующие значения выходного сигнала соответственно при наличии и отсутствии сигнала, подлежащего обнаружению:

При наличии сигнала () выходной сигнал корреляционного фильтра принимает значение 0,445, то есть примерно значение, равное половине квадрата амплитуды, а в условиях отсутствия сигнала () значение сигнала составляет всего-то -0,025.

На рис. 7 представлены графики изменения корреляционных функций шума (синяя линия) и смеси сигнала и шума (красная линия), рассчитанные в соответствии с данными, изображенными на рис. 6. Представленные кривые повторяют то, что было представлено на рис. 4, но соответствуют не только теоретическим выводам, но и практическим результатам расчетов.

Согласованная фильтрация

Согласованным называется фильтр, импульсная переходная функция которого является зеркальным отображением импульса, для обнаружения которого он и предназначен. Такой фильтр «согласован» с ожидаемым сигналом и предназначается для обнаружения сигнала только заранее известной формы.

Предположим, что нужно на фоне помех обнаруживать сигнал:

Сигнал изображен на рис. 8. Пропустим этот сигнал через фильтр с импульсной переходной функцией:

Функция является зеркальным отображением подлежащего обнаружению сигнала относительно прямой, проведенной параллельно оси ОХ через точку с абсциссой .

Сигнал на выходе фильтра определяется как свертка зашумленного входного сигнала и импульсной переходной функции:

Два последние интеграла с точностью до постоянного множителя определяют значения автокорреляционной функции сигнала и взаимной корреляционной функции сигнала и шума, разделенных промежутком времени :

Но если сигнал и шум не коррелируют, то и в момент времени выходной сигнал фильтра должен достигать наибольшего значения, равного .