Как найти главные миноры матрицы. Миноры матрицы

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а ij . Обозначается М ij .

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

Тогда согласно определению минора , минором М 12 , соответствующим элементу а 12 , будет определитель :

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы . Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

Знак перед произведением равен (-1) n , где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор , взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А ij . А ij = (-1) i+j × М ij .

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения . Пример:

4. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей , союзной к матрице А, называется матрица

Где А ij - алгебраическое дополнение элемента а ij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы ).

Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А -1 = А -1 × А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А -1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А -1 . Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для получения обратной матрицы используют формулу:

Где М ji дополнительный минор элемента а ji матрицы А.

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Например, для матрицы можно составить миноры второго порядкаи миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Пусть в матрице выделены
какие-либо k строк и k столбцов, k и k. Элементы, расположенные на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу А¢ порядка k (подматрицу матрицы А).
Ее определитель называется минором k-го порядка данной матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров матрицы А может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т.е. . Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение. Наибольший порядок минора, отличного от нуля, называется рангом матрицы.

Определение. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.

Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными .

В общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров.

Важную роль играет следующая основная теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 3.6. (о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) матрицы линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Таким образом, если ранг матрицы А равен r , то в этой матрице обязательно имеется минор r -го порядка, отличный от нуля, а все миноры, порядок которых больше r , равны нулю.

Ранее было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых ее вектор-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Это дает возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.

Пример. Найти все базисные миноры матрицы

А=.

○ Любой минор матрицы А третьего порядка равен нулю, так как содержит нулевую строку. Будем находить миноры второго порядка, отличные от нуля.

, , , , .

Среди миноров второго порядка есть отличные от нуля, значит ранг матрицы А равен 2 и базисными минорами являются . ●

Теорема 3.7. Для того чтобы определитель n-го порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

□ 1) Пусть определитель квадратной матрицы А порядка n равен нулю. Тогда максимальный порядок миноров, не равных нулю, должен быть меньше n ; следовательно, ранг матрицы А меньше n . Это означает, что система всех строк матрицы линейно зависима.

2) Если строки А 1 , А 2 ,…, А m определителя линейно зависимы,
то по свойству 6° линейной зависимости одна строка А i является линейной комбинацией остальных строк определителя, т.е.

Прибавив к строке А i эту линейную комбинацию, умноженную на (–1), получим одну строку, целиком состоящую из нулей, при этом на основании свойства 7° определителя величина определителя не изменится. Но тогда по свойству 2° определитель равен нулю. ■

Пример. Доказать, что векторы a 1 =(2;–1;3), a 2 =(–1;1;0), a 3 =(1;1;6) компланарны.

○ Три ненулевые трехмерные векторы компланарны, если они линейно зависимы. Составим определитель из координат этих векторов

Так как определитель равен нулю, то его строки линейно зависимы, значит, линейно зависимы векторы a 1 =(2;–1;3), a 2 =(–1;1;0), a 3 =(1;1;6), следовательно, они компланарны. ●

Матрицы, элементы которой стоят в данной прямоугольной матрице порядка k (который называется также порядком этого минора) на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным , а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным .

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор M 23 . Этот минор - определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем M 23 = 13

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Минор матрицы" в других словарях:

Минор (от лат. minor меньший) k го порядка матрицы, определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов матрицы. Так, определитель есть М. 2 го порядка матрицы составленный из ее элементов,… …

Определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя … Большой Энциклопедический словарь

МИНОР, определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя … Энциклопедический словарь

1. М. элемента aij определителя А есть определитель, полученный из А после вычеркивания элементов i ой строки и j гo столбца. М. m го порядка матрицы А ||aij|| есть определитель m го порядка, составленный из m2 элементов, стоящих на пересечении… … Геологическая энциклопедия

Минор - см. Определитель матрицы … Экономико-математический словарь

У этого термина существуют и другие значения, см. Минор (значения). Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами … Википедия

I Минор Лазарь Соломонович , советский невропатолог, заслуженный деятель науки РСФСР (1927). В 1879 окончил медицинский факультет Московского университета, работал у А. И. Бабухина, А. Я. Кожевникова. В 1910 17… … Большая советская энциклопедия

А; м. [от итал. minore меньший]. 1. Музыкальный лад, звуки которого образуют аккорд, построенный на малой трапеции (характеризуется звуковой окраской, связанной с настроениями грусти, скорби; противоп.: мажор). Играть в миноре. 2. Разг. О… … Энциклопедический словарь

Порядка к определитель матрицы, элементы к рой стоят в данной прямоугольной матрице на пересечении кразных столбцов и кразных строк. Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то М. наз. главным, а есля отмечены первые … Математическая энциклопедия

Определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя … Естествознание. Энциклопедический словарь