Заполнение массива матлаб. Числовые массивы
Вычисление числа размерностей массива
Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims :
> > M = rand(2: 3: 4: 5):
> > ndims(M)
Ans =
Вычисление размера размерности массива
Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size :
- М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;
Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е.size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.
Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.
- = size(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;
- D = size (А) , для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;
- = size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.
Перестановки размерностей массивов
Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:
- permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;
- ipermute(A, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A
Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size :
> > A = [ 1 2: 3 4 ]:
> > B = [ 5 6 ; 7 8 ];
> > C = [ 9 10 ; 11 12 ];
> > D = cat(3 .A,B.C)
D(:,:, 1) =
1 2
3 4
9 10
11 12
> > size(D)
Ans =
2 2 3
> > size(permute(D.[ 3 2 1 ]))
Ans =
3 2 2
> > size(ipermute(D.[ 2 1 3 ]))
Урок №13.
Многомерные массивы
Понятие о многомерных массивах
Применение оператора «:» в многомерных массивах
Доступ к отдельному элементу многомерного массива
Удаление размерности в многомерном массиве
Создание страниц, заполненных константами и случайными числами
Объединение массивов
Вычисление числа размерностей массива и определение размера размерностей
Перестановки размерностей массивов
Сдвиг размерностей массивов
Удаление единичных размерностей
В этом уроке мы коснемся вопросов, связанных с более сложными типами данных, к которым относятся многомерные массивы.
Понятие о многомерных массивах
В MATLAB двумерный массив является частным случаем многомерного массива. Многомерные массивы характеризуются размерностью более двух. Таким массивам можно дать наглядную интерпретацию. Так, матрицу (двумерный массив) можно записать на одном листе бумаги в виде строк и столбцов, состоящих из элементов матрицы. Тогда блокнот с такими листками можно считать трехмерным массивом, полку в шкафу с блокнотами - четырехмерным массивом, шкаф со множеством полок - пятимерным массивом и т. д. В этой книге практически нигде, кроме этого раздела, мы не будем иметь дело с массивами, размерность которых выше двух, но знать о возможностях MATLAB в части задания и применения многомерных массивов все же полезно.
В нашей литературе понятия «размер» и «размерность» массивов являются почти синонимами. Однако они имеют явно разный смысл в данной книге, как и в документации и литературе по системе MATLAB. Под размерностью массивов понимается число измерений в пространственном представлении массивов, а под размером - число строк и столбцов (mxn) в каждой размерности массива.
Применение оператора «:» в многомерных массивах
При обычном задании массивов (с помощью символа точки с запятой «;») число рядов (строк) массива получается на 1 больше, чем число символов «:», но массив остается двумерным. Оператор «:» (двоеточие) позволяет легко выполнять операции по увеличению размерности массивов. Приведем пример формирования трехмерного массива путем добавления новой страницы. Пусть у нас задан исходный двумерный массив М размером 3x3:
» М=
М =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Для добавления новой страницы с тем же размером можно расширить М следующим образом:
» М(:.:.2)=
M(:.:.l) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
М(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Посмотрим, что теперь содержит массив М при явном его указании:
» М
М(:,:.1)=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
М(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Как можно заметить, числа в выражениях М(:.:, 1) и М(:,: ,2) означают номер страницы.
Доступ к отдельному элементу многомерного массива
Чтобы вызвать центральный элемент сначала первой, а затем второй страницы, надо записать следующие выражения:
» М(2.2,1)
Ans =
» МС2.2.2)
Ans =
Таким образом, в многомерных массивах используется то же правило индексации, что и в одномерных и двумерных. Произвольный элемент, например, трехмерного массива задается как М(1 .j.k), где 1 - номер строки, j - номер столбца и k - номер страницы. Этот элемент можно вывести, а можно присвоить ему заданное значение х: М(1 ,j,k)=x.
Удаление размерности в многомерном массиве
Мы уже отмечали возможность удаления отдельных столбцов присвоением им значений пустого вектора-столбца . Этот прием нетрудно распространить на страницы и вообще размерности многомерного массива. Например, первую страницу полученного массива М можно удалить следующим образом:
» М(:.:.1)=
М =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Нетрудно заметить, что в этом массиве осталась только вторая страница и что размерность массива уменьшилась на 1 - он стал двумерным.
Создание страниц, заполненных константами и случайными числами
Если после знака присваивания стоит численная константа, то соответствующая часть массива будет содержать элементы, содержащие данную константу. Например, создадим из массива М (см. пример выше) массив, у которого вторая страница содержит единицы:
»M(:.:..2)=1
М(:.:,1) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
М(:.:.2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
А теперь заменим первую страницу массива на страницу с нулевыми элементами:
»M(:.:.1)=0
M(:.:.1)=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
М(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Использование функций ones, zeros, rand и randn
Функции ones (создание массивов с единичными элементами), zeros (создание массивов с нулевыми элементами) и rand или randn (создание массивов с элементами - случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением) могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже:
» E=ones(3.3.2)
E(:.:.1)=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
E(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
» Z=zeros(2,2,3) Z(:,:.l) =
Z(:.:.2) =
Z(:.:,3) =
» R=randn(3,2.2) R(:.:.l) =
1.6656-1.1465
0.1253 1.1909
0.2877 1.1892
R(:.:,2) =
0.0376-0.1867
0.3273 0.7258
0.1746 -0.5883
Эти примеры достаточно очевидны и не требуют особых комментариев. Обратите, однако, внимание на легкость задания размеров массивов для каждой размерности. Кроме того, следует отметить, что если хотя бы одна размерность массива равна нулю, то массив будет пустым:
» A=randn(3,3,3,0)
А =
Empty array: 3-bу-3-bу-3-by-0
Как видно из данного примера, пустой массив возвращается с соответствующим комментарием.
Объединение массивов
Для создания многомерных массивов служит описанная ранее для матриц специальная функция конкатенации cat:
cat(DIM,A,B) - возвращает результат объединения двух массивов А и В вдоль размерности DIM;
cat(2.A.B) - возвращает массив [А.В], в котором объединены ряды (горизонтальная конкатенация);
cat(1, А.В) - возвращает массив [А:В], в котором объединены столбцы (вертикальная конкатенация);
B=cat(DIM.Al,A2,...) - объединяет множество входных массивов Al, A2,... вдоль размерности DIM.
Функции cat(DIM,C{:}) и cat(DIM.C.FIELD) обеспечивают соответственно конкатенацию (объединение) ячеек массива ячеек (см урок 15) или структур массива структур (см. урок 14), содержащих числовые матрицы, в единую матрицу. Ниже приводятся примеры применения функции cat:
» М1=
» М2=
М2 =
» catd.Ml.M2)
Ans =
5 б
» cat(2.Ml.M2)
ans=
1 2 5 6
3 4 7 8
» M-cat(3.Ml.M2) M(:,:.l) =
М(:,:,2) =
Работа с размерностями
Вычисление числа размерностей массива
Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims:
» M=rand(2:3:4:5):
» ndims(M)
Ans =
4
Вычисление размера
размерности массива
Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size:
М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;
Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е. size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.
Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.
Si ze(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;
D = size (А), для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;
Size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.
Перестановки размерностей массивов
Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:
Permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;
ipermuteCA, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A
Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size:
» А=:
» В=;
» С=;
» D=cat(3.A,B.C)
D(:,:,l) =
9 10
11 12
» size(D)
Ans =
2 2 3
» size(permute(D.))
ans=
3 2 2
»size(ipermute(D.))
Ans=
2 2 3
» ipermute(permute(D,),)
Ans(:. :,2) =
ans(:.:,3) =
9 10
11 12
Сдвиг размерностей массивов
Сдвиг размерностей реализуется функцией shiftdim:
B=shiftdim(X,N) - сдвиг размерностей в массиве X на величину N. Если М>0, то сдвиг размерностей, расположенных справа, выполняется влево, а N первых слева размерностей сворачиваются в конец массива, т. е. движение размерностей идет по кругу против часовой стрелки. Если М<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями;
Shiftdim(X) - возвращает массив В с тем же числом элементов, что и у массива X, но с удаленными начальными единичными размерностями. Выходной параметр NSHIFTS показывает число удаленных размерностей. Если X - скаляр, функция не изменяет X , В, NSHIFTS.
Следующий пример иллюстрирует применение функции shiftdim:
» A=randn(1.2.3,4):
» =shiftdim(A)
B(:.:.l) =
2.1707-1.01060.5077
0.05920.6145 1.6924
B(:.:,2) =
0.5913 0.3803 -0.0195
0.6436-1.0091-0.0482
B(:.:.3) =
0.0000 1.0950 0.4282
0.3179-1.87400.8956
В(:.:,4) =
0.7310 0.0403 0.5689
0.5779 0.6771 -0.2556
Удаление единичных размерностей
Функция squeeze(A) возвращает массив, в котором удалены все единичные размерности. Единичной называется размерность, в которой size(A. dim) == 1. Но если
А - одномерный или двумерный массив (матрица или вектор), то функция вернет тот же самый массив А. Следующий пример поясняет работу squeeze:
» A=randn(1.2.1.3.1):
» B=squeeze(A)
0.6145 1.6924 -0.6436
0.5077 0.5913 0.3803
Обратите внимание на то, что пятимерный массив А превращается в массив с размерностью 2 и размером 2x3.
Что нового мы узнали?
В этом уроке мы научились:
Создавать многомерные массивы.
Применять оператор «:» в многомерных массивах.
Получать доступ к отдельным элементам многомерных массивов.
Удалять размерности у многомерного массива.
Создавать массивы, заполненные константами и случайными числами.
Осуществлять объединение массивов.
Вычислять число размерностей массива и определять размер каждой размерности.
Переставлять, сдвигать и удалять единичные размерности в многомерных массивах.
Индексы . Элемент массива А, расположенный на пересечении строки i и столбца j, обозначается как А(i, j).
Пример
Рассмотрим в качестве массива А матрицу magic(4):
А = magic(4)
А =
| 16 | 2 | 3 | 13 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
Тогда А(4, 3) - это элемент, расположенный на пересечении строки 4 и столбца 3, равный 15.
Можно также вычислить сумму элементов четвертого столбца
A(1, 4) + A(2, 4) + A(3, 4) +
A(4, 4)
ans =
34
На элементы массива А можно ссылаться, используя единственный индекс, А(k). Это обычный способ ссылки на элементы векторов. Но точно так же можно ссылаться на элементы двумерного массива, и в этом случае этот массив рассматривается как один длинный вектор-столбец, сформированный из столбцов исходного массива. В рассматриваемом примере А(12) - это другой способ ссылки на значение 15, соответствующее элементу А(4, 3).
Если будет сделана попытка обратиться к элементу вне матрицы, то программа выдаст ошибку:
t = A(4, 5)
??? Index exceeds matrix
dimensions. Индекс превышает размерность матрицы.
Если же выполняется присвоение значения элементу с индексами, выходящими за пределы массива, то система MATLAB автоматически увеличивает размер матрицы.
Пример :
X = A;
X (4, 5) = 17
X =
| 16 | 2 | 3 | 13 | 0 |
| 5 | 11 | 10 | 8 | 0 |
| 9 | 7 | 6 | 12 | 0 |
| 4 | 14 | 15 | 1 | 17 |
Выделение подблоков массива . Если в индексных выражениях использовать двоеточие, то можно ссылаться на подблоки массива. Так индексное выражение A(1:k, j) ссылается на блок из k элементов столбца j.
Пример :
A(1:4,3)
ans =
| 3 |
| 10 |
| 6 |
| 15 |
Здесь выделен столбец 3 матрицы magic(4).
Оператор
sum(A(1:4, 3))
ans =
34
вычисляет сумму элементов столбца 3.
Однако существует способ лучше. Поскольку двоеточие само по себе ссылается на все элементы строки или столбца, то последнюю сумму можно вычислить так
sum(A(:,3))
ans = 34
Кроме того, начиная с версии 5.0, на последнюю строку или столбец массива можно ссылаться с помощью ключевого слова end. Таким образом, оператор
sum(A(:, end))
ans =
34
вычисляет сумму элементов в последнего столбца матрицы A.
Объдинение подблоков в массив. Операция объединения отдельных подблоков в массив называется конкатенацией. Даже при формировании исходной матрицу, когда объдиняются отдельные элементы, осуществляется операция конкатенации.Оператор конкатенации - это пара квадратных скобок , внутри которых указываются отдельные элементы или блоки массива.
Пример
.
Используя матрицу A, равную magic(4), образуем новую
матрицу B размера 8x8
B =
B =
| 16 | 2 | 3 | 13 | 48 | 34 | 35 | 45 |
| 5 | 11 | 10 | 8 | 37 | 43 | 42 | 40 |
| 9 | 7 | 6 | 12 | 41 | 39 | 38 | 44 |
| 4 | 14 | 15 | 1 | 36 | 46 | 47 | 33 |
| 64 | 50 | 51 | 61 | 32 | 18 | 19 | 29 |
| 53 | 59 | 58 | 56 | 21 | 27 | 26 | 24 |
| 57 | 55 | 54 | 60 | 25 | 23 | 22 | 28 |
| 52 | 62 | 63 | 49 | 20 | 30 | 31 | 17 |
Эта матрица состоит из четырех блоков размера 4x4
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Эта матрица есть половина другого волшебного квадрата, элементы которого находятся в диапазоне целых чисел 1:64. Суммы по столбцам уже имеют правильное значение для волшебного квадрата размера 8х8:
sum(B)
ans = 260
260 260 260 260 260 260 260
Однако сумма строк
sum
(B")
ans = 196
196 196 196 324 324 324 324
совсем не та.
Попробуйте найти те перестановки элементов, которые приводят матрицу B к истинному волшебному квадрату порядка 8.
Удаление строк и столбцов . Используя понятие пустого массива, можно легко удалять строки, столбцы и целые подблоки.
Допустим,
X
= A
X =
| 16 | 2 | 3 | 13 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
Чтобы удалить второй столбец массива X достаточно применить оператор
X
(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
При попытке улалить отдельный элемент массива возникает ошибка, поскольку результат не является массивом:
X (1,
2) =
??? Indexed
empty matrix assignment is not allowed.
Запрещено присвоение пустой матрицы индексному
выражению
.
Однако использование единственного индекса позволяет удалить одиночный элемент или последовательность элементов, при этом остающиеся элементы преобразуются в вектор-строку.
X = A;
X(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
X(2:1:12) =
X =
16
или
X = A;
X(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
X(2: 2: 10) =
X = 16 9 3
6 13 12 1
Индексация многомерных массивов . В системе MATLAB принято хранить каждый массив, независимо от его размерности, как вектор-столбец. Этот вектор образован объединением (конкатенацией) столбцов исходного массива.
Пример
.
Система MATLAB хранит массив A
A =
в виде следующего вектора-столбца
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 0 |
| 9 |
| 8 |
| 1 |
При обращении к массиву А с указанием единственного индекса происходит непосредственное обращение к этому вектору-столбцу. Обращение A(3) ссылается на третье значение в столбце; А(7) - на седьмое и так далее.
Если количество индексов массива больше 1, то MATLAB вычисляет индекс в столбце хранения, используя значения размерностей массива. Если двумерный массив А имеет размер , где d1 - число строк, а d2 - число столбцов, то для элемента с номером (i, j) его позиция в векторе хранения определяется как (j-1)*d1+i.
Пример
Для элемента A(3, 2) MATLAB вычисляет следующую
позицию в векторе хранения (2-1)*3+3 = 6. Элементу с
номером 6 соответствует значение 0.
Этот способ хранения и индексная схема
распространяются и на многомерные массивы. В
этом случае MATLAB использует схему постраничного
объединения, чтобы создать столбец хранения.
Использование единственного индекса приводит к
непосредственному обращению к вектору хранения.
Если задано два индекса (i, j), то MATLAB вычисляет
позицию описанным выше способом, причем только
для первой страницы многомерного массива и при
условии, что эти индексы находятся внутри
диапазона размерностей исходного массива.
Если задано более двух индексов, схему
индексации усложняется. Если задано четыре
индекса (i, j, k, l) для четырехмерного массиву
размера d1xd2xd3xd4, то позиция элемента в векторе
хранения вычисляется следующим образом
s = (l-1)(d3)(d2)(d1)+(k-1)(d2)(d1)+(j-1)(d1)+i.
Общая формула для позиции элемента в векторе
хранения, соответствующего элементу (j1 j2 ... jn-1 jn)
n-мерного массива размера d1xd2xd3x ... xdn, имеет вид
s = (jn-1)(dn-1)(dn-2)...(d1)+(jn-1-1)(dn-2)...(d1)+...+(j2-1)(d1)+j1.
Пример
Рассмотрим многомерный массив C размера 5х4х3х2. На рис. 3.2 показаны форматы вывода на экран и хранения.
| Вывод на экран | Способ хранения |
page(1,1) =
Все данные MatLab представляет в виде массивов. Очень важно правильно понять, как использовать массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MatLab, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других. В данном подразделе описаны вычисления с векторами. Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений: одномерные, двумерные, многомерные. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса. В MatLab нумерация элементов массивов начинается с единицы. Это значит, что индексы должны быть больше или равны единице. Важно понять, что вектор, вектор-строка или матрица являются математическими объектами, а одномерные, двумерные или многомерные массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше будут использоваться слова вектор и матрица, если больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Вектор может быть записан в столбик (вектор-столбец) и в строку (вектор-строка). Вектор-столбцы и вектор-строки часто будут называться просто векторами, различие будет сделано в тех случаях, если важен способ хранения вектора в MatLab. Векторы и матрицы обозначаются курсивом, а соответствующие им массивы прямым моноширинным шрифтом, например: "вектор а
содержится в массиве а", "запишите матрицу R в массив r". Ввод сложение и вычитание векторов Работу с массивами начнем с простого примера - вычисления суммы векторов: Для хранения векторов используйте массивы а и b. Введите массив а в командной строке, используя квадратные скобки и разделяя элементы вектора точкой с запятой: » a = Так как введенное выражение не завершено точкой с запятой, то пакет MatLab автоматически вывел значение переменной а. Введите теперь второй вектор, подавив вывод на экран » b = ; Для нахождения суммы векторов используется знак +. Вычислите сумму, запишите результат в массив с и выведите его элементы в командное окно: » с = а + b Узнайте размерность и размер массива а при помощи встроенных функций ndims и size: » ndims(a) Итак, вектор а хранится в двумерном массиве а размерностью три на один (вектор-столбец из трех строк и одного столбца). Аналогичные операции можно проделать и для массивов b и c . Поскольку числа в пакете MatLab представляются в виде двумерного массива один на один, то при сложении векторов используется тот же знак плюс, что и для сложения чисел. Ввод вектор-строки осуществляется в квадратных скобках, однако элементы следует разделять пробелами или запятыми. Операции сложения, вычитания и вычисление элементарных функций от вектор-строк производятся так же, как и с вектор-столбцами, в результате получается вектор-строка того же размера, что и исходные. Например: » s1 = Замечание 1 Если размеры векторов, к которым применяется сложение или вычитание, не совпадают, то выдается сообщение об ошибке. Естественно, для нахождения разности векторов следует применять знак минус, с умножением дело обстоит несколько сложнее. » v1 = ; Операция.* (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов: » u = v1.*v2 При помощи.^ осуществляется поэлементное возведение в степень: » р = v1.^2 Показателем степени может быть вектор той же длины, что и возводимый в степень. При этом каждый элемент первого вектора возводится в степень, равную соответствующему элементу второго вектора: » p = vl.^v2 Деление соответствующих элементов векторов одинаковой длины выполняется с использованием операции./ » d = v1./v2 Обратное поэлементное деление (деление элементов второго вектора на соответствующие элементы первого) осуществляется при помощи операции.\ » dinv = vl.\v2 Итак, точка в MatLab используется не только для ввода десятичных дробей, но и для указания того, что деление или умножение массивов одинакового размера должно быть выполнено поэлементно. » v = ; Умножать вектор на число можно как справа, так и слева: » v = ; Делить при помощи знака / можно вектор на число: » р = v/2 Попытка деления числа на вектор приводит к сообщению об ошибке: » р = 2/v Если требуется разделить число на каждый элемент вектора и записать результат в новый вектор, то следует использовать операцию./ » w = ; Все вышеописанные операции применимы как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам. » d = sin(с) Итак, встроенные в MatLab элементарные функции приспосабливаются к виду аргументов; если аргумент является массивом, то результат функции будет массивом того же размера, но с элементами, равными значению функции от соответствующих элементов исходного массива. Убедитесь в этом еще на одном примере. Если необходимо найти квадратный корень из элементов вектора d со знаком минус, то достаточно записать: » sqrt(-d) Оператор присваивания не использовался, поэтому пакет MatLab записал ответ в стандартную переменную ans. Для определения длины вектор-столбцов или вектор-строк служит встроенная функция length: » length(s1) Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой: » v1 = ; Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми: » v1 = ; Работа с элементами векторов Доступ к элементам вектор-столбца или вектор-строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор-строкой » v = ; то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация: » v(4) Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве » v(2) = 555 Из элементов массива можно формировать новые массивы, например » u = Для помещения определенных элементов вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора . Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом: » ind = ; MatLab предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектор-столбца или вектор-строки. Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия. Предположим, что в массиве w , соответствующем вектор-строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу: » w = ; Присваивание w(2:6) = 0 эквивалентно последовательности команд » w - ; Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк: » w2 = Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u , можно выполнить следующим образом: » gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3) Конечно, этот способ не очень удобен для длинных массивов. Для того чтобы найти среднее геометрическое, необходимо набрать в формуле все элементы массива. В MatLab существует достаточно много специальных функций, облегчающих подобные вычисления. Применение функций обработки данных к векторам Перемножение элементов вектора-столбца или вектора-строки осуществляется при помощи функции prod: » z = ; Функция sum предназначена для суммирования элементов вектора. С ее помощью нетрудно вычислить среднее арифметическое элементов вектора z: » sum(z)/length(z) В MatLab имеется и специальная функция mean для вычисления среднего арифметического: » mean(z) Для определения минимального и максимального из элементов вектора служат встроенные функции min и max: » m1 = max(z) Часто необходимо знать не только значение минимального или максимального элемента в массиве, но и его индекс (порядковый номер). В этом случае встроенные функции min и max необходимо использовать с двумя выходными аргументами, например » = min(z) В результате переменной m будет присвоено значение минимального элемента массива z, а номер минимального элемента занесен в переменную k. » r = ; Можно упорядочить вектор по убыванию, используя эту же функцию sort : » R1 = -sort(-r) Упорядочение элементов в порядке возрастания их модулей производится с привлечением функции abs: » R2 = sort(abs(r)) Вызов sort с двумя выходными аргументами приводит к образованию массива индексов соответствия элементов упорядоченного и исходного массивов: » = sort(r) Массивы являются основными объектами в системе MATLAB : в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы - векторы - и двумерные массивы - матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов - тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х. Формирование массивов специального вида
Операции над матрицами
Специальные матрицы
Синтаксис: Z = conv(x, y) Описание: Если заданы одномерные массивы x и y длины соответственно m = length(x) и n = length(y), то свертка z - это одномерный массив длины m + n -1, k-й элемент которого определяется по формуле Функция z = conv(x, y) вычисляет свертку z двух одномерных массивов x и y. Рассматривая эти массивы как выборки из двух сигналов, можно сформулировать теорему свертки в следующей форме: Иначе говоря, свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов. Функция = deconv(z, x) выполняет операцию, обратную операции свертки. Эта операция равносильна определению импульсной характеристики фильтра. Если справедливо соотношение z = conv(x, y), то q = y, r = 0. Сопутствующие функции: Signal Processing Toolbox . 1. Signal Processing Toolbox Users Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1993. Установка шаблона матриц и векторов (Matrix...) Операция Matrix... (Матрицы) обеспечивает задание векторов или матриц Как известно, матрица является заданным своим именем объектом в виде массива данных MathCAD использует одномерные массивы векторы и двумерные собственно матрицы Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns Элементами матриц могут быть числа, константы, пере менные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными Если использовать операцию Matrix..., то в текущем окне появится не большое окошко, позволяющее задать размерность вектора или матрицы (см рис 515 справа) Для этого нужно указать число строк Rows и число сголбцов Columns Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить) в окошке, можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1) Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Один из прямоугольников можно сделать активным (отметив его курсором мыши). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали пробежаться по всем прямоугольникам и ввести все элементы вектора или матрицы.
Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако, если закончить ввод до полного заполнения шаблонов, система выведет сообщение об ошибке незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом. Если использовать операцию Insert (Включение) при уже выведенном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (Стирание) позволяет убрать расширение матрицы, вычеркнув из нее строку или столбец. Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой номер столбца. Для набора индексированной переменной прежде надо ввести имя переменной, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Прежде указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца. Примеры вывода индексированных переменных (элементов матрицы М) также даны на рис. 5. 14. Вырожденная в одну строку или в один столбец матрица является вектором. Его элементы индексированные переменные с одним индексом. Нижняя граница индексов задается значением системной переменной ORIGIN. Обычно ее значение задают равным 0 или 1.  Загрузка...Возможно вам будет интересно:
Последние статьи
|
