Транспортная задача открытого типа. Практическое применение транспортной задачи

34. Признак единственности оптимального плана, множества оптимальных планов и отсутствия оптимального плана при решении задача ЛП симплекс-методом.

При решении задач симплекс-методом возможны следующие виды оптимальных решений:

1. Единственность . Если оценки всех свободных векторов строго отрицательные, то полученный опорный план является оптимальным и единственным. (см. пример в предыдущем параграфе).

2. Альтернативный оптимум (множество оптимальных решений).

Если среди неположительных оценок свободных векторов имеется хотя бы одна нулевая, то полученный опорный план будет оптимальным, но не единственным. В этом случае можно перейти к другим опорным планам (вводятся в базис векторы, которым соответствуют нулевые оценки) и, затем, общее оптимальное решение записать в виде выпуклой комбинации полученных оптимальных опорных планов.

3. ЗЛП не имеет оптимального решения, так как целевая функция не ограничена снизу . Если в симплекс таблице имеется положительная оценка, а все элементы данного столбца отрицательны и нулевые, то данный вектор можно ввести в базис. Однако никакой из базисных векторов нельзя вывести из базиса. Из этого следует, что дальнейшее уменьшение целевой функции возможно при переходе к неопорному плану.

4. ЗЛП не имеет оптимального решения, так как система ограничений противоречива. Поскольку при решении ЗЛП обычным симплекс-методом должен быть исходный опорный план, то система линейных уравнений заведомо не противоречива. Следовательно, такой случай не может встретиться при решении обычным симплекс методом.

5. Если ОДЗ состоит из одной точки, то решение такой задачи является тривиальным, и может быть получено без использования симплекс-метода.

35. В каких случая применяется метод искусственного базиса

искусственной.

36. Построение М-задачи в методе искусственного базиса

Если задача линейного программирования находится в канонической форме, однако, не во всех уравнениях присутствуют базисные переменные, т. е. исходный опорный план отсутствует. В этом случае в те уравнения, в которых нет базисных переменных, необходимо добавить с коэффициентом +1 некоторую неотрицательную переменную. Такая переменная называется искусственной.

Искусственную переменную необходимо добавить в целевую функцию с очень большим положительным числом (так как целевая функция на нахождения минимума). Это число обозначается латинской буквой M. Его можно считать равным +∞. В связи с этим иногда метод искусственного базиса называют М- методом. Такое преобразование исходной задачи называется построением расширенной задачи. Если решается задача с целевой функцией на нахождение искусственную переменную необходимо добавить в целевую функцию с очень большим положительным числом (так как целевая функция на нахождения минимума). Это число обозначается латинской буквой M. Его можно считать равным +∞. В связи с этим иногда метод искусственного базиса называют М- методом. Такое преобразование исходной задачи называется построением расширенной задачи. Если решается задача с целевой функцией на нахождение максимума, то искусственные переменные входят в целевую функцию с коэффициентом –М.

Таким образом, в расширенной задаче мы имеем опорный план (хотя некоторые из базисных переменных и являются искусственными).

Строится исходная симплекс таблица.

37. построение индексной строки в методе искусственного базиса

Строится исходная симплекс таблица, в которой индексная строка разбивается на две строки, поскольку оценки состоят из двух слагаемых. В верхней строке записывается слагаемое оценки без M, в нижней строке – коэффициенты при М. Знак оценки определяется знаком коэффициента при M, независимо от величины и знака слагаемого без M, так как M очень большое положительное число.

Таким образом, для определения вектора, который вводится в базис необходимо провести анализ нижней индексной строки. Если выводится из базиса искусственный вектор, то соответствующий столбец в последующих симплексных таблицах можно не вычислять, если нет необходимости в получении решения двойственной задачи (см. следующую тему).

После того, как все искусственные векторы будут выведены из базиса, нижняя строка будет иметь все нулевые элементы, за исключением оценок, соответствующих искусственным векторам. Они будут равны –1. Такую строку можно удалить из рассмотрения и дальнейшее решение проводить обычным симплекс-методом, если нет необходимости в получении решения двойственной задачи (см. следующую тему).

38. Критерий оптимальности в методе искусственного базиса. Признак построение начального опорного плана исходной задачи.

39. Алгоритм двойственного симплекс-метода

Алгоритм двойственного симплекс-метода:

обычным способом заполняют первую симплекс-таблицу не обращая внимания на знаки свободных членов. Считается, что такая задача должна иметь исходный единичный базис.

Выбирают направляющую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных членов А0

Выбирают направляющий столбец по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов индексной строки к отрицательным элементам направляющей строки.

Пересчитывают симплексную таблицу по правилу полных жордановых исключений

проверяют полученный план на допустимость. Признаком получения допустимого опорного плана является отсутствие в столбце А0 отрицательных элементов. Если в столбце А0 имеются отрицательные элементы то переходят ко второму пункту. Если же их нет, то переходят к решению полученной задачи обычным способом.

признаком получения оптимального решения двойственным симплекс-методом является критерий оптимальности обычного симплекс-метода.

41. Открытые и закрытые транспортные модели. Переход от открытой транспортной модели к закрытой.

Типы транспортных задач.

Имеются m поставщиков однородной продукции с известными запасами продукции и n потребителей этой продукции с заданными объёмами потребностей. Известны так же удельные затраты на перевозку.

Если сумма объёмов запасов продукции равна объёму потребностей всех потребителей, то такая задача называется закрытой транспортной задачей

(т. е. если ∑ Ai = ∑ Bj), в противном случае транспортная задача называется открытой . Для решения транспортной задачи необходимо, чтобы она была закрытой.

Открытую транспортную задачу можно преобразовать к закрытой следующим образом.

Пусть ∑Ai > ∑Bj. В этом случае необходимо ввести фиктивного n+1 потребителя с объёмом потребностей ∑Ai – ∑Bj Удельные затраты на перевозку от поставщиков к фиктивному потребителю полагаются равными 0, так как на самом деле такие перевозки осуществляться не будут и некоторая часть продукции останется у поставщиков.

Если ∑Bj > ∑Ai . В этом случае необходимо ввести фиктивного m+1 поставщика с объёмом запасов∑Bj – ∑Ai . Удельные затраты на перевозку от фиктивного поставщика к потребителям полагаются равными 0, так как на самом деле такие перевозки осуществляться не будут и некоторую часть продукции потребители недополучат.

42. Способы построения первоначального распределения в транспортной задаче: метод северо-западного угла и метод наименьшего элемента в матрице.

Северо-западный прием построения опорного плана. Согласно этому приему формирование величин перевозок начинается с с.-з. уголка таблицы, т.е. с клетки x11. По этому приему прежде всего распределяется товар первого поставщика. Причем первый поставщик сначала предельно возможно удовлетворяет первого потребителя. Затем, если у поставщика товар еще остался,

Метод наименьшего элемента в матрице.

Сущность метода заключается в том, что максимально возможная поставка всегда проставляется в клетку, которой соответствует наименьший тариф матрицы.

Сначала делаем пометки (например, знаком ▼) в тех клетках строк, в которых наблюдается самая меньшая цена по строке. Затем обходим таблицу по столбикам и делаем такие же пометки в клетках, в которых самая маленькая цена по столбикам.

Дальнейшее распределение делается сначала предельно возможно по клеткам с двумя отметками, потом - с одной, а затем делается добалансировка задачи до (m + n – 1) заполнений. Заполнения организуем при прохождении таблицы слева направо и сверху вниз.

43. Свойства транспортных задач

Транспортная задача обладает некоторыми свойствами, которые можно отразить следующими теоремами.

Теорема 1. Закрытая транспортная задача всегда имеет решение.

Теорема 2. Если объёмы запасов продукции и объёмы потребностей является целыми числами, то и решение транспортной задачи также будет целочисленным.

Теорема 3. система ограничений закрытой транспортной задачи всегда линейно-зависима.

Из этой теоремы следует, что распределение закрытой транспортной задачи всегда имеет m + n – 1 базисную переменную и (m – 1) (n – 1) свободные временные.

44. Вырожденное распределение в транспортных задачах, избавление от вырожденности. Вычеркиваемая комбинация.

Распределение называется вырожденным, если количество клеток меньше чем m + n – 1.

45. Теорем оптимальности транспортной задачи.

Теорема. Если для некоторого распределения транспортной задачи вы-

полняются условия:

а). ui+vj = сij для занятых клеток

б) ui+vj ≤ сij, для свободных клеток,

то данное распределение является оптимальным.

Величины ui называют потенциалами строк, а величины vj называют потенциалами столбцов.

46. Потенциалы и способы их расчета.

Для нахождения потенциалов строк и столбцов пользуются следующими рассуждениями, исходя из условия а) теоремы оптимальности.

Количество уравнений исходя из этого условия равняется m + n – 1, а количество неизвестных ui и vj равняется m + n. Т.о. количество переменных больше количества уравнений, причем все уравнения линейно независимы. Решение такой системы линейных уравнений является неопределенным, поэтому одному из потенциалов нужно присвоить любое значение. На практике ui = 0. получается система из m + n – 1 уравнений с m + n – 1 неизвестными переменными. Эту систему можно решить любым методом. На практике для расчета потенциалов рассматриваются занятые клетки, для которых один их потенциалов известен, и исходя из условия а) теоремы вычисляются значения остальных неизвестных потенциалов.

47. расчет оценок оптимальности распределения транспортных задач и критерий оптимальности.

Исходя из соотношения б) теоремы можно записать следующую формулу для вычисления оценок: δ ij = ui +vj – сij. Для того, чтобы оценки не перепутать с объёмами перевозок, они (оценки) заключаются в круги.

Оценки оптимальности в свободных клетках ТЗ представляют собой критерий оптимальности, с помощью которого осуществляется проверка распределения на оптимальность. Если оценки всех свободных клеток меньше или равны нулю, то данное распределение является оптимальным.

48. перераспределение поставок в транспортной задаче

Если распределение не является оптимальным, то необходимо осуществить перераспределение поставок.

Для перераспределения осуществляют построение цикла пересчета. В качестве клетки выбирается клетка с наибольшей положительной оценкой. Эта клетка помечается знаком «+», то есть в неё необходимо записать некоторый объём поставки. Но тогда нарушится баланс по данному столбцу, следовательно, одну из занятых клеток данного столбца необходимо пометить знаком «-», то есть уменьшить объём поставки на такую же величину. Но тогда изменится баланс по данной строке, следовательно, какую-то занятую клетку данной строки необходимо пометить знаком «+». Данный процесс продолжается до тех пор, пока не поставлен знак «-» в строке, где находилась исходная клетка.

Для любой свободной клетки существует цикл пересчета и притом единственный.

Одна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача . В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами ) плана грузоперевозок.

Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требуется определенное количество товаров. Также имеется ряд складов поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину.

Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Теоретический материал по транспортной задаче

(задача Монжа - Канторовича ) - математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов ) в пункты потребления (например, магазины ), с минимальными общими затратами на перевозки.

Имеет следующий вид:

где: Z - затраты на перевозку грузов;
X - объем груза;
C - стоимость (тариф) перевозки единицы груза;
A - запас поставщика;
B - запрос потребителя;
m - число поставщиков;
n - число потребителей.

Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом . Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок.

Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min ). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

1. Построение транспортной таблицы.
2. Проверка задачи на закрытость.
3. Составление опорного плана.
4. Проверка опорного плана на вырожденность.
5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.
6. Проверка опорного плана на оптимальность.
7. Перераспределение поставок.
8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.
9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.
10. Построение графа перевозок.

Подробная инструкция по решению транспортной задачи

1. Построение транспортной таблицы

Строим таблицу, где указываем запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков (Ai ), и потребности заводов (Bj ) в этих материалах.

В нижний правый угол ячеек таблицы заносим значение тарифов на перевозку груза (Cij ).

2. Проверка задачи на закрытость

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A , а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B .

Транспортная задача называется закрытой , если A = B . Если же A ≠ B , то транспортная задача называется открытой . В случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены. В случае открытой задачи для ее решения придется вводить фиктивных поставщиков или потребителей.

Проверим задачу на закрытость:

A = 10 + 20 + 30 = 60

B = 15 + 20 + 25 = 60

A = B, следовательно данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана

Составляет предварительный (опорный ) план перевозок . Он не обязательно должен быть оптимальный. Это просто своеобразный «черновик», «набросок», улучшая который мы постепенно придем к плану оптимальному.

Есть разные методы нахождения опорного плана . Наиболее распространены следующие:

а) Метод Северо-Западного угла. Показать

Суть метода проста - ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо . То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка ("северо-западная" ячейка ), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Подробное описание метода и пример можно посмотреть .

б) Метод минимального элемента. Показать

Метод заключается в том, что для заполнения ячеек транспортной таблицы выбирается клетка с минимальным значением тарифа. Затем выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом и так продолжается до тех пор, пока таблица не будет заполнена (все запасы и потребности при этом обнулятся ).

в) Аппроксимация Фогеля. Показать

Основа метода в нахождении разности (по модулю) между парой минимальных тарифов в каждой строке и столбце. Затем в строке или столбце с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Затем все эти действия повторяются заново, только при этом уже не учитываются заполненные клетки.
Подробное описание аппроксимации Фогеля и пример можно посмотреть

г) Метод двойного предпочтения. Показать

Суть метода в том, что отмечаются клетки с наименьшим тарифом по строкам, а затем по столбцам. Затем ячейки заполняются в следующей очередности: сначала клетки с двумя отметками , потом с одной, наконец без отметок.
Подробное описание метода и пример можно посмотреть

4. Проверка опорного плана на вырожденность

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными , а остальные (пустые) - свободными .

План называется вырожденным , если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1. Если во время решения задачи получился вырожденный план, то его необходимо пополнить, проставив в недостающем числе клеток нулевую перевозку и превратив, тем самым, эти клетки в базисные (общий баланс и суммарная стоимость перевозок плана при этом не изменятся ). Однако проводить пополнение плана, выбирая клетки произвольно, нельзя. План должен быть ациклическим!

План называется ациклическим, если его базисные клетки не содержат циклов. Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией так, чтобы две соседние вершины ломаной были расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Ниже приведен пример цикла :

Ломаная линия может иметь точки самопересечения, но не в клетках цикла.

Кол-во базисных клеток = 5

m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов . Есть другие методы итерационного улучшения плана перевозок, но здесь мы их рассматривать не будем.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Ui + Vj = Cij

Добавим к транспортной таблице дополнительную строку и столбец для Ui и Vj.

Предположим, что U1 = 0.

Тогда мы сможем найти V3 = C13 – U1 = 1 – 0 = 1.

Зная V3, мы теперь можем найти U3:

По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы:

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj)

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

План является оптимальным , если все разности ΔCij ≥ 0.

В данном случае план – неоптимальный (ΔC22 < 0), и его следует улучшить путем перераспределения поставок.

7. Перераспределение поставок

Найдем ячейку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью ΔCij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен .

Отметим ячейку с отрицательной разностью ΔCij знаком «+», следующую знаком «-», и так далее, поочередно.

Затем находим минимальной значение груза в ячейках цикла имеющих знак «-» (здесь это 5) и вписываем его в свободную ячейку со знаком «+». Затем последовательно обходим все ячейки цикла, поочередно вычитая и прибавляя к ним минимальное значение (в соответствии со знаками, которыми эти ячейки помечены: где минус - вычитаем, где плюс - прибавляем).

Получим новый опорный план перевозок:

Так как базисных клеток стало больше, чем m + n – 1, то базисную клетку с нулевым значением делаем свободной:

Снова вычисляем значения потенциалов и разности ΔCij:

На этот раз все разности ΔCij ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение .

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.

У нас оптимальное решение найдено, поэтому переходим к пункту 9.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза

Вычислим общие затраты на перевозку груза (Z ), соответствующие найденному нами оптимальному плану, по формуле:

Zmin = 10 ∙ 1 + 15 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 15 ∙ 1 + 15 ∙ 2 = 110 ден. ед.

Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 110 ден. ед.

10. Построение графа перевозок

Найдя оптимальный план перевозок, построим . Вершинами графа будут «склады» и «магазины». В вершинах укажем соответствующие объемы запасов и потребностей. Дугам, соединяющим вершины графа, будут соответствовать ненулевые перевозки. Каждую такую дугу подпишем, указав объем перевозимого груза.

В результате получится граф, аналогичный изображенному ниже:

Все, транспортная задача решена. Поздравляю!

Практическое применение транспортной задачи

Транспортная задача применяется во многих случаях. Это оптимизация поставок сырья и материалов на производственные предприятия. Это оптимизация доставок товаров со складов в розничные магазины. Это оптимизация пассажирских перевозок, и много-многое другое.

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

Признак оптимальности опорного плана. Симплекс таблица

Для решения задач обычно условия заносят в таблицу, которая называется симплексной. Перед занесением систему ограничений приводят к предпочтительному виду.

при ограничениях

Система ограничений данной задачи имеет предпочтительный вид. Составим симплексную таблицу.

Находим начальный опорный план

Обозначим через Б множество базисных переменных, через В- множество свободных переменных. Очевидно, при, . Значения называются оценками свободных переменных.

Признак оптимальности опорного плана:

1) Опорный план доставляет целевой функции минимальное значение, если для него все оценки свободных переменных неположительны.

2) Опорный план доставляет целевой функции максимальное значение, если все оценки свободных переменных неотрицательны.

Строка функции цели называется Z-строкой или индексной строкой. Начальный опорный план Х 0 =(1/2;3/2;0;2;0) и Z(Х 0)=-9/2. Т.к. все оценки индексной строки неположительны, то план Х 0 - оптимален.

Переход к нехудщему опорному плану. Симплексные преобразования

Рассмотрим задачу

Начальный опорный план

Если все оценки свободных переменных, то план Х 0 - оптимальный. Если существуют положительные оценки свободных переменных, то столбец, которому соответствует наибольшее значение?j называется разрешающим. Обозначим его номер j o , а величину x jo введем в базис.

Т.к. ? jо > 0, то, не изменяя нулевых значений всех свободных переменных, можно уменьшить функцию Z за счет увеличения x jo .

Чтобы перейти к новому опорному плану из базиса нужно вывести одну из переменных.

Значение xj o нужно увеличить так, чтобы ни одно из значений базисных переменных x i не было отрицательным. Т.е.

Возможны два случая.

1) Все элементы разрешающего столбца j o неположительны, т.е. a ijo ? 0. Если при решении задачи на min (max) в индексной строке имеются положительные (отрицательные) оценки свободных переменных, а в столбце переменной xj o нет ни одного положительного элемента, то целевая функция не ограниченна снизу (сверху) на множестве допустимых планов задачи.

2) Если среди элементов разрешающего столбца имеются положительные, то x jo можно увеличивать до тех пор, пока не нарушается система неравенств:

Отсюда получаем

Пусть данное выражение выполняется при i=i o , тогда

Если условие выполняется при нескольких i, то в качестве i o можно выбрать любое. Строку i o называют разрешающей, элемент - разрешающим.

Новое значение целевой функции:

В результате преобразований целевая функция уменьшилась. Теперь новую базисную переменную нужно выразить через свободные и подставить в систему ограничений и целевую функцию. Причем старая базисная переменная становится свободной.

Правила симплексного преобразования:

1) В индексной строке симплекс-таблицы найти наибольший положительный (или отрицательный) элемент. Столбец соответствующий этому элементу - разрешающий.

2) Вычислить отношение свободных членов уравнения к положительным элементам разрешающего столбца. Данное отношение называется симплекс-отношением. Найти наименьшее из симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3) На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них.

4) Неизвестные элементы, соответствующие разрешающим столбцу и строке, меняются местами.

5) Переход к следующей таблице. Элементы разрешающей строки новой таблицы будут равны

6) Элементы разрешающего столбца равны нулю, за исключением, т.к. x jo - базисная величина.

7) Все остальные элементы находятся по формулам

Для нахождения элементов в исходной таблице выделяется прямоугольник, вершинами которого служат нужные для вычисления элементы. Диагональ, содержащую разрешающий и искомый элемент новой таблицы, называется главной, а другая - побочной. Из произведения угловых элементов главной диагонали вычитается произведение угловых элементов побочной диагонали и полученное число делят на разрешающий элемент. Это правило прямоугольника.

8) вычисляем элементы индексной строки

Для контроля вычислений можно вычислить

9) алгоритм продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто условие оптимальности.

а) Опорный план доставляет целевой функции минимальное значение, если для него все оценки свободных переменных неположительные.

б) Опорный план доставляет целевой функции максимальное значение, если все оценки свободных переменных неотрицательны.

Пример: Решить симплекс-методом задачу линейного программирования

Оптимальный план X (7;0;0;42;2) и Z(x)=72.

Пример задачи с искусственным базисом .

Приведем задачу к каноническому виду:

Во 2-е и 3-е уравнение введем искусственные переменные:

Составим симплексную таблицу:

123 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Фрагмент текста работы

Переход от одного опорного плана к другому, значение целевой функции в котором больше, чем в предыдущем.

3. Проверка оптимальности полученного плана, позволяющая своевременно остановить перебор опорных планов или сделать вывод об отсутствии оптимального плана.

Симплекс - метод основан на следующих теоремах, которые приводятся без доказательства.

Теорема 1.2 (о существовании опорного плана)

Если линейная форма ограничена сверху на непустом множестве D, то ЗЛП разрешима, то есть существует такая точка , что .

Теорема 1.3 (признак оптимальности опорного плана)

Опорный план задачи (1.18) является оптимальным, если для всех j , выполняется, где величина

(1.21)

называется симплекс – разностью или оценкой .

Теорема 1.4 (признак отсутствия оптимального плана)

Если при некотором k и среди чисел , нет положительных, т.е. все , целевая функция задачи не ограничена на множестве допустимых решений и не имеет конечного решения.

Теорема 1.5 (признак существования лучшего опорного плана)

Если опорный план задачи (1.18) не вырожден и для некоторых k, но среди чисел , есть хоты бы одно положительное, т.е. не все , то существует опорный план , в котором целевая функция принимает значение не меньше, чем в предыдущем плане: .

Алгоритм симплекс-метода

1. Задача должна быть приведена к каноническому виду. Система ограничений приведена к единичному базису, т.е. разрешена относительно некоторых базисных переменных (не умоляя общности, будем считать, что относительно первых m переменных) с помощью метода Жордана – Гаусса (система (1.19)). Получено соответствующее исходное опорное решение .

2. Для удобства ведения вычислений записываем все в симплекс-таблицу (табл. 1.1). Столбец «Базис» содержит список базисных переменных; следующий столбец «c j базиса» содержит коэффициенты целевой функции при базисных переменных; следующие столбцы содержат коэффициенты системы ограничений при соответствующих переменных; столбец «b i » - столбец свободных членов системы ограничений. Последняя строка содержит симплекс – разности, рассчитанные по формуле (1.21) и последняя ячейка содержит значение целевой функции =. Отметим, что симплекс – разности базисных переменных всегда равны нулю.

Таблица 1.1

		c j базиса

3. Если все симплекс – разности неотрицательны, т.е. , то опорный план оптимален.

4. Если хотя бы одна симплекс – разность отрицательна, , и в соответствующем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет оптимального решения, т.е. .

5. Если хотя бы одна симплекс – разность отрицательна, , и в каждом столбце, имеющем отрицательную оценку, есть хотя бы один положительный элемент, то полученный опорный план можно улучшить.

6. Выбираем разрешающий столбец «р», которому соответствует наименьшая отрицательная оценка.

7. Выбираем разрешающую строку «к», которой соответствует наименьшее из отношений правых частей к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца . Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом .

8. Переходим к новой симплекс – таблице, в которой будет новый базис: базисная переменная на «к» - ом месте в старом базисе меняется на новую переменную . Соответствующий вектор новой базисной переменной нужно превратить в единичный. Для этого разрешающую строку делим на , чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица. Умножая разрешающую строку на подходящие числа и складывая её с остальными строками получаем нули в разрешающем столбце. После этого выписываем новый опорный план и пересчитываем строчку оценок. Переходим к пункту 3.

Замечание об альтернативном плане.

Если все оценки свободных переменных в последней симплекс – таблице окажутся строго больше нуля, то оптимальный план единственен. В случае если хотя бы одна оценка при свободной переменной окажется равной нулю, то имеет место альтернативный оптимум (множество оптимальных планов). Чтобы найти альтернативное решение, необходимо сделать один шаг симплекс-метода, выбрав в качестве разрешающего столбец свободной переменной, которому соответствует нулевая оценка.

В этом случае множество все оптимальных планов можно представить в виде выпуклой линейной комбинации опорных оптимальных планов:, где .

Пример 5. Решить ЗЛП симплекс-методом:

(1.22)

Приводим систему линейных неравенств (1.22) к каноническому виду, вводя в каждое неравенство дополнительную неотрицательную переменную. Получим систему линейных уравнений:

(1.23)

Целевая функция будет иметь вид

Составляем симплекс – таблицу:

Таблица 1.2

		c j базиса

Опорный план не является оптимальным, т.к. в строке оценок есть отрицательные элементы = - 3 и = - 2. Выбираем разрешающий столбец – первый, т.к. ему соответствует минимальная из отрицательных оценок = - 3. Для всех положительных элементов первого столбца вычисляем отношение . Находим минимальное из этих отношений: . Оно соответствует второй строке, следовательно, она будет разрешающей. Таким образом, разрешающий элемент показывает, что из базиса выводится переменная x 4 , а вместо неё в базисе будет переменная x 1 . Заполняем новую симплекс – таблицу (табл. 1.3). Для этого превращаем первый столбец в единичный. Умножаем вторую строку на (-1/2) и складываем с первой, записываем результат в первую строку новой симплекс – таблицы; аналогично, умножаем вторую строку на (1/2) и складываем с третьей; разрешающую строку делим на 2; четвертую переписываем без изменений.

Симплексный метод. Алгоритм. Признак оптимальности опорного плана.

Из геометрической интерпретации ЗЛП видно, максимум или минимум функции достигается в угловой точке выпуклого многогранника – ОДР – системы ограничений. Поэтому в основу симплекс-метода положена идея рассмотрения и испытания на оптимальность только угловых точек – вершин многогранника, а не всего бесконечного множества его точек.

Рис. Геометрическая интерпретация идеи симплекс-метода

в случае двух (рис а) и трех (рис б) переменных.

Симплекс – это выпуклый многоугольник в n – мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на 2 полупространства).

Симплексный метод - это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решения. При этом переходим от одной базисной точки к другой. Значение целевой функции всегда улучшается.

Базисное решение – это одно из допустимых решений, находящихся в ОДР.

Переменные, относительно которых разрешена система линейных уравнений, называются базисными . Тогда все остальные переменные называются свободными .

Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно будет найдено за конечное число шагов, кроме случаев зацикливания.

Алгоритм симплексного метода:

1. Построить математическую модель задачи.

1. Преобразовать полученную математическую модель в каноническую форму, у которой: правые части условий неотрицательны; условия являются равенствами (при необходимости ввести искусственные переменные).
2. Построить симплекс таблицу и найти начальный опорный план решения задачи. Множество переменных, которые являются базисными , принимаются за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные переменные равны нулю.
3. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется с помощью специальных оценок коэффициентов целевой функции (смотреть последнюю строку таблицы). Если задача решается на max, то все оценки должны быть неотрицательными, если на min, то все оценки должны быть неположительные.
4. Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличит целевую функцию. При решении задач на max в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по max положительному значению оценки коэффициентов целевой функции. Столбец таблицы, который содержит эту оценку, называется генеральным столбцом. Если хотя бы один элемент столбца положительный, то отыскивается генеральная строка (в противном случае задача не имеет оптимального решения). Если в этом столбце есть нули, то нужно брать другой столбец. Для отыскания генеральной строки все свободные члены (ресурсы) делятся на соответствующие элементы генерального столбца (норма расхода ресурса на единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший, соответствующая строка называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который ограничивает производство на данном шаге. Элемент симплекс таблицы, находящийся на пересечении генеральной строки и столбца, называется генеральный элемент. Все элементы генеральной строки, включая свободный член, делятся на генеральный элемент. В результате генеральный элемент становится равным 1. Далее необходимо чтобы все другие элементы генерального столбца стали равными 0. генеральный столбец должен стать единичным. Все строки кроме генеральной преобразуют следующим образом: полученные элементы новой строки умножим на соответствующие элементы генерального столбца, и полученное произведение вычитаем из элементов старой строки. Значение новых базисных переменных получим в соответствующих ячейках столбца свободных членов (правило прямоугольников).
5. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность (шаг №4). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются, в противном случае находится новое базисное решение (шаг №5).

Признак оптимальности опорного плана

— Если решаем задачу на max то все оценки должны быть неотрицательными.

— Если решаем задачу на min то все оценки должны быть неположительными.

— В случае, если опорный план не оптимален нужно перейти к более лучшему опорному плану. Для этого выбираем самую худшую оценку. Она будет соответствовать разрешающему столбцу. После этого надо найти разрешающую строку.

— Θ (столбец симплекс-отношений) не рисуется для строчек с отрицательными и нулевыми значениями. Из всех θ выбираем наименьшее, так делается всегда неважно на min или на max исходная задача.

— Разрешающая строка всегда показывает, какой элемент надо вывести из базиса, а разрешающий столбец – какой элемент надо ввести в базис.