Структуры данных и оценка сложности алгоритмов. Основные структуры данных

Тема этой статьи снова касается теории программирования , поэтому придется прибегнуть к различным классификациям и оперировать математическими терминами. Структуры данных – это практически первое, о чем рассказывают в ходе учебных . Оценка сложности алгоритмов – второе. Может показаться, что эти два вопроса мало связаны, но это не так, и по ходу повествования станет ясно почему. Я не буду углубляться в детали, поскольку практика показывает, что в процессе приобретения опыта в в голове остается только самое важное. По-моему, так происходит в любой сфере деятельности. Я постараюсь изложить то, что осталось по этим вопросам в голове у меня.

Классификация структур данных

Структура данных – это форма хранения и представления информации. Определение весьма расплывчато, поэтому специалисты используют различные формы классификации и уточнений. Структуры данных бывают простыми и сложными: представляют атомарную единицу информации или набор однотипных данных. Простые структуры данных характеризуются , например, целочисленный, вещественный, логический, текстовый тип и т.д. Сложные структуры данных делятся на динамические и статические наборы. Динамические в процессе своего жизненного цикла позволяют изменять свой размер (добавлять и удалять элементы), а статические - нет. И наконец, по организации взаимосвязей между элементами сложных структур данных существует следующая классификация:

• Линейные
  • Массив
  • Список
  • Связанный список
  • Очередь
  • Хэш-таблица

Иерархические

• Двоичные деревья
• N-арные деревья
• Иерархический список

Сетевые

• Простой граф
• Ориентированный граф

Табличные

• Таблица реляционной базы данных
• Двумерный массив

Другие

Приведенная классификация далеко не полная. Элементами сложных структур данных могут выступать как экземпляры простых, так и экземпляры сложных структур данных, например структура данных лес – это список непересекающихся деревьев. Теперь постараюсь дать краткое описание перечисленным классам сложных структур данных. Первый уровень классификации построен на основе различий в способе адресации и поиска отдельных элементов в наборе сложной структуры данных.

Линейные структуры данных

Элемент линейной структуры данных характеризуется порядковым номером или индексом в линейной последовательности элементов.

Массив – это в статическая линейная структура однотипных данных, оптимизированная для операций поиска элемента по его индексу. Однозначное местоположение элемента в памяти обеспечивается именно однотипностью элементов в массиве и определяется произведением его индекса на размер памяти, занимаемой одним элементом.

Линейный массив.
Адрес(элемент(index)) = размер_ячейки * index.

Список – это динамическая линейная структура данных, в которой каждый элемент ссылается либо только на предыдущий – однонаправленный линейный список , либо на предыдущий и следующий за ним – двунаправленный линейный список . Достоинство этой структуры данных, помимо возможности изменять размер, - это простота реализации. Также, благодаря наличию ссылок, каждый элемент в списке, в отличие от массива, может занимать разный объем памяти. Адрес первого элемента в линейном списке однозначно определяется адресом самого списка.

Связанный список – это вариант обычного линейного списка, оптимизированный для операций добавления и удаления элементов. Оптимизация заключается в том, что элементы связанного списка не обязаны в памяти располагаться друг за другом. Порядок элементов определяется ссылкой на первый элемент (не обязан быть в самом начале выделенной для списка памяти) и последовательностью ссылок на остальные элементы списка.

Связанный список.

Стек – это динамическая линейная структура данных, для которой определены всего две операции изменения набора элементов: добавление элемента в конец и удаление последнего элемента. Еще говорят, что стек реализует принцип LIFO (Last in, First Out) – последним пришел и первым ушел. Например, в ходе выполнения программного кода, вычислительная машина при необходимости вызвать процедуру или функцию сначала заносит указатель на место ее вызова в стек, чтобы при завершении выполнения ее кода корректно вернуться к следующей после точки вызова инструкции. Такая структура данных называется стеком вызовов подпрограмм.

Стек.

Очередь – очень похожая не стек, динамическая структура данных, с той лишь разницей, что она реализует принцип FIFO (First in, First out) – первым пришел и первым ушел. За примерами в реальной жизни, как понятно из названия, далеко ходить не надо. В программировании с помощью очередей, например, обрабатывают события пользовательского интерфейса, обращения клиентов к и прочие информационные запросы.

Очередь.

Хэш-таблица – наиболее сложный из динамических линейных структур данных тип. Хэш-таблица оптимизирована для быстрого поиска элементов за счет вычисления адреса элемента, как значения хэш-функции. Аргументом хэш-функции является некий ассоциированный с элементом ключ, например, его порядковый номер. Чтобы гарантировать уникальные значения хэш-функции для уникальных значений ключа (исключить коллизии) хэш-таблица, помимо хитрых алгоритмов, также щедро использует оперативную память. Применение хэш-таблиц должно быть оправдано и тщательно продумано.

Иерархические структуры данных

Элемент в иерархической структуре данных характеризуется ссылкой на вышестоящий в иерархии элемент (или ссылками на нижестоящие элементы) и (необязательно) порядковым номером в линейной последовательности своего уровня (иерархические списки).

Деревья – динамическая иерархическая структура данных, представленная единственным корневым узлом и его потомками. Максимальное количество потомков каждого узла и определяет размерность дерева . Отдельно выделяют двоичные или бинарные деревья , поскольку они используются в алгоритмах сортировки и поиска: каждый узел двоичного дерева поиска соответствует элементу из некоторого отсортированного набора, все его “левые” потомки – меньшим элементам, а все его “правые” потомки – большим элементам. Каждый узел в дереве однозначно идентифицируется последовательностью неповторяющихся узлов от корня и до него – путем. Длина пути и является уровнем узла в иерархии дерева. Для двоичных или бинарных деревьев выделяют следующие виды рекурсивного обхода всех его элементов (в фигурных скобках указан порядок посещения элементов каждого узла, начиная с корня):

• прямой или префиксный
  {узел, левое поддерево, правое поддерево};


• обратный или постфиксный
  {левое поддерево, правое поддерево, узел};


• симметричный или инфиксный
  {левое поддерево, узел, правое поддерево};

Чтобы вывести элементы в порядке их возрастания, дерево поиска следует обойти в симметричном порядке. Чтобы элементы оказались в обратном порядке, в процессе обхода необходимо поменять порядок посещения поддеревьев.

Двоичное (бинарное) дерево.

Иерархический список – симбиоз линейного списка и дерева. Каждый элемент списка может быть также началом списка следующего подуровня иерархии. Пример иерархического списка – структура интернет форумов: последовательность сообщений образует линейный список, в то время как сообщения, являющиеся ответами на другие сообщения, порождают новые потоки обсуждения.

Иерархический список.

Сетевые структуры данных

Элемент в сетевой структуре данных характеризуется набором связей с другими - соседними элементами. В таких структурах данных ни начальный, ни корневой элементы явно не выделены.

Граф – динамическая сетевая структура данных, представленная набором вершин и ребер – связей между вершинами. Каждая вершина может быть связана с любым числом других вершин или с самой собой. Здесь уже нет никакой четкой иерархии. Если рассматривать узлы дерева, как вершины графа, а связи между узлами дерева разных уровней иерархии, как ребра графа, то само дерево можно считать графом, не содержащим циклов или ациклическим графом. Если для каждого ребра графа определено направление, то это ориентированный граф. Помимо направления каждое ребро графа может иметь свой вес. С помощью графа, например, моделируются транспортные сети и решаются задачи на оптимизацию транспортных потоков. Загруженность или, наоборот, пропускная способность транспортных магистралей задается весом соответствующих ребер.

Граф.

Ориентированный граф.

Элемент в табличной структуре данных характеризуется двумерным индексом: индексом строки и индексом столбца, на пересечении которых он находится. Примерами табличных структур данных являются и таблицы .

Оценка сложности алгоритмов

Под оценкой сложности алгоритмов подразумевают не интеллектуальные усилия, которые затратили авторы при их разработке, а зависимость количества элементарных операций, выполняемых вычислительной машиной от объема обрабатываемой информации. Например, как будет зависеть число сравнений двух чисел от длины исходной последовательности в процессе работы алгоритма сортировки. Я намеренно немного сузил определение, поскольку в дальнейшем речь будет идти только о количестве элементарных операций. На самом деле сложность алгоритма определяется не только количеством операций, но и объемом привлеченных для решения задачи вычислительных ресурсов, и в первую очередь, оперативной памяти. Чем проще алгоритм, тем он, скорее всего, дольше работает. Сложные и быстрые алгоритмы зачастую используют вспомогательные структуры данных, и, как следствие, расходуют дополнительную память. Закон сохранения энергии или “за все надо платить”. Один из примеров “предельной оптимизации” был рассмотрен ранее – это хэш-таблица. Я лично не знаю, как устроена хэш-таблица и как выглядят хэш-функции (догадываюсь, что не просто), но зато время поиска элементов по ключу практически не зависит от размера таблицы. Далее немного теории.

Оценку сложности алгоритмов проводят с использованием аппарата математического асимптотического анализа и выведения асимптотической оценки сложности.

Асимптотическая оценка сложности обозначается греческой буквой Θ (тета).

f(n) = Θ(g(n)), если существуют c1, c2>0 и n0 такие, что c1*g(n)n0.

Функция g(n) является асимптотически точной оценкой сложности алгоритма - функции f(n), приведенное неравенство называется асимптотическим равенством, а само обозначение Θ символизирует множество функций, которые растут “так же быстро”, как и функция g(n) – т.е. с точностью до умножения на константу. Как следует из приведенного неравенства, оценка Θ являет собой одновременно и верхнюю и нижнюю оценки сложности. Не всегда есть возможность получить оценку в таком виде, поэтому верхнюю и нижнюю оценки иногда определяют отдельно.

Верхняя оценка сложности обозначается греческой буквой Ο (омикрон), и является множеством функций, которые растут не быстрее, чем g(n).

f(n)= Ο(g(n)), если существует c>0 и n0 такие, что 0n0.

Нижняя оценка сложности обозначается греческой буквой Ω (омега), и является множеством функций, которые растут не медленнее, чем g(n).

f(n)= Ω(g(n)), если существует c>0 и n0 такие, что 0n0.

Как следствие: асимптотическая оценка существует только в том случае, если совпадают нижняя и верхняя оценки сложности алгоритма. В практике анализа алгоритмов чаще всего под оценкой сложности понимают верхнюю оценку сложности. Это вполне логично, поскольку наиболее важна оценка времени, за которое алгоритм гарантировано закончит работу, а не время, в пределах которого он точно не завершится.

Работа с линейными структурами данных

Ну и в заключении я приведу оценки сложности основных операций с линейными структурами данных, а именно добавление, удаление и поиск элемента по индексу или ключу. Элементарными операциями, в данном случае, являются операции сравнения, перебора, вычисления адреса или перестановки элементов набора структуры данных. В сводной таблице, помимо верхней оценки сложности, также приведены соответствующие перечисленным структурам данных компоненты библиотеки . Таким образом, основные линейные структуры данных уже есть в готовом виде и доступны всем разработчикам программного обеспечения на платформе .

Необходимым условием хранения информации в памяти компьютера является возможность преобразования этой самой информации в подходящую для компьютера форму. В том случае, если это условие выполняется, следует определить структуру, пригодную именно для наличествующей информации, ту, которая предоставит требующийся набор возможностей работы с ней.

Кольцевой список

Здесь под структурой понимается способ представления информации, посредством которого совокупность отдельно взятых элементов образует нечто единое, обусловленное их взаимосвязью друг с другом. Скомпонованные по каким-либо правилам и логически связанные межу собой, данные могут весьма эффективно обрабатываться, так как общая для них структура предоставляет набор возможностей управления ими – одно из того за счет чего достигаются высокие результаты в решениях тех или иных задач.

Но не каждый объект представляем в произвольной форме, а возможно и вовсе для него имеется лишь один единственный метод интерпретации, следовательно, несомненным плюсом для программиста будет знание всех существующих структур данных. Таким образом, часто приходиться делать выбор между различными методами хранения информации, и от такого выбора зависит работоспособность продукта.

Говоря о не вычислительной технике, можно показать ни один случай, где у информации видна явная структура. Наглядным примером служат книги самого разного содержания. Они разбиты на страницы, параграфы и главы, имеют, как правило, оглавление, то есть интерфейс пользования ими. В широком смысле, структурой обладает всякое живое существо, без нее органика навряд-ли смогла бы существовать.

Вполне вероятно, читателю приходилось сталкиваться со структурами данных непосредственно в информатике, например, с теми, что встроены в язык программирования. Часто они именуются типами данных. К таковым относятся: массивы, числа, строки, файлы и т. д.

Методы хранения информации, называемые «простыми», т. е. неделимыми на составные части, предпочтительнее изучать вместе с конкретным языком программирования, либо же глубоко углубляться в суть их работы. Поэтому здесь будут рассмотрены лишь «интегрированные» структуры, те которые состоят из простых, а именно: массивы, списки, деревья и графы.

Массивы.

Массив – это структура данных с фиксированным и упорядоченным набором однотипных элементов (компонентов). Доступ к какому-либо из элементов массива осуществляется по имени и номеру (индексу) этого элемента. Количество индексов определяет размерность массива. Так, например, чаще всего встречаются одномерные (вектора) и двумерные (матрицы) массивы.

Первые имеют один индекс, вторые – два. Пусть одномерный массив называется A, тогда для получения доступа к его i-ому элементу потребуется указать название массива и номер требуемого элемента: A[i]. Когда A – матрица, то она представляема в виде таблицы, доступ к элементам которой осуществляется по имени массива, а также номерам строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент: A, где i – номер строки, j – номер столбца.

В разных языках программирования работа с массивами может в чем-то различаться, но основные принципы, как правило, везде одни. В языке Pascal, обращение к одномерному и двумерному массиву происходит точно так, как это показано выше, а, например, в C++ двумерный массив следует указывать так: A[i][j]. Элементы массива нумеруются поочередно. На то, с какого значения начинается нумерация, влияет язык программирования. Чаще всего этим значением является 0 или 1.

Массивы, описанного типа называются статическими, но существуют также массивы по определенным признакам отличные от них: динамические и гетерогенные. Динамичность первых характеризуется непостоянностью размера, т. е. по мере выполнения программы размер динамического массива может изменяться. Такая функция делает работу с данными более гибкой, но при этом приходится жертвовать быстродействием, да и сам процесс усложняется.

Обязательный критерий статического массива, как было сказано, это однородность данных, единовременно хранящихся в нем. Когда же данное условие не выполняется, то массив является гетерогенным. Его использование обусловлено недостатками, которые имеются в предыдущем виде, но оно оправданно во многих случаях.

Таким образом, даже если Вы определились со структурой, и в качестве нее выбрали массив, то этого все же недостаточно. Ведь массив это только общее обозначение, род для некоторого числа возможных реализаций. Поэтому необходимо определиться с конкретным способом представления, с наиболее подходящим массивом.

Списки.

Список – абстрактный тип данных, реализующий упорядоченный набор значений. Списки отличаются от массивов тем, что доступ к их элементам осуществляется последовательно, в то время как массивы – структура данных произвольного доступа. Данный абстрактный тип имеет несколько реализаций в виде структур данных. Некоторые из них будут рассмотрены здесь.

Список (связный список) – это структура данных, представляющая собой конечное множество упорядоченных элементов, связанных друг с другом посредствам указателей. Каждый элемент структуры содержит поле с какой-либо информацией, а также указатель на следующий элемент. В отличие от массива, к элементам списка нет произвольного доступа.

Односвязный список

В односвязном списке, приведенным выше, начальным элементом является Head list (голова списка [произвольное наименование]), а все остальное называется хвостом. Хвост списка составляют элементы, разделенные на две части: информационную (поле info) и указательную (поле next). В последнем элементе вместо указателя, содержится признак конца списка – nil.

Односвязный список не слишком удобен, т. к. из одной точки есть возможность попасть лишь в следующую точку, двигаясь тем самым в конец. Когда кроме указателя на следующий элемент есть указатель и на предыдущий, то такой список называется двусвязным.

Двусвязный список

Возможность двигаться как вперед, так и назад полезна для выполнения некоторых операций, но дополнительные указатели требуют задействования большего количества памяти, чем таковой необходимо в эквивалентном односвязном списке.

Для двух видов списков описанных выше существует подвид, называемый кольцевым списком. Сделать из односвязного списка кольцевой можно добавив всего лишь один указатель в последний элемент, так чтобы он ссылался на первый. А для двусвязного потребуется два указателя: на первый и последний элементы.

Кольцевой список

Помимо рассмотренных видов списочных структур есть и другие способы организации данных по типу «список», но они, как правило, во многом схожи с разобранными, поэтому здесь они будут опущены.

Кроме различия по связям, списки делятся по методам работы с данными. О некоторых таких методах сказано далее.

Стек.

Стек

Стек характерен тем, что получить доступ к его элементом можно лишь с одного конца, называемого вершиной стека, иначе говоря: стек – структура данных, функционирующая по принципу LIFO (last in - first out, «последним пришёл - первым вышел»). Изобразить эту структуру данных лучше в виде вертикального списка, например, стопки каких-либо вещей, где чтобы воспользоваться одной из них нужно поднять все те вещи, что лежат выше нее, а положить предмет можно лишь на вверх стопки.

В показанном односвязном списке операции над элементами происходят строго с одного конца: для включения нужного элемента в пятую по счету ячейку необходимо исключить тот элемент, который занимает эту позицию. Если бы было, например 6 элементов, а вставить конкретный элемент требовалось также в пятую ячейку, то исключить бы пришлось уже два элемента.

Очередь.

Структура данных «Очередь» использует принцип организации FIFO (First In, First Out - «первым пришёл - первым вышел»). В некотором смысле такой метод более справедлив, чем тот, по которому функционирует стек, ведь простое правило, лежащее в основе привычных очередей в различные магазины, больницы считается вполне справедливым, а именно оно является базисом этой структуры. Пусть данное наблюдение будет примером. Строго говоря, очередь – это список, добавление элементов в который допустимо, лишь в его конец, а их извлечение производиться с другой стороны, называемой началом списка.

Очередь

Дек

Дек (deque - double ended queue, «двухсторонняя очередь») – стек с двумя концами. Действительно, несмотря конкретный перевод, дек можно определять не только как двухстороннюю очередь, но и как стек, имеющий два конца. Это означает, что данный вид списка позволяет добавлять элементы в начало и в конец, и то же самое справедливо для операции извлечения.

Дек

Эта структура одновременно работает по двум способам организации данных: FIFO и LIFO. Поэтому ее допустимо отнести к отдельной программной единице, полученной в результате суммирования двух предыдущих видов списка.

Графы.

Раздел дискретной математики, занимающийся изучением графов, называется теорией графов. В теории графов подробно рассматриваются известные понятия, свойства, способы представления и области применения этих математических объектов. Нас же интересует, лишь те ее аспекты, которые важны в программировании.

Граф – совокупность точек, соединенных линиями. Точки называются вершинами (узлами), а линии – ребрами (дугами).

Как показано на рисунке различают два основных вида графов: ориентированные и неориентированные. В первых ребра являются направленными, т. е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами, например из вершины 1 можно пройти в вершину 2, но не наоборот. В неориентированном связном графе из каждой вершины можно пройти в каждую и обратно. Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Ребра графа необязательно должны быть прямыми, а вершины обозначаться именно цифрами, так как показано на рисунке. К тому же встречаются такие графы, ребрам которых поставлено в соответствие конкретное значение, они именуются взвешенными графами, а это значение – весом ребра. Когда у ребра оба конца совпадают, т. е. ребро выходит из вершины F и входит в нее, то такое ребро называется петлей.

Графы широко используются в структурах, созданных человеком, например в компьютерных и транспортных сетях, web-технологиях. Специальные способы представления позволяют использовать граф в информатике (в вычислительных машинах). Самые известные из них: «Матрица смежности», «Матрица инцидентности», «Список смежности», «Список рёбер». Два первых, как понятно из названия, для репрезентации графа используют матрицу, а два последних – список.

Деревья.

Неупорядоченное дерево

Дерево как математический объект это абстракция из соименных единиц, встречающихся в природе. Схожесть структуры естественных деревьев с графами определенного вида говорит о допущении установления аналогии между ними. А именно со связанными и вместе с этим ациклическими (не имеющими циклов) графами. Последние по своему строению действительно напоминают деревья, но в чем то и имеются различия, например, принято изображать математические деревья с корнем расположенным вверху, т. е. все ветви «растут» сверху вниз. Известно же, что в природе это совсем не так.

Поскольку дерево это по своей сути граф, у него с последним многие определения совпадают, либо интуитивно схожи. Так корневой узел (вершина 6) в структуре дерева – это единственная вершина (узел), характерная отсутствием предков, т. е. такая, что на нее не ссылается ни какая другая вершина, а из самого корневого узла можно дойти до любой из имеющихся вершин дерева, что следует из свойства связности данной структуры. Узлы, не ссылающиеся ни на какие другие узлы, иначе говоря, ни имеющие потомков называются листьями (2, 3, 9), либо терминальными узлами. Элементы, расположенные между корневым узлом и листьями – промежуточные узлы (1, 1, 7, 8). Каждый узел дерева имеет только одного предка, или если он корневой, то не имеет ни одного.

Поддерево – часть дерева, включающая некоторый корневой узел и все его узлы-потомки. Так, например, на рисунке одно из поддеревьев включает корень 8 и элементы 2, 1, 9.

С деревом можно выполнять многие операции, например, находить элементы, удалять элементы и поддеревья, вставлять поддеревья, находить корневые узлы для некоторых вершин и др. Одной из важнейших операций является обход дерева. Выделяются несколько методов обхода. Наиболее популярные из них: симметричный, прямой и обратный обход. При прямом обходе узлы-предки посещаются прежде своих потомков, а в обратном обходе, соответственно, обратная ситуация. В симметричном обходе поочередно просматриваются поддеревья главного дерева.

Представление данных в рассмотренной структуре выгодно в случае наличия у информации явной иерархии. Например, работа с данными о биологических родах и видах, служебных должностях, географических объектах и т. п. требует иерархически выраженной структуры, такой как математические деревья.

Аннотация: Дается общее понятие структуры данных как исполнителя, который организует работу с данными: хранение, добавление и удаление, поиск и т.п. Рассматриваются реализации одних структур на базе других, в частности, реализации на базе массива. Приводятся наиболее важные из простейших структур данных: очередь и стек, а также их непрерывные реализации на базе массива. Даются многочисленные примеры использования стека в программировании. Рассматривается обратная польская запись формулы (знак операции после аргументов) и способ ее вычисления на стековой машине. В качестве примера использования обратной польской записи рассматривается графический язык PostScript. Материал иллюстрируется проектом "Cтековый калькулятор", реализованным на языке Си.

Структуры данных

"Алгоритмы + структуры данных = программы". Это - название книги Никлауса Вирта, знаменитого швейцарского специалиста по программированию, автора языков Паскаль , Модула-2, Оберон. С именем Вирта связано развитие структурного подхода к программированию. Н.Вирт известен также как блестящий педагог и автор классических учебников.

Обе составляющие программы, выделенные Н.Виртом, в равной степени важны. Не только несовершенный алгоритм , но и неудачная организация работы с данными может привести к замедлению работы программы в десятки, а иногда и в миллионы раз. С другой стороны, владение теорией программирования и умение систематически применять ее на практике позволяет быстро разрабатывать эффективные и в то же время эстетически красивые программы.

Общее понятие структуры данных

Структура данных - это исполнитель , который организует работу с данными, включая их хранение, добавление и удаление, модификацию, поиск и т.д. Структура данных поддерживает определенный порядок доступа к ним. Структуру данных можно рассматривать как своего рода склад или библиотеку. При описании структуры данных нужно перечислить набор действий, которые возможны для нее, и четко описать результат каждого действия. Будем называть такие действия предписаниями . С программной точки зрения, системе предписаний структуры данных соответствует набор функций, которые работают над общими переменными.

Структуры данных удобнее всего реализовывать в объектно-ориентированных языках. В них структуре данных соответствует класс , сами данные хранятся в переменных-членах класса (или доступ к данным осуществляется через переменные-члены), системе предписаний соответствует набор методов класса. Как правило, в объектно-ориентированных языках структуры данных реализуются в виде библиотеки стандартных классов: это так называемые контейнерные классы языка C++, входящие в стандартную библиотеку классов STL , или классы, реализующие различные структуры данных из библиотеки Java Developer Kit языка Java .

Тем не менее, структуры данных столь же успешно можно реализовывать и в традиционных языках программирования, таких как Фортран или Си . При этом следует придерживаться объектно-ориентированного стиля программирования: четко выделить набор функций, которые осуществляют работу со структурой данных, и ограничить доступ к данным только этим набором функций. Сами данные реализуются как статические (не глобальные) переменные. При программировании на языке Си структуре данных соответствуют два файла с исходными текстами:

1. заголовочный, или h-файл, который описывает интерфейс структуры данных, т.е. набор прототипов функций, соответствующий системе предписаний структуры данных;
2. файл реализации, или Си-файл, в котором определяются статические переменные, осуществляющие хранение и доступ к данным, а также реализуются функции, соответствующие системе предписаний структуры данных

Структура данных обычно реализуется на основе более простой базовой структуры , ранее уже реализованной, или на основе массива и набора простых переменных. Следует четко различать описание структуры данных с логической точки зрения и описание ее реализации. Различных реализаций может быть много, с логической же точки зрения (т.е. с точки зрения внешнего пользователя) все они эквивалентны и различаются, возможно, лишь скоростью выполнения предписаний.

Данные, хранящиеся в памяти ЭВМ, представляют собой совокупность нулей и единиц (битов). Биты объединяются в последовательности: байты, слова и т.д. Каждому участку оперативной памяти, который может вместить один байт или слово, присваивается порядковый номер (адрес).

Какой смысл заключен в данных, какими символами они выражены - буквенными или цифровыми, что означает то или иное число - все это определяется программой обработки. Все данные, необходимые для решения практических задач, подразделяются на несколько различных типов, причем понятие тип связывается не только с представлением данных в адресном пространстве, но и со способом их обработки .

Любые данные могут быть отнесены к одному из двух типов: основному (простому), форма представления которого определяется архитектурой ЭВМ, или сложному, конструируемому пользователем для решения конкретных задач.

Данные простого типа это - символы, числа и т.п. элементы, дальнейшее дробление которых не имеет смысла. Из элементарных данных формируются структуры (сложные типы) данных.

Некоторые структуры:

· Массив (функция с конечной областью определения) - простая совокупность элементов данных одного типа, средство оперирования группой данных одного типа. Отдельный элемент массива задается индексом. Массив может быть одномерным, двумерным и т.д. Разновидностями одномерных массивов переменной длины являются структуры типа кольцо, стек, очередь и двухсторонняя очередь .

· Запись (декартово произведение) - совокупность элементов данных разного типа. В простейшем случае запись содержит постоянное количество элементов, которые называют полями . Совокупность записей одинаковой структуры называется файлом . (Файлом называют также набор данных во внешней памяти, например, на магнитном диске). Для того, чтобы иметь возможность извлекать из файла отдельные записи, каждой записи присваивают уникальное имя или номер, которое служит ее идентификатором и располагается в отдельном поле. Этот идентификатор называют ключом .

Такие структуры данных как массив или запись занимают в памяти ЭВМ постоянный объем, поэтому их называют статическими структурами. К статическим структурам относится также множество .

Имеется ряд структур, которые могут изменять свою длину - так называемые динамические структуры . К ним относятся дерево, список, ссылка.

Важной структурой, для размещения элементов, которой требуется нелинейное адресное пространство, является дерево . Существует большое количество структур данных, которые могут быть представлены как деревья. Это, например, классификационные, иерархические, рекурсивные и др. структуры. Более подробно о деревьях рассказано в параграфе 1.2.1.

Рис. 1.1. Классификация типов данных

1.1.2.Обобщенные структуры или модели данных.

Выше мы рассмотрели несколько типов структур, являющихся совокупностями элементов данных: массив, дерево, запись. Более сложный тип данных может включать эти структуры в качестве элементов. Например, элементами записи может быть массив, стек, дерево и т.д.

Существует большое разнообразие сложных типов данных, но исследования, проведенные на большом практическом материале, показали, что среди них можно выделить несколько наиболее общих. Обобщенные структуры называют также моделями данных , т.к. они отражают представление пользователя о данных реального мира.

Любая модель данных должна содержать три компоненты:

1. структура данных - описывает точку зрения пользователя на представление данных.

2. набор допустимых операций , выполняемых на структуре данных. Модель данных предполагает, как минимум, наличие языка определения данных (ЯОД), описывающего структуру их хранения, и языка манипулирования данными (ЯМД), включающего операции извлечения и модификации данных.

3. ограничения целостности - механизм поддержания соответствия данных предметной области на основе формально описанных правил.

В процессе исторического развития в СУБД использовалось следующие модели данных:

· иерархическая,

· сетевая,

· реляционная.

В последнее время все большее значение приобретает объектно-ориентированный подход к представлению данных.

1.2.Методы доступа к данным

Вопросы представления данных тесно связаны с операциями, при помощи которых эти данные обрабатываются. К числу таких операций относятся: выборка, изменение, включение и исключение данных. В основе всех перечисленных операций лежит операция доступа , которую нельзя рассматривать независимо от способа представления.

В задачах поиска предполагается, что все данные хранятся в памяти с определенной идентификацией и, говоря о доступе, имеют в виду, прежде всего, доступ к данным (называемым ключами), однозначно идентифицирующим связанные с ними совокупности данных.

Пусть нам необходимо организовать доступ к файлу, содержащему набор одинаковых записей, каждая из которых имеет уникальное значение ключевого поля. Самый простой способ поиска - последовательно просматривать каждую запись в файле до тех пор, пока не будет найдена та, значение ключа которой удовлетворяет критерию поиска. Очевидно, этот способ весьма неэффективен, поскольку записи в файле не упорядочены по значению ключевого поля. Сортировка записей в файле также неприменима, поскольку требует еще больших затрат времени и должна выполняться после каждого добавления записи. Поэтому, поступают следующим образом - ключи вместе с указателями на соответствующие записи в файле копируют в другую структуру, которая позволяет быстро выполнять операции сортировки и поиска. При доступе к данным вначале в этой структуре находят соответствующее значение ключа, а затем по хранящемуся вместе с ним указателю получают запись из фала.

Существуют два класса методов, реализующих доступ к данным по ключу:

· методы поиска по дереву,

· методы хеширования.

1.2.1.Методы поиска по дереву

Определение: Деревом называется конечное множество, состоящее из одного или более элементов, называемых узлами, таких, что:

1. между узлами имеет место отношение типа "исходный - порожденный";

2. есть только один узел, не имеющий исходного узла. Он называется корнем;

3. все узлы за исключением корня имеют только один исходный; каждый узел может иметь несколько порожденных узлов;

4. отношение "исходный - порожденный" действует только в одном направлении, т.е. ни один потомок некоторого узла не может стать для него предком.

Число порожденных отдельного узла (число поддеревьев данного корня) называется его степенью . Узел с нулевой степенью называют листом или концевым узлом. Максимальное значение степени всех узлов данного дерева называется степенью дерева .

Если в дереве между порожденными узлами, имеющими общий исходный, считается существенным их порядок, то дерево называется упорядоченным . В задачах поиска почти всегда рассматриваются упорядоченные деревья.

Упорядоченное дерево, степень которого не больше 2 называется бинарным деревом. Бинарное дерево особенно часто используется при поиске в оперативной памяти. Алгоритм поиска: вначале аргумент поиска сравнивается с ключом, находящимся в корне. Если аргумент совпадает с ключом, поиск закончен, если же не совпадает, то в случае, когда аргумент оказывается меньше ключа, поиск продолжается в левом поддереве, а в случае, когда больше ключа - в правом поддереве. Увеличив уровень на 1, повторяют сравнение, считая текущий узел корнем.

Пример: Пусть дан список студентов, содержащий их фамилии и средний бал успеваемости (см. таблицу 1.1). В качестве ключа используется фамилия студента. Предположим, что все записи имеют фиксированную длину, тогда в качестве указателя можно использовать номер записи. Смещение записи в файле в этом случае будет вычисляться как ([номер_записи ] -1) * [длина_записи ] . Пусть аргумент поиска "Петров". На рисунке 1.2 показано одно из возможных для этого набора данных бинарное дерево поиска и путь поиска.

Таблица 1.1
Васильев
Кузнецов
Тихомиров

Рис. 1.2. Поиск по бинарному дереву

Заметим, что здесь используется следующее правило сравнения строковых переменных: считается, что значение символа соответствует его порядковому номеру в алфавите. Поэтому "И" меньше "К", а "К" меньше "С". Если текущие символы в сравниваемых строках совпадают, то сравниваются символы в следующих позициях.

Бинарные деревья особенно эффективны в случае, когда множество ключей заранее неизвестно, либо когда это множество интенсивно изменяется. Очевидно, что при переменном множестве ключей лучше иметь сбалансированное дерево .

Определение: Бинарное дерево называют сбалансированным (balanced ), если высота левого поддерева каждого узла отличается от высоты правого поддерева не более чем на 1.

При поиске данных во внешней памяти очень важной является проблема сокращения числа перемещений данных из ВЗУ в оперативную память. Поэтому, в данном случае по сравнению с бинарными деревьями более выгодными окажутся сильно ветвящиеся деревья - т.к. их высота меньше, то при поиске потребуется меньше обращений к внешней памяти. Наибольшее применение в этом случае получили В-деревья (В - balanced )

Определение: В-деревом порядка n называется сильно ветвящееся дерево степени 2n+1, обладающее следующими свойствами:

1. Каждый узел, за исключением корня, содержит не менее n и не более 2n ключей.
2. Корень содержит не менее одного и не более 2n ключей.
3. Все листья расположены на одном уровне.
4. Каждый промежуточный узел содержит два списка: упорядоченный по возрастанию значений список ключей и соответствующий ему список указателей (для листовых узлов список указателей отсутствует).

Для такого дерева:

· сравнительно просто может быть организован последовательный доступ, т.к. все листья расположены на одном уровне;

· при добавлении и изменении ключей все изменения ограничиваются, как правило, одним узлом.

Рис. 1.3.Сбалансированное дерево

В -дерево, в котором истинные значения содержатся только в листьях (концевых узлах), называется В+- деревом . Во внутренних узлах такого дерева содержатся ключи-разделители, задающие диапазон изменения ключей для поддеревьев.

Подробнее о различных видах сбалансированных деревьев, а также методах их реализации можно прочитать в литературе, список которой приведен в конце страницы. Следует отметить, что B - деревья наилучшим образом подходят только для организации доступа к достаточно простым (одномерным) структурам данных. Для доступа к более сложным структурам, таким, например, как пространственные (многомерные) данные в последнее время все чаще используют R -деревья.

R -дерево (R -Tree ) это индексная структура для доступа к пространственным данным, предложенная А. Гуттманом (Калифорнийский университет, Беркли). R-дерево допускает произвольное выполнение операций добавления, удаления и поиска данных без периодической переиндексации.

Для представления данных используются записи, каждая из которых имеет уникальный идентификатор (tuple-identifier ). В каждом концевом узле (листе) дерева содержится запись вида (I,tuple-identifier ) , где I - n -мерный параллелепипед, содержащий указатели на пространственные данные (его также называют minimal bounding rectangle , MBR), а каждый элемент в tuple-identifier содержит верхнюю и нижнюю границу параллелепипеда в соответствующем измерении.

Неконцевые узлы содержат записи вида (I, childnode-pointer ) , где I минимальный ограничивающий параллелепипед для MBR всех узлов, производных по отношению к данному. Childnode-pointer - это указатель на производные узлы.

Пусть M и m <= M/2 соответственно максимальное и мимимальное количество элементов, которое может быть размещено в узле. Тогда свойства R-дерева можно описать следующим образом:

· R-Tree является сильно сбалансированным деревом, т.е. все листья находятся на одном уровне.

· Корневой узел имеет, как минимум, двух потомков.

· Для каждого элемента (I, childnode-pointer ) в неконцевом узле I является наименьшим возможным параллелепипедом, т.е. содержит все параллелепипеды производных узлов.

· Каждый концевой узел (лист) содержит от m до M индексных записей.

· Для каждой индексной записи (I, tuple-identifier ) в концевом узле I является параллелепипедом, который содержит n -мерный объект данных, на который указывает tuple-identifier .

1.2.2.Хеширование

Этот метод используется тогда, когда все множество ключей заранее известно и на время обработки может быть размещено в оперативной памяти. В этом случае строится специальная функция, однозначно отображающая множество ключей на множество указателей, называемая хеш-функцией (от английского слова "to hash " - резать, измельчать). Имея такую функцию можно вычислить адрес записи в файле по заданному ключу поиска. В общем случае, ключевые данные, используемые для определения адреса записи, организуются в виде таблицы, называемой хеш-таблицей.

Если множество ключей заранее неизвестно или очень велико, то от идеи однозначного вычисления адреса записи по ее ключу отказываются, а хеш-функцию рассматривают просто как функцию, рассеивающую множество ключей во множество адресов.

Структуры и типы данных. Массивы, деревья, списки, графы. Операции над данными.

Данные, хранящиеся в памяти ЭВМ представляют собой совокупность нулей и единиц (битов). Биты объединяются в последовательности: байты, слова и т.д. Каждому участку оперативной памяти, который может вместить один байт или слово, присваивается порядковый номер (адрес).

Какой смысл заключен в данных, какими символами они выражены - буквенными или цифровыми, что означает то или иное число - все это определяется программой обработки. Все данные необходимые для решения практических задач подразделяются на несколько типов, причем понятие тип связывается не только с представлением данных в адресном пространстве, но и со способом их обработки.

Любые данные могут быть отнесены к одному из двух типов: основному (простому), форма представления которого определяется архитектурой ЭВМ, или сложному, конструируемому пользователем для решения конкретных задач.

Данные простого типа это - символы, числа и т.п. элементы, дальнейшее дробление которых не имеет смысла. Из элементарных данных формируются структуры (сложные типы) данных.

Некоторые структуры:

Массив (функция с конечной областью определения) - простая совокупность элементов данных одного типа, средство оперирования группой данных одного типа. Отдельный элемент массива задается индексом. Массив может быть одномерным, двумерным и т.д. Разновидностями одномерных массивов переменной длины являются структуры типа кольцо, стек, очередь и двухсторонняя очередь.

Если массив всегда занимает непрерывный участок памяти, то список являет¬ся простейшим примером, так называемой динамической структуры данных. В динамических структурах данных объект содержится в различных участках памяти, количество и состав которых может меняться в процессе работы. Единство такого объекта поддерживается за счет объединения его частей в описании класса.

Простейший линейный список представляет собой линейную последователь¬ность элементов. Для каждого из них, кроме последнего, имеется следующий элемент, и для каждого, кроме первого - предыдущий. Список традиционно изображают в виде последовательности элементов, каждый из которых со¬держит ссылку (указатель) на следующий и/или предыдущий элемент, однако заметим, что физически в представлении элементов списка может и не быть никаких ссылок.

Типичный набор операций над списком будет включать добавление, удале¬ние и поиск его элементов, вычисление длины списка, последовательную об¬работку элементов (итерацию) списка.

Как и в случае массивов, многие библиотеки классов включают в себя возможность описания и работы со списками (например, CList библиотеки клас¬сов MFC). Несмотря на это, часто возникает необходимость описания своих собственных структур данных в виде, списков, содержащих более подходя¬щие для решаемой задачи операции, более простые (и, следовательно, более эффективные), чем стандартные, или обладающие специфическими особенностями (например, упорядоченные списки).

Как правило, при описании списка представление каждого элемента списка описывается в виде отдельного класса. В этом классе в качестве его атрибута имеется ссылка на следующий и/или предыдущий элемент.

Запись (декартово произведение) - совокупность элементов данных разного типа. В простейшем случае запись содержит постоянное количество элементов, которые называют полями. Совокупность записей одинаковой структуры называется файлом. (Файлом называют также набор данных во внешней памяти, например, на магнитном диске). Для того, чтобы иметь возможность извлекать из файла отдельные записи, каждой записи присваивают уникальное имя или номер, которое служит ее идентификатором и располагается в отдельном поле. Этот идентификатор называют ключом.

Такие структуры данных как массив или запись занимают в памяти ЭВМ постоянный объем, поэтому их называют статическими структурами. К статическим структурам относится также множество.

Имеется ряд структур, которые могут изменять свою длину - так называемые динамические структуры. К ним относятся дерево, список, ссылка.

Важной структурой, для размещения элементов которой требуется нелинейное адресное пространство является дерево. Существует большое количество структур данных, которые могут быть представлены как деревья. Это, например, классификационные, иерархические, рекурсивные и др. структуры.

Обобщенные структуры или модели данных.

Выше мы рассмотрели несколько типов структур, являющихся совокупностями элементов данных: массив, дерево, запись. Более сложный тип данных может включать эти структуры в качестве элементов. Например, элементами записи может быть массив, стек, дерево и т.д.

Существует большое разнообразие сложных типов данных, но исследования, проведенные на большом практическом материале, показали, что среди них можно выделить несколько наиболее общих. Обобщенные структуры называют также моделями данных, т.к. они отражают представление пользователя о данных реального мира.

Любая модель данных должна содержать три компоненты:

Структура данных - описывает точку зрения пользователя на представление данных.

Набор допустимых операций, выполняемых на структуре данных. Модель данных предполагает, как минимум, наличие языка определения данных (ЯОД), описывающего структуру их хранения, и языка манипулирования данными (ЯМД), включающего операции извлечения и модификации данных.

Ограничения целостности - механизм поддержания соответствия данных предметной области на основе формально описанных правил.

В процессе исторического развития в СУБД использовалось следующие модели данных:

Иерархическая - В этой модели имеется один главный объект и остальные - подчиненные - объекты, находящиеся на разных уровнях иерархии. Взаимосвязи объектов образуют иерархическое дерево с одним корневым объектом.

Сетевая - Сетевой подход к организации данных является расширением иерархического. В иерархических структурах запись-потомок должна иметь в точности одного предка; в сетевой структуре данных потомок может иметь любое число предков.

В сетевой модели данных любой объект может быть одновременно и главным, и подчиненным, и может участвовать в образовании любого числа взаимосвязей с другими объектами.

Реляционная - В реляционной модели данные разбиваются на наборы, которые составляют табличную структуру. Эта структура таблиц состоит из индивидуальных элементов данных, называемых полями. Одиночный набор или группа полей известна как запись.

Методы доступа к данным.

Вопросы представления данных тесно связаны с операциями, при помощи которых эти данные обрабатываются. К числу таких операций относятся: выборка, изменение, включение и исключение данных. В основе всех перечисленных операций лежит операция доступа, которую нельзя рассматривать независимо от способа представления.

В задачах поиска предполагается, что все данные хранятся в памяти с определенной идентификацией и, говоря о доступе, имеют в виду прежде всего доступ к данным (называемым ключами), однозначно идентифицирующим связанные с ними совокупности данных.

Пусть нам необходимо организовать доступ к файлу, содержащему набор одинаковых записей, каждая из которых имеет уникальное значение ключевого поля. Самый простой способ поиска - последовательно просматривать каждую запись в файле до тех пор, пока не будет найдена та, значение ключа которой удовлетворяет критерию поиска. Очевидно, этот способ весьма неэффективен, поскольку записи в файле не упорядочены по значению ключевого поля. Сортировка записей в файле также неприменима, поскольку требует еще больших затрат времени и должна выполняться после каждого добавления записи. Поэтому, поступают следующим образом - ключи вместе с указателями на соответствующие записи в файле копируют в другую структуру, которая позволяет быстро выполнять операции сортировки и поиска. При доступе к данным вначале в этой структуре находят соответствующее значение ключа, а затем по хранящемуся вместе с ним указателю получают запись из фала.

Существуют два класса методов, реализующих доступ к данным по ключу:

Методы поиска по дереву,

Методы хеширования.

Теория графов является важной частью вычислительной математики. С помощью этой теории решаются большое количество задач из различных областей. Граф состоит из множества вершин и множества ребер, которые соединяют между собой вершины. С точки зрения теории графов не имеет значения, какой смысл вкладывается в вершины и ребра. Вершинами могут быть населенными пункты, а ребрами дороги, соединяющие их, или вершинами являться подпрограммы, соединенные вершин ребрами означает взаимодействие подпрограмм. Часто имеет значение направления дуги в графе. Если ребро имеет направление, оно называется дугой, а граф с ориентированными ребрами называется орграфом.

Дадим теперь более формально основное определение теории графов. Граф G есть упорядоченная пара (V,E), где V - непустое множество вершин, E - множество пар элементов множества V, пара элементов из V называется ребром. Упорядоченная пара элементов из V называется дугой. Если все пары в Е - упорядочены, то граф называется ориентированным.

Путь - это любая последовательность вершин орграфа такая, что в этой последовательности вершина b может следовать за вершиной a, только если существует дуга, следующая из а в b. Аналогично можно определить путь, состоящий из дуг. Путь начинающийся в одной вершине и заканчивающийся в одной вершине называется циклом. Граф в котором отсутствуют циклы, называется ациклическим.

Важным частным случаем графа является дерево.

Определение: Деревом называется конечное множество, состоящее из одного или более элементов, называемых узлами, таких, что:

Между узлами имеет место отношение типа "исходный-порожденный";

Есть только один узел, не имеющий исходного. Он называется корнем;

Все узлы за исключением корня имеют только один исходный; каждый узел может иметь несколько порожденных;

Отношение "исходный-порожденный" действует только в одном направлении, т.е. ни один потомок некоторого узла не может стать для него предком.

Число порожденных отдельного узла (число поддеревьев данного корня) называется его степенью. Узел с нулевой степенью называют листом или концевым узлом. Максимальное значение степени всех узлов данного дерева называется степенью дерева.

Если в дереве между порожденными узлами, имеющими общий исходный, считается существенным их порядок, то дерево называется упорядоченным. В задачах поиска почти всегда рассматриваются упорядоченные деревья.

Упорядоченное дерево, степень которого не больше 2 называется бинарным деревом. Бинарное дерево особенно часто используется при поиске в оперативной памяти. Алгоритм поиска: вначале аргумент поиска сравнивается с ключом, находящимся в корне. Если аргумент совпадает с ключом, поиск закончен, если же не совпадает, то в случае, когда аргумент оказывается меньше ключа, поиск продолжается в левом поддереве, а в случае когда больше ключа - в правом поддереве. Увеличив уровень на 1 повторяют сравнение, считая текущий узел корнем.

Бинарные деревья особенно эффективны в случае когда множество ключей заранее неизвестно, либо когда это множество интенсивно изменяется. Очевидно, что при переменном множестве ключей лучше иметь сбалансированное дерево.

Определение: Бинарное дерево называют сбалансированным (balanced), если высота левого поддерева каждого узла отличается от высоты правого поддерева не более чем на 1.

Хеширование.

Этот метод используется тогда, когда все множество ключей заранее известно и на время обработки может быть размещено в оперативной памяти. В этом случае строится специальная функция, однозначно отображающая множество ключей на множество указателей, называемая хеш-функцией (от английского "to hash" - резать, измельчать). Имея такую функцию можно вычислить адрес записи в файле по заданному ключу поиска. В общем случае ключевые данные, используемые для определения адреса записи организуются в виде таблицы, называемой хеш-таблицей.

Если множество ключей заранее неизвестно или очень велико, то от идеи однозначного вычисления адреса записи по ее ключу отказываются, а хеш-функцию рассматривают просто как функцию, рассеивающую множество ключей во множество адресов.