Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов демидова анастасия вячеславовна. Построение стохастической модели

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Пример построения стохастической модели процесса

В процессе функционирования банка очень часто возникает необходимость в решении проблемы выбора вектора активов, т.е. инвестиционного портфеля банка, и неопределенные параметры, которые необходимо учитывать в этой задаче, связаны в первую очередь с неопределенностью цен на активы (ценные бумаги, реальные вложения и т.д.). В качестве иллюстрации можно привести пример с формированием портфеля государственных краткосрочных обязательств.

Для задач данного класса принципиальный вопрос - это построение модели стохастического процесса изменения цен, поскольку в распоряжении исследователя операции, естественно, имеется только конечный ряд наблюдений реализаций случайных величин - цен. Далее излагается один из подходов к решению этой проблемы, который развивается в ВЦ РАН в связи с решением задач управления стохастическими марковскими процессами.

Рассматриваются М видов ценных бумаг, i =1,… , M , которые торгуются на специальных биржевых сессиях. Бумаги характеризуются величинами - выраженными в процентах доходностями в течение текущей сессии. Если бумага вида в конце сессии покупается по цене и продается в конце сессии по цене, то.

Доходности - это случайные величины, формирующиеся следующим образом. Предполагается существование базовых доходностей - случайных величин, образующих марковский процесс и определяемых по следующей формуле:

Здесь, - константы, а - стандартные нормально распределенные случайные величины (т.е. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией).

где - некоторый масштабный коэффициент равный (), а - случайная величина, имеющая смысл отклонения от базового значения и определяемая аналогично:

где - также, стандартные нормально распределенные случайные величины.

Предполагается, что некоторая оперирующая сторона, называемая в дальнейшем оператором, в течение некоторого времени управляет своим капиталом, вложенным в бумаги (во всякий момент в бумагу ровно одного вида), продавая их в конце текущей сессии и тут же покупая на вырученные деньги другие бумаги. Управление, выбор приобретаемых бумаг, производится по алгоритму, зависящему от информированности оператора о процессе, формирующем доходности бумаг. Нами будут рассматриваться различные гипотезы об этой информированности и, соответственно, различные алгоритмы управления. Будем предполагать, что исследователь операции, разрабатывает и оптимизирует алгоритм управления, используя имеющийся ряд наблюдений за процессом, т.е., используя информацию о ценах закрытия на биржевых сессиях, а также, возможно, и о величинах, на некотором промежутке времени, соответствующем сессиям с номерами. Целью экспериментов является сравнение оценок ожидаемой эффективности различных алгоритмов управления с их теоретическим математическим ожиданием в условиях, когда алгоритмы настраиваются и оцениваются на одном и том же ряду наблюдений. Для оценки теоретического математического ожидания используется метод Монте-Карло «прогонкой» управления по достаточно объемному сгенерированному ряду, т.е. по матрице размерности, где столбцы соответствуют реализациям значений и по сессиям, а число определяется вычислительными возможностями, но при условии, чтобы элементов матрицы было не менее 10000. Необходимо, чтобы «полигон» был одним и тем же во всех проводимых экспериментах. Имеющийся ряд наблюдений имитирует сгенерированная матрица размерности, где значения в ячейках имеют тот же смысл, что и выше. Число и значения в этой матрице будут в дальнейшем варьироваться. Матрицы обоих видов формируются посредством процедуры генерации случайных чисел, имитирующей реализацию случайных величин, и расчета по этим реализациям и формулам (1) - (3) искомых элементов матриц.

Оценка эффективности управления на ряду наблюдений производится по формуле

где - индекс последней сессии в ряду наблюдений, а - номер облигаций, выбранных алгоритмом на шаге, т.е. того вида облигаций, в которых, согласно алгоритму, будет находиться капитал оператора в течение сессии. Кроме того, будем рассчитывать также месячную эффективность. Число 22 приблизительно соответствует числу торговых сессий за месяц.

Вычислительные эксперименты и анализ результатов

Гипотезы

Точное знание оператором будущих доходностей.

Индекс выбирается как. Этот вариант дает верхнюю оценку для всех возможных алгоритмов управления, даже в случае, если дополнительная информация (учет каких-то дополнительных факторов) позволит уточнить модель прогноза цен.

Случайное управление.

Оператор не знает закона ценообразования и проводит операции случайным выбором. Теоретически, в данной модели математическое ожидание результата операций совпадает с тем, как если бы оператор вкладывал капитал не в одну бумагу, а во все поровну. При нулевых математических ожиданиях величин математическое ожидание величины равно 1. Расчеты по данной гипотезе полезны только в том смысле, что позволяют в некоторой степени проконтролировать корректность написанных программ и сгенерированной матрицы значений.

Управление при точном знании модели доходностей, всех ее параметров и наблюдаемой величины .

В этом случае оператор в конце сессии, зная значения и для сессий, и, а в наших расчетах, используя строки, и, матрицы, вычисляет по формулам (1) - (3) математические ожидания величин и выбирает для покупки бумагу с наибольшей из этих значений величин.

где, согласно (2), . (6)

Управление при знании структуры модели доходностей и наблюдаемой величине , но неизвестных коэффициентах .

Будем предполагать, что исследователь операции не только не знает значения коэффициентов, но не знает и число влияющих на формирование величин, предшествующих значений этих параметров (глубину памяти марковских процессов). Не знает также, одинаковы или различны коэффициенты при разных значениях. Рассмотрим различные варианты действий исследователя - 4.1, 4.2, и 4.3, где второй индекс обозначает предположение исследователя о глубине памяти процессов (одинаковой для и). К примеру, в случае 4.3 исследователь предполагает, что формируется согласно уравнению

Здесь, для полноты описания, добавлен свободный член. Однако, этот член может быть исключен либо из содержательных соображений, либо статистическими методами. Поэтому для упрощения расчетов мы в дальнейшем свободные члены при настройке параметров из рассмотрения исключаем и формула (7) приобретает вид:

В зависимости от того, предполагает ли исследователь одинаковыми или различными коэффициенты при разных значениях, будем рассматривать подслучаи 4.m. 1 - 4.m. 2, m = 1 - 3. В случаях 4.m. 1 коэффициенты будут настраиваться по наблюденным значениям для всех бумаг вместе. В случаях 4.m. 2 коэффициенты настраиваются для каждой бумаги отдельно, при этом исследователь работает в рамках гипотезы, что коэффициенты, различны при разных и, к примеру, в случае 4.2.2. значения определяются модифицированной формулой (3)

Первый способ настройки - классический метод наименьших квадратов. Рассмотрим его на примере настройки коэффициентов при в вариантах 4.3.

Согласно формуле (8),

Требуется найти такие значения коэффициентов, чтобы минимизировать выборочную дисперсию для реализаций на известном ряду наблюдений, массиве при условии, что математическое ожидание значений определяется формулой (9).

Здесь и в дальнейшем знак «» указывает на реализацию случайной величины.

Минимум квадратичной формы (10) достигается в единственной точке, в которой все частные производные равны нулю. Отсюда получаем систему трех алгебраических линейных уравнений:

решение которой дает искомые значения коэффициентов.

После того как коэффициенты верифицированы, выбор управлений проводится так же, как и в случае 3.

Замечание. Для того, чтобы облегчить работу над программами, принято процедуру выбора управления, описанную для гипотезы 3, сразу писать, ориентируясь не на формулу (5), а на ее модифицированный вариант в виде

При этом в расчетах для случаев 4.1.m и 4.2.m, m = 1, 2, лишние коэффициенты обнуляются.

Второй способ настройки состоит в выборе значений параметров так, чтобы максимизировать оценку из формулы (4). Задача эта аналитически и вычислительно безнадежно сложна. Поэтому здесь можно говорить только о приемах некоторого улучшения значения критерия относительно исходной точки. За исходную точку можно взять значения, полученные методом наименьших квадратов, и затем произвести обсчет вокруг этих значений по сетке. При этом последовательность действий такова. Сначала обсчитывается сетка на параметрах (квадрат или куб) при фиксированных остальных параметрах. Затем для случаев 4.m. 1 обсчитывается сетка на параметрах, а для случаев 4.m. 2 на параметрах при фиксированных остальных параметрах. В случае 4.m. 2 далее так же оптимизируются параметры. Когда этим процессом исчерпываются все параметры, процесс повторяется. Повторения производятся до тех пор, пока новый цикл дает улучшение значений критерия по сравнению с предыдущим. Чтобы число итераций не оказалось слишком большим, применим следующий прием. Внутри каждого блока расчетов на 2-х или 3-х-мерном пространстве параметров сначала берется достаточно грубая сетка, затем, если лучшая точка оказывается на краю сетки, то исследуемый квадрат (куб) сдвигается и расчет повторяется, если же лучшая точка внутренняя, то строится новая сетка вокруг этой точки с меньшим шагом, но с тем же общим числом точек, и так некоторое, но разумное число раз.

Управление при ненаблюдаемом и без учета зависимости между доходностями разных бумаг.

Имеется в виду, что исследователь операции не замечает зависимости между разными бумаги, ничего не знает о существовании и пытается прогнозировать поведение каждой бумаги по отдельности. Рассмотрим, как обычно, три случая, когда исследователь моделирует процесс формирования доходностей в виде марковского процесса глубиной 1, 2, и 3:

Коэффициенты для прогноза ожидаемой доходности не важны, а коэффициенты настраиваются двумя способами, описанными в п. 4. Управления выбираются, аналогично тому, как это делалось выше.

Замечание: Так же, как и для выбора управления, для метода наименьших квадратов имеет смысл написать единую процедуру с максимальным числом переменных - 3. Если настраиваемые переменные, скажем, то для из решения линейной системы выписывается формула, в которую входят только константы, определяется через, а через и. В случаях, когда переменных меньше чем три, значения лишних переменных обнуляются.

Хотя расчеты в различных вариантах проводятся сходным образом, число вариантов довольно велико. Когда подготовка инструментов для расчетов во всех перечисленных вариантах оказывается затруднительным, рассматривается на экспертном уровне вопрос о сокращении их числа.

Управление при ненаблюдаемом с учетом зависимости между доходностями разных бумаг.

Это серия экспериментов имитирует те манипуляции, которые были произведены в задаче с ГКО . Мы предполагаем, что исследователь практически ничего не знает о механизме формирования доходностей. Он располагает только рядом наблюдений, матрицей. Из содержательных соображений он делает предположение о взаимозависимости текущих доходностей разных бумаг, группирующихся около некоторой базовой доходности, определяемой состоянием рынка в целом. Рассматривая графики доходностей бумаг от сессии к сессии, он делает предположение, что в каждый момент времени точки, координатами которых являются номера бумаг и доходности (в реальности это были сроки до погашения бумаг и их цены), группируются возле некоторой кривой (в случае с ГКО - параболы).

Здесь - точка пересечения теоретической прямой с осью ординат (базовая доходность), а - ее наклон (то, что должно быть равным 0.05).

Построив таким образом теоретические прямые, исследователь операции может рассчитать значения - отклонения величин от их теоретических значений.

(Заметим, что здесь имеют несколько иной смысл, чем в формуле (2). Отсутствует размерный коэффициент, и рассматриваются отклонения не от базового значения, а от теоретической прямой.)

Следующей задачей является прогноз значений по известным в момент значениям, . Поскольку

для прогноза значений исследователю требуется ввести гипотезу о формировании величин, и. По матрице исследователь может установить значительную корреляцию между величинами и. Можно принять гипотезу о линейной зависимости между величинами от: . Из содержательных соображений коэффициент сразу полагается равным нулю, и методом наименьших квадратов ищется в виде:

Далее, как и выше и моделируются посредством марковского процесса и описываются формулами, аналогичными (1) и (3) с разным числом переменных в зависимости от глубины памяти марковского процесса в рассматриваемом варианте. (здесь определяется не по формуле (2), а по формуле (16))

Наконец, как и выше реализуются два способа настройки параметров методом наименьших квадратов, и посредством непосредственной максимизации критерия и делаются оценки.

Эксперименты

Для всех описанных вариантов рассчитывались оценки критериев, при разных матрицах. (матрицы с числом строк 1003, 503, 103 и для каждого варианта размерности реализовывались порядка ста матриц). По результатам расчетов для каждой размерности оценивались математическое ожидание и дисперсия величин, и их отклонение от величин, для каждого из подготовленных вариантов.

Как показали первые серии вычислительных экспериментов при малом числе настраиваемых параметров (порядка 4), выбор метода настройки не оказывает существенного влияния на значение критерия в задаче.

2. Классификация средств моделирования

стохастический моделирование банк алгоритм

Классификация методов моделирования и моделей может проводиться по степени подробности моделей, по характеру признаков, по сфере приложения и т.д.

Рассмотрим одну из распространенных классификаций моделей по средствам моделирования, именно этот аспект является наиболее важным при анализе различных явлений и систем.

материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира.

По средствам моделирования методы моделирования делятся на две группы: методы материального и методы идеального моделирования Моделирование называется материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира. В свою очередь в материальном моделировании можно выделить: пространственное, физическое и аналоговое моделирование.

В пространственном моделировании используются модели, предназначенные для того, чтобы воспроизвести или отобразить пространственные свойства изучаемого объекта. Модели в этом случае геометрически подобны объектам исследования (любые макеты).

Модели, используемые в физическом моделировании предназначены для воспроизводства динамики процессов, происходящих в изучаемом объекте. Причем общность процессов в объекте исследования и модели основана на сходстве их физической природы. Этот метод моделирования широко распространен в технике при проектировании технических систем различного вида. Например, исследование летательных аппаратов на основе экспериментов в аэродинамической трубе.

Аналоговое моделирование связано с использованием материальных моделей, имеющих другую физическую природу, но описывающихся теми же математическими соотношениями, что и изучаемый объект. Оно основано на аналогии в математическом описании модели и объекта (изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями, но более удобной в проведении экспериментов).

Во всех случаях материального моделирования модель-это материальное отражение исходного объекта, а исследование состоит в материальном воздействии на модель, то есть в эксперименте с моделью. Материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом и в экономических исследованиях не используется.

От материального моделирования принципиально отличается идеальное моделирование , основанное на идеальной, мыслимой связи между объектом и моделью. Методы идеального моделирования широко используются в экономических исследованиях. Их условно можно разделить на две группы: формализованное и неформализованное.

В формализованном моделировании моделью служат системы знаков или образов, вместе с которыми задаются правила их преобразования и интерпретации. Если в качестве моделей используются системы знаков, то моделирование называется знаковым (чертежи, графики, схемы, формулы).

Важным видом знаковой моделирования является математическое моделирование , основанное на том факте, что различные изучаемые объекты и явления могут иметь одинаковое математическое описание в виде совокупности формул, уравнений, преобразование которых осуществляется на основе правил логики и математики.

Другой формой формализованного моделирования является образное, в котором модели строятся на наглядных элементах (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел). Анализ образных моделей осуществляется мысленно, поэтому они могут быть отнесены к формализованному моделированию, когда правила взаимодействия объектов, используемых в модели четко фиксированы (например, в идеальном газе столкновение двух молекул рассматривается, как соударение шаров, причем результат соударения мыслится всеми одинаково). Модели такого типа широко используются в физике, их принято называть «мысленными экспериментами».

Неформализованное моделирование. К нему можно отнести такой анализ проблем разнообразного типа, когда модель не формируется, а вместо нее используется некоторое точно не зафиксированное мысленное отображение реальной действительности, служащее основой для рассуждения и принятия решения. Таким образом, всякое рассуждение не использующее формальную модель можно считать неформализованным моделированием, когда у мыслящего индивидуума имеется некоторый образ объекта исследования, который можно интерпретировать как неформализованную модель реальности.

Исследование экономических объектов в течение долгого времени проводилось только на основе таких неопределенных представлений. В настоящее время анализ неформализованных моделей остается наиболее распространенным средством экономического моделирования, а именно всякий человек, принимающий экономическое решение без использования математических моделей вынужден руководствоваться тем или иным описанием ситуации, основанной на опыте и интуиции.

Основным недостатком этого подхода является то, что решения может оказаться мало эффективным или ошибочным. Еще долгое время, по-видимому, эти методы останутся основным средством принятия решений не только в большинстве обыденных ситуаций, но и при принятий решений в экономике.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Принципы и этапы построения модели авторегрессии, ее основные достоинства. Спектр процесса авторегрессии, формула для ее нахождения. Параметры, характеризующие спектральную оценку случайного процесса. Характеристическое уравнение модели авторегрессии.

контрольная работа , добавлен 10.11.2010


Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.

реферат , добавлен 11.02.2011


Исследование особенностей разработки и построения модели социально-экономической системы. Характеристика основных этапов процесса имитации. Экспериментирование с использованием имитационной модели. Организационные аспекты имитационного моделирования.

реферат , добавлен 15.06.2015


Понятие имитационного моделирования, применение его в экономике. Этапы процесса построения математической модели сложной системы, критерии ее адекватности. Дискретно-событийное моделирование. Метод Монте-Карло - разновидность имитационного моделирования.

контрольная работа , добавлен 23.12.2013


Методологические основы эконометрики. Проблемы построения эконометрических моделей. Цели эконометрического исследования. Основные этапы эконометрического моделирования. Эконометрические модели парной линейной регрессии и методы оценки их параметров.

контрольная работа , добавлен 17.10.2014


Этапы построения деревьев решений: правило разбиения, остановки и отсечения. Постановка задачи многошагового стохастического выбора в предметной области. Оценка вероятности реализации успешной и неуспешной деятельности в задаче, ее оптимальный путь.

реферат , добавлен 23.05.2015


Определение, цели и задачи эконометрики. Этапы построения модели. Типы данных при моделировании экономических процессов. Примеры, формы и моделей. Эндогенные и экзогенные переменные. Построение спецификации неоклассической производственной функции.

презентация , добавлен 18.03.2014


Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.

реферат , добавлен 09.09.2010


Основные этапы математического моделирования, классификация моделей. Моделирование экономических процессов, основные этапы их исследования. Системные предпосылки формирования модели системы управления маркетинговой деятельностью предприятия сферы услуг.

реферат , добавлен 21.06.2010


Общая схема процесса проектирования. Формализация построения математической модели при проведении оптимизации. Примеры использования методов одномерного поиска. Методы многомерной оптимизации нулевого порядка. Генетические и естественные алгоритмы.

Моделирование – построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений.

стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

один подход к классификации математических моделей подразделяет их на детерминированные истохастические (вероятностные). В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован. В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими; соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

детерминированные,

стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем – системы массового обслуживания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:

непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения);

дискретно-детерминированный (конечные автоматы);

дискретно-стохастический (вероятностные автоматы);

непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания);

обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

20. Модель популяции .

Модель – это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию о нем. Рассмотрим примеры динамических систем - модели популяций. Популя­ция (от лат.populatio- население) - термин, используемый в различных разделах биологии, а также в генетике, демографии и медицине.

Популяция - это человеческое, животное или растительное население неко­торой местности, способной к более-менее устойчивому самовоспроизводству, относительно обособленное (обычно географически) от других групп.

Описание популяций, а также происходящих в них и с ними процессов, воз­можно путем создания и исследования динамических моделей.

Пример 1. Модель Мальтуса.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описы­вается дифференциальным уравнением х = ах , где α - некоторый параметр, оп­ределяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функцияx(t) = х 0 е*.

Если рождаемость превосходит смертность (α > 0), размер популяция не­ограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может слу­жить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста:

где x s - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к рав­новесному значению

Пример 2. Модель «хищник - жертва».

Модель взаимодействия «хищник - жертва» независимо предложили в 1925 - 1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения модели­руют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы и хищника. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размно­жаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи и умирают естествен­ным образом.

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кро­лики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов -х, число лис -у. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправ­ками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра - Лотки:

х =(α -су)х;

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис по­стоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кро­ликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в слу­чае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчи­вым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания числен­ности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов.

Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.

Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.

Основные признаки

Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:

• Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
• Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
• Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.

Детерминированные и стохастические модели

Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.

Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.

В теории хаоса

В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.

Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.

Построение

Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.

Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.

Пример

Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:

• Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
• Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
• Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
• Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Концепция и результат

Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.

Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.

Построение стохастической модели

Построение стохастической модели включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений, описывающих изучаемый процесс.

Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.

В основе методов построения статистической модели, описывающей технологический процесс (рис.6.1) лежит концепция «черного ящика». Для него возможны многократные измерения входных факторов: x 1 ,x 2 ,…,x k и выходных параметров: y 1 ,y 2 ,…,y p , по результатам которых устанавливают зависимости:

При статистическом моделировании вслед за постановкой задачи (1) производится отсеивание наименее важных факторов из большого числа входных переменных, влияющих на ход процесса (2). Выбранные для дальнейшего исследования входные переменные составляют список факторов x 1 ,x 2 ,…,x k в (6.1), управляя которыми можно регулировать выходные параметры y n . Количество выходных параметров модели также следует по возможности уменьшить, чтобы сократить затраты на эксперименты и обработку данных.

При разработке статистической модели обычно ее структура (3) задается произвольно, в виде удобных для использования функций, аппроксимирующих опытные данные, а затем уточняется на основе оценки адекватности модели.

Наиболее часто используется полиномиальная форма модели. Так, для квадратичной функции:

(6.2)

где b 0 , b i , b ij , b ii – коэффициенты регрессии.

Обычно сначала ограничиваются наиболее простой линейной моделью, для которой в (6.2) b ii =0, b ij =0 . В случае ее неадекватности усложняют модель введением членов, учитывающих взаимодействие факторов x i ,x j и (или) квадратичных членов .

С целью максимального извлечения информации из проводимых экспериментов и уменьшения их числа проводится планирование экспериментов (4) т.е. выбор количества и условий проведения опытов необходимых и достаточных для решения с заданной точностью поставленной задачи.

Для построения статистических моделей применяют два вида экспериментов: пассивный и активный. Пассивный эксперимент проводится в форме длительного наблюдения за ходом неуправляемого процесса, что позволяет собрать обширный ряд данных для статистического анализа. В активном эксперименте имеется возможность регулирования условий проведения опытов. При его проведении наиболее эффективно одновременное варьирование величины всех факторов по определенному плану, что позволяет выявить взаимодействие факторов и сократить число опытов.

На основе результатов проведенных экспериментов (5) вычисляют коэффициенты регрессии (6.2) и оценивают их статистическую значимость, чем завершается построение модели (6). Мерой адекватности модели (7) является дисперсия, т.е. среднеквадратичное отклонение вычисляемых значений от экспериментальных. Полученная дисперсия сопоставляется с допустимой при достигнутой точности экспериментов.

В последних главах настоящей книги стохастические процессы почти всегда представляются с использованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Это представление стохастического процесса обычно имеет следующую форму. Предположим, что

а - белый шум. Выбирая такое представление стохастического процесса V, его можно моделировать. Использоваййе таких моделей может быть обосновано следующим образом.

а) В природе часто встречаются стохастические явления, связанные с воздействием быстро меняющихся флуктуаций на инерционную дифференциальную систему. Типичным примером белого шума, действующего на дифференциальную систему, является тепловой шум в электронной цепи.

б) Как будет видно из дальнейшего, в линейной теории управления почти всегда рассматриваются только среднее значение и. ковариация Стохастического процесса. Для линейной модели ксегда можно аппроксимировать любые полученные экспериментально характеристики среднего значения и ковариационной матрицы с произвольной точностью.

в) Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотностей анергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса.

Примеры 1.36 и 1.37, так же как и задача 1.11, иллюстрируют метод моделирования.

Пример 1.36. Дифференциальная система первого порядка

Предположим, что измеренная ковариационная функция стохастического скалярного процесса о котором известно, что он является стационарным, описывается экспоненциальной функцией

Этот процесс можно моделировать при как состояние дифференциальной системы первого порядка (см. пример 1.35)

где - белый шум интейсивности - стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией .

Пример 1.37. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.31 (разд. 1.10.3) и вычислим для него матрицу дисперсий выходной переменной примере 1.31 предполагалось, что флуктуации концентраций в потоках описываются экспоненциально коррелированными шумами и, таким образом, могут быть смоделированы как решение системы первого порядка, возбуждаемой белым шумом. Добавим теперь к дифференциальному уравнению смесительного бака уравнения моделей стохастических процессов Получим

Здесь - скалярный белый шум интенсивности чтобы

получить дисперсию процесса равной примем Для процесса используем аналогичную модель. Таким образом, получим систему уравнений