Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Этапы построения математической модели

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов. На рисунке 3 представлена общая схема построения математической модели.

Рис. 3 Этапы построения математической модели

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем , который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели.

Например, контрольразмерностей позволяет - приравнивать и складывать только величины одинаковой размерности, порядков величин упрощает моделирование, т.е. определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются, проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

Адекватность - степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Любая модель дает приближенное описание процесса функционирования объекта или системы. Поэтому необходима специальная процедура доказательства достоверности (адекватности) построенной модели. Такая оценка производиться методами математической статистики.

Именно сложность доказательства адекватности предлагаемой модели принято считать важнейшим недостатком метода моделирования.

Оценка адекватности разработанной модели реально существующей системе производится сравнением измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отклика реальной системы.

В результате опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) . Выполнив экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является -статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением, взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство, то гипотеза принимается.

Однако статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. В этом случае в качестве эталонного объекта принимается концептуальная модель проектируемой системы и оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.

При проверке адекватности модели как существующей, так и проектируемой системы реально может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности получаемых результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчивости модели.

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики.

Какой бы сложной и полной не была модель, она тем не менее является приближенным отображение реального объекта и отражает его при определенных принятых допущениях. Однако до тех пор пока не доказана адекватность модели реальной обстановке, нельзя с уверенностью утверждать, что с ее помощью получается те результаты, которые действительно характеризуют функционирование исследуемого объекта. Оценка адекватности и точности математической модели любого типа, в том числе и имитационной, является важнейшей задачей моделирования, так как любые исследования на неадекватной модели теряют смысл.

С ростом адекватности и точности модели возрастают как ее стоимость, так и ценность для исследования, в связи с чем приходится решать вопрос о компромиссе между стоимостью модели и последствиями ошибочных решений из-за ее неадекватности исследуемому процессу. Поэтому на практике построение модели представляет собой итеративный процесс усовершенствования системы моделей, а следовательно, и исследования объекта до тех пор, пока это считается разумным. Поэтому и оценка адекватности и точности модели представляет собой непрерывный процесс, начинающийся с началом исследования. Правильность построения модели может быть проверена только на практике за счет повторения цикла «построение модели – проверка модели».

Следует отметить, что понятие адекватности модели не имеет качественного измерения: модель либо адекватна явлении., либо не адекватна (естественно, сточки зрения выносящего суждение – заказчика). Говорить о количественной оценке точности перехода от концептуальной модели к математической. Правомерно говорить лишь о количественной оценке точности реализации на ЭВМ заданной и адекватной объекту математической модели. При этом, естественно, предполагается, что программа, реализующая вычисления по математической модели, не содержит ошибок, исходные данные введены в машине правильно, а ЭВМ в процессе счета не имела сбоев в работе. Модель является достоверной, если ее концептуальная модель адекватна исследуемому процессу, математическая модель адекватна концептуальной, а точность реализации математической модели на ЭВМ соответствует заданной, т.е. погрешности расчета не превышают допустимых

Основные ошибки при формировании концептуальной модели следующие:

неправильный выбор критериев или ограничений;

введение в концептуальную модель несущественных факторов или отсутствие в ней ряда существенных факторов;

неучет ряда условий функционирования объекта;

неправильный выбор гипотез, положенных в основу структуры модели (например, по составу элементов объекта, связей между ними в процессе функционирования и т.п.).

Проверка адекватности концептуальной модели является достаточно сложной задачей, так как оценка принципов, положенных в основу модели, является субъективной. Лучшим методом проверки адекватности концептуальной модели является рассмотрение модели специалистами, не участвовавшими в ее разработке (экспертиза модели), так как они могут более объективно рассмотреть задачу и заметить слабые стороны модели, не замеченные авторами. Окончательное решение об адекватности концептуальной модели принимается только заказчиком, который при одобрении концепции одобряет тем самым все положенные в основу модели допущения.

Основные принципиальные ошибки при переходе от концептуальной модели к математической следующие:

структура математической модели не соответствует структуре концептуальной модели;

модель включает неверные математические соотношения.

По окончании разработки математической модели до начала программирования необходимая проверка адекватности должна дать ответ на вопрос, насколько используемые уравнения или моделирующий алгоритм отражает концептуальную модель. Если уравнения получены теоретическим путем, могут быть проведены вычисления в нескольких точках с целью определения приемлемости результатов. Дополнительная проверка уравнений состоит в анализе размерностей. Необходимо убедиться, что все единицы измерения применены в соответствии с физическим смыслом, масштабирование и согласование размерностей в уравнениях проведено правильно. Кроме того, обязательными являются проверка результатов в условиях, когда факторы модели принимают предельные значения.

При переходе от концептуальной модели к математической для формализации описания явлений используются линеаризация, аппроксимация, интерполяция, причем каждый метод вносит определенные погрешности. Если уравнения выведены на основании анализа эмпирических данных, необходимо провести выборочную проверку согласия с опытными данными. При этом могут быть использованы статистические выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный, регрессионный, факторный и спектральный анализ, автокорреляция, метод проверки с помощью критерия «-квадрат» и непараметрические проверки. Так как каждый из этих статистических методов основан на некоторых допущениях, то при их использовании возникают вопросы, связанные с оценкой их адекватности.

Решение об адекватности математической модели по отношению к концептуальной также принимается только заказчиком, который тем самым разрешает исследователю перейти к этапу реализации математической модели на ЭВМ.

Оценка точности математической модели представляет одну из наименее исследованных методологических проблем в теории моделирования. Рассмотрим, например, измерение погрешности при изготовлении детали. Если x и – размер детали на чертеже (идеальный размер), а х Ф – фактический размер изготовленной детали, то абсолютная погрешность изготовления рассчитывается по формуле

. (4.7)

Заметим, что определить погрешность можно после изготовления детали.

Заказчика интересует, насколько результаты моделирования могут отличаться от того, что он получает на практике, реализуя полученные на модели рекомендации. При этом погрешность модели для него характеризуется выражением, аналогичным (4.7):

, (4.8)

где x Ф – фактический результат, полученный в производстве после внедрения рекомендаций модели;x М – «теоретический» результат, т.е. полученный при расчетах по математической модели.

Однако оценка (4.8) может быть получена заказчиком только после того, как рекомендации модели внедрены. А если модель неправильна или велика ошибка? Естественно, что заказчик хотел быдо внедрения рекомендаций, полученных на модели, убедиться в том, что им можно доверять, что они характеризуются приемлемой для него погрешностью, т.е. определить величину
до реализации результатов моделирования.

Но тогда
, гдеx И – результат. Полученный на «идеальной» математической модели, т.е. модели, не имеющей погрешности. В качестве «идеальной» математической модели может быть принята адекватная концептуальной и утвержденная заказчиком математическая модель исследуемого процесса до ее реализации на ЭВМ.

Обычно точность реализации математической модели на ЭВМ рассматривают через совокупность различного рода погрешностей.

Если классифицировать погрешности реализации «идеальной» модели на ЭВМ с точки зрения причин их возникновения (в качестве наиболее общего случая рассмотрим имитационное статистическое моделирование), можно выделить четыре их вида:

погрешности моделирования, являющиеся результатом незнания или неточного задания исходных даны;

погрешности моделирования, возникающие при упрощении исходной математической модели;

погрешности расчета выходных характеристик из-за дискретной реализации математической модели на используемой цифровой вычислительной машине, в том числе ошибки округления;

погрешности моделирования, обусловленные ограниченностью статистики при выборочной обработке статистической информации или ограниченным числом случайных испытаний модели на ЭВМ (имитации).

Как правило, погрешности моделирования представляют собой сумму систематических (неслучайных) и случайных ошибок. Рассмотрим отдельные группы погрешностей.

Погрешности моделирования, возникающие из-за неточного

задания исходных данных

Как указывалось ранее, входные факторы математической модели по своей природе можно разделить на управляемые переменные (выбираются исследователем), детерминированные, случайные и неопределенные факторы. Учет в модели даже очень большого числа детерминированных факторов не приводит к существенным вычислительным трудностям. Включение в модель случайных факторов на два-три порядка увеличивает объем вычислений. Увеличение числа переменных и неопределенных факторов с оптимизационных моделях также существенно увеличивает объемы вычислений по нахождению оптимальных решений. В ряде случаев их большая размерность не позволяет отыскать оптимальное решение в отведенное время.

Стремление уменьшить объем вычислений заставляет исследователя рассматривать менее существенные факторы этих групп как детерминированные, внося тем самым ошибки в результаты моделирования. Кроме того, неточность априорных сведений зачастую приводит к тому, что исходные данные в виде констант модели будут определены с ошибками. Поэтому помимо приближенного числового значения входного детерминированного (или рассматриваемого как детерминированный) фактора необходимо указывать также его предельную абсолютную погрешность (или доверительный интервал), определенную эвристически или с помощью известных методов математической статистики.

Для изучения влияния величины этих погрешностей на точность расчета характеристик функционирования объекта обычно применяют методы теории чувствительности, основанные на линеаризации исследуемой функции. Вычисляемые коэффициенты чувствительности функции по отношению к изменению соответствующего фактора характеризуют степень, с которой выходная характеристика подвержена изменениям при изменении интересующих исследователя входных факторов. Однако непосредственное получение уравнений чувствительности может натолкнуться на серьезные трудности, обусловленные большой размерностью вектора входных факторов. Поэтому на практике уравнения чувствительности составляют для небольшого числа факторов модели, наиболее значимо влияющих на точность определения выходных характеристик системы. Выбор значимых факторов проводится экспертными методами.

Погрешности упрощения исходной математической модели

При реализации математической модели на ЭВМ приходится решать задачи, связанные с упрощением исходной математической модели. Чаще всего исходную математическую модель упрощают в целях получения пусть приближенного, но аналитического решения, позволяющего быстро определить как область нахождения экстремума, так и влияния на нее расположение тех или иных факторов модели. Для решения подобных задач, как правило. Используют методы аппроксимации исходных элементов математической модели более простыми математическими зависимостями, например заменой нелинейных зависимостей линейными, полиномов высоких степеней полиномами низких степеней, негладких функций гладкими и т.д. Величина ошибки определяется степенью аппроксимации и в ряде случаев сравнительно легко может быть рассчитана.

Погрешность расчета выходных характеристик из-за дискретной

реализации математической модели на ЭВМ

Одним из видов ошибок дискретной реализации является погрешность округления за счет конечного числа разрядов ЭВМ. Погрешность округления возникает при делении, умножении, возведении в степень, в случае выполнения трансцендентных операций (таких, как логарифмирование), тогда неизбежно приходится ограничивать количество значащих цифр, т.е. производить округление промежуточных результатов.

Применяемые при решении моделей численные методы вносят погрешность, связанную с заменой бесконечного вычислительного процесса конечным и называемую погрешностью данного метода или методической ошибкой. Например, производная заменяется конечной разностью, интеграл – суммой и т.п. Эти погрешности обусловлены ошибками численного интегрирования дифференциальных уравнений, итерационных процедур поиска экстремума, решения системы алгебраических уравнений и многими другими ошибками, которые сопровождают процессы реализации математических моделей на ЭВМ. Погрешности этого вида изучаются в численных методах математического анализа и математического программирования, где выводятся их оценки, например остаточный член формулы квадратур, остаточный член интерполяционной формулы.

Замена непрерывных величин дискретными при численном исследовании процессов на ЭВМ также приводит к погрешностям, величина которых зависит от шага дискретизации. Количественную оценку составляющих этих погрешностей удается провести на уровне относительно автономных частей математической модели – модулей, реализующих данный численный метод. При разработке модулей стремятся выбрать такие методы дискретной реализации, которые на основании имеющихся сведений позволяют утверждать, что погрешности моделирования не будут превышать заданных величин. В процессе испытания модели справедливость этих априорных утверждений в ряде случаев можно проверить с использованием результатов проведенных экспериментов.

Погрешности, обусловленные ограниченностью объема

статистических данных

Этот тип погрешностей характерен для моделей, включающих в состав входов случайные факторы. В связи с тем, что на практике исследователь всегда имеет дело только с ограниченной статистической выборкой, форма и характеристики построенных на ее основе экспериментальных законов распределения будут отличаться от формы и характеристик законов распределения, соответствующих генеральной совокупности статистических данных. Величина ошибок этого рода будет в первую очередь зависеть от объема статистической выборки и в меньшей степени от выбранного метода сбора и обработки статистических данных.

Для имитационной статистической модели результирующая погрешность этого рода будет определяться как погрешностью определения законов распределения входных случайных факторов (зависит от объема экспериментальных данных о значениях случайных величин), так и погрешностью реализации этих законов распределения на ЭВМ (зависит от числа реализаций – прогонов модели на ЭВМ для различных значений случайных величин). Мерой их количественного выражения является величина доверительного интервала тех или иных характеристик экспериментального (для входных факторов) или полученного при моделировании на ЭВМ (для выходных факторов) закона распределения (средняя, эмпирический стандарт и т.д.). при использовании в математической модели регрессионных зависимостей погрешность моделирования будет определяться также доверительными интервалами для коэффициентов в уравнении регрессии (они также зависят от объема статистики).

Ошибки, обусловленные ограниченностью объема статистических данных являются контролируемыми в том смысле, что при необходимости они могут быть уменьшены за счет увеличения их объема. Безусловно, это приводит к увеличению затрат (либо на сбор информации, либо затрат машинного времени при реализации модели на ЭВМ), но в разумных пределах этим фактором можно пользоваться для уменьшения суммарной погрешности моделирования.

Расчет суммарной погрешности модели

Чтобы правильно просуммировать систематические и случайные ошибки, необходимо сначала их разделить. Затем систематические ошибки алгебраически суммируются для получения результирующей систематической ошибки для всех рассматриваемых компонентов. Так,

Случайные ошибки суммируются в обычном среднеквадратичном смысле:

Если при построении модели пренебрегают случайными факторами, учесть которые можно, но которые в целях упрощения включаются в модель детерминированными средними значениями, то соответствующая составляющая методической ошибки может быть вычислена по формуле

,

где
– среднеквадратичное отклонение неучитываемых входных факторов от средних значений;
- число неучитываемых случайных факторов;– коэффициент чувствительности целевой функции (или некоторой выходной характеристики) к изменению фактора.

Часто используемая аппроксимация результирующей ошибки, вызванной одновременным присутствием систематической и случайной ошибок, получается вычислением корня квадратного из суммы квадратов систематической и случайной компонент:

Необходимо имеет в виду, что изменение величин составляющих суммарной ошибки в тех случаях, когда они заметно меньше остальных, не приводит к существенному изменению суммарной ошибки. Поэтому, если модель является грубой, или часть информации, вводимой в модель, определена с большими ошибками, неизвестная информация также может быть установлена весьма приближенно. При построении модели следует стремиться к тому, чтобы все составляющие суммарной ошибки были примерно одного порядка.

Поиск компромиссного соотношения между случайными и систематическими ошибками практически всегда связан с анализом допустимых упрощений как исходных алгоритмов отдельных модулей, так и алгоритма их взаимодействия. При создании математической модели способы анализа возможных упрощений бывают различными, но главное – обеспечить расчеты в отведенное время и достичь при этом заданной точности расчета. Таким образом можно найти рациональную сложность модели, обеспечивающую минимальную величину суммарной погрешности при заданном машинном времени. Во всех случаях построения моделей следует выбирать оптимальное сочетание сложности модели (определяющей методическую ошибку) и метода расчета (определяющего ошибку расчета) с точностью входной информации.

Анализ результатов моделирования и оценка адекватности построенной модели позволяет сделать вывод о необходимости корректировки имеющейся модели и ее направлениях (учет новых факторов, переход от линейных зависимостей к более гибким нелинейным, замена статических моделей динамическими, учет стохастичности и т.д.).

Распределение допусков на управляемые переменные объекта

Как правило, время, стоимость и возможности построения объекта не позволяют требовать точного соответствия всех его управляемых переменных расчетным оптимальным значениям без каких-либо допусков. В реальных условиях вариации параметров объекта оказываются неизбежными из-за воздействия различных внешних условий, неучтенных моделью, постепенным их изменением на протяжении срока функционирования объекта. По этой причине «наилучшие» значения переменных должны выбираться с учетом влияния вариаций и допусков, а не для некоторых кратковременных «оптимальных» условий, которые могут быстро исчезнуть или практически ен существовать. Термин «допуск» употребляется для обозначения установленного допущения ошибки в параметре или каком-либо другом требовании и отражает максимально допустимую ошибку в противоположность действительной ошибке в каждом конкретном случае. Когда связь между изменение выходных характеристик и изменением переменных известна и известны допуски на характеристики, можно определить величины допуска на значения параметров:

,

где D E –допуск на выходную характеристику модели (например, критерий оптимальностиE ); устанавливается заказчиком в техническом задании на разработку математической модели
– суммарная погрешность модели при расчете выходной характеристикиE ;
– суммарный допуск по выходной характеристикеEна значение управляемых переменных .

Естественно, что проблема установления допусков возникает только в том случае, когда суммарная погрешность модели меньше величины допуска, т.е.
.

При распределении суммарного допуска
по управляемым переменным
необходимо ответить на два основных вопроса: как изменяется выходная характеристика при изменении каждой переменной, т.е. каков вид зависимостей
? Какова связь между допусками на отдельные переменный? Например, может ли изменение характеристики, вызванные одновременным переменных быть аппроксимировано суммой изменений, вызванных изменением каждой переменной с отдельности, т.е.
?

Обычно любым из пригодных методов (аналитическим, теории планирования экспериментов и т.п.) строят уравнения чувствительности относительно переменных моделей x i для интересующего исследователя диапазона их изменения:

. (4.9)

Зная коэффициенты чувствительности по переменным , определяют допуски по переменным
, для которых бы выполнялось равенство

. (4.10)

Выражение (4.10) не дает однозначного решения при определении величины допусков для отдельных переменных, а являются необходимым условием. Окончательно величины допусков выбираются исследователем эвристически, в том числе путем привлечения неформализуемой информации.

При разработке имитационных моделей в целях сокращения времени важно организовать работу так, чтобы программирование модулей в моделирующих алгоритмах велось параллельно и была уверенность в том, что точность описания процессов в модулях обеспечит требуемую точность расчета выходных характеристик всего объекта. При известных требованиях к точности значительно упрощается выбор метода моделирования и способов реализации операторов, описывающих процессы в отдельных модулях.

Для начальных этапов разработки модели в условиях неполной информации в литературе предлагается на основании оценки экспертов получить совокупность весовых коэффициентов
, определяющих распределение допуска выходной характеристики системыD E по каждомуr-му модулю:

.

Коэффициенты могут рассчитываться как суммы относительных ошибок оценки параметровx ir каждогоr-го модуля:

,

где n r – число параметров, описывающихr -й модуль.

В качестве факторов, входящих в формулу (4.10), могут быть использованы не только переменные, но и другие изменяющиеся или неточно определенные факторы, Далее по изложенной выше методике определяются погрешности по каждому модулю
, строятся уравнения чувствительности (4.9) и проводится распределение допусков на переменных по выражениям вида (4.10).

Дайте определение имитационной системы и имитационной модели как подкласса математических моделей. Приведите классификацию имитационных моделей и представьте их особенности.

Опишите основные этапы имитационного моделирования. В чем основная суть и содержание этапов имитационного моделирования: экспериментирование, интерпретация, трансляция модели, оценка адекватности

Дайте основные понятия моделирующего алгоритма и формализованной схемы процесса. Приведите и поясните структуру моделирующего алгоритма для оптимизационной модели со случайными факторами

В чем основная суть и содержание процедуры разработки формализованной схемы процесса

Приведите основные принципы и способы построения моделирующих алгоритмов

В чем суть и содержание метода имитации с использованием модели случайных входов?

В чем основная суть и содержание метода преобразования равномерно распределенных случайных чисел, базирующихся на центральной предельной теореме теории вероятности?

В чем суть и содержание метода имитации с использованием модели выхода – обработки реализации случайных величин?

Опишите основные положения теории оптимального эксперимента. В чем суть планирования экспериментов? Как осуществляется описание результирующих характеристик по результатам реализации планированного эксперимента?

Что такое полный факторный эксперимент? Приведите план и графическую интерпретацию эксперимента 2 n . Когда применяется план дробного факторного эксперимента?

Что Вы знаете о языках имитационного моделирования? Перечислите некоторые из известных языков.

Что такое адекватность и точность математической модели? Какие методы их оценки Вы знаете?

Из чего складывается погрешность моделирования? Перечислите основные погрешности моделирования и источники их возникновения.

Что Вы знаете о погрешностях моделирования, возникающих из-за неточности задания исходных данных?

Как возникают погрешности моделирования за счет упрощения исходной математической модели?

Опишите основные погрешности расчета выходных характеристик из-за дискретной реализации математической модели на ЭВМ

В чем суть погрешностей, обусловленных ограниченностью объемов исходных статистических данных?

Как осуществляется расчет суммарной погрешности математической модели?

Независимо от вида построенной модели динамического ряда решение о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления принимается только после того, как установлено качество данной модели. Качество модели временного ряда в статистических пакетах оценивается, как правило, по аналогии с парными и множественными регрессионными моделями с помощью двух дополняющих друг друга характеристик: а) адекватность; б) точность и надежность. Каждая из этих характеристик имеет несколько критериев.

Оценка адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому явлению или объекту, базируется на анализе ряда остатков (), выражающих отклонения расчетных значений зависимой переменной () от фактических (yt):

Модель считается адекватной, если остаточное отклонение временного ряда удовлетворяет свойствам случайной компоненты. Поэтому адекватность модели оценивается следующими критериями:

Случайность колебаний остаточных отклонений;

Нормальность распределения остатков;

Равенство математического ожидания уровней ряда остатков нулю;

Независимость значений уровней ряда остаточных отклонений.

При оценке адекватности функции тренда учитывается также коэффициент детерминации, получаемый для анализируемого ряда на основе данной функции.

Проверка случайности колебаний остаточных отклонений означает проверку правильности выбора вида тренда. Для данной проверки необходимо получить ряд остатков (6.55) функции тренда. Свойство этих уровней остатков (отклонений) анализируется с применением ряда непараметрических критериев.

В статистических пакетах программ АРМ СтОД, ОЛИМП и СтатЭксперт предусмотрен критерий серий, определяемый на основе медианы () ряда остатков. Здесь используется следующая схема вычислений.

Ряд остатков , упорядочивается по возрастанию значений, затем определяется медиана полученного вариационного ряда. Если ряд имеет четное количество (n) элементов, то медиана () равна срединному значению, а при нечетном n она определяется как средняя арифметическая из двух срединных значений ряда.

После данной процедуры все элементы исходного ряда (6.55) последовательно сравниваются с , при этом знак «+» ставится, если > , и знак «–», если < . При = для сравнения берется следующее значение Таким образом получаются последовательности, состоящие из знаков «+» и «–»; их общее количество не превышает n. Непрерывную последовательность подряд идущих знаков «+» или «–» принято называть серией.

Чтобы последовательность отклонений () считать случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть чрезмерно большой, а общее количество серий – слишком малым. Для количественного обоснования данного качественного умозаключения в статистике используются неравенства следующего вида (здесь квадратные скобки означают целую часть числа):

где Smax – протяженность самой длинной серии;

V – общее число серий.

Гипотеза о случайном характере () – отклонений фактических уровней временного ряда от рассчитанных по тренду подтверждается, если выполняются одновременно неравенства (6.56) и (6.57) для уровня значимости 0,05. В этом случае трендовая модель признается адекватной.

Если хотя бы одно из этих неравенств не соблюдается, гипотеза о случайности отклонений отвергается и трендовая модель признается неадекватной.

Другим критерием данной проверки является критерий поворотных точек. Остаток считается поворотной точкой, если < > , или > < . Общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначается через p.

Математическое ожидание числа точек поворота () и дисперсия () в случайной выборке выражаются следующими формулами:

где n – количество уровней временного ряда.

В качестве критерия случайности последовательности остатков с доверительной вероятностью 95% используется неравенство

Если данное неравенство соблюдается, то делается вывод о случайности колебаний уровней остаточной последовательности и трендовая модель считается адекватной.

В противном случае модель признается неадекватной.

Соответствие распределения ряда остатков нормальному закону проверяется приближенно: анализируются значения показателей асимметрии (А1) и эксцесса (E1), поскольку временные ряды экономического характера обычно не очень велики. Как известно, при нормальном распределении значения А1 = 0 и Е1 = 0.

Если одновременно выполняются неравенства применительно к эксцессу и асимметрии остатков тренда, то гипотеза о приближенном нормальном распределении уровней ряда остаточных отклонений принимается. В этом случае допустимо определение статистически достоверного доверительного интервала прогноза по данному тренду.

где максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

Среднеквадратическое отклонение остатков (ошибок).

Определяется из выражения

Из таблицы критических уровней RS - критерия при числе наблюдений n и уровне значимости α (обычно α = 0,05) определяются нижняя и верхняя границы уровней RS1, и RS2. Если расчетное значение критерия RSp попадает в интервал между этими критическими границами, т.е. RS1 < RSp < RS2, то гипотеза о нормальности распределения отклонения принимается с заданным уровнем значимости и модель тренда считается адекватной. В противном случае модель признается неадекватной.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется так же, как для пространственных данных, на основе t - критерия Стьюдента. Такая проверка требует, чтобы распределение значений было нормальным.

Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве нулю среднего значения ряда остаточных отклонений, т.е. . Вычисляется расчетное значение t - критерия (tр) по формуле

где – среднее значение уровней ряда остаточных отклонений ;

n – количество уровней ряда;

– стандартное (среднеквадратическое) отклонение для данной последовательности остатков , вычисляемое из выражения (6.61).

Определяется табличное значение t - критерия для заданного уровня значимости

Α (обычно α = 0,05 или 0,10) и при числе степеней свободы v = n - 1. Если tр > tт(α; v), то на уровне значимости а нулевая гипотеза отклоняется и трендовая модель считается неадекватной. В противном случае гипотеза о равенстве нулю математического ожидания последовательности случайных остаточных отклонений тренда принимается и модель признается адекватной.

В статистических пакетах среди характеристик остаточных отклонений тренда предусмотрено и вычисление среднего значения этих остатков (). Если = 0 или значение близко к нулю, то и без вычисления t - критерия можно судить о равенстве математического ожидания остатков тренда нулю.

Независимость значений уровней ряда остаточных отклонений устанавливается путем проверки наличия (отсутствия) существенной автокорреляции в остаточной последовательности тренда с помощью d - критерия Дарбина – Уотсона.

Поскольку полного однозначного соответствия статистической модели реальному процессу или явлению не бывает, в определенной мере адекватность – понятие условное. Поэтому, как следует из рассмотренных критериев, при моделировании экономических процессов имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам, которые принято считать существенными для исследования.

Точность и надежность модели характеризуют близость расчетных значений наблюдений к фактическим на периоде аппроксимации. При этом ряд характеристик модели оценивается с заданной доверительной вероятностью, определяющей надежность тех или иных статистических выводов.

Критериями оценки точности и надежности модели являются:

среднеквадратическое отклонение () или дисперсия () остатков;

средняя относительная ошибка аппроксимации;

коэффициенты парной корреляции, корреляционного отношения, детерминации;

существенность уравнения по F - критерию с заданной вероятностью (р);

значимость коэффициентов регрессии по F - критерию с вероятностью (р).

Все перечисленные критерии для трендов вычисляются по аналогии с парными и множественными регрессиями с применением указанных формул и имеют одинаковую интерпретацию. Заметим, что для трендов оценка значимости коэффициентов регрессии используется в меньшей степени из-за включения в модель одного-единственного фактора времени (t). Эти оценки имеют значение для полиномов высоких степеней, так как каждая степень (t2, t3 и т.д.) рассматривается как самостоятельная независимая переменная.

Поиск материалов:

Количество Ваших материалов: 0.

Добавьте 1 материал

Свидетельство
о создании электронного портфолио

Добавьте 5 материала

Секретный
подарок

Добавьте 10 материалов

Грамота за
информатизацию образования

Добавьте 12 материалов

Рецензия
на любой материал бесплатно

Добавьте 15 материалов

Видеоуроки
по быстрому созданию эффектных презентаций

Добавьте 17 материалов

Оценка качества имитационной модели
Оценка качества модели является завершающим этапом ее разработки и преследует две
цели:
1) проверить соответствие модели ее предназначению (целям исследования);
2) оценить достоверность и статистические характеристики результатов, получаемых при
проведении модельных экспериментов.

При аналитическом
основными факторами:
моделировании достоверность результатов определяется двумя
1) корректным выбором математического аппарата, используемого для описания
исследуемой системы;
2) методической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном
дополнительных факторов, основными из которых являются:
моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд
моделирование случайных факторов, основанное на использовании датчиков СЧ,
которые могут вносить «искажения» в поведение модели;
наличие нестационарного режима работы модели;
использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной
модели;
зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;
необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели;
наличие модели рабочей нагрузки, качество которой зависит, в свою очередь, от тех же
факторов.
Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характеризуется
тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами. Основными из
них являются:
адекватность;
устойчивость;

Чувствительность.

Оценка адекватности модели. В общем случае под адекватностью понимают степень
соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она
строится. Адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько
реальному объекту, сколько целям исследования.
Один из способов обоснования адекватности разработанной модели ­ использование
методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке
выдвинутой гипотезы (в данном случае ­ об адекватности модели) на основе некоторых
статистических критериев.
Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов
экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее
распространенные из них:
по средним значениям откликов модели и системы;
по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего
значения откликов системы;

По максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов
системы.
Оценка устойчивости модели. Устойчивость модели ­ это ее способность сохранять
адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне
рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы. Разработчик
вынужден прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому
смыслу. Часто бывает полезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении
результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее
изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости
модели возрастает.
Чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем
устойчивее модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена
методами математической статистики .
Оценка чувствительности модели. Достаточно часто возникает задача оценивания
чувствительности модели к изменению параметров рабочей нагрузки и внутренних
параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру
что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Одна из наиболее
простых и распространенных процедур оценивания состоит в следующем.
в отдельности. Основана она на том,
1) вычисляется величина относительного среднего приращения параметра
:
2) проводится пара модельных экспериментов при значениях
средних фиксированных значениях остальных параметров. Определяются значения
,
и
отклика модели
и
;
3) вычисляются ее относительное приращение наблюдаемой переменной
:
В результате для
характеризующую чувствительность модели по этому параметру.
­го параметра модели имеют пару значений
,
Аналогично формируются пары для остальных параметров модели, которые образуют
множество
.
Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в
частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем
параметрам, по которым модель является более чувствительной.
Калибровка модели. Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось,
что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить ее
калибровку, т. е. коррекцию с целью приведения в соответствие предъявляемым
требованиям.
Как правило, процесс калибровки носит итеративный характер и состоит из трех
основных этапов :
1) глобальные изменения модели (например, введение новых процессов, изменение типов
событий и т. д.);

2) локальные изменения (в частности, изменение некоторых законов распределения
моделируемыхслучайных
величин);

3) изменение специальных параметров, называемых калибровочными.
Целесообразно объединить оценку целевых свойств имитационной модели и ее калибров­
ку в единый процесс.
Процедура калибровки состоит из трех шагов, каждый из которых является итеративным
(рис. 1.11).
Шаг 1. Сравнение выходных распределений.
Цель - оценка адекватности ИМ. Критерии сравнения могут быть различны. В частности,
может использоваться величина разности между средними
значениями откликов модели и
системы. Устранение различий на этом шаге основано на внесении глобальных изменений.

Шаг 2. Балансировка модели.
Основная задача - оценка устойчивости и чувствительности модели. По его результатам,
как правило, производятся локальные изменения (но возможны и глобальные).
Шаг 3. Оптимизация модели.
Цель этого этапа - обеспечение требуемой точности результатов. Здесь возможны три
основных направления работ: дополнительная проверка качества датчиков
случайных
чисел; снижение влияния переходного режима; применение специальных методов
понижения дисперсии.
Оценка адекватности модели является основной задачей машинного
моделирования.

Оценка адекватности модели включает решение двух вопросов: 1 ­ адекватна ли модель
объекту.

полученные на ЭВМ с экспериментальными, еальную машину можно сравнить с
идеализированной.
Для оценки адекватности модели реальному объекту следует сравнить результаты,
полученные на ЭВМ, с экспериментальными.
Второй метод оценки адекватности модели состоит в проверке исходных
предположений, и третий ­ в проверке преобразований информации от входа к выходу.
Последние два метода могут привести к необходимости использовать статистические
выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный анализ,
регрессионный анализ, факторный анализ, спектральный анализ, автокорреляцию, метод
проверки с помощью критерия хи­квадрат и непараметрические проверки. Поскольку
каждый из этих статистических методов основан на некоторых допущениях, то при
использовании каждого из них возникают вопросы, связанные с оценкой адекватности.
Некоторые статистические испытания требуют меньшего количества допущений, чем
другие, но в общем эффективность проверки убывает по мере того, как исходные
ограничения ослабляются.
В любом случае оценка адекватности модели реальному объекту оценивается по
близости результатов расчетов экспериментальным данным. Методы оценки адекватности
можно разделить на субъективные и объективные, в последнем случае оценка адвоатнооти
приводится независимо от исследователя.
Линейная регрессия для данных.
ИРКУТ1 и ИРКУТ2.
Важным элементом анализа является оценка адекватности модели.

ошибочных заключений.
На заключительном четвертом этапе прогнозирования производится оценка
адекватности модели реальным процессам и достоверности получаемой прогнозной
информации. При этом могут использоваться различные методы.
Кроме / ­ критерия, для оценки адекватности модели необходимо знать величину
множественного коэффициента корреляции.
Решение задачи идентификации необходимо, следовательно, и для оценки адекватности
модели.
Задача моделирования сводится к нахождению регрессии bj, Ц и оценке адекватности
модели в соответствии с определенными правилами.
Ниже будут рассмотрены вопросы построения моделей, связанные с идентификацией
и оценкой адекватности модели при наличии экспериментальных данных.
При статистическом анализе полученных результатов эксперимента обычно проводится
оценка дисперсии воспроизводимости, определяется значимость коэффициентов
регрессии и дается оценка адекватности модели.
Степень детализации математических моделей процессов полимеризации существенно
определяется объемом и качественным составом эмпирической информации,
используемой для идентификации и оценки адекватности модели.
После вычисления коэффициентов регрессии переходят к статистическому анализу
уравнения регрессии, который состоит из трех основных этапов: 1) оценка дисперсии
воспроизводимости (или оценка ошибки опыта), 2) оценка значимости коэффициентов
уравнения регрессии и 3) оценка адекватности модели.
Уравнения связи представляют собой систему алгебраических линейных и нелинейных
уравнений, которая включает уравнения материально­тепловых балансов процесса,
физико­химические и экспериментально полученные зависимости. Оценка адекватности
модели и объекта производится путем сравнения основных рассчитанных выходных
величин со значением, измеряемым непосредственно на объекте. В случае неадекватности
модели происходит корректировка модели.

Для оценки адекватности модели использованы данные дополнительных экспериментов
при сопоставлении по значениям степени конверсии и молекулярной массы. По F­
критерию доказана адекватность такой модели.
Таким образом, вопрос оценки адекватности модели имеет две стороны: приобретение
уверенности в том, что модель ведет себя таким же образом, как и реальная система;
установление того, что выводы, полученные из экспериментов с моделью, справедливы и
корректны. Оба эти момента в совокупности сводятся к обычной задаче нахождения
равновесия между стоимостью каждого действия, связанного с оценкой адекватности
модели, ценностью получаемой все в больших количествах информации и последствиями
ошибочных заключений.
Поскольку имитационный эксперимент предлагается начинать с формулировки
проблемы, а не с изучения моделируемого процесса, то основное внимание уделяется
проблеме планирования эксперимента, оценке адекватности модели, методам
статистической обработки результатов эксперимента.
В пособии изложены ключевые понятия и математические модели элементов
измерительного процесса; подробно рассмотрены методы и алгоритмы расчета
характеристик погрешности в статическом и динамическом режима измерения. Большое
внимание уделено многократным измерениям как эффективному способу обеспечения
единства измерений относительно погрешности результата измерения; приводятся
оптимальные алгоритмы обработки многократных измерении постоянных и переменных
величин, а также алгоритмы оценки адекватности моделей этих величин и качества
изделий с использованием алгоритмических шкал нглменований и порядка.
Изложены ключевые понятия и математические модели элементов измерительного
процесса; подробно рассмотрены методы и алгоритмы расчета характеристик
погрешности в статическом и динамическом режимах измерения. Большое внимание
уделено многократным измерениям, как эффективному способу обеспечения единства
измерений относительно погрешности результата измерения; приводятся оптимальные
алгоритмы обработки многократных измерений постоянных и переменных величин, а
также алгоритмыоценки адекватности моделей этих величин и качества изделий с
использованием алгоритмических шкал наименований и порядка.

данных, по результатам которого и проводится коррекция математических моделей
Следует отметить, что получение достаточно полного объема экспериментальных данных
во многих случаях представляется сложной задачей и может служить источником
ошибок, если не принять соответствующих мер по проверке их корректности.
Коррекция математической модели процесса ректификации проводится на основе
экспериментальных данных о моделируемом процессе. В качестве таких данных чаще
всего используются значения концентраций компонентов разделяемой смеси по высоте
колонного аппарата в паровой и жидкой фазах, значения температур на ступенях
разделения, а также составы продуктов разделения. При этом под оценкой адекватности
модели объекта моделирования понимается сравнение расчетных и экспериментальных
данных, по результатам которого и проводится коррекция математических моделей.
Получение достаточно полного объема экспериментальных данных во многих случаях
представляется сложной задачей и может служить источником ошибок, если не принять
соответствующих мер по проверке их корректности.
Свойство плана, задающееся разностью между числом точек спектра плана и числом
оцениваемых параметров, называется насыщенностью плана. План, в котором число точек
спектра плана совпадает с числом оцениваемых параметров, называется насыщенным
планом. Если применять насыщенные планы, то для регрессионного анализа (оценка
адекватности модели, дисперсии и доверительного интервала коэффициентов
регрессии) необходимо проведение дублирующих опытов.
Зависимость функции интенсивности от
безразмерного времени для систем с
застойной зоной и байпаси.
Так, например, в простейшем: случае, когда математическая модель процесса

измеряемых переменных может быть включено в выражение (VII.26), тем точнее оценка
адекватности модели реальному процессу.
разрабатывается при изучении влияния условий разделения на характеристики конечных
продуктов, наибольшие значения весовых коэффициентов принимаются для переменных,
которые представляют в модели эти характеристики. Естественно, что чем больше

Так, например, в простейшем случае, когда математическая модель процесса
разрабатывается при изучении влияния условий разделения на характеристики конечных
продуктов, наибольшие значения весовых коэффициентов принимаются для переменных,
которые представляют в модели эти характеристики. Естественно, что чем больше
измеряемых переменных может быть включено в выражение (11 72), тем точнее
производится оценка адекватности модели реальному процессу.
Так, например, в простейшем случае, когда математическая модель процесса
разрабатывается при изучении влияния условий разделения на характеристики конечных
продуктов, наибольшие значения весовых коэффициентов принимаются для переменных,
которые представляют в модели эти характеристики. Естественно, что чем больше
измеряемых переменных может быть включено в выражение (11 43), тем точнее
производится оценка адекватности модели реальному процессу.
Так, например, в простейшем случае, когда математическая модель процесса
разрабатывается при изучении влияния условий разделения на характеристики конечных
продуктов, наибольшие значения весовых коэффициентов принимаются для переменных,
которые представляют в модели эти характеристики. Естественно, что чем больше
измеряемых переменных может быть включено в выражение (11 81), тем точнее
производится оценка адекватности модели реальному процессу.
Так, например, в простейшем случае, когда математическая модель процесса
разрабатывается при изучении влияния условий разделения на характеристики конечных
продуктов, наибольшие значения весовых коэффициентов принимаются для переменных,
которые представляют в модели эти характеристики. Естественно, что чем больше
измеряемых переменных может быть включено в выражение (11 72), тем точнее
производится оценка адекватности модели реальному процессу.
К третьей группе относятся модели, построенные с учетом упругости, сжимаемости
жидкости, инерционности нескольких масс, зазоров. Они позволяют добиться хорошего

совпадения с экспериментом по силовым параметрам переходных процессов, ускорениям,
мощностям, моментам во всем диапазоне нагрузок. Показатели качества, по которым
имеется статистический материал для многих типов поворотных устройств ­ К, ЛГ0, Кк,
ам, Ая , служат не только для оценки адекватности модели, но и для выделения
допустимой области изменения ее параметров.
Оценка адекватности модели является основной задачей машинного моделирования.
Исследование системы на неадекватной модели вообще теряет смысл. Оценка
адекватности модели является непременным этапом моделирования. Этап, включающий
такую оценку, сам по себе может представлять большую и сложную задачу.
Полная математическая модель включает в себя связь между основными переменными
технологического процесса в стационарном и нестационарном режимах, технологические,
экономические и прочие ограничения на процесс; для сложных систем в нее часто
включают критерий оптимальной работы. Последний может быть простым, если
экстремум находится изменением одной переменной, и сложным, если он находится из
условий, заданных также и на ряд других величин. Однако любое математическое
описание является лишь приближением к реальному процессу. Поэтому при его
использовании возникает задача оценки адекватности модели и необходимости ее
коррекции.
Любая модель является лишь приближенным отражением реального процесса. В
зависимости от степени изученности конкретного процесса возможно создание модели, с
большей или меньшей степенью точности воспроизводящей поведение моделируемого
объекта. Поскольку при разработке математических моделей приходится так или иначе
использовать приближенные данные о возможных величинах некоторых параметров
уравнений модели, возникает задача оценки адекватности модели и при необходимости
ее коррекции.
Другой метод проверки адекватности основан на контрольных задачах, использующих
данные реальной системы. Он применим в тех случаях, когда мы располагаем реальными
входными и выходными данными, связанными функциональным соответствием.
Бесспорно, такой способ проверки адекватности является самым лучшим, хотя и более
сложным. Сложность и трудоемкость этого способа проверки модели объясняется
необходимостью получения характеристик реальной системы. Оценка адекватности
модели на реальных данных лучше всего убеждает разработчика в плодотворности его
усилий и дает представление о качестве модели.
Оценка созданной модели прежде всего предполагает проверку модели на некоторых
специфических этапах разработки методом сравнения с ее предыдущим состоянием.

Логическая блок­схема при этом сравнивается с принципиальной структурой модели.
Программная блок­схема проверяется на адекватность с логической блок­схемой. Далее
проверяется соответствие между программой и программной блок­схемой. После
сопоставления программы с программной блок­схемой весьма полезно для оценки
адекватности моделиприменить метод контрольных задач. Контрольные задачи, или
контрольные варианты, могут быть подготовлены независимо от реализации модели и
затем использованы для проверки модели в целом. Совпадение результатов
моделирования и контрольных вариантов при одинаковых входных данных
свидетельствует об адекватности и корректности модели в отношении задач данного
типа.
Моделирование систем
4.1. Основные понятия моделирования
Модель ­ объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных
условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для
изучения оригинала или воспроизведения его каких ­ либо свойств. Модель ­ результат
отображения одной структуры на другую. Отображая физическую систему (объект) на
математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получим
физико ­ математическую модель системы или математическую модель физической
системы. В частности, физиологическая система ­ система кровообращения человека,
подчиняется некоторым законам термодинамики и описав эту систему на физическом
(термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель
физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке,
например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим
математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать
физиолого ­ физико ­ математической моделью или физико ­ математической моделью.
Модели, если отвлечься от областей, сфер их применения, бывают трех типов:
познавательные, прагматические и инструментальные.
Познавательная модель ­ форма организации и представления знаний, средство
соединение новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется
под реальность и является теоретической моделью.
Прагматическая модель ­ средство организации практических действий, рабочего
представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под
некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.
Инструментальная модель ­ является средством построения, исследования и/или

использования прагматических и/или познавательных моделей.
Познавательные отражают существующие, а прагматические ­ хоть и не
существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.
По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические ­ на основе
эмпирических фактов, зависимостей, теоретические ­ на основе математических
описаний и смешанные, полуэмпирические ­ использующие эмпирические зависимости
и математические описания.
Математическая модель М описывающая ситему S (x1,x2,...,xn; R), имеет
вид: М=(z1,z2,...,zм; Q), где zяÎZ, i=1,2,...,n, Q, R ­ множества отношений над X ­
множеством входных, выходных сигналов и состояний системы и Z ­ множеством
описаний, представлений элементов и подмножеств X, соответственно.
Основные требования к модели: наглядность построения; обозримость основных его
свойств и отношений; доступность ее для исследования или воспроизведения; простота
исследования, воспроизведения; сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с
точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой
информации.
Проблема моделирования состоит из трех задач:
 построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том
смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
 исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы
исследования различных классов моделей);
 использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Модель М называется статической, если среди xя нет временного параметра t.
Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" сиcтемы, ее
срез.
Модель ­ динамическая, если среди xi есть временной параметр, т.е. она отображает
систему (процессы в системе) во времени.
Модель ­ дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные
моменты времени.
Модель ­ непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов

времени из некоторого промежутка времени.
Модель ­ имитационная, если она предназначена для испытания или изучения,
проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования
некоторых или всех параметров xя модели М.
Модель ­ детерминированная, если каждому входному набору параметров
соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных
параметров; в противном случае ­ модель недетерминированная, стохастическая
(вероятностная).
Можно говорить о различных режимах использования моделей ­ об имитационном
режиме, о стохастическом режиме и т. д.
Модель включает в себя: объект О, субъект (не обязательный) А, задачу Z,
ресурсы B, среду моделирования С: М=.
Свойства любой модели таковы:
 конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений
и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
 упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;
 приблизительность: действительность отображается моделью грубо или
приблизительно;
 адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;
 информативность: модель должна содержать достаточную информацию о
системе ­ в рамках гипотез, принятых при построении модели.
Жизненный цикл моделируемой системы:
1. Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
2. Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
3. Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей,
сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;
4. Исследование модели ­ выбор метода исследования и разработка алгоритма
(программы) моделирования;

5. Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;
6. Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
7. Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых
причинно ­ следственных связей в исследуемой системе;
8. Генерация отчетов и проектных (народно ­ хозяйственных) решений;
9. Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой
системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.
Основными операциями над используемыми моделями являются:
1. Линеаризация. Пусть М=М(X,Y,A), где X ­ множество входов, Y ­ выходов, А ­
состояний системы. Схематически можно это изобразить:
X ® В ® Y
Если X, Y, ­ линейные пространства (множества), а j, y ­ линейные операторы, то система
(модель) называется линейной. Другие системы (модели) ­ нелинейные. Нелинейные
системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют ­ сводят к
линейным каким­то образом.
2. Идентификация. Пусть М=М(X,Y,A), A={aя }, я=(i1,ai2,...,aik) ­ вектор состояния
объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров,
то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по
некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным,
характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация ­
решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей,
описывающих адекватно поведение реальной системы.
3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели
(моделям) меньшей размерности (X, Y, A).
4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы
(подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и
подсистем другим.
5. Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей
поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно
связанных и устойчивых).

6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной
связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей
упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход
подмоделей сохранены).
7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования
опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или
моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем
исследуемой системы.
8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью
модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний
системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь
является компьютер (и модель!).
Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным
направлениям.
1. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).
2. Познание и разработка теории исследуемых систем ­ с помощью каких ­ то
моделей, моделирования, результатов моделирования.
3. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).
4. Управление (системой в целом, отдельными подсиситемами системы, выработка
управленческих решений и стратегий).
5. Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).
В базовой четверке информатики: "модель ­ алгоритм ­ компьютер ­ технология" при
компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа),
компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера,
компьютерные технологии).
Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально
записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования;
аналогично и в когнитивной графике.
Основные функции компьютера при моделировании систем:
 выполнять роль вспомогательного средства для решения задач, решаемых
обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями;

 выполнять роль средства постановки и решения новых задач, не решаемых
традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;
 выполнять роль средства конструирования компьютерных обучающе ­
моделирующих сред;
 выполнять роль средства моделирования для получения новых знаний;
 выполнять роль "обучения" новых моделей (самообучающиеся модели).
Компьютерное моделирование ­ основа представления знаний в ЭВМ (построения
различных баз знаний). Компьютерное моделирование для рождения новой информации
использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ.
Разновидностью компьютерного моделирования является вычислительный
эксперимент.
Компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент становится новым
инструментом, методом научного познания, новой технологией также из­за
возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических
моделей систем.
Компьютерное моделирование, от постановки задачи ­ до получения результатов,
проходит следующие этапы.
1. Постановка задачи.
a. Формулировка задачи.
b. Определение цели моделирования и их приоритетов.
c. Сбор информации о системе, объекте моделирования.
d. Описание данных (их структуры, диапазона, источника и т. д.).
2. Предмодельный анализ.
a. Анализ существующих аналогов и подсистем.
b. Анализ технических средств моделирования (ЭВМ, периферия).
c. Анализ программного обеспечения(языки программирования, пакеты
программ, инструментальные среды).
d. Анализ математического обеспечения(модели, методы, алгоритмы).

3. Анализ задачи (модели).
a. Разработка структур данных.
b. Разработка входных и выходных спецификаций, форм представления
данных.
c. Проектирование структуры и состава модели (подмоделей).
4. Исследование модели.
a. Выбор методов исследования подмоделей.
b. Выбор, адаптация или разработка алгоритмов, их псевдокодов.
c. Сборка модели в целом из подмоделей.
d. Идентификация модели, если в этом есть необходимость.
e. Формулировка используемых критериев адекватности, устойчивости и
чувствительности модели.
5. Программирование (проектирование программы).
a. Выбор метода тестирования и тестов (контрольных примеров).
b. Кодирование на языке программирования(написание команд).
c. Комментирование программы.
6. Тестирование и отладка.
a. Синтаксическая отладка.
b. Семантическая отладка (отладка логической структуры).
c. Тестовые расчеты, анализ результатов тестирования.
d. Оптимизация программы.
7. Оценка моделирования.
a. Оценка средств моделирования.
b. Оценка адекватности моделирования.
c. Оценка чувствительности модели.

d. Оценка устойчивости модели.
8. Документирование.
a. Описание задачи, целей.
b. Описание модели, метода, алгоритма.
c. Описание среды реализации.
d. Описание возможностей и ограничений.
e. Описание входных и выходных форматов, спецификаций.
f. Описание тестирования.
g. Описание инструкций пользователю.
9. Сопровождение.
a. Анализ использования, периодичности использования, количества
пользователей, типа использования (диалог, автономно и др.), анализ
отказов во время использования модели.
b. Обслуживание модели, алгоритма, программы и их эксплуатация.
c. Расширение возможностей: включение новых функций или изменение
режимов моделирования, в том числе и под модифицированную среду.
d. Нахождение, исправление скрытых ошибок в программе, если таковые
найдутся.
10.Использование модели.
Лабораторная работа №6
4.2. Модели и моделирование систем
Математическое и компьютерное моделирование.
Данный период характерен необходимостью моделирования различных социально­
экономических процессов и систем и принятия решений на основе результатов
моделирования, ибо такие системы и процессы достаточно сложны, многогранны,

динамичны, подвержены случайным воздействиям. Достаточно интенсивно
моделируются сейчас такие социально­экономические процессы, как демографические
(например, эволюция и цикличность), социальные (например, поведение социальных
групп, социальных последствий тех или иных решений), экономические (например,
рыночные отношения, налоговые сборы, риски), гуманитарные (например, воздействие
на человека информационного потока) и др. Приведём пример математического
моделирования некоторой системы (полный жизненный цикл моделирования).Решение
поставленной задачи разобьем на этапы, в соответствии с этапами жизненного цикла
моделирования, объединяя для удобства некоторые этапы для удобства и краткости
изложения.
Этап 1. Содержательная постановка задачи
Современное производство характеризуется тем, что некоторая часть производимой
продукции (в стоимостном выражении) возвращается в виде инвестиций (т.е. части
конечной продукции, используемой для создания основных фондов производства) в
производство. При этом время возврата, ввода в оборот новых фондов может быть
различной для различного рода производства. Необходимо промоделировать данную эту
ситуацию и выявить динамику изменения величины основных фондов производства
(капитала).
Сложность и многообразие, слабая структурированность и плохая формализуемость
основных экономических механизмов, определяющих работу предприятий не позволяют
преобразовать процедуры принятия решений в экономической системе в полностью
эффективные математические модели и алгоритмы прогнозирования. Поэтому часто
эффективно использование простых, но гибких и надёжных процедур принятия
решения.
Рассмотрим одну такую простую модель. Эта модель будет полезна для прогноза
событий и связанных с ними социально­экономических процессов.
Этап 2. Формулировка гипотез, построение, исследование модели
Структура производства и сбыта часто зависит от изменений в окружающей среде
(социально­экономических условий).
Динамика изменения величины капитала определяется, в основном, в нашей модели,
простыми процессами производства и описывается так называемыми обобщенными
коэффициентами амортизации (расхода фондов) и потока инвестиций (часть конечного
продукта, используемого в единицу времени для создания основных фондов). Эти

коэффициенты ­ относительные величины (за единицу времени). Необходимо
разработать и исследовать модель динамики основных фондов. Считаем при этом
допустимость определённых гипотез, определяющих рассматриваемую систему
производства.
Пусть x(t) ­ величина основных фондов (капитала) в момент времени t, где 0 £ t £ N.
Через промежуток времени Dt она будет равна x(t+Dt).
Абсолютный прирост равен
Относительный прирост будет равен
Примем следующие гипотезы:
1. социально­экономические условия производства достаточно хорошие и
способствуют росту производства, а поток инвестиций задается в виде известной
функции y(t);
2. коэффициент амортизации фондов считается неизменным и равным m и при
достаточно малом Dt изменение основных фондов прямо пропорционально
текущей величине капитала, т.е.
Считая Dt ® 0, а также учитывая определение производной, получим из предыдущего
соотношения следующее математическое выражение закона изменения величины
капитала ­ математическую модель (уравнение) динамики капитала (такие уравнения
называются дифференциальными):
где х(0) ­ начальное значение капитала в момент времени t=0.
Эта величина х0 везде в дальнейшем будет считаться заданной. Эта простейшая
модель динамики величины капитала.
Эта простейшая модель не отражает того факта, что социально­ экономические
ресурсы производства таковы, что между выделением инвестиций и их введением и
использованием в выпуске новой продукции проходит некоторое время ­ лаг. Учитывая

это можно записать модель (1) в виде:
Данной непрерывной, дифференциальной, динамической модели можно поставить в
соответствие простую дискретную модель:
где n ­ предельное значение момента времени при моделировании. Эта дискретная
модель получается из непрерывной при Dt=1, а также заменой производной x"(t) на
относительное приращение Dt (замена, как это следует из определения производной,
справедлива при малых Dt).
Этап 3. Построение алгоритма и программы моделирования
Рассмотрим для простоты режим моделирования когда m, c, y ­ известны и
постоянны, а также рассмотрим наиболее простой алгоритм моделирования в
укрупнённых шагах.
1. Ввод входных данных для моделирования:
с=х(0) ­ начальный капитал;
n ­ конечное время моделирования;
m ­ коэффициент амортизации;
s ­ единица измерения времени;
y ­ инвестиции.
2. Вычисление xi от i=1 до i=n по рекуррентной формуле (2).
3. Поиск стационарного состояния ­ такого момента времени j, 0<=j<=n, начиная с
которого все хj, хj+1,...,хn постоянны или изменяются на малую допустимую
величину e>0.
4. Выдача результатов моделирования и, по желанию пользователя, графика.
Приведём программу на Паскале для имитационного моделирования (компактность
программы «принесена в жертву» структурированности).
PROGRAM MODFOND; {Исходные данные находятся в файле in.dat текущего
каталога} {Результаты записываются в файл out.dat текущего каталога} Uses Crt,
Graph, Textwin; Type Vector = Array of Real; Mas = Array of

LongInt; Var Time,Lag,t,dv,mv,i,yi,p: Integer; tmax,tmin: LongInt;
a,b,m,X0,maxx,minx,aa,bb,cc,sx,tk: Real; x: Vector; ax,ay
: Mas; ch: Char; f1,f2: Text;
{­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­} Procedure InputKeyboard;
{ Ввод с клавиатуры } Begin OpenWindow(10,5,70,20," Ввод данных ",14,4); ClrScr;
WriteLn; WriteLn("Введите время Т прогнозирования системы:"); Repeat Writeln("Для
удобства построения графика введите Т не меньше 2"); Write("Т ="); ReadLn(Time);
until Time>=2; WriteLn("Введите лаг:"); Repeat Write("Лаг должен быть строго меньше
Т ­ "); ReadLn(Lag); until Lagmaxx then begin maxx:=x[t]; tmax:=t; end else if x[t]
Этап 4. Проведение вычислительных экспериментов
Эксперимент 1. Поток инвестиций постоянный и в каждый момент времени равен
111. В начальный момент капитал ­ 1000 руб. Коэффициент амортизации ­ 0.0025.
Построить модель динамики (посуточно) и найти величину основных фондов через 50
суток, если лаг равен 10 суток.
Эксперимент 2. Основные фонды в момент времени t=0 была равны 50000. Через
какое время общая их сумма превысит 1200000 руб., если поток инвестиций постоянный
и равен 200, а m=0.02, T=5?
Этап 5. Модификация (развитие) модели
Для модели динамики фондов с переменным законом потока инвестиций:
а) построить гипотезы, модель и алгоритм моделирования;
б) сформулировать планы вычислительных, компьютерных экспериментов по модели;
в) реализовать алгоритм и планы экспериментов на ЭВМ.
Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты
Рассмотрим следующую модель течения эпидемии. Пусть существует группа
из n контактирующих индивидуумов, в которой в момент
времени t имеется x восприимчивых индивидуумов, y ­ источников инфекции и z ­
удаленных (изолированных или выздоровевших и ставших невосприимчивыми к
инфекции) индивидуумов. Таким образом, имеем: x+y+z=n.
Определим исходные параметры системы: b - частота контактов между членами
группы; g - частота случаев удаления; m - скорость пополнения восприимчивых
индивидуумов извне (она же и есть скорость гибели индивидуумов, удаленных из
популяции); y* - критическое значение, при котором начинается эпидемия.

После какой - либо одной вспышки эпидемии, в результате которой плотность
восприимчивых индивидуумов упадет ниже критического значения y*, наступает период
относительного затишья, длящийся до тех пор, пока снова не будет достигнуто
критическое значение y* и не возникнет новая вспышка. За время Dt группа
восприимчивых индивидуумов, с одной стороны, уменьшается на b xy Dt за счет
заражения части из них, а с другой - увеличивается на n Dt.
При t=0 заданы x(0)=x0, y(0)=y0, z(0)=z0 ­ число восприимчивых, инфекционных и
удаленных индивидуумов соответственно.
Рассматривается промежуток времени t (0 £ t £ T). При малых Dt=1 (например,
минута) получим соотношения (дискретную модель):
Приведём результаты проведённых вычислительных экспериментов.

Первые два случая демонстрируют периодичность эпидемии. В последнем примере
имеет место случай стационарного состояния, т.е. после некоторого момента
времени t количества индивидуумов в группах x, y, z остаются постоянными.
Программу компьютерного моделирования и вычислительные эксперименты

реализовали студентки математического факультета КБГУ Буздова Асият и Мильман
Евгения.
Компьютерное моделирование.
Рассмотрим проблему расчета влажности почвы с учетом накапливаемой биомассы и
прогнозирования урожайности сельхозкультур по заданной (экологически
обоснованной) влагообеспеченности корнеобитаемого слоя почвы. Разработать
соответствующую компьютерную моделирующую среду, которая позволяет решать
задачи прогноза влажности корнеобитаемого слоя почвы и урожайности (биомассы)
сельхозкультур на заданный момент времени с развитыми интерфейсными средствами,
рассчитанными на неподготовленного пользователя­агронома, эколога и др. Опишем
одну такую программную среду, реализованную реально в среде Delphi 2.0 Windows 95
автором и студентами КБГУ Кирьязевой С.К. и Кирьязевым Д.А. для расчета
влажности почвы и определения урожайности сельхозкультур. Общение с пользователем
осуществляется с помощью диалогового окна “Расчет влажности и урожайности”,
содержащего 5 страниц: “Эксперимент”, “С/х культура”, “Регион”, “Рабочая” и
“Результат”.
Страница “С/х культура”­ для ввода входной информации по культуре.
Страница “Регион” ­ для ввода информации по региону эксперимента.

Страница “Эксперимент” выглядит следующим образом.
Данная страница предназначена для ввода названия эксперимента, выбора названия
культуры из списка имеющихся (которые были введены на странице “С/х культура”),
региона проведения эксперимента из списка регионов, введенных на странице “Регион”,
ввода даты посева культуры и даты снятия урожая, для ввода данных по величинам,
зависящим от вида культуры, типа почв (по фазам вегетации). Предусмотрена

возможность выбора: вычислять ли значения коэффициентов e и l или же рассматривать
их как постоянные величины? После заполнения страницы “Эксперимент”, можно
произвести расчет влажности почвы и прогноз урожайности культуры. Для этого
достаточно лишь нажать кнопку “Произвести расчет” на странице “Эксперимент”.
После этого автоматически раскрывается страница “Результат” с таблицей
рассчитанных величин и выводится график зависимости влажности почвы от времени (1
­ синим цветом), накопления биомассы растений от времени при вычисленной влажности
(2 ­ зеленым цветом) и оптимального развития растений ­ по экспериментальным данным
за прошлый год (3 ­ красным цветом).
Страница “Рабочая” ­ для визуального анализа расчётных величин.

Были проведены вычислительные эксперименты для двух сельхозкультур ­ кукурузы
и ярового ячменя с использованием общедоступных данных (это также можно отнести к
достоинствам системы). Данные по температуре воздуха, величине осадков, уровню
грунтовых вод и относительной влажности воздуха представлены с интервалом в 10­15
суток за весь период вегетационного цикла растения. Программа отображает результаты
расчета в таблице и на графике. График оптимального развития рассматриваемой
культуры имеет “ступенчатый” характер ввиду того, что экспериментально полученные
значения за прошлый год вводятся по фазам вегетации, а для межфазных периодов
программно рассчитываются по соответствующим математическим моделям.
Результаты экспериментов приведены ниже.
Эксперимент 1
С/х культура: Кукуруза "Луч­300";
Fmax = 20 Дж/(м2сут.); s = 0,6; m = 10­8; а = 0,8;
Время проведения посева с 01.04. по 20.04.
Тип почвы: Черноземные почвы.

Пороговая величина уровня грунтовых вод: Нр = 24;
Влажность устойчивого завядания: Wmin = 180 мм.
где Р ­ величина осадков (мм); Н ­ уровень грунтовых вод (м3/га);
А ­ относительная влажность воздуха (%); Т ­ температура воздуха;
k ­ коэффициент испаряемости на 1оС.
С/х культура: Кукуруза "Луч­300". Тип почвы: Черноземные почвы. Дата посева:
02.04.97. Дата снятия: 10.07.97. e = 0,0370; l = 0,0002. Результаты расчетов ­ в виде
графиков, таблица расчётов не выводится.
Экспертная система.
Спроектируем одну гипотетическую базу знаний и экспертную систему. Структура
базы знаний и экспертной системы изображена ниже.

Экспертная система может рассуждать (имитировать рассуждения) и настраиваться
на предметную область.
Рассматривается база знаний и экспертная система “Социально­ экономико ­
экологическая система”, которая построена (Казиевым В. М. и студентом КБГУ
Тебуевым М. Д.) с использованием аппарата нечётких множеств и логики и позволяет
оценивать (качественно) социально ­ экономико ­ экологическое состояние некоторой
среды по задаваемым пользователям (экспертом) количественным оценкам тех или иных
параметров среды (выбираемых из базы знаний системы). Для каждого входного
фактора в диалоговом режиме задаются относительные (от 0 до 1) оценки влияния этого
фактора (вес фактора). После анализа этих данных (этой экологической обстановки)
система принимает на основе базы знаний решение о состоянии социально­
экологической среды, используя удельную количественную оценку (от 0 до 1) и
десятибалльную качественную систему оценок. Функции и работу системы
характеризует нижеприведённый сценарий и протокол диалога с этой системой.
Экспертная система
(23.02.1998 ­ Понедельник, 11: 23: 37)
Входные данные:
1. Контроль над эрозией: 0.6
2. Сооружения для отдыха: 0.1
3. Ирригация: 0.9
4. Сжигание отходов: 1.0
5. Строительство мостов и дорог: 0.6

6. Искусственные каналы: 0.5
7. Плотины: 0.3
8. Туннели и подземные сооружения: 0.9
9. Взрывные и буровые работы: 0.45667
10.Открытая разработка: 0.567
11.Вырубка лесов: 0.345
12.Охота и рыболовство: 0.234
13.Растениеводство: 0.678
14.Скотоводство: 0.648
15.Химическая промышленность: 0.2456
16.Лесопосадки: 0.54846
17.Удобрения: 0.6
18.Регулирование диких животных: IGNORE (игнорирование фактора)
19.Автомобильное движение: 0.6
20.Трубопроводы: 0.0
21.Хранилища отходов: 0.0
22.Использование ядохимикатов: 0.2
23.Течи и разливы: 0.0
Принятие решения о социально­экономико­экологической обстановке:
1. Состояние почвы: 0.55177 (слабое положительное)
2. Состояние поверхностных вод: 0.52969 (слабое положительное)
3. Качественный состав вод: 0.62299 (некоторое положительное)
4. Качественный состав воздуха: 0.61298 (некоторое положительное)
5. Температура воздуха: 0.48449 (слабое отрицательное)
6. Эрозия: 0.59051 (слабое положительное)

7. Деревья и кустарники: 0.54160 (слабое положительное)
8. Травы: 0.59051 (слабое положительное)
9. Сельхозкультуры: 0.51698 (слабое положительное)
10.Микрофлора: 0.48702 (слабое отрицательное)
11.Животные суши: 0.59804 (слабое положительное)
12.Рыбы и моллюски: 0.51525 (слабое положительное)
13.Насекомые: 0.56000 (слабое положительное)
14.Заболачивание территории: 0.50000 (слабое положительное)
15.Курорты на суше: 0.52729 (слабое положительное)
16.Парки и заповедники: 0.54668 (слабое положительное)
17.Здоровье и безопасность: 0.62870 (некоторое положительное)
18.Занятость людей: 0.51196 (слабое положительное)
19.Плотность населения: 0.55539 (слабое положительное)
20.Соленость воды: 0.48750 (слабое отрицательное)
21.Солончаки: 0.57000 (слабое положительное)
22.Заросли: 0.62935 (некоторое положительное)
23.Оползни: 0.70588 (выраженное положительное)
Пакеты прикладных программ (ППП).
ППП ­ комплекс программ, имеющих следующие особенности (отличающие его от
"большого программного комплекса"):
 наличие управляющей всеми программами ППП программы (монитора);
 наличие языка запросов (оформления и расшифровки заданий для ППП);
 ориентация ППП на достаточно широкий класс однотипных задач;
 расширяемость, модифицируем ость функций (программ) ППП;
 наличие средств для работы с базами данных, операционными системами.

Пример интегрированного ППП ­ простой и универсальный пакет статистического
анализа данных SPSS. Интерфейс пользователя с SPSS для Windows реализуется с
помощью простых меню и диалоговых окон т.е. как и предыдущая разработка, SPSS
свободна от использования специально изучаемого командного языка пакета. Имеется
редактор Data Editor для визуального контроля вводимых данных, функционально
аналогичный, например, Excel. По столбцам отображаются варьируемые переменные, а
по строкам ­ наборы их вариации, причем с каждой из переменных можно ознакомиться,
вызвав её имя. Ввод данных ­ аналогичен вводу данных, например, в Excel. В диалоговых
окнах можно определять и сложных выражений арифметического или логического типа,
используемых далее в расчётах.
Опишем расчёты с использованием ППП по анализу систем и динамики
задолженности, например, множественный регрессионный анализ; результаты одного
такого анализа с помощью авторского ППП приведены ниже.
Смысл переменных: х(1) ­ коэффициент абсолютной ликвидности; х(2) ­
коэффициент текущей ликвидности; х(3) ­ дебиторская задолженность; х(4) ­
кредиторская задолженность; х(5) ­ превышение кредиторской задолженности над
дебиторской; х(6) ­ коэффициент финансовой зависимости; х(7) ­ коэффициент
соотношения привлечённых и собственных средств; х(8) ­ кредиторская задолженность
перед бюджетом; х(9) ­ кредиторская задолженность по социальному страхованию и
внебюджетным платежам; х(10) ­ коэффициент собираемости налоговых
платежей; х(11) ­ коэффициент собираемости налога на добавленную стоимость.
Были проведены различные вычислительные эксперименты, например, если: х(1) ­
коэффициент абсолютной ликвидности, х(2) ­ текущей ликвидности, х(6) ­ финансовой
зависимости, х(7) ­ коэффициент привлечения собственных средств, а y = х(10) ­
коэффициент собираемости налогов, то находится зависимость коэффициента
собираемости налогов от коэффициентов абсолютной ликвидности, текущей
ликвидности, финансовой зависимости и привлечения собственных средств, т.е.
зависимость вида
Типы экспериментов определяются экономическими соображениями, например, с
целью выявления факторов, наиболее влияющих на собираемость налогов (на
коэффициент собираемости налогов).
БАКСАНСКИЙ РАЙОН КБР
(205 предприятия(й))

Регрессионная модель вида Y = a(0) + a(1)*x(1) + ... + a(7)*x(7)
Таблица 1.
Таблица коэффициентов модели Примечание: "+" ­ коэффициент значим, "­" ­
коэффициент не значим.
Коэффициент множественной корреляции значим и равен: 0.98.
Таблица 2.
Таблица корреляции y и x(i), i=1,2,...,7
Таблица 3.
Таблица адекватности модели

Рис. 27. Фрагменты результатов вычислительных экспериментов.
В результате анализа проведенных экспериментов по каждому району, городу
найдена регрессионная зависимость с очень высокой степенью адекватности;
коэффициент множественной корреляции равен 0.99 ­ 1.0, а относительная погрешность
в среднем порядка 5 ­ 8 процентов (для таких зависимостей такая погрешность
считается очень низкой).
При этом:
 использованная программа работает качественно, например, имевшиеся в
исходных данных сильные колебания параметров (колебания от 7814.612 до 0)
моделью "ухвачены" и отражены;
 вычисленные доверительные интервалы коэффициентов зависимостей можно
использовать для определения наилучших и наихудших прогнозных значений
функции отклика;
 погрешности коэффициентов можно использовать для коррекции влияния тех или
иных параметров в рамках рассматриваемой модели (найденной зависимости), а
полученные зависимости можно использовать для краткосрочного прогноза.

Вопросы для самоконтроля
1. Какая модель называется статической (динамической, дискретной, непрерывной,
имитационной, детерминированной)? Приведите пример каждой модели.
2. Перечислите три задачи моделирования и примеры по каждой задаче из различных
областей.
3. Перечислите свойства моделей. Как эти свойства взаимосвязаны? Приведите
примеры, убедительно показывающие необходимость каждого из этих свойств.
4. Перечислите основные этапы жизненного цикла моделирования.
5. Что такое оценка адекватности модели? Оцените адекватность какой­ либо
модели.
6. Что такое вычислительный или компьютерный эксперимент?
7. Перечислите основные направления применения моделей и приведите примеры по
каждому из них.
8. В чем особенности компьютерного моделирования по сравнению с
математическим моделированием?
9. Перечислите этапы (задачи этапов) компьютерного моделирования.
10.Приведите примеры актуальности использования новых технологий.
11.Приведите различные примеры использования новой информационной технологии
в различных областях знания, в познании.
12.Приведите примеры, показывающие роль новых информационных технологий в
развитии общества, в социальной сфере, в развитии инфраструктуры общества.
Независимо от вида и способа построения экономико-математической
модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и
прогнозирования экономического явления может быть решен только
после установления адекватности, т.е. соответствия модели
исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия
модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность
- в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в

виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые
считаются существенными для исследования.
, конкретного временного ряда yt, считается адекватной, если
Трендовая модель
правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование
(t = 1, 2, ...,п)
эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента
удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда, указанным в
параграфе 4.1: случайность колебаний уровней остаточной последовательности,
соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения,
равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость
значений уровней случайной компоненты. Рассмотрим, каким образом осуществляется
проверка этих свойств остаточной последовательности.
Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает
проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности
отклонений от тренда мы располагаем набором разностей
Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев.
Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки.
Ряд из величин е, располагают в порядке возрастания их значений и находят
медиану εт полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном п, или
среднюю арифметическую из двух срединных значений, при п четном. Возвращаясь к
исходной последовательности εt и сравнивая значения этой последовательности
с εт, будем ставить знак "плюс", если значение εt превосходит медиану, и знак "минус",
если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее
значение εt опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из
плюсов и минусов, общее число которых не превосходит п. Последовательность подряд
идущих плюсов или минусов называетсясерией. Для того чтобы последовательность е,
была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком
большой, а общее число серий ­ слишком малым.
.ν
Обозначим протяженность самой длинной серии через Кmax, а общее число серий ­ через
Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%­ного
уровня значимости:

(5.8)
где квадратные скобки означают целую часть числа.
Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере
отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая
модель признается неадекватной.
Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных
точек). Уровень последовательности εt считается максимумом, если он больше двух
рядом стоящих уровней, т.е. εt­1 < εt > εt+1, и минимумом, если он меньше обоих соседних
уровней, т.е. εt­1 > εt < εt+1. В обоих случаях εt считается поворотной точкой; общее число
поворотных точек для остаточной последовательности εt обозначим через р. В случайной
выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия σ2
р выражаются
формулами:
Критерием случайности с 5%­ным уровнем значимости, т.е. с доверительной
вероятностью 95%, является выполнение неравенства
(5.9)
где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не
выполняется, трендовая модель считается неадекватной.
Проверка соответствия распределения остаточной последовательности нормальному
закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью
исследования показателей асимметрии (γ1) и эксцесса (γ2), так как временные ряды,
как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и
эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что
отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности,
поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и
их ошибки:

(5.10)
­ выборочная характеристика асимметрии;
В этих формулах
характеристика эксцесса;
одновременно выполняются следующие неравенства:
­ выборочная
и
­ соответствующие среднеквадратические ошибки. Если
то гипотеза о нормальном характере распределения остаточной последовательности
принимается.
Если выполняется хотя бы одно из неравенств
то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель
признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью
более сложных критериев.
Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов проверки нормальности
закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS­критерий и т.д.
Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS­критерии. Этот критерий
численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному
отклонению S.
, а
В нашем случае
. Вычисленное значение критерия сравнивается
с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это
значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем
значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта
гипотеза принимается. Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических
границ RS­критерия для уровня значимости а = 0,05: при п = 10 нижняя граница равна
2,67, а верхняя равна 3,685; при п = 20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49;
при п = 30 они равны 3,47 и 4,89.

Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности
нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе i­
критерия Стыодента. Расчетное значение этого критерия задается формулой
(5.11)
где
­ среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности εt;
Sε ­ стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.
Если расчетное значение t меньше табличного значения tα статистики Стьюдента с
заданным уровнем значимости
нулю математического ожидания остаточной последовательности принимается; в
противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.
α
и числом степеней свободы
п ­ 1, то гипотеза о равенстве
Следует отметить, что проверку данного свойства на основе t­критерия имеет смысл
проводить лишь в том случае, когда это свойство не очевидно из самого значения
величины
.
Проверка независимости значений уровней остаточной последовательности, т.е. проверка
отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может
осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d­
критерий Дарбина ­ Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по
формуле
(5.12)
Заметим, что расчетное значение критерия Дарбина ­ Уотсона в интервале от 2 до 4
свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по
формуле d" = 4 ­ d и в дальнейшем использовать значение d".
Расчетное значение критерия d (или d") сравнивается с верхним d2 и
нижним dt критическими значениями статистики Дарбина ­ Уотсона, фрагмент табличных
значений которых для различного числа уровней ряда п и числа определяемых
параметров модели k представлен для наглядности в табл. 5.2 (уровень значимости 5%).
Таблица 5.2
п k = 1
k = 2
k = 3

d1
d2
d1
d2
d1
d2
15 1,08 1,36 0,95 1,54 0.82 1,75
20 1,20 1,41 1,10 1,54 1.00 1,68
30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65
Если расчетное значение критерия d больше верхнего табличного значения d2, то гипотеза
о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней
автокорреляции, принимается. Если значение d меньше нижнего табличного значения d1,
то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение d находится между
значениямиd1 и d2, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных
оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования,
например, по большему числу наблюдений. В этом случае можно использовать
также первый коэффициент автокорреляции:
Если расчетное значение этого коэффициента по модулю меньше табличного
(критического) значения r1кр, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в
противном случае эта гипотеза отвергается. В частности, при п = 10 можно принять r1кр =
0,36.
Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре
проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат. Для
адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Точность модели
характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения
моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя,
представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением
фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с
использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности
применяются следующие: среднее квадратическое отклонение
(5.13)
средняя относительная ошибка аппроксимации

(5.14)
коэффициент сходимости
(5.15)
коэффициент детерминации
(5.16)
и другие показатели; в приведенных формулах п ­ количество уровней ряда, k ­ число
определяемых параметров модели,
арифметическое значение уровней ряда.
­ оценка уровней ряда по модели,
­ среднее
На основании указанных показателей можно сделать выбор из нескольких адекватных
трендовых моделей экономической динамики наиболее точной, хотя может встретиться
случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому ­ другая.
Данные показатели точности моделей рассчитываются на основе всех уровней временного
ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств
модели целесообразно использовать так называемый ретроспективный прогноз ­ подход,
основанный на выделении участка из ряда последних уровней исходного временного ряда
в количестве, допустим, п2 уровней в качестве проверочного, а саму трендовую модель в
этом случае следует строить по первым точкам, количество которых будет
равно п1 = п ­ п2. Тогда для расчета показателей точности модели по ретроспективному
прогнозу применяются те же формулы, но суммирование в них будет вестись не по всем
наблюдениям, а лишь по последним п2 наблюдениям. Например, формула для среднего
квадратического отклонения будет иметь вид
где
­ значения уровней ряда по модели, построенной для первых и, уровней.
Оценивание прогнозных свойств модели на ретроспективном участке весьма полезно,
особенно при сопоставлении различных моделей прогнозирования из числа адекватных.
Однако надо помнить, что оценки ретропрогноза ­ лишь приближенная мера точности
прогноза и модели в целом, так как прогноз на период упреждения делается по модели,
построенной по всем уровням ряда.

Пример 5.1. Для временного ряда, представленного в первых двух графах табл. 5.3,
построена трендовая модель в виде полинома первой степени (линейная модель):
Требуется оценить адекватность и точность построенной модели.
Решение. Прежде всего, сформируем остаточную последовательность (ряд остатков), для
чего из фактических значений уровней ряда вычтем соответствующие расчетные значения
по модели: остаточная последовательность приведена в графе 4 табл. 5.3.
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков
(поворотных точек). Точки пиков отмечены в графе 5 табл. 5.3; их количество равно
шести (р = 6). Правая часть неравенства (5.9) равняется в данном случае двум, т.е. это
неравенство выполняется. Следовательно, можно сделать вывод, что свойство
случайности ряда остатков подтверждается.
Результаты предыдущей проверки дают возможность провести проверку соответствия
остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS­
критерием. В нашем случае размах вариации R = εmax ­ εmin = 2,7 ­ (­2,1) = 4,8, а среднее
квадратическое отклонение
Таблица 5.3
t Фактическое yt Расчетное
Отклонение
εt
Точки пиков
1 2
1 85
2 81
3 78
4 72
5 69
6 70
3
84,4
81,0
77,6
74,1
70,7
67,3
4
0,6
0,0
0,4
­2,1
­1,7
2,7
5
­
1
1
1
0
1
6
7
0,36 ­
8
­
0,00 ­0,6 0,36
0,16 0,4
0,16
4,41 ­2,5 6,25
2,89 0,4
0,16
9
0,71
0,00
0,49
2,69
2,46
7,29 4,4
19,36
3,86

7 64
8 61
9 56
45 636
63,8
60,4
57,0
636,3
0,2
0,6
­1,0
­0,3
1
1
­
6
0,04 ­2,5 6,25
0,36 0,4
0,16
1,00 ­1,6 2,56
0,31
0,98
1,79
16,51
35,26
13,29
Следовательно, критерий RS = 4,8: 1,44 = 3,33, и это значение попадает в интервал между
нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для п =
10 и уровня значимости
сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.
= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет
α
Переходя к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда
остатков, заметим, что по результатам вычислений в табл. 5.3 это математическое
ожидание равно (­0,3) : 9 = ­0,03 и, следовательно, можно подтвердить выполнение
данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.
Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции)
вычислим значение критерия Дарбина ­ Уотсона.
Расчеты по формуле (5.12), представленные в графах 6, 7, 8 табл. 5.3, дают следующее
значение этого критерия: d = 35,26: 15,51 = 2,27. Эта величина превышает 2, что
свидетельствует об отрицательной автокорреляции (при наличии последней), поэтому
критерий Дарбина ­ Уотсона необходимо преобразовать: d" = А ­ d = А ­ 2,27 = 1,73.
Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия,
которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d1 = 1,08
и d2 = 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от (d2 до 2, то делается вывод
о независимости уровней остаточной последовательности.
Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем
свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная
модель является адекватной.
Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной
ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле (5.14):
= 13,29: 9 =
1,48 (%).Полученное значение средней относительной ошибки говорит о достаточно
высоком уровне точности построенной модели (ошибка менее 5% свидетельствует об
удовлетворительном уровне точности; ошибка в 10 и более процентов считается очень
большой).

7.4.1. Этапы имитационного моделирования
Как уже отмечалось, имитационное моделирование применяют для
исследования сложных экономических систем. Естественно, что и имитационные
модели оказываются достаточно сложными как с точки зрения заложенного в них
математического аппарата, так и в плане машинной реализации. При
этом сложность любой модели определяется двумя факторами:
сложностью исследуемого объекта­оригинала;
точностью, предъявляемой к результатам расчетов.
Использование машинного эксперимента как средства решения сложных прикладных
проблем, несмотря на присущие каждой конкретной задаче специфику, имеетряд общих
черт (этапов). На рис. 7.24 представлены этапы применения математической
(имитационной) модели (по взглядам академика А. А. Самарского).
Каждому из показанных на рис. 7.24 этапов присущи собственные приемы, методы,
технологии. В данном учебнике вопросы построения (разработки) математической
модели, алгоритмизации и программирования (за исключением выбора языка) не
рассматриваются. Отметим лишь, что все эти этапы носят ярко выраженный творческий
характер и требуют от разработчика модели особой подготовки.

После того как имитационная модель реализована на ЭВМ, исследователь должен
выполнить последовательность следующих этапов (их часто называют
технологическими):
испытание модели;
исследование свойств модели;
планирование имитационного эксперимента;
эксплуатация модели (проведение расчетов).
Кратко охарактеризуем первые два этапа (изложение методов математической теории
планирования эксперимента и организации проведения модельных расчетов и обработки
их результатов выходят за рамки настоящего учебника).
Испытание имитационной модели
Испытание имитационной модели включает работы по четырем направлениям:
– задание исходной информации;
– верификацию имитационной модели;
– проверку адекватности модели;
– калибровку имитационной модели.
Задание исходной информации
Процедура задания исходной информации полностью определяется типом
моделируемой системы:
если моделируется функционирующая (существующая) система, проводят измерение
характеристик ее функционирования и затем используют эти данные в качестве
исходных при моделировании;
если моделируется проектируемая система, проводят измерения на прототипах;
если прототипов нет, используют экспертные оценки параметров и переменных
модели, формализующих характеристики реальной системы.
Каждому из этих вариантов присущи собственные особенности и сложности. Так,
проведение измерений на существующих и проектируемых системах требует
применения качественных измерительных средств, а проведение экспертного

оценивания исходных данных представляет собой комплекс достаточно сложных
процедурполучения, обработки и интерпретации экспертной информации.
Верификация имитационной модели
Верификация имитационной модели состоит в доказательстве утверждений
соответствия алгоритма ее функционирования цели моделирования путем
формальных и неформальных исследований реализованной программы модели.
Неформальные исследования представляют собой ряд процедур, входящих
в автономную и комплексную отладку.
Формальные методы включают:
– использование специальных процессоров­"читателей" программ;
– замену стохастических элементов модели детерминированными;
– тест на так называемую непрерывность моделирования и др.
Проверка адекватности модели
Количественную оценку адекватности модели объекту исследования проводят для
случая, когда можно определить значения отклика системы в ходе натурных
испытаний.
Наиболее распространены три способа проверки:
– по средним значениям откликов модели и системы;
– по дисперсиям отклонений откликов;
– по максимальному значению абсолютных отклонений откликов.
Если возможность измерения отклика реальной системы отсутствует, оценку
адекватности модели проводят на основе субъективного
суждения соответствующегодолжностного лица о возможности использования
результатов, полученных с использованием этой модели при выполнении им служебных
обязанностей (в частности – при обосновании решений).
Калибровка имитационной модели
К калибровке имитационной модели приступают в случае, когда модель оказывается
неадекватной реальной системе. За счет калибровки иногда удается уменьшить

неточности описания отдельных подсистем (элементов) реальной системы и тем
самым повысить достоверность получаемых модельных результатов.
В модели при калибровке возможны изменения трех типов:
– глобальные структурные изменения;
– локальные структурные изменения;
– изменение так называемых калибровочных параметров в результате реализации
достаточно сложной итерационной процедуры, включающей многократное построение
регрессионных зависимостей и статистическую оценку значимости улучшения модели на
очередном шаге.
При необходимости проведения некоторых локальных и особенно глобальных
структурных изменений приходится возвращаться к содержательному
описаниюмоделируемой системы и искать дополнительную информацию о ней.
Исследование свойств имитационной модели
После испытаний имитационной модели переходят к изучению ее свойств. При этом
наиболее важны четыре процедуры:
оценка погрешности имитации;
определение длительности переходного режима в имитационной модели;
оценка устойчивости результатов имитации;
исследование чувствительности имитационной модели.
Оценка погрешности имитации, связанной с использованием в модели
генераторов ПСЧ
Исследование качества генераторов ПСЧ проводится известными методами теории
вероятностей и математической статистики (см. п. 3.3.1). Важнейшим показателем
качества любого генератора ПСЧ является период последовательности ПСЧ (при
требуемых статистических свойствах). В большинстве случаев о качестве генератора ПСЧ
судят по оценкам математических ожиданий и дисперсий отклонений компонент
функции отклика. Как уже отмечалось, для подавляющего числа практических задач
стандартные (встроенные) генераторы дают вполне пригодные последовательности ПСЧ.
Определение длительности переходного режима

Обычно имитационные модели применяются для изучения системы в типичных для нее
и повторяющихся условиях. В большинстве стохастических моделей требуется
некоторое время T0 для достижения моделью установившегося состояния.
Под статистическим равновесием или установившимся состоянием модели понимают
такое состояние, в котором противодействующие влияния сбалансированы и
компенсируют друг друга. Иными словами: модель находится в равновесии, если ее
отклик не выходит за предельные значения.
Существуют три способа уменьшения влияния начального периода на динамику
моделирования сложной системы:
– использование длинных прогонов, позволяющих получать результаты после заведомого
выхода модели на установившийся режим;
– исключение из рассмотрения начального периода прогона;
– выбор таких начальных условий, которые ближе всего к типичным.
Каждый из этих способов не свободен от недостатков: "длинные прогоны" приводят
к большим затратам машинного времени; при исключении из рассмотрения начального
периода теряется часть информации; выбор типичных начальных условий,
обеспечивающих быструю сходимость, как правило, затруднен отсутствием
достаточного объема исходных данных (особенно для принципиально новых систем).
Для отделения переходного режима от стационарного у исследователя должна
быть возможность наблюдения за моментом входа контролируемого параметра в
стационарный режим. Часто используют такой метод: строят графики изменения
контролируемого параметра в модельном времени и на нем выявляют переходный режим.
На рис. 7.25 представлен график изменения k­го контролируемого параметра
модели gk в зависимости от модельного времени t0.
На рисунке видно, что, начиная со времени tперех, этот параметр "вошел" в установившийся
режим со средним значением g(cid:22) k.
Если построить подобные графики для всех (или большинства
существенных) контролируемых параметров модели, определить для каждого из них
длительность переходного режима и выбрать из них наибольшую, в большинстве случаев
можно считать, что после этого времени все интересующие исследователя
параметрынаходятся в установившемся режиме.

На практике встречаются случаи, когда переходные режимы исследуются
специально. Понятно, что при этом используют короткие прогоны, исключают из
рассмотрения установившиеся режимы и стремятся найти начальные условия
моделирования, приводящие к наибольшей длительности переходных процессов. Иногда
для увеличения точности результатов проводят замедление изменения системного
времени.
Оценка устойчивости результатов имитации
Под устойчивостью результатов имитации понимают степень их
нечувствительности к изменению входных условий. Универсальной процедуры оценки
устойчивостинет. Практически часто находят дисперсию отклика модели Y по
нескольким компонентам и проверяют, увеличивается ли она с ростом интервала
моделирования. Еслиувеличения дисперсии отклика не наблюдается, результаты
имитации считают устойчивыми.
Важная практическая рекомендация: чем ближе структура модели к структуре
реальной системы и чем выше степень детализации учитываемых в модели факторов,
тем шире область устойчивости (пригодности) результатов имитации.
Исследование чувствительности модели
Работы на этом этапе имеют два направления:

– установление диапазона изменения отклика, модели при варьировании каждого
параметра;
– проверка зависимости отклика модели от изменения параметров внешней среды.
В зависимости от диапазона изменения откликов Y при изменении каждой компоненты
вектора параметров X определяется стратегия планирования экспериментов на модели.
Если при значительной амплитуде изменения некоторой компоненты вектора
параметров модели отклик меняется незначительно, то точность представления ее в
модели не играет существенной роли.
Проверка зависимости отклика модели Y от изменений параметров внешней среды
основана на расчете соответствующих частных производных и их анализе.

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует). Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отклика реальной системы .

В результате опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) . Выполнив экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной .

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является -статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением , взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство , то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.