Чтобы определить разрешающий элемент в симплекс таблице. Решение производственной задачи табличным симплекс-методом
Рассмотрим симплекс -метод
для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.
Алгоритм симплекс-метода следующий:
- Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
- Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
- После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
- Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
- Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
- Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.
Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:
Приводим задачу к каноническому виду:
Составляем вектора:
Заполняем симплекс – таблицу:
:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0
, для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: .
Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:
В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:
Отсутствие отрицательных элементов в f
– строке означает, что найден оптимальный план
:
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
- Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
- Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
- Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.
Решение линейного программирования на заказ
Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на
Лекция 3. Симплексные таблицы. Алгоритм симплексного метода.
§ 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
3.1. Общая идея симплекс–метода. Геометрическая интерпретация
Графический способ применим к весьма узкому классу задач линейного программирования: эффективно им можно решать задачи, содержащие не более двух переменных. Были рассмотрены основные теоремы линейного программирования, из которых следует, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Был указан путь решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвычайно велико.
Число перебираемых
допустимых базисных решений можно
сократить, если производить перебор не
беспорядочно, а с учетом изменений
линейной функции, т.е. добиваясь того,
чтобы каждое следующее решение было
"лучше" (или, по крайней мере, "не
хуже"), чем предыдущее, по значениям
линейной функции (увеличение ее при
отыскании максимума
,
уменьшение–
при отыскании минимума
).
Такой
перебор позволяет сократить число шагов
при отыскании оптимума. Поясним это
на графическом примере.
Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDE . Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать пять допустимых базисных решений, соответствующих пяти угловым точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. Вместо пяти перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию.
Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплексного метода или метода последовательного улучшения плана.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение по отношению к цели задачи; до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).
Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л.В. Канторовичем.
Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и вручную.
Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента:
способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;
правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
критерий проверки оптимальности найденного решения.
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.
В литературе достаточно подробно описываются: нахождение начального опорного плана (первоначального допустимого базисного решения), тоже – методом искусственного базиса, нахождение оптимального опорного плана, решение задач с помощью симплексных таблиц.
3.2. Алгоритм симплекс–метода.
Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-методом и изложим ее применительно к задаче максимизации.
1. По условию задачи составляется ее математическая модель.
2. Составленная модель преобразовывается к канонической форме. При этом может выделиться базис с начальным опорным планом.
3. Каноническая модель задачи записывается в форме симплекс-таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицательными. Если начальный опорный план выделен, то переходят к пункту 5.
Симплекс
таблица: вписывается система ограничительных
уравнений и целевая функция в виде
выражений, разрешенных относительно
начального базиса. Строку, в которую
вписаны коэффициенты целевой функции
,
называют
–строкой
или строкой целевой функции.
4.
Находят начальный опорный план, производя
симплексные преобразования с положительными
разрешающими элементами, отвечающими
минимальным симплексным отношениям, и
не принимая во внимание знаки элементов
–строки.
Если в ходе преобразований встретится
0-строка, все элементы которой, кроме
свободного члена, нули, то система
ограничительных уравнений задачи
несовместна. Если же встретится 0-строка,
в которой, кроме свободного члена, других
положительных элементов нет, то система
ограничительных уравнений не имеет
неотрицательных решений.
Приведение системы (2.55), (2.56) к новому базису будем называть симплексным преобразованием . Если симплексное преобразование рассматривать как формальную алгебраическую операцию, то можно заметить, что в результате этой операции происходит перераспределение ролей между двумя переменными, входящими в некоторую систему линейных функций: одна переменная из зависимых переходит в независимые, а другая наоборот – из независимых в зависимые. Такая операция известна в алгебре под названием шага жорданова исключения.
5. Найденный начальный опорный план исследуется на оптимальность:
а) если в
–строке
нет отрицательных элементов (не считая
свободного члена), то план оптимален.
Если при этом нет и нулевых, то
оптимальный план единственный; если же
есть хотя бы один нулевой, то оптимальных
планов бесконечное множество;
б) если в
–строке
есть хотя бы один отрицательный элемент,
которому соответствует столбец
неположительных элементов, то
;
в) если в
–строке
есть хотя бы один отрицательный элемент,
а в его столбце есть хотя бы один
положительный, то можно перейти к
новому опорному плану, более близкому
к оптимальному. Для этого указанный
столбец надо назначить разрешающим, по
минимальному симплексному отношению
найти разрешающую строку и выполнить
симплексное преобразование. Полученный
опорный план вновь исследовать на
оптимальность. Описанный процесс
повторяется до получения оптимального
плана либо до установления неразрешимости
задачи.
Столбец коэффициентов
при переменной, включаемой в базис,
называют разрешающим. Таким образом,
выбирая переменную, вводимую в базис
(или выбирая разрешающий столбец) по
отрицательному элементу
–строки,
мы обеспечиваем возрастание функции
.
Немного сложней определяется переменная, подлежащая исключению из базиса. Для этого составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (такие отношения называют симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет строку (разрешающую), содержащую исключаемую переменную. Выбор переменной, исключаемой из базиса (или выбор разрешающей строки), по минимальному симплексному отношению гарантирует, как уже установлено, положительность базисных компонент в новом опорном плане.
В пункте 3 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование не обязательно, но если оно выполнено, то все последующие симплексные преобразования производятся только с положительными разрешающими элементами, что удобно при расчетах. Если в столбце свободных членов есть отрицательные числа, то разрешающий элемент выбирают следующим образом:
1) просматривают строку, отвечающую какому-либо отрицательному свободному члену, например –строку, и выбирают в ней какой-либо отрицательный элемент, а соответствующий ему столбец принимают за разрешающий (предполагаем, что ограничения задачи совместны);
2) составляют отношения элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца, имеющим одинаковые знаки (симплексные отношения);
3) из симплексных отношений выбирают наименьшее. Оно и определит разрешающую строку. Пусть ею будет, например, р –строка;
4) на пересечении разрешающих столбца и строки находят разрешающий элемент. Если разрешающим оказался элемент –строки, то после симплексного преобразования свободный член этой строки станет положительным. В противном случае на следующем шаге вновь обращаются к–строке. Если задача разрешима, то через некоторое число шагов в столбце свободных членов не останется отрицательных элементов.
Если в форму ЗЛП облечена некоторая реальная производственная ситуация, то дополнительные переменные, которые приходится вводить в модель в процессе преобразования ее к канонической форме, всегда имеют определенный экономический смысл.
Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .
Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.
Исходные данные задачи на симплекс-метод
Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.
Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:
Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:
Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:
Цель производственной задачи
Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.
Решение задачи табличным симплекс-методом
(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )
(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:
(3) Тогда целевая прибыль:
То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.
(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).
(5) Примем следующий опорный план :
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80
(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :
В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;
(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.
Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца
Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .
Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).
- Сам разрешающий элемент обращается в 1.
- Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
- Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
- Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.
a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)
Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .
(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.
Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.
(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.
ОТВЕТ:
X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.
P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на
Рассмотрен пример решения задачи симплекс методом, а также пример решения двойственной задачи.
Условие задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом
, составить двойственную задачу
линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных
прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи
, в которой производится оценка ресурсов
, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x 1 , x 2 , x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max
0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
Целевая функция:
0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Вводим переменную x 2 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .
= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 2
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6
Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.
Вводим переменную x 1 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 3
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1
Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.
Решение задачи:
Ответ
x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min
Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">
Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:
Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;
Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:
Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.
Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.
Таблица 1.
базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n | ||
x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .
Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.
Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.