Анализ временных рядов в STATISTICA. Преобразования переменных

Вопрос 1: «ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА»

Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называютсямоделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

· случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 6.1 в).

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов

Рис. 6.1. «Основные компоненты временного ряда: а – возрастающая тенденция; б – сезонная компонента, в – случайная компонента.

Вопрос 2: «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ»

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называютавтокорреляцией уровней рада.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 6.1 Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление y t (д.е.) за 8 лет. Табл. 6.1

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

t					()* ()
1	7	-	-	-	-	-	-
2	8	7	-3,29	-3,00	9,86	10,80	9,00
3	8	8	-3,29	-2,00	6,57	10,80	4,00
4	10	8	-1,29	-2,00	2,57	1,65	4,00
5	11	10	-0,29	0,00	0,00	0,08	0,00
6	12	11	0,71	1,00	0,71	0,51	1,00
7	14	12	2,71	2,00	5,43	7,37	4,00
8	16	14	4,71	4,00	18,86	22,22	16,00
Итого	86	70	0	0	44,00	53,42857	38

Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в таблицу 6.1 временно й ряд

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

В качестве переменной х мы рассмотрим ряд ; в качестве переменной y – ряд . Тогда приведенная выше формула примет вид

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. при лаге 1.

Для данных пример 6.1 соотноешния (6.2) составят:

Используя формулу (6.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейное тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорелляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

Для данных из примера 6.1 получим:

Построим таблицу 6.2 подставив полученные значения в формулу (6.3), имеем:

Таблица 6.2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

t
1	7	-	-	-	-	-	-
2	8	-	-	-	-	-	-
3	8	7	-3,833	-2,333	8,944	14,694	5,444
4	10	8	-1,833	-1,333	2,444	3,361	1,778
5	11	8	-0,833	-1,333	1,111	0,694	1,778
6	12	10	0,167	0,667	0,111	0,028	0,444
7	14	11	2,167	1,667	3,611	4,694	2,778
8	16	12	4,167	2,667	11,111	17,361	7,111
Итого	86	56	0,000	0,000	27,333	40,833	19,333

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Необходимо отметить два важных свойства коэффициента корреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых , по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называютавтокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) на­зываетсякоррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 6.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 6.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 6.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов. (табл. 6.3).

Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт*ч

t
1	6,0	-	-	-	-
2	4,4	6,0	-	-	-
3	5,0	4,4	6,0	-	-
4	9,0	5,0	4,4	6,0	-
5	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0
6	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4
7	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0
8	10	6,0	4,8	7,2	9,0
9	8,0	10	6,0	4,8	7,2
10	5,6	8,0	10	6,0	4,8
11	6,4	5,6	8,0	10	6,0
12	11,0	6,4	5,6	8,0	10
13	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0
14	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6
15	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4
16	10,8	7,0	6,6	9,0	11,0

Нанесем эти значения на график 6.2

Рис. 6.2. «Потребление электроэнергии жителями региона»

Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим 6.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 6.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка , получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , ,: . Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 6.4. Аналогично рассчитываем и другие автокорреляции

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временно м ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 6.2).

Аналогично, если, например, при анализе временно го ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.

Вопрос 3: «Моделирование тенденции временного ряда»

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называютаналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

Линейный тренд

Гипербола: ;

Экспоненциальный тренд:

Тренд в форме степенной функции:

Парабола второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуаль­ный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

Вопрос 4: «Моделирование сезонных и циклических колебаний»

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Простейший подход - расчет значений сезонной компонен­ты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид адди­тивной модели следующий:

Y=T+S+E (6.5)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выгладит так:

Y=T*S*E (6.6)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоян­на, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T * S).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.

Пример 6.4. Построение аддитивной модели временного ряда.

Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 6.3.

В примере 6.2 было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II иIII кварталы). По графику, этого ряда (рис. 6.2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о воз­можном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.5);

б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 6.5). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

в. приведем эта значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.5).

Расчет оценок сезонной компонентности в аддитивной модели

№ квартала, t	Потребление электроэнергии,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6	-	-	-	-
2	4,4	24,40	6,100	-	-
3	5	25,60	6,400	6,250	-1,250
4	9	26,00	6,500	6,450	2,550
5	7,2	27,00	6,750	6,625	0,575
6	4,8	28,00	7,000	6,875	-2,075
7	6	28,80	7,200	7,100	-1,100
8	10	29,60	7,400	7,300	2,700
9	8	30,00	7,500	7,450	0,550
10	5,6	31,00	7,750	7,625	-2,025
11	6,4	32,00	8,000	7,875	-1,475
12	11	33,00	8,250	8,125	2,875
13	9	33,60	8,400	8,325	0,675
14	6,6	33,40		8,375	-1,775
15	7
16	10,8

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями рада и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Для данной модели имеем:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075

Определим корректирующий коэффициент:

К=0,075/4 = 0,01875

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Где i =1:4

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,581-1,977-1,294+2,960=0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: = 0.581

II квартал: = -1,979

III квартал: = -1,294

IV квартал: = 2,690

Занесем полученные значения в табл. 6.6 для соответствующих кварталов каждого года (стр.3)

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+E=Y-S (гр.4 табл. 6.7). Эти значения рассчитываются за каждый период времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t				T	T+S		E 2
1	6,0	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2333
2	4,4	-1,977	6,337	6,088	4,111	0,289	0,0835
3	5,0	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
4	9,0	2,690	6,310	6,461	9,151	-0,151	0,0228
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
7	6,0	-1,294	7,294	7,020	5,727	0,273	0,0745
8	10,0	2,690	7,310	7,207	9,896	0,104	0,0108
9	8,0	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
10	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,030	0,0009
11	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,0052
12	11,0	2,690	8,310	7,952	10,642	0,358	0,1282
13	9,0	0,581	8,419	8,139	8,720	0,258	0,0784
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0635
15	7,0	-1,294	8,294	8,519	7,218	-0,218	0,0475
16	10,8	2,690	8,110	8,698	11,388	-0,588	0,3457

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 5,715416

Коэффициент регрессии 0,186421

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188

R-квадрат 0,914971

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Т=5,715+0,186*t

Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.7). График уравнения тренда приведен на рис. 6.3.

Рис. 6.3. «Потребление электроэнергии жителями района (фактическое, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 6.3.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

E=Y-(T+S) (6.8)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.7.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59 , эта величина составляет чуть более 1,5%

(1-1,10/71,59)*100=1,536

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временно го ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Вопрос 5: «Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений».

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временно го ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени , происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.4

Рис. 6.4. «Изменение характера тенденции временного ряда».

Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии , т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 6.4 этим уравнением соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменении незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.4 этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в кажодм уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет, сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

№ уравнения	Вид уравнения	Число наблюдений в совокупности	Остаточная сумма квадратов	Число параметров в уравнении 1	Число степеней свободы остаточной дисперсии
Кусочно-линейная модель
(1)
(2)
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)
1 В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений k 1 =k 2 =k 3 =2. В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться.

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.5 (1), (2), (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.8

Выдвинем гипотезу Н 0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и

Соответствующее ей число степеней свободы зависит:

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

Число степеней свободы, соответствующее , с учетом соотношения 6.10 будет равно

Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и

Пример 6.2. Расчет параметров тренда.

Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 2010 года в процентах к уровню предыдущего месяца 2009 г. (Табл. 6.3). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Построим график данного временного ряда

Рис. 6.2. Динамика темпов роста номинальной заработной платы за 10 мес. 2010г.

На графике рис. 6.2. заметно наличие возрастающего тренда (тенденции). Возможно существование линейной зависимости.

Http://homekid.ru/kidinspb2010/kid2010part2.htm

Преобразование временных рядов включает в себя приемы, позволяющие сделать ряды более удобными для анализа. В частности, оно включает в себя такие приемы, как приведение рядов к одному основанию и смыкание рядов.

Приведение рядов к одному основанию позволяет лучше увидеть, какой ряд растет быстрее, а какой медленнее. К этому приему приходится прибегать тогда, когда сравниваемые ряды имеют разные начальные периоды, исчислены в разной валюте или имеют другие различия, затрудняющие их непосредственное сравнение.

Для приведения рядов к одному основанию выбирается один, общий для всех рядов начальный период, который берется за 100%.

Надо сказать, что выбор начального периода в какой-то мере предопределяет результаты анализа: при одной начальной базе более “быстрым” может показаться один ряд, а при другой базе - иной. Приведем пример. Имеются следующие данные о численности населения Ростовской области за ряд лет:

Численность населения Ростовской области

(тыс.чел. на начало года)

Если взять за базу 1970 г., то можно будет сделать вывод о более быстром росте городского населения:

в процентах к 1970 г.

Картина получится совсем иной, если взять за базу 1988 г. Для последнего случая мы будем иметь такую таблицу:

Динамика численности населения Ростовской области

в процентах к 1988 г.

Данный пример говорит о том, что надо очень продумано подходить к выбору начальной базы для сравниваемых рядов.

Выбор упомянутой базы - проблема не математическая, а общеэкономическая. Никакого простого правила для правильного выбора начальной базы рядов, приводимых к одному основанию, не существует. Надо только помнить, что выбор начальной базы может тем или иным способом повлиять на конечный вывод. Надо также понимать, что это обстоятельство может быть использовано недобросовестными исследователями для сознательного искажения динамики изучаемых явлений.

Смыкание временных рядов. К этому приему приходится прибегать тогда, когда надо создать один длинный, сквозной ряд из нескольких коротких рядов, отличающихся либо методологией расчета показателей, либо границами территории, либо ценами, что не позволяет их соединить вместе без всяких пересчетов. Смыкание рядов может быть осуществлено только в том случае, если ряды имеют хотя бы один общий период.

Для иллюстрации приведем следующий пример. По одному из районов области имеются данные о численности населения с 1970 г. по 1990 г. в одних границах, а с 1990 г. по 1998 г. - в других. Эти данные представлены ниже:

Численность населения района

на начало года (тыс.чел.)

Поскольку у двух рядов имеется один общий год, постольку их смыкание возможно. По данным этого общего года исчисляем коэффициент пересчета данных для старых границ в данные для новых границ:

С помощью этого коэффициента делаем пересчет численности населения:

для 1970 г. 200х1.25 = 250

для 1985 г. 230х1.25 = 287.5

Можно сделать и обратный пересчет - из новых границ в старые:

для 1995 г. 330: 1.25 = 264

для 2000 г. 340: 1.25 = 272

В результате этих пересчетов получаем такую таблицу:

Численность населения района

на начало года (тыс.чел.)

Контрольные вопросы к теме «Анализ динамики социально-экономических процессов»

1. Что такое ряды динамики и из роль в статистическом анализе?

2. Укажите виды рядов динамики.

3. Чем объясняется выбор формулы для нахождения среднего уровня динамического ряда?

4. Какие показатели рассчитываются для характеристики изменений уровней ряда динамики?

5. Как рассчитывается средний темп (коэффициент) роста и прироста?

6. В каких случаях применяют «период удвоения ряда»?

7. Укажите приемы, применяемые для преобразования временных рядов.

8. Каким образом временные ряды приводят к одному основанию?

9. Чем вызвана необходимость смыкания временных рядов?

10. Назовите методы анализа основной развития в рядах динамики.

11. На чем основан метод укрупнения интервалов?

12. Охарактеризуйте метод скользящей средней, его недостатки и достоинства.

13. Чем вызвана необходимость аналитического выравнивания рядов?

14. Какие уравнения регрессии наиболее часто используются для выравнивания динамических рядов?

15. Какой критерий применяется для оценки качества модели динамического ряда?

16. Как измеряются сезонные колебания в динамических рядах?

17. Как рассчитываются индексы сезонности?

18. Как измеряется автокорреляция в рядах динамики?

19. Дайте понятие экстраполяции рядов динамики.

20. Укажите простейшие приемы прогнозирования.

Контрольные задания к теме «Анализ динамики социально-экономических процессов»

1. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, млн. руб.: на 1/01 – 400; на 1/02 - 455; на 1/03 – 465; на 1/04 – 460. Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за 1 квартал.

2. Имеются следующие данные об остатках дебиторской задолженности фирмы “Сатурн” на начало месяца (тыс. руб.):

Определите: 1)вид ряда динамики;

2) среднемесячные уровни остатка дебиторской задолженности за I, за II кварталы и за полугодие;

3) изменение остатка дебиторской задолженности во II квартале по сравнению с I кварталом.

3. Остатки вкладов населения в сбербанках города в 2002 году характеризуются следующими данными на 1-е число месяца, руб.:

Определите: среднемесячные остатки вкладов за 1 и 2 кварталы; средние остатки вкладов за полугодие; абсолютный прирост изменения среднего остатка вклада во II квартале по сравнению с I.

4. Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия, млн. руб.: на 1.01.2002 г. – 61,1; на 1.05.2002 г. – 57,5; на 1.08.2002 г. – 51,3; на 1.01.2003г. – 74,7. Вычислить среднегодовой товарный запас розничного торгового предприятия за 2002 год.

5. Остаток средств на расчетном счете предприятия составил на 1.01.2003 г. 180 тыс. руб., 15.01 поступило на расчетный счет 900 тыс. руб., 22.01. списано со счета 530 тыс. руб., 27.01 поступило 380 тыс. руб. С 28.01. до конца месяца остаток средств на расчетном счете не изменился. Определить среднесуточный остаток средств на расчетном счете предприятия в январе.

6. Определить, на сколько рублей и на сколько процентов различаются средние остатки по вкладам за I квартал, если на 1.01.2003 г. остаток по первому вкладу составлял 500 у.е., по второму вкладу – 700 у.е. В течение I квартала имели место следующие изменения величины остатков вкладов (у.е.):

Определить среднегодовое производство продукции за 1993 – 1998 гг.

7. Имеются следующие данные Госкомстата РФ о количестве россиян отдыхающих за рубежом в период 1999-2003 годы (тыс. чел.):

Среднегодовое количество россиян, отдыхающих за рубежом;

Среднегодовые темпы роста и прироста;

Изобразите динамику россиян, отдыхающих за рубежом, на графике. Сделайте выводы.

8. Ввод в действие жилых домов предприятиями всех форм собственности в одном из регионов в 1997-2001 годах характеризуется следующими данными, млн. кв. м общей площади:

Для анализа ряда динамики исчислите:

Абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – базисные и цепные, абсолютное содержание 1% прироста, пункты роста. Полученные данные представьте в таблице;

Средний уровень ряда;

Среднегодовой абсолютный прирост;

Среднегодовые темпы роста и прироста

9. Производство продукции предприятия характеризуется следующими данными:

Проведите анализ ряда динамики и исчислите:

Средний уровень ряда;

Среднегодовой абсолютный прирост;

10. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия за 1998-2003 гг. (в сопоставимых ценах), млн. руб.

Определить аналитические показатели ряда динамики производства продукции предприятия за 1998-2003 гг.

Абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – базисные и цепные, - абсолютное содержание 1% прироста, пункты роста. Полученные данные представьте в таблице;

Средний уровень ряда;

Среднегодовой абсолютный прирост;

Среднегодовой темп роста и прироста.

11. Имеются следующие данные о продаже легковых автомобилей в РФ:

Для анализа ряда динамики исчислите:

Абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – базисные и цепные, - абсолютное содержание 1% прироста, пункты роста. Полученные данные представьте в таблице;

Средний уровень ряда;

Среднегодовой абсолютный прирост;

Среднегодовой темп роста и прироста.

12. Имеются данные о бюджетных расходах РФ на исследования и разработки в постоянных ценах 1996 г. за 1996 – 2004 гг.

Рассчитайте показатели динамики затрат на исследования и разработки за период 1996 – 2004 гг. Сделайте выводы.

13. Количество дорожно-транспортных происшествий (ДТП), совершенных водителями в регионе, увеличилось в 1995 по сравнению с 1990 годом на 2 тыс. или на 4%; в 2000 году по сравнению с 1995 годом их число возросло на 30%, а в 2002 году по сравнению с 2000 годом – на 2%. Определить количество ДТП в 1990, 1995, 2000 и 2002 годах.

14. Численность населения региона возросла за период с 1.01.1999 по 1.01.2002 г. на 4,2%, при этом удельный вес мужского населения за этот период увеличился с 42,1 до 44,3%. Определить показатели динамики численности мужского и женского населения региона.

15. Удельный вес городского населения региона увеличился с 1.01 1993 г. по 1.01.2000 г. с 36,2 до 42,8%. Определить показатели динамики численности городского и сельского населения региона, если общая численность населения данного региона за этот период возросла на 8,4%.

16. Динамика объема реализации услуг коммунальных предприятий города в процентах к 1999г. составила: 2000г. – 108,0; 2001 г. – 110,5; 2002 г. – 125,0; 2003 г. – 153,2. Определить среднегодовой темп прироста за период 1999 – 2003 гг.

17. Среднегодовые темпы роста продукции за период 1999 – 2003 гг. в тяжелой промышленности составили 102,6%, а в легкой промышленности – 105,3%. Величина продукции в 2003 г. (в у.е.) составила в тяжелой промышленности – 7820, а в легкой – 8590. Определите среднегодовой темп роста продукции в целом за период 1999 – 2003 гг.

18. Заполнить таблицу:

19. Имеются данные о среднемесячной заработной плате на одного работника и стоимости набора 25 основных продуктов питания в расчете на одного человека в РФ за первое полугодие 1999 года.

Привести ряды динамики к сопоставимому виду, вычислить коэффициенты опережения, сделать краткие выводы.

20. Имеются данные о динамике кредитов коммерческих банков по видам (по состоянию на 1 января), млн. руб.:

Приведите ряды к одному основанию. Определите коэффициенты опережения темпов роста краткосрочных кредитов по сравнению с долгосрочными кредитами.

21. Имеются следующие данные о розничном товарообороте по одному из районов города (млн. руб.). Осуществить смыкание рядов.

22. Приведите уровни следующего ряда динамики, характеризующие численность работников фирмы, к сопоставимому виду, чел.:

23. Имеются данные об объеме продукции (млн. руб.), вычисленные по старой и новой методике. Приведите уровни ряда к сопоставимому виду.

В этом разделе дается обзор общих соглашений, используемых в модуле Временные ряды для сохранения преобразованных временных рядов в активной рабочей области системы (см. также Основные соглашения).

Преобразования и активная рабочая область. Файл Stocks.sta содержит цены закрытия двух акций за период в 200 дней. Каждая торговая неделя содержит точно пять рабочих дней. Цена закрытия для выходных (когда торгов нет) оценивается. В этом примере, имеем два временных ряда, к которым будем применять несколько операторов сглаживания. Кроме того, будет построено несколько полезных графиков и проведен автокорреляционный анализ биржевых цен. Фрагменты рядов показаны ниже.

Заметим, что даты в файле имеются в двух местах: в переменной Дата (переменная 3) и в именах наблюдений.

Выбор анализа. Чтобы начать анализ, вначале откройте модуль Временные ряды и прогнозирование, затем откройте файл Stocks.sta. Далее нажмите кнопку Переменные и выберите переменные Stock1 и Stock2. Открытое диалоговое окно модуля Временные ряды показано ниже.

Все переменные и их преобразования записаны в активную рабочую область.

Выделенная переменная. Все последующие анализы производятся с выделенной переменной. Например, когда вы выполняете преобразования, то именно выделенная переменная преобразуется, и новая (преобразованная) переменная добавляется в активную рабочую область. Для того чтобы выделить переменную, просто щелкните на ней мышью. В этом примере, выделите переменную Stock1.

Соглашения относительно имен. Когда новая (например, трансформированная) переменная добавляется в активную рабочую область, она получает (1) то же самое короткое имя, что и исходная переменная (которая преобразовывалась), (2) новое длинное имя, которое содержит все старые длинные имена и краткое описание выполненного преобразования.

Редактирование имен переменных. Дважды щелкните на колонку, помеченную Переменная или Длинное имя переменной (ряда), чтобы редактировать короткие и длинные имена в активной рабочей области.

Число копий на переменную (ряд). Все диалоговые окна имеют поля ввода для выделенной переменной (ряда), также имеется поле в которое можно ввести Число копий на переменную (ряд). Число таких копий, помещаемых в активную рабочую область, контролируется с помощью этого параметра. Например, если параметр равен 3 (по умолчанию), и вы выполнили четвертое преобразование исходной переменной, то ряды данных, преобразованные в первый раз, будут удалены из активной рабочей области и заменены полученными новыми рядами (четвертыми преобразованиями). Можно иметь до 99 копий исходного одномерного ряда. В этом примере оставьте значение по умолчанию 3.

Блокированные переменные (ряды). Первый столбец имеет заголовок Блок. Когда вы дважды щелкните на этой колонке, преобразованная переменная будет заблокирована.

Удаление переменных (рядов) из рабочей области. Для удаления преобразованных переменных из активной рабочей области используйте кнопку Удалить переменную. Исходные анализируемые переменные не могут быть удалены.

Сохранение переменных (рядов) в рабочей области. Для сохранения переменных (рядов) используйте кнопку Сохранить переменные.

Пропущенные данные. Практически все виды анализа временных рядов требуют, чтобы в данных не было "дыр", т.е. пропусков. Если пропущенные данные имеются в начале или в конце ряда, они просто игнорируются. Если пропущенные данные находятся внутри ряда, они должны быть заменены. При этом возможно несколько способов замены пропущенных данных:

Общее среднее. В этом методе все пропущенные данные будут заменены средним, вычисленным по всему ряду. Очень часто, когда, ряд нестационарный или имеются большие систематические погрешности, этот метод неприемлем. С другой стороны, общее среднее - часто наилучшее a priori (несмещенное) приближение пропущенных данных.

Интерполяция по ближайшим точкам. В этом методе пропущенные данные интерполируются по ближайшим не пропущенным значениям ряда. Графически, этот метод сводится к замене пропущенного наблюдения путем проведения прямой линии от предыдущего (перед пропущенным) до следующего (после пропущенного) наблюдения.

Среднее N ближайших значений. В этом методе пропущенные данные заменяются средним, вычисленным по N ближайшим значениям с двух сторон от пропуска ("дыры") в данных.

Медиана N ближайших значений. Метод аналогичен, описанному выше, за исключением того, что вместо среднего берется медиана не пропущенных ближайших значений.

Значения, предсказанные линейной регрессией. В этом методе программа построит прямую регрессии методом наименьших квадратов и спрогнозирует по ней пропущенные значения.

Просмотр временных рядов. Теперь продолжим анализ и просмотр цен закрытия. Щелкните OK (Преобразования), чтобы открыть диалоговое окно Преобразования переменных.

В окне имеется несколько опций для просмотра временных рядов, объединенных заголовком Просмотр и построение графиков переменных. Заметим, что эти опции применимы ко всем графикам модуля Временные ряды.

Заметим, что имена наблюдений могут также содержать информацию отличную от дат. Например, значительные дискретные события, воздействующие на ряд (например, новости, воздействующие на цены) могут быть также записаны в имена наблюдений и использованы в метках на графике. В этом примере, для меток по горизонтальной оси графиков, воспользуемся переменной Date. Щелкните по полю Датами и выберите переменную из появившегося диалогового окна. В этом примере каждая торговая неделя содержит пять дней (Понедельник - Пятница). Выделите флажок Задать масштаб оси X вручную и введите минимальное значение (Мин=) 1(начало с первого дня) и величину шага (Шаг=) 5. Затем щелкните кнопку Просмотр выдел. переменной, чтобы построить следующую таблицу результатов.

Вы можете построить график ряда с помощью кнопки График, расположенной рядом с кнопкой Просмотр выдел. переменной.

Для того чтобы построить график обеих акций одновременно, нажмите кнопку Просмотр нескольких переменных.

График двух рядов в разных масштабах. Как вы видите, цены закрытия акции Stock2 в общем, ниже акций Stock1. Вы можете выбрать независимо масштаб для двух вертикальных осей, чтобы получить лучшее разрешение для каждого ряда. Используйте опцию График 2-х списков переменных в разных масштабах и выберите для Stock1 левую ось Y, a для Stock2 правую ось Y.

Преобразования временных рядов. Выполним несколько преобразований. Нажмите OK (Преобразовать выделенную переменную) в окне Преобразования переменных. В этом диалоговом окне показаны все обычные преобразования временных рядов. Некоторые из этих преобразований требуют выбора второй переменной, например, для Остатков временного ряда. В этом примере выберите простое (невзвешенное) 5-ти точечное скользящее среднее для ряда Stock1. Выберите опцию N точ. скольз. средним, задайте 5 в поле N=.

Затем нажмите OK и выполните преобразование скользящим средним.

Как вы видите на графике, сглаженный ряд имеет меньше "зубцов", общий тренд виден более отчетливо.

Затем вернитесь в диалоговое окно Преобразования переменных.

Измененная активная рабочая область. Как описано выше, преобразованный (сглаженный) ряд добавился в активную рабочую область.

Следуя соглашению о присвоении имен, преобразованный ряд имеет то же самое короткое имя (Stock1) и будет иметь то же самое длинное имя, к которому добавлено описание выполненного преобразования (5 тч.ск.средн.).

Дальнейшая обработка преобразованного ряда. Преобразованные ряды в рабочей области имеют тот же самый "статус", что и ряды, выбранные из файла. Например, они могут быть отображены на графике или использованы как исходные переменные для дальнейшего анализа. Сравним сглаженный ряд с исходным. Нажмите кнопку Просмотр нескольких переменных.

В появившемся окне нажмите просто OK (подтвердите установки, предложенные по умолчанию). Ниже показаны два ряда: оригинальный и сглаженный (преобразованный).

Несколько последовательных преобразований. Вернитесь в диалоговое окно Преобразования переменных. Теперь продолжим преобразовывать ряд и отмечать, как соответствующие ряды будут добавляться в активную рабочую область. Выделите преобразованный ряд (внизу списка), щелкнув по нему мышью. Теперь выключите опцию автоматического построения графиков, т.е. отмените опцию График после каждого преобразования. Нажмите OK, чтобы открыть список доступных преобразований снова. Выберите затем Простое экспоненциальное сглаживание с параметром альфа = .20, предложенным по умолчанию и нажмите еще раз OK. Затем вновь нажмите OK и выберите 4253H фильтр. Это мощный метод сглаживания/фильтрации, который совмещает в себе несколько последовательных преобразований скользящим средним и скользящей медианой.

Теперь имеется 3 преобразованных ряда в активной рабочей области. Предположим, что вы не изменили параметр Число копий на переменную, который, по умолчанию, равен 3. Активная рабочая область сейчас "полна". Следующее преобразование любой переменной, связанной с Stock1, заменит "самое старое" ее преобразование. Это однако не относится к переменной Stock2. Для нее еще есть резервное пространство. Примените 4253H фильтр к Stock2. После преобразования активная рабочая область выглядит следующим образом.

Как вы видите, все преобразования переменной Stock1 находятся еще на месте. Выделите исходную переменную Stock1 снова и примените к ней, например, преобразование 5- точ. скольз. медианой. Теперь самое первое преобразование переменной Stock1 (5-точечное скользящее среднее) будет заменено выполненным преобразованием (5-ти точечной скользящей медианой) ряда Stock1.

Число мест такой "карусели" определяет параметр Число копий на переменную (ряд). Как только все места заняты, следующее преобразование заменяет первое преобразование, и "карусель" завертится снова.

Блокировка. Положим, вы захотели сохранить определенное преобразование в активной рабочей области; тогда вам нужно не допустить его удаления другим преобразованием.

Это можно достичь блокировкой соответствующего преобразования. Дважды щелкните мышью в столбце Блок, буква L появится в строке соответствующего преобразования. Теперь этот ряд заблокирован; т.е. он не может быть удален из рабочей области.

Например, следующее самое "старое" преобразование Stock1, которое будет заменено - преобразование Экспоненциальное сглаживание. Заблокируйте этот ряд, снова примените сглаживание скользящим средним. Как вы видите, заблокированное преобразование не заменилось новым преобразованием.

Сохранение рядов в активной рабочей области. Теперь сохраним преобразования в активной рабочей области. Пусть вы хотите сохранить только скользящее среднее, экспоненциальное сглаживание и 4253H преобразование ряда Stock1 для дальнейшего анализа. Прежде всего, удалите ненужные ряды из активной рабочей области, выделяя их и нажимая кнопку Удалить.

Затем, сохраните переменные в активной рабочей области, используя кнопку Сохранить переменные.

Анализ автокорреляций. До сих пор нами не обсуждалась интерпретация результатов. В общем, анализ временных рядов требует не только экспериментирования с доступными методами, но также понимания природы данных. Например, часто цены акций могут быть описаны моделью случайного блуждания. В этой модели каждое очередное наблюдение ряда представляет собой сумму предыдущего значения и случайной ошибки. В каком-то смысле этот процесс похож на блуждания "пьяного человека, чье положение в момент t определяется его положением в момент t-1 плюс шаг в случайном направлении" (Wei, 1990, стр. 71). Можно ожидать, что автокорреляция является наибольшей на лаге 1, следующая по величине на лаге 2 и т.д. Таким образом, автокорреляционная функция медленно убывает. Математически этот процесс можно описать как процесс авторегрессии с параметром близким 1.0.

График автокорреляционной функции. Проверим, насколько ряд Stock2 действительно отвечает этой простой модели. Вначале построим график Stock2 (выделите Stock2 и нажмите кнопку График рядом с кнопкой Просмотр выдел. переменной).

Кажется, что Stock2 имеет убывающий тренд. Такие тренды смещают оценки автокорреляционной функции.

Удалите тренд с помощью опции Вычесть тренд в окне Преобразования переменных. Если построите график преобразованной переменной снова, то увидите, что тренд удален.

Нажмите кнопку Автокорреляции и просмотрите автокорреляции численно в таблице результатов и на графике.

Корреляция на лаге 1 максимальная и далее медленно убывает; график частной автокорреляционной функции также подтверждает модель случайного блуждания:

Иными словами, каждое следующее наблюдение очень похоже на предыдущее, плюс некоторое случайное воздействие. Вы можете "удалить" сильную автокорреляцию, взяв разности ряда. Вновь откройте Преобразования переменных и выберите Разность (x=x-х(лаг)). Затем выберите опцию Aвтокорреляции в окне Преобразования переменных, чтобы построить график преобразованного ряда.

Как вы видите, ни одна из автокорреляций не значима. Таким образом, модель случайного блуждания подтверждается. Stock2 в самом деле согласуется с этой моделью и, к сожалению, нет способа предсказать рост или падение этих акций.

Этот пример взят из справочной системы ППП STATISTICA фирмы StatSoft

Реальные процессы свойством стационарности второго порядка могут и не обладать. Однако с помощью достаточно несложных преобразований часто удается привести наблюдаемый ряд к стационарному процессу.

Примерами таких преобразований являются:

а) взятие конечных разностей

D yt – первая разность. Это преобразование целесообразно использовать, когда закон изменения yt близок к линейному.

D хt – вторая разность. Преобразование применяется, когда закон изменения yt близок к квадратической зависимости и т. д.;

б) логарифмирование цепных индексов

Применяется при экспоненциальном росте уt, t =1,2,..., Т;

в) расчет темпов прироста

а также некоторые другие.

Заметим, что преобразование (6.41) предоставляет исследователю несколько большие “удобства” в формировании исходной информации по сравнению с другими. Это связано с тем, что оно позволяет достаточно просто изменять временные серии исходных данных в связи, например, с укрупнением временных интервалов. В самом деле, предположим, что возникла необходимость проанализировать временные ряды серии удвоенного временного интервала (t–1, t+1), т. е., например, у1, у3, у5,..., уt–1, уt +1,... . Для такой серии преобразование (6.41) приводит к следующему временному ряду:

где хt+1, 2 – преобразованное значение показателя на удвоенном интервале.

Его величина представляет собой простую арифметическую сумму преобразованных значений показателей исходных интервалов, объединение которых привело к новой серии.

В то же время для преобразования (6.42) в этом случае получим более сложное выражение, определяющее для значения нового временного ряда:

Для превращения исходного нестационарного ряда в стационарный могут быть использованы и другие преобразования. Например, хt=lnуt, и т. д. В каждом конкретном случае, выбирая преобразование, необходимо исходить из примерной формы временного графика зависимости уt.

“Удачное” преобразование должно обеспечивать приблизительное выполнение условия xt=f(уt)»const.

В условиях постоянства математического ожидания и дисперсии особенности конкретного стационарного процесса второго порядка полностью определяются характером его автокорреляционной функции, имеющей вид зависимости значений коэффициентов автокорреляции от сдвига. Иными словами, автокорреляционная функция является дискретной и представляет собой последовательность значений коэффициентов автокорреляции r0, r1,..., ri–1,..., поставленных в зависимость от сдвига i, где r0=1, –1£ri£1, i=1,2,... .

Аналогично можно сформировать автоковариационную функцию стационарного процесса уt, представив ее в виде последовательности коэффициентов автоковариаций g0, g1,..., gi,..., поставленных в зависимость от сдвига i. Напомним, что между соответствующими значениями этих функций существует однозначная взаимосвязь gi =ri ?s y2, i=0,1,... , т. е. g 0=s y2.

Автокорреляционную функцию можно представить как проекцию диагональных элементов автокорреляционной матрицы на ось сдвигов (см. рис. 6.1).

Все множество стационарных процессов второго порядка в общем случае в зависимости от особенностей их автокорреляционных функций разбивается на несколько однородных групп, для каждой из которых можно подобрать и построить адекватную модель.

В общем случае можно выделить три группы таких моделей – модели авторегрессии (autoregressive), модели скользящего среднего (moving average) и смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего (autoregressive- moving average).