Теория пределов. понятие предела отображения
В этой главе изучается операция предельного перехода - основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.
2.1 Предел последовательности
2.1.1 Определение и примеры
Определение 2.1. Функцияf: N → X , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.
Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn } или {xn }+ n=1 ∞ , а также записывают в виде x1 , x2 , . . . , xn , . . . .
В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f: N → R действительных чисел.
Определение 2.2. Интервал, содержащий точкуa R, называют окрестностью этой точки. Интервал(a − δ, a + δ) ,δ > 0 , называют δ -окрестностью точкиa и обозначаютU a (δ) илиV a (δ) (часто пишут короче:U a илиV a ).
Определение 2.3. Числоa R называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любой окрестности точкиa существует номерN N такой, что все элементыx n последовательности, номера которых большеN, содержатся вU a . При этом пишут
n lim→∞ xn = aили lim xn = aили xn → aпри n → ∞.
В логической символике определение 2.3 имеет вид:
a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .
Поскольку Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = {x R: |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3
Определение 2.4. Числоa называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любого положительного числаε найдется номерN = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерамиn > N удовлетворяют неравенству|x n − a| < ε .
Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε
Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.
Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:
Число a называется пределом последовательности{x n } , если вне любой окрестности точкиa находится не более конечного числа членов последовательности{x n } .
Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn }, то a не является пределом {xn }.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.1. Если {xn } : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности
Пример 2.2. Покажем, что последовательность {xn } : xn = | |||||||||||||||||||||||
имеет предел и lim xn = 0. | |||||||||||||||||||||||
Зафиксируем ε > 0. Так как | |||||||||||||||||||||||
≤ n | |||||||||||||||||||||||
< ε для n > | То, полагая N = max{1, }, получим: | ||||||||||||||||||||||
|xn | ≤ | |||||||||||||||||||||||
Следовательно, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |xn | < ε. | |||||||||||||||||||||||
Замечание. Одновременно мы доказали, что lim | |||||||||||||||||||||||
Пример 2.3. Покажем, что lim | 0, если q > 1. | ||||||||||||||||||||||
Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона
qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.
Отсюда следует, что | N > 1. Зафиксируем ε > 0, положим |
|||||||||
N = max{1, } и получим, что | ||||||||||
Итак, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |1/qn | < ε.
Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn } : xn = (−1)n , не имеет предела.
Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua (1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua (1), то вне Ua (1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn }. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn .
Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.
В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn } сходится a R: lim xn = a.
дящимися, а последовательность {(−1)n } - расходящейся.
2.1.2 Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.
Пусть числовая последовательность {xn } имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим
ε = b − 2 a . По определению2.4 предела последовательности найдем N1 и
n − | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такие, что | n > N , то есть | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n − | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда n > N = max{N1 , N2 } | < xn < | Чего быть не может. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 2.6. Числовая последовательность {x n } называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {x n | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X - неограниченное множество, то {x n } называется неограниченной последовательностью.
C учетом определений 2.1 и2.2 имеем:
{xn } ограничена сверху M R: n N xn ≤ M, {xn } ограничена снизу M R: n N xn ≥ M, {xn } ограничена M > 0: n N |xn | ≤ M,
{xn } не ограничена M > 0 n N: |xn | > M.
Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть последовательность {xn } сходится и lim xn = d. Полагая в определении2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:
a = min{x1 , x2 , . . . , xN , d − 1}, b = max{x1 , x2 , . . . , xN , d + 1}.
Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.
Замечание. Ограниченность последовательности - необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4) .
Теорема 2.3. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n = a , то последовательность {|x n |} сходится и lim |x n | = |a|.
Так как a = lim xn , то ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.
Отсюда следует, что n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| < ε.
Замечание 1. Из теоремы2.3 и примера3 следует, что при |q| > 1
lim q n = 0.
Замечание 2. Обратное утверждение к теореме2.3 не имеет места.
Посвящены одному из основных понятий математического анализа - пределу. И в случае числовой последовательности и в случае действительной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении.
В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отображений произвольных метрических пространству причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению.
8.1. Понятие предела отображения
Пусть X и У - метрические пространства с заданными на них метриками р и d соответственно, X - некоторое подмножество в X с той же метрикой />, имеющее а 6 X своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
проколотую окрестность U(a) = U(a) \ {а} данной точки. Пусть область определения отображения /: А У включат ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено.
Определение 8.1. Точку 6 € У называют пределом отображения /: A -f У в точке а по множеству А и
записывают b = lim f(x) или f(x) -> b при х-^а, если, како-
ва бы ни была окрестность V(6) точки 6, существует такая проколотая окрестность U(a) точки а в X, что ее образ для
любой точки ж€Ща)ПЛ принадлежит У(6),т.е.
При выполнении (8.1) говорят также, что функция f(x) стремится к Ь при стремлении х по множеству А к точке а. Определение 8.1 является достаточно общим. В зависимости от того, какими множествами являются X, У, АСХ и какова точка а € X, можно получить различные конкретизации этого определения.
Напомним (см. 5.2), что любая окрестность точки включает е-окрестность этой точки и всякая ^-окрестность является окрестностью. Поэтому, заменяя в (8.1) произвольную окрестность V (6) точки b б Y на ее ^-окрестность
а проколотую окрестность точки а € X - на ее проколотую -окрестность
приходим к следующей символической записи определения предела отображения, эквивалентного определению 8.1:
При Y С R из (8.1) следует символическая запись определения предела отображения /: (предела действительной функции):
. Бели в (8.5) 6 = 0) то функцию f(x) называют бесконечно малой при стремлении х по множеству А к точке а € X и записывают
При У С R можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 является одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой R или их объединением (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид
Тогда из (8.1) следуют три довольно похожих между собой за-писи в символической форме определений бесконечных пределов функции:
. Пример 8.1. Покажем, что
lim f(x) = с,
если отображение / в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
V(c) точки с} Vx в U (а) П A /(х) = с, так как хе А. Поэтому
/(U (а) П А) = с € V(c), что соответствует определению 8.1. Убедимся, что
lim /(х) = а,
если отображение / тождественно, т.е. /(я) = х Vx 6 А. В
этом случае для любой окрестности V(a) при выборе U(a) = = V(a) \ {а} для тождественного отображения получим
что отвечает (8.1). В частности, когда А = R и а соответствует бесконечной точке +оо расширенной числовой прямой, имеем: /(х) -f оо при х +оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +оо достаточно выбрать множество U (+оо) = = {s € R: х > М}, чтобы получить /(х) > М и удовлетворить условию (8.7). #
Если в определении 8.1 X = У = R и подмножество А = = {а: € R: х > а}, то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 lim fix). Если же X = У = R
Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством X. При X = Y = R этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо lim /(х) пишут просто lim /(х).
Конечно, говоря о lim /(х), можно рассматривать всевоз-можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит к содержательным нетривиальным результатам. Так, если функцию Дирихле рассматривать на подмножестве Q С R рациональных чисел, то получим просто постоянную функцию, предел которой установлен в примере 8.1.
При определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение.
Определение 8.2. Точку 6 € У называют пределом последовательности {уп} точек уп метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность V(6) С У точки 6, существует натуральное число N , такое, что начиная с номера N +1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
При выполнении (8.10) говорят также, что {уп} стремится к точке 6. Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки 6 ее произвольную ^-окрестность, будем иметь
Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность {уп} точек уп метрического пространства стремится к точке 6, если числовая последовательность {d(yn> 6)} расстояний d(yni b) € R бесконечно малая, т.е.
Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается
на исследование сходимости числовых последовательностей. Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема.
Теорема 8.1. Отображение /:У имеет точку 6 € У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении / образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е.
Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и {х„} - произвольная последовательность точек хп из А, стремящаяся к точке a € X. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность V(b) С У
точки 6, существует проколотая окрестность U(a) С X точ-
ки а, такая, что /(и(а)ПА) С V(6). По определению 8.2, в
U(a)nA должны лежать начиная с некоторого номера W + 1 все точки стремящейся к а последовательности {хп}» т.е. в силу (8.10)
Тогда начиная с того же номера все точки f(xn) Е У последовательности {f(xn)} лежат в V(6), что, согласно определению 8.2, означает, что эта последовательность стремится к 6.
Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности {хп} точек хп из А последовательность {/(х„)} точек f(xn) из У стремится к 6. Если бы lim f(x) ф 6, то это означало бы существование такого числа е > 0, что при любом выборе 8 > 0 имеется точка х € А, удовлетворяющая условиям р(х, а) и d(f(x)y 6) > е. При сколь угодно малом S > О можно указать натуральное число N) такое, что 1 /N . Тогда для каждого номера п > N найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим хп, такая, что р(хп, ^ Таким образом, последовательность {хп}, составленная из таких точек хп 6 Ау в силу (8.11) стремится к а, тогда как {/(хп)} не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы.
Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1.
Определение 8.3. Точку б€ У называют пределом отображения /: А -> У в точке а по множеству А, если при отображении / образ любой стремящейся к а последоваг тельности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к Ь.
Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают.
Пример 8.2. Пусть X = R, А = R, а = +оо и в отображении /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Покажем, что
lim f(x) = lim cos a;
не существует. Возьмем последовательность {a:n} = {2птг}, которая стремится к +оо. Тогда cosin = соз2птг = 1, и в силу (6.9) lim {cos xn} = 1. Если же взять последовательность {хп} = {(2п + 1)тг/2}, также стремящуюся к +оо, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. указанный выше предел не существует. Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей {2п(-1)п7г} и {(2п+ 1)(-1)птг/2} приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить
то правомерна запись
lim cosx = 1 и limcoex = 0. #
Сопоставлением определений 8.1 и 5.13 может быть доказана следующая теорема.
Теорема 8.2. Отображение /: X -+Y будет непрерывным в точке а € X в том и только том случае, когда предел отображения при стремлении х по множеству X к точке а совпадает со значением /(а), т.е. когда
Л Пусть отображение / непрерывно в точке а в X. Тогда, по определению 5.13 непрерывного отображения, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6 = /(а) € У, существует такая окрестность U(a) точки а € А} что /(U(a)) С V(6), а
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения
стало быть, существует и проколотая окрестность U (а) точки
а, такая, что /(U(a)) С V(b). Согласно определению 8.1 это означает, что справедливо (8.12).
Обратно, пусть выполнено (8.12). Тогда в силу определения 8.1 для любой окрестности V (Ь) точки b = /(a) су-
ществует проколотая окрестность U(a) точки а, такая, что
/(U(a)) С V(6). Рассмотрим окрестность U(a) = U(a) U {a}. Поскольку /(a) G V(6), согласно свойствам отображения множеств (см. 2.1), имеем 4
т.е. отображение / по определению 5.13 непрерывно в точке аеХ.
С учетом теоремы 8.2 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.13.
Определение 8.4. Отображение /: называют непрерывным в точке а 6 Ху если справедливо (8.12).
Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение.
Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения /: X -У Y в предельной точке абХ необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / любой стремящейся к а последовательности точек из X был последовательностью точек из У, сходящейся к точке /(а).
8.2. Некоторые свойства предела отображения
Пусть X и У, так же как и в 8.1, - метрические пространства, AC X и а € X - предельная точка множества А.
Теорема 8.3. Бели при стремлении х по множеству А к точке а отображение /: X У имеет предел, то он единственный.
Предположим, что при х-^а отображение / имеет два предела 6i и 62, причем 61 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей этих точек (V(61)flV(62) = 0), по определению 8.1, у точки а существует
проколотая окрестность U(a), такая, что и, а это невозможно в силу определения 2.1 отображения.
Теорема 8.4 (о пределе композиции). Бели существуют пределы
отображений /: AC X и д: У Z, причем {(х)фЬ при г-^a, где Ху У и Z - метрические пространства предельные точки соответственно для А С X и f(A) С У, то существует при х-^а и предел композиции (сложной функции)
Выберем произвольную окрестность W (с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно
найти такую проколотую окрестность V(6) точки 6, что
д(V(6) П f}