Решение различных практических задач динамического программирования: Оптимальное распределение ресурсов. Динамическое программирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Средства X выделенные kому предприятию приносит в конце года прибыль. Функции заданы таблично: X f1X f2X f3X f4X 1 8 6 3 4 2 10 9 4 6 3 11 11 7 8 4 12 13 11 13 5 18 15 18 16 Определить какое количество средств нужно выделить каждому предприятию чтобы суммарная прибыль равная сумме прибылей полученных от каждого предприятия была наибольшей. Пусть количество средств выделенных kому предприятию. Уравнения на м шаге удовлетворяют условию: либо kому предприятию ничего не выделяем: либо не больше того что...

Лабораторная работа 4_2. Решение задачи о распределении ресурсов методом динамического программирования.

Цель работы – изучить возможности табличного процессора MS Excel для решения задачи распределения ограниченных ресурсов методом динамического программирования.

Краткие теоретические сведения

Построение модели динамического программирования (ДП) и применение метода ДП для решения задачи сводится к следующему:

1. выбирают способ деления процесса управления на шаги;
2. определяют параметры состояния и переменные управления X k на каждом шаге;
3. записывают уравнения состояний;
4. вводят целевые функции k -ого шага и суммарную целевую функцию;
5. вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) и условное оптимальное управление на k -ом шаге: .
6. Записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения Беллмана для и по правилу:

1. Решают последовательно уравнения Беллмана (условная оптимизация) и получают две последовательности функций и.
2. После выполнения условной оптимизации получают оптимальное решение для конкретного состояния:

а) и

б) по цепочке оптимальное управление (решение) .

Постановка задачи динамического программирования в общем виде.

Условие задачи . Планируется деятельность четырех промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: у.е. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 условной единице. Средства X , выделенные k

	f 1 (X)	f 2 (X)	f 3 (X)	f 4 (X)

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль (равная сумме прибылей, полученных от каждого предприятия), была наибольшей.

Решение. Пусть - количество средств, выделенных k -ому предприятию. Суммарная прибыль равна. Переменные X удовлетворяют ограничениям: . Требуется найти переменные, удовлетворяющие данным ограничениям и обращающие в максимум функцию Z .

Схема решения задачи методом ДП имеет следующий вид: процесс решения распределения средств можно рассматривать как 4-шаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных – уравнения на 1, 2, 3, 4 шагах соответственно; - конечное состояние процесса распределения – равно нулю, т.к. все средства должны быть вложены в производство, =0 .

Уравнения состояний и схему распределения можно представить в виде:

Здесь - параметр состояния – количество средств, оставшихся после k -ого шага, т.е. средства, которые остается распределить между оставшимися (4- k ) предприятиями.

Введем в рассмотрение функцию - условно оптимальную прибыль, полученную от -го, ( k +1 )-го, …, 4-го предприятий, если между ними распределялись оптимальным образом средства). Уравнения на -м шаге удовлетворяют условию: (либо k -ому предприятию ничего не выделяем: , либо не больше того, что имеем к k -ому шагу:).

Уравнения Беллмана имеют вид:

Решение уравнений осуществляется путем последовательной оптимизации каждого шага.

4 шаг. Все средства, оставшиеся к 4-ому шагу, следует вложить в 4-е предприятие, поскольку согласно таблице прибыли монотонно возрастают. При этом для возможных значений получим:

3 шаг . Делаем предположения относительно остатка средств к 3-ему шагу: может принимать значения 0,1,2,3,4,5 (=0, если все средства отданы 1-ому и 2-ому предприятиям и т.д.). В зависимости от этого выбираем и сравниваем для разных при фиксированных значениях значения суммы. Для каждого максимальное из этих значений есть - условная оптимальная прибыль, полученная при оптимальном распределении средств между 3-м и 4-м предприятиями. Полученные значения для приведены в таблице в графах 5 и 6 соответственно.

S k-1			k =3			k =2			k =1
			f 3 (X 3 )+			f 2 (X 2 )+			f 1 (X 1 )+
			0+4=4 3+0=3			0+4=4 6+0=6			0+6=6 8+0=8
			0+6=6 3+4=7 4+0=4			0+7=7 6+4=10 9+0=9			0+10=10 8+6=14 10+0=10
			0+8=8 3+6=9 4+4=8 7+0=7			0+9=9 6+7=13 9+4=13 11+0=11			0+13=13 8+10=18 10+6=16 11+0=11
			0+13=13 3+8=11 4+6=10 7+4=11 11+0=11			0+13=13 6+9=15 9+7=16 11+4=15 13+0=13			0+16=16 8+13=21 10+10=20 11+6=17 12+0=12
			0+16=16 3+13=16 4+8=12 7+6=13 11+4=15 18+0=18			0+18=18 6+13=19 9+9=18 11+7=18 13+4=17 15+0=15			0+19=19 8+16=24 10+13=23 11+10=21 12+6=18 18+0=18

2 шаг k =2. Для всех возможных значений значения и находятся в столбцах 8 и 9 соответственно; первые слагаемые в столбце 7 – значения взяты из условия, вторые слагаемые взяты из столбца 5 при.

1 шаг . Условная оптимизация проведена в таблице при k =1 для.

Если, то=5; прибыль, полученная от четырех предприятий при условии, что =5 средств между оставшимися тремя предприятиями будут распределены оптимально, равна.

Если, то=4; суммарная прибыль при условии, что =4 средств между оставшимися тремя предприятиями будут распределены оптимально, равна.

Аналогично, при, и;

При, и;

При, и;

Сравнивая полученные значения, получим при.

Вычисляя, получим, а по таблице в столбце 9 находим. Далее находим, а в столбце 6 . Наконец, и. Оптимальное решение.

Ответ. Максимум суммарной прибыли равен 24 у.е. при условии, что 1-ому предприятию выделена 1 у.е.; 2-ому предприятию выделено 2 у.е.; 3-ому предприятию - 1 у.е.; 4-ому предприятию - 1 у.е.

Реализация задачи в MS Excel

1. Ввод исходных данных в таблицу показан на Рис.1.

Рис.1. Ввод исходных данных в ячейки рабочего листа MS Excel

2. Порядок заполнения ячеек таблицы:

1). В ячейку E 15 введем формулу ИНДЕКС($B$3:$F$8;ПОИСКПОЗ($C15;$B$3:$B$8);G$12+1) и скопируем формулу в диапазоне ячеек с E 15 до E 35.

2). В ячейку F 15 введем формулу

ИНДЕКС($B$3:$F$8;ПОИСКПОЗ($D15;$B$3:$B$8);5) и скопируем формулу в диапазон ячеек с F 15 до F 35.

3). В ячейку G 15 введем формулу E 15+ F 15 и скопируем формулу в диапазон: G 15 - G 35.

4). Находим максимальное значение для каждого состояния от 0 до 5, для этого в ячейку H 15 введем формулу МАКС(G15); после ввода формулы в ячейку H 16 необходимо изменить диапазон с G 16 на G 16: G 17 и т.д. по всему столбику до ячейки H 30 (Рис.2а).

3. Находим значение управления, которому соответствует максимальное значение функции, для этого в ячейку I 15 введем формулу ИНДЕКС($ C 15: G 15;ПОИСКПОЗ(H 15; G 15;0);1), скопируем формулу в ячейку I 16 и увеличим диапазон, в результате в ячейке I 16 получим: ИНДЕКС($ C 16: G 17;ПОИСКПОЗ(H 16; G 16: G 17;0);1). Далее скопируем формулу в ячейки I 18, I 21, I 25, I 30 , постепенно увеличивая диапазон (Рис.2б)

Рис.2а. Вид рабочего листа с формулами, k =3.

Рис.2б (правая часть рабочего листа с формулами, k =3

В результате получим:

Рис. 3 . Результат выполнения первого шага ( k =3).

4. Выделяем диапазон E 15: I 35, выполняем команду Копировать J 15 и выполняем команду Вставить .

5. Изменим формулу функции. В ячейки K 15, K 16, K 18, K 21, K 25, K 30 введем соответственно максимальные значения предыдущего шага, находящиеся в ячейках H 15, H 16, H 18, H 21, H 25, H 30. В остальные ячейки поместим значения, стоящие в этом же столбце и соответствующие предыдущим S k . :

В ячейку K 17 копируем значения ячейки К15;

в ячейки К19 и К20 – значения К16 и К17;

в К22:К24 – значения К18:К20;

в К26:К29 – значения К21:К24;

в К31:К35 – значения К25:К29;

В результате получим:

Рис.4. Результат выполнения второго шага ( k =2).

6. Выделяем диапазон ячеек J 15: N 35, выполняем команду Копировать , устанавливаем курсор в ячейку O 15, выполняем команду Вставить . В результате получаем заполненную таблицу с решением для k =1 (Рис.5)

7. Объясним полученные результаты: при. Вычисляя, получим, а по таблице в столбце 12 находим. Далее определяем, а из столбца 6 . Наконец, и. Таким образом, оптимальное значение, а значение функции 24 у.е., что согласуется с данными, полученными вручную.

Рис.6. Результат выполнения третьего шага ( k =1).

Контрольные упражнения. Варианты.

1. Планируется деятельность четырех промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства у.е. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 у.е. Средства X , выделенные k -ому предприятию (), приносит в конце года прибыль. Функции заданы таблично:

	f 1 (X)	f 2 (X)	f 3 (X)	f 4 (X)

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

2. Планируется деятельность трех промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: у.е. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 у.е. Средства X , выделенные k -ому предприятию (), приносит в конце года прибыль. Функции заданы таблично:

	f 1 (X)	f 2 (X)	f 3 (X)

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль, была наибольшей.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
58796.		Geographical Outlook	977.5 KB
	By the end of the lesson you should be able to recognize and understand new words and word combinations in the text, to read and understand the gist and details despite the natural difficulties.
58797.		Інформація та інформаційні процеси. Обчислювальна система	128 KB
	Загальна характеристика теми. Правила техніки безпеки в кабінеті ПЕОМ. Інформатика. Поняття інформації. Інформація і шум. Інформаційні процеси. Інформація й повідомлення.
58798.		Операційні системи	126 KB
	Робочий стіл. Основні об’єкти Windows. Виділення об’єкта. Операції, властивості та основні команди для роботи з об’єктами. Контекстне меню об’єкта. Ярлики та їх призначення.
58799.		Основи роботи з дисками	144.5 KB
	Загальна характеристика теми. Форматування диска. Діагностика та дефрагментація дисків. Відновлення інформації на диску. Правила записування та зчитування інформації з дискет.
58800.		Текстовий редактор	190 KB
	Системи опрацювання текстiв i їх основнi функцiї. Завантаження текстового редактора. Iнтерфейс редактора. Інформаційний рядок. Режими екрана, використання вікон.
58801.		Графічний редактор	708 KB
	Загальна характеристика теми. Машинна графiка. Графiчний екран. Система опрацювання графiчної інформації. Вказiвки малювання графiчних примiтивiв при роботi з редактором. Типи графічних файлів.
58802.		Електронні таблиці	280.5 KB
	Навчальна. Охарактеризувати нову тему, висвітлити її роль в курсі інформатики. Ввести поняття електронна таблиця. Ознайомити учнів з програмами опрацювання ЕТ, правилами введення та редагування інформації в ЕТ, способами форматування ЕТ.
58803.		Системи управління базами даних (СУБД)	156.5 KB
	Бази даних. Фактографічні й документальні БД. Iєрархiчна, мережева, реляцiйна модель бази даних. Основнi елементи та об’єкти бази даних: поле, запис, файл. СУБД.

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для решения задачи оптимального распределения инвестиций в онлайн режиме. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).
Такого рода задачи основаны на функции Беллмана и при решении используется метод обратной прогонки (см. Типовые задания). Также можно воспользоваться сервисом Процедура прямой прогонки .

Инструкция . Выберите количество предприятий и количество строк (количество вариантов эффективного вложения), нажмите Далее (см. Пример заполнения). Если доход и остатки предприятий задан в виде функций f(x) и g(x) , задача решается через этот калькулятор .

Количество предприятий 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество вариантов эффективного вложения) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Пример №1 . Определите оптимальный план расширения производства трех предприятий, если известна их прибыль в год при отсутствии вложений и при инвестировании 1, 2, 3 или 4 млн. Определите, при каком инвестировании будет максимальный процент прироста прибыли.

f1	f2	f3	x i
40	30	35	0
90	110	95	1
395	385	270	2
440	470	630	3
620	740	700	4

I этап. Условная оптимизация .
1-ый шаг. k = 3.

e 2	u 3	e 3 = e 2 - u 3	f 3 (u 3)	F* 3 (e 3)	u 3 (e 3)
1	0	1	35
	1	0	95	95	1
2	0	2	35
	1	1	95
	2	0	270	270	2
3	0	3	35
	1	2	95
	2	1	270
	3	0	630	630	3
4	0	4	35
	1	3	95
	2	2	270
	3	1	630
	4	0	700	700	4

2-ый шаг. k = 2.

e 1	u 2	e 2 = e 1 - u 2	f 2 (u 2)	F* 2 (e 1)	F 1 (u 2 ,e 1)	F* 2 (e 2)	u 2 (e 2)
1	0	1	30	95	125	125	0
	1	0	110	0	110
2	0	2	30	270	300
	1	1	110	95	205
	2	0	385	0	385	385	2
3	0	3	30	630	660	660	0
	1	2	110	270	380
	2	1	385	95	480
	3	0	470	0	470
4	0	4	30	700	730
	1	3	110	630	740	740	1
	2	2	385	270	655
	3	1	470	95	565
	4	0	740	0	740

3-ый шаг. k = 1.

e 0	u 1	e 1 = e 0 - u 1	f 1 (u 1)	F* 1 (e 0)	F 0 (u 1 ,e 0)	F* 1 (e 1)	u 1 (e 1)
1	0	1	40	125	165	165	0
	1	0	90	0	90
2	0	2	40	385	425	425	0
	1	1	90	125	215
	2	0	395	0	395
3	0	3	40	660	700	700	0
	1	2	90	385	475
	2	1	395	125	520
	3	0	440	0	440
4	0	4	40	740	780	780	0
	1	3	90	660	750
	2	2	395	385	780
	3	1	440	125	565
	4	0	620	0	620

Примечание : Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 3-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.
Этап II. Безусловная оптимизация .
Из таблицы 3-го шага имеем F* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 780 тыс.руб., то есть максимальная прибыль от инвестирования e 0 = 4 млн.руб. равна 780 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что первому предприятию следует выделить u* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 0 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 1 = e 0 - u 1 , e 1 = 4 - 0 = 4 млн.руб.
Из таблицы 2-го шага имеем F* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 740 тыс.руб., т.е. максимальная прибыль при e 1 = 4 млн.руб. равна 740 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что второму предприятию следует выделить u* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 1 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 2 = e 1 - u 2 , e 2 = 4 - 1 = 3 млн.руб.
Последнему предприятию достается 3 млн.руб. Итак, инвестиции в размере 4 млн.руб. необходимо распределить следующим образом: первому предприятию ничего не выделять, второму предприятию выделить 1 млн.руб., третьему предприятию выделить 3 млн.руб., что обеспечит максимальную прибыль, равную 780 тыс.руб.

Пример №2 . Имеются 4 предприятия, между которыми необходимо распределить 100 тыс. усл. ед. средств. Значения прироста выпуска продукции на предприятии в зависимости от выделенных средств Х представлены в таблице. Составить оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.

РЕФЕРАТ

Введение

Динамическое программирование - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми.

Начало развития динамического программирования относится к 50-м годам ХХ в. и связано с именем Ричарда Эрнеста Беллмана.

Если модели линейного программирования можно использовать в экономике для принятия крупномасштабных плановых решений в сложных ситуациях, то модели динамического программирования применяются при решении задач значительно меньшего масштаба:

üпри разработке правил управления запасами;

üпри распределении инвестиционных ресурсов между альтернативными проектами;

üпри составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены и т.п.

1. Общая постановка задачи динамического программирования

динамический беллман уравнение программирование

Рассматривается управляемый процесс, например, процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования и т.п. В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния s0 в состояние sn. Пусть, управление можно разбить на n шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность n пошаговых управленческих решений.

Обозначим через Xk управленческое решение на k-м шаге (k=1, 2, …, n). Переменные Xk удовлетворяют некоторым ограничениям и в этом смысле называются допустимыми (Xk может быть числом, точкой в n-мерном пространстве или качественным признаком).

Пусть X=(X1, X2, …, Xn) - управление, переводящее систему S из состояния s0 в состояние sn. Обозначим через sk состояние системы (характеризуемое определенным набором параметров и конкретных их значений) после k-го шага управления. Причем состояние системы sk в конце k-го шага зависит только от предшествующего состояния sk-1 и управленческого решения на k-ом шаге Xk (т.е. не зависит напрямую от предшествующих состояний и управленческих решений). Данное требование называется «отсутствием последствия» и может быть выражено следующими уравнениями состояний:

Таким образом, получаем последовательность состояний s0, s1, …, sk-1, sk, …, sn-1, sn. Тогда n-шаговый управленческий процесс схематично можно изобразить следующим образом:

Пусть показатель эффективности k-го шага выражается некоторой функцией:

а эффективность всего рассматриваемого многошагового процесса следующей аддитивной функцией:

Тогда задача пошаговой оптимизации (задача динамического программирования) формулируется следующим образом: определить такое допустимое управление Х, переводящее систему S из состояния s0 в состояние sn, при котором целевая функция Z принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Задача динамического программирования обладает следующими особенностями:

Задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления.

Целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага.

Выбор управления на k-ом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (отсутствие обратной связи).

Состояние sk после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния sk-1 и управления Xk («отсутствие последствия»).

На каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние sk - от конечного числа параметров.

2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана

Принцип оптимальности впервые был сформулирован Ричардом Эрнестом Беллманом в 1953 г. (в трактовке Е.С. Вентцель):

Каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление таким образом, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Р.Э. Беллманом были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Рассмотрим общую задачу динамического программирования, приведенную выше. На каждом шаге кроме последнего для любого состояния системы sk-1 управленческое решение Xk необходимо выбирать «с оглядкой», так как этот выбор влияет на последующее состояние системы sk.

На последнем шаге исходя из состояния системы sn-1 управленческое решение Xn можно планировать локально-оптимально, т.е. исходя только из соображений этого шага.

Рассмотрим последний n-й шаг:

sn-1 - состояние системы к началу n-го шага;

sn - конечное состояние системы;

Xn - управление на n-ом шаге;

fn(sn-1, Xn) - целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Согласно принципу оптимальности, Xn нужно выбирать таким образом, чтобы для любых состояний системы sn-1 получить оптимум целевой функции на этом шаге.

Обозначим через оптимум (для определенности примем максимум) целевой функции - показатель эффективности n-го шага при условии, что к началу последнего шага система S была в произвольном состоянии sn-1, а на последнем шаге управление было оптимальным.

называют условным максимумом целевой функции на n-ом шаге, и определяют по следующей формуле:

Максимизация ведется по всем допустимым управлениям Xn.

Решение Xn, при котором достигается, также зависит от sn-1 и называется условным оптимальным решением на n-ом шаге. Обозначим его через.

Решив одномерную задачу локальной оптимизации по уравнению (5), определим для всех возможных состояний sn-1 две функции и.

Рассмотрим двухшаговую задачу: присоединим к n-му шагу (n-1) - й.

Для любых состояний sn-2, произвольных управленческих решений Xn-1 и оптимальном управлении на n-ом шаге значение целевой функции на двух последних шагах вычисляется по формуле:

Согласно принципу оптимальности Беллмана для любых sn-2 решение нужно выбирать так, чтобы оно вместе с оптимальным управлением на последнем (n-ом) шаге приводило бы к оптимуму целевой функции на двух последних шагах. Следовательно, необходимо отыскать оптимум выражения (6) по всем допустимым управленческим решениям Xn-1:

Называют условным максимумом целевой функции при оптимальном управлении на двух последних шагах. Необходимо отметить, что выражение в фигурных скобках в формуле (6), зависит только от sn-2 и Xn-1, так как sn-1 можно найти из уравнения состояний (1) при:

Соответствующее управление Xn-1 на (n-1) - ом шаге обозначается через и называют условным оптимальным управлением на (n-1) - ом.

Аналогично определяются условные оптимумы целевой функции при оптимальном управлении на (n-k+1) шагах, начиная с k-го до конца, при условии, что к началу k-го шага система находилась в состоянии sk-1:

Управление Xk на k-ом шаге, при котором достигается максимум по (8), обозначается и называется условным оптимальным управлением на k-ом шаге.

Уравнения (5) и (8) называют рекуррентными уравнения Беллмана (обратная схема). Процесс решения данных уравнений называют условной оптимизацией.

В результате условной оптимизации получаются две последовательности:

, …, - условные максимумы целевой функции на последнем, двух последних, …, на n шагах;

, …, - условные оптимальные управления на n-ом, (n-1) - ом, …, на 1-ом шагах.

Используя данные последовательности, можно найти решение задачи динамического программирования при данных n и s0:

В результате получаем оптимальное решение задачи динамического программирования: .

Аналогично рассуждая, можно выстроить и прямую схему условной оптимизации:

Оптимальное решение задачи в данном случае находится по следующей схеме:

Таким образом, построение модели динамического программирования и решение задачи на ее основе в общем виде можно представить в виде следующих этапов:

Выбирают способ деления процесса управления на шаги.

Определяют параметры состояния sk и переменные управления Xk на каждом шаге, записывают уравнения состояний.

3. Вводят целевые функции k-ого шага и суммарную целевую функцию, а также условные оптимумы и условное оптимальное управление на k-ом шаге ().

Записывают в соответствии с обратной или прямой схемой рекуррентные уравнения Беллмана и после выполнения условной оптимизации получают две последовательности: {} и {}.

Определяют оптимальное значение целевой функции и оптимальное решение.

3. Задача распределения ресурсов

Имеется определенное количество ресурсов s0, которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi(xi) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).

Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть sk () - параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n - k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:

Введем в рассмотрение функцию - условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1) - го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме sk-1 (). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .

Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:

Пример. Имеется определенное количество ресурсов s0=100, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi(xi) () (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Решение. Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):

Определим условные максимумы в соответствии с (13), результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1. Расчет условных оптимумов

sk-1xkskk=3k=2k=1123456789101112000000000000200200+20=20 22 200+22=22 2200+22=22 22020022+0=22 17+0=1714+0=14400400+33=33 42 200+42=42 4200+42=42 420202022+20=42 17+22=3914+22=3640021+0=2120+0=2026+0=26600600+46=46 55 200+55=55 59 20 0+59=59 590204022+33=5517+42=59 14+42=56402021+20=4120+22=4226+22=4860037+0=3732+0=3235+0=35800800+30=30 68 200+68=68 72 200+72=72 73 20206022+46=6817+55=7214+59=73 404021+33=5420+42=6426+42=68602037+20=5732+22=5435+22=5780067+0=6761+0=6152+0=5210001000+42=42 87 800+87=87 8700+87=87 870208022+30=5217+68=8514+72=86406021+46=6720+55=7526+59=85604037+33=7032+42=7435+42=77802067+20=87 61+22=8352+22=74100058+0=5872+0=7261+0=61По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:

Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:

которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.

Ответ: оптимальное распределение ресурсов: , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.

Вывод

Динамическое программирование - это область математического программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить, как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель. Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи. На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и на выигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачами динамического программирования. В детерминированной задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным и выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние. Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени. Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.

Список литературы

1. Экономико-математические модели и методы. Линейное программирование: Учебное пособие для студентов экономических специальностей / Составители: Смирнов Ю.Н., Шибанова Е.В., Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 81 с.
2. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.
3. Кузнецов А.В. и др. Высшая математика: Мат. программирование: Учеб./А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под общ. ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: Высш. шк., 1994. - 286 с.: ил.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

План урока

Учебная дисциплина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Тема урока Решение различных практических задач ДП с применением математических методов.

Цели урока

Развить навык решения задач динамического программирования.

Развитие качества ума, внимания, умений учебного труда студентов.

Воспитание дисциплинированности, целеустремленности студентов.

Оснащение урока конспект лекций, В.П.Агальцов «Математические методы в программировании».

Ход урока:

Организационный момент:

проверка отсутствующих, заполнение журнала.

Актуализация опорных знаний : ответы на контрольные вопросы

Какие задачи называются многошаговыми?

При помощи какого математического аппарата решаются многошаговые задачи?

Что такое оптимальное управление u*?

Каков алгоритм метода последовательных приближений в два круга?

Приведите примеры задач оптимального распределения ресурсов.

Изучение нового материала:

Классические задачи динамического программирования

• Задача о наибольшей общей подпоследовательности: даны две последовательности, требуется найти самую длинную общую подпоследовательность.

• Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности: дана последовательность, требуется найти самую длинную возрастающую подпоследовательность.

• Задача о редакционном расстоянии (расстояние Левенштейна): даны две строки, требуется найти минимальное количество стираний, замен и добавлений символов, преобразующих одну строку в другую.

• Задача о вычислении чисел Фибоначчи

• Задача о порядке перемножения матриц: даны матрицы, …, требуется минимизировать количество скалярных операций для их перемножения.

• Задача о выборе траектории

• Задача последовательного принятия решения

• Задача об использовании рабочей силы

• Задача управления запасами

• Задача о ранце: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес» требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при ограниченном суммарном весе.

• Алгоритм Флойда - Уоршелла: найти кратчайшие расстояния между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа.

• Алгоритм Беллмана - Форда: найти кратчайший путь во взвешенном графе между двумя заданными вершинами.

• Максимальное независимое множество вершин в дереве: дано дерево, найти максимальное множество вершин, никакие две из которых не связаны ребром.

Пример: Оптимальное распределение ресурсов

Капитал 40 млн.руб. инвестор должен вложить в четыре инвестиционных проекта так, чтобы получить максимальный доход. Доходность проектов дана в таблице (вложения кратны 8 млн. руб.)

u

Прибыль от внедрения

f4 (u )

f3 (u )

f2 (u )

f1 (u )

55

39

120

115

10 0

120

135

134

14 0

145

158

147

Решение:

Это задача динамического программирования. Решение состоит из двух этапов. На первом этапе (от конца к началу) ищем условное оптимальное решение, на втором (от начала к концу) – ищем оптимальное решение задачи.

1 этап.

Распределяем капитал между четырьмя проектами и считаем получаемую прибыль L (i ), i = 8,16,24,32,40.

1 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый проект.

L (8)=55

L (16)=58

L (24)=90

L (32)=100

L (40)=140

2 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый и третий проекты.

u

Прибыль от внедрения

1 шаг

f3 (u )

55

39

10 0

120

14 0

145

3 шаг : Денежные средства вкладываются в четвертый, третий (2 шаг) и второй проекты.

u

Прибыль от внедрения

2 шаг

f 2(u )

94

108

120

135

135

175

158

175

134

214

147

2 этап:

На четвертом шаге выбираем максимальное из полученных значений прибыли L (40)=214.

И возвращаясь в обратном порядке от таблицы к таблице (от 4 шага к 1) выбираем такие значения доходов, при которых и получено значение 214.

Максимальный доход 214 млн. руб. от вложенных средств может быть получен при следующем распределении средств:

1 проект – 0 млн. руб.

2 проект – 24 млн. руб.

3 проект – 8 млн. руб.

4 проект – 8 млн. руб.

Закрепление нового материала:

5. Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:

(2) п.5.1

Ср12: формирование и усвоение содержания теоретического материала

Подпись преподавателя

Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения, или же и первое, и второе одновременно характеризуются нелинейными зависимостями.

Данный раздел представлен следующими калькуляторами:

1. . Распределении инвестиций между предприятиями П 1 , П 2 ,..., П n . Инвестируемая сумма E усл. ден. ед.
2. Задача распределения ресурсов . Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны s 0 .
3. Складская задача : составить оптимальную программу выпуска продукции X , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.
4. Задача о рюкзаке (решение задачи о загрузке транспортного средства).

Задача распределения инвестиций

В задачах данного типа заданы сумма инвестиций (или сумма для распределения) и таблица планируемой прибыли. Если сумма для распределения явно не задана, то ее можно найти из таблицы - она равна максимальному значению x i (последняя строчка таблицы).

Таблицы могут иметь разный вид.
Таблица 1 - Первый вариант таблицы исходных данных

x	f 1 (x )	f 2 (x )	f 3 (x )
5 *

* - здесь значение 5 - максимальное значение (сумма для распределения).

Таблица 2 - Второй вариант таблицы исходных данных

x
f 1 (x )
f 2 (x )
f 3 (x )

Пример задачи.
Для двух предприятий выделено A единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен f 1 (х), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен f 2 (y). Остаток средств к концу года составляет g 1 (x) для первого предприятия и g 2 (y) для второго предприятия. Задачу решить методом динамического программирования.

При вводе данных первую нулевую строку можно не заполнять.

В сервисе Задача распределения инвестиций используется метод обратной прогонки.

Метод прогонки

Данная задача соответствует задаче распределения инвестиций. Разница состоит в оформлении результатов полученного решения и применения метода прямой прогонки.

В сервисе Метод прогонки необходимо также выбрать метод решения: процедура прямой или обратной прогонки.

Задача замены оборудования

Цель решения - определить на каких шагах алгоритма (в какие годы) необходимо заменить оборудование. Для этого вводятся Период эксплуатации (в годах) и Стоимость нового оборудования . После этого необходимо заполнить таблицу дохода r(t) и остаточной стоимости S(t).
Задача замены оборудования

Планирование производственной линии

Задача последовательной обработки на двух машинах N различных деталей, если известно время A i и B i обработки i -й детали на соответствующих машинах. Требуется найти порядок обработки, минимизирующий время простоя второй машины и тем самым сокращающий общее время обработки деталей.