Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования. Какой должна быть целевая функция

) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций , линейном программировании , теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи . Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах.

Примеры

Гладкие функции и системы уравнений

$\backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; F\_1(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; F\_2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash ldots\; \backslash \backslash \; F\_N(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.$

может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции

$S\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^N\; F\_j^2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; \backslash qquad\; (1)$

Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами .

Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к $0$ частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции $(1)$ это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем.

Линейное программирование

Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств.

Комбинаторная оптимизация

Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра . Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе . Она задана на множестве перестановок $n-1$ вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов.

Напишите отзыв о статье "Целевая функция"

Примечания

См. также

Литература

• Бурак Я. И., Огирко И. В. Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры характеристиками материала // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1977. - Вып. 5. - С.26-30

Отрывок, характеризующий Целевая функция

Бедный муж мой переносит труды и голод в жидовских корчмах; но новости, которые я имею, еще более воодушевляют меня.
Вы слышали, верно, о героическом подвиге Раевского, обнявшего двух сыновей и сказавшего: «Погибну с ними, но не поколеблемся!И действительно, хотя неприятель был вдвое сильнее нас, мы не колебнулись. Мы проводим время, как можем; но на войне, как на войне. Княжна Алина и Sophie сидят со мною целые дни, и мы, несчастные вдовы живых мужей, за корпией делаем прекрасные разговоры; только вас, мой друг, недостает… и т. д.
Преимущественно не понимала княжна Марья всего значения этой войны потому, что старый князь никогда не говорил про нее, не признавал ее и смеялся за обедом над Десалем, говорившим об этой войне. Тон князя был так спокоен и уверен, что княжна Марья, не рассуждая, верила ему.
Весь июль месяц старый князь был чрезвычайно деятелен и даже оживлен. Он заложил еще новый сад и новый корпус, строение для дворовых. Одно, что беспокоило княжну Марью, было то, что он мало спал и, изменив свою привычку спать в кабинете, каждый день менял место своих ночлегов. То он приказывал разбить свою походную кровать в галерее, то он оставался на диване или в вольтеровском кресле в гостиной и дремал не раздеваясь, между тем как не m lle Bourienne, a мальчик Петруша читал ему; то он ночевал в столовой.
Первого августа было получено второе письмо от кня зя Андрея. В первом письме, полученном вскоре после его отъезда, князь Андрей просил с покорностью прощения у своего отца за то, что он позволил себе сказать ему, и просил его возвратить ему свою милость. На это письмо старый князь отвечал ласковым письмом и после этого письма отдалил от себя француженку. Второе письмо князя Андрея, писанное из под Витебска, после того как французы заняли его, состояло из краткого описания всей кампании с планом, нарисованным в письме, и из соображений о дальнейшем ходе кампании. В письме этом князь Андрей представлял отцу неудобства его положения вблизи от театра войны, на самой линии движения войск, и советовал ехать в Москву.
За обедом в этот день на слова Десаля, говорившего о том, что, как слышно, французы уже вступили в Витебск, старый князь вспомнил о письме князя Андрея.
– Получил от князя Андрея нынче, – сказал он княжне Марье, – не читала?
– Нет, mon pere, [батюшка] – испуганно отвечала княжна. Она не могла читать письма, про получение которого она даже и не слышала.
– Он пишет про войну про эту, – сказал князь с той сделавшейся ему привычной, презрительной улыбкой, с которой он говорил всегда про настоящую войну.
– Должно быть, очень интересно, – сказал Десаль. – Князь в состоянии знать…
– Ах, очень интересно! – сказала m llе Bourienne.
– Подите принесите мне, – обратился старый князь к m llе Bourienne. – Вы знаете, на маленьком столе под пресс папье.
M lle Bourienne радостно вскочила.
– Ах нет, – нахмурившись, крикнул он. – Поди ты, Михаил Иваныч.
Михаил Иваныч встал и пошел в кабинет. Но только что он вышел, старый князь, беспокойно оглядывавшийся, бросил салфетку и пошел сам.
– Ничего то не умеют, все перепутают.
Пока он ходил, княжна Марья, Десаль, m lle Bourienne и даже Николушка молча переглядывались. Старый князь вернулся поспешным шагом, сопутствуемый Михаилом Иванычем, с письмом и планом, которые он, не давая никому читать во время обеда, положил подле себя.

Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.

Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.

Скачать заметку в формате , рисунки в формате

Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ.

Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х 1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х 2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 … в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500 * х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 их 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено З * х 1 , часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10 * х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3 * х 1 + 10 * х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рис. 2. Оси графика линейного программирования

Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х 1 + 10 * х 2 = 330. Эта прямая пересекает ось х 1 при значении х 2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х 1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х 1 = 330 / 3 = 110

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х 1 и х 2 для всех условий-ограничений:

Область допустимых значений	Граница допустимых значений	Пересечение с осью х 1	Пересечение с осью х 2
3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330	3 * х 1 + 10 * х 2 = 330	х 1 = 110; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 33
16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400	16 * х 1 + 4 * х 2 = 400	х 1 = 25; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 100
6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240	6 * х 1 + 6 * х 2 = 240	х 1 = 40; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 40
х 2 ≥ 12	х 2 = 12	не пересекает; идет параллельно оси х 1	х 1 = 0; х 2 = 12

Графически первое ограничение отражено на рис. 3.

Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х 1 и х 2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

разделим (или умножим) коэффициенты перед х 1 и х 2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

Z = 25х 1 + 35х 2

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х 1 и х 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25х 1 + 35х 2

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х 1 и х 2:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).

Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х 1 и х 2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х 1 и х 2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х 1 и х 2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х 1 + 10х 2 = 330 и 6х 1 + 6х 2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х 1 = 10, х 2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Точка	Значение х 1	Значение х 2	Z = 2500х 1 + 3500х 2
А	22	12	97 000
В	20	20	120 000
С	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.

Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:

1. Начертите на графике две оси, представляющие собою два параметра решения; нарисуйте только I-й квадрант.
2. Определите координаты точек пересечения всех граничных условий с осями, подставляя в уравнения граничных условий поочередно значения х 1 = 0 и х 2 = 0.
3. Нанести линии ограничений модели на график.
4. Определите на графике область (называемую допустимой областью принятия решения), которая соответствует всем ограничениям. Если такая область отсутствует, значит, модель не имеет решения.
5. Определите значения искомых переменных в крайних точках области принятия решения, и в каждом случае рассчитайте соответствующее значение целевой переменной Z.
6. Для задач максимизации решение – точка, в которой Z максимально, для задач минимизации, решение – точка, в которой Z минимально.

Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.  

Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят  

Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ  

Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет  

ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.  

Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.  

В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76  

Целевая функция имеет вид  

Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.  

Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.  

В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)  

Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида  

Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.  

Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.  

Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-  

К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-  

Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.  

Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".  

Действие системы, ее поведение характеризуются не только установлением факта достижения цели, но и степенью ее достижения, определяемой с помощью целевой функции.

Целевая функция – есть обобщенный показатель системы, который характеризует степень достижения системой ее цели. Составление целевой функции одна из важнейших задач при проектировании системы. Однако нет общей теории построения целевых функций, есть только некоторые рекомендации.

Целевая функция составляется по указаниям ТЗ о критерии оптимизации путем анализа внешних параметров системы и ограничений на них.

Целевая функция должна существенно зависеть от внешних параметров или части их. В противном случае оптимизация по данной целевой функции не имеет смысла. Целевая функция представляет вектор в m -мерном пространстве внешних параметров системы

Обычно целевая функция задается в скалярном виде.

Используются следующие четыре формы целевой функции.

1. Наиболее часто используется целевая функция одного внешнего параметра

В этом случае целевая функция просто равна одному из внешних параметров или его обратной величине

Все остальные (m – 1) внешних параметров переводятся в систему ограничений.

Физический смысл целевой функции приведенных видов заключается в том, что чем больше (или меньше) параметр y i , тем лучше при прочих равных условиях данная система, причем равенство прочих условий понимается в смысле ограничений на остальные внешние параметры. Типичные задачи с приведенной формой целевой функции: оптимизация системы по надежности (y = P (t )), помехоустойчивости, стоимости и другим внешним параметрам. Такая целевая функция имеет ясный физический (технический или экономический) смысл, объективно характеризует систему и поэтому часто используется. То есть в этом случае целевой функцией является внешний параметр системы. Он и называется целевой функцией системы. Это могут быть: точность, быстродействие, время, стоимость, надежность, масса, габариты, какой-то технологический показатель и т.п.

2. Вторая форма целевой функции – это сумма параметров одной размерности или сумма функций от этих параметров

Такая форма характерна при оптимизации по экономическим критериям, по критериям сложности и т.п.

Например, при минимизации годовых приведенных затрат на систему целевая функция представляет собой сумму двух внешних параметров: годовых эксплуатационных расходов и капитальных затрат, отнесенных к сроку окупаемости системы. В этом случае каждый из этих внешних параметров системы является сложной функцией ее внутренних (подлежащих нахождению) параметров.

Целевые функции задач оптимизации по критерию сложности также имеют вторую форму, т.к. они представляются в виде суммы сложностей отдельных подсистем или блоков системы.

3. Третья форма целевой функции – ранжированная форма – представляет собой упорядоченную совокупность целевых функций первой формы с приоритетами

Первая целевая функция наиболее важная, последняя целевая функция наименее важная.

В частном случае целевая функция этого вида записывается так:

Пример ранжирования – это (например) такая последовательность целевых функций: точность, надежность, стоимость. Смысл целевой функции третьей формы состоит в следующем. Самым главным – первым по рангу – признается некоторый i -й параметр системы – y i (например, точность). Если у некоторой системы этот i -ый параметр больше, чем у всех других систем, то независимо от значений других параметров (если только они удовлетворяют ограничениям) данная система считается лучшей. Затем по второму параметру и т.д.

Процедура оптимизации в этом случае, как правило, является многошаговой. Такая оптимизация часто неосознанно применяется в технических системах. Сначала выбирают систему лучшую по точности, при одинаковой точности нескольких систем – более надежную, а затем – более дешевую. На каждом шаге при оптимизации используется только один критерий, что не противоречит концепции системного подхода (оптимизация по одному единственному критерию, см. далее).

4. Четвертая – наиболее общая – форма целевой функции представляет собой произвольную зависимость от всех или части (но не меньше двух) разнородных внешних параметров

При этом разнородные параметры преобразуются в безразмерные (или одноразмерные) и целевая функция формируется как некоторая композиция (например, среднее арифметическое) полученных безразмерных показателей.

Единую целевую функцию четвертой формы можно получить из целевых функций третьей формы путем умножения их на весовые коэффициенты и последующего суммирования :

где F S (y i ) – одна из k целевых функций третьей формы;

ω S – ее весовой коэффициент.

Однако, как указывается там же, определение весовых коэффициентов отдельных целевых функций является очень сложным.

Экстремальное значение полученной суммы будет считаться оптимальным.

Таким образом, можно указать, что в большинстве случаев (1-я и 3-я формы) показатели качества системы оцениваются численными значениями компонентов векторной целевой функции, которые носят названия функционалов :

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Так как системы работают в условиях случайных воздействий, то значения функционалов часто оказываются случайными величинами. Это неудобно при использовании функционалов в виде показателей качества. Поэтому в таких случаях обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Например: среднее количество изделий, выпускаемых за смену; средняя стоимость продукции и т.д.

В некоторых случаях показатели качества представляют собой вероятности некоторых случайных событий. При этом в качестве целевой функции выбирается вероятность
выполнения системой поставленной цели (задачи)

Например, вероятность обнаружения цели радиолокатором и т.п.

Cтраница 2

Из таблицы видно, что для сравнительно близких оптимальных значений целевой функции (f (z) (при отклонениях порядка 1 %) количество изделий, подлежащих выпуску по этим оптимальным планам, по отдельным наименованиям колеблется в пределах нескольких сотен. Таким образом, эта задача является неустойчивой.  

В результате решения задачи линейного программирования находят оптимальное значение целевой функции (желательное сочетание изделий - максимальный доход), а также соответствующие этому оптимальному решению значения переменных: основных х - типы изделий; дополнительных zt - резервы по ограниченным ресурсам; двойственных Уг - мера дефицитности ресурсов; дополнительных двойственных У - - какую продукцию целесообразно включить в оптимальный план.  

Если множество решений является непустым, то оптимальное значение целевой функции может быть либо конечным, либо неограниченно большим. В случае когда оптимальное значение целевой функции конечно, оно соответствует экстремальной точке.  

Поскольку пространство решений может быть неограниченным, оптимальное значение целевой функции может также оказаться бесконечно большим.  

Все ограничения удовлетворяются, если и только если оптимальное значение целевой функции выпуклой задачи равно нулю. В противном случае минимальное значение явля-ется неограниченным, и должен быть найден крайний луч, с помощью которого строится нарушенное ограничение.  

На любой итерации t известна нижняя оценка х оптимального значения целевой функции. Значение х можно выбрать точно так же. Кроме того, имеется основной список задач, в котором каждой задаче соответствует определенное частичное решение.  

Теперь можно найти то решение, которое соответствует оптимальному значению целевой функции.  

В начале любой итерации t известна верхняя оценка х оптимального значения целевой функции. Значение х определяется общепринятым способом. Кроме того, задан основной список задач, содержащий некоторое подмножество Xij 1, определяющее частичный цикл, и подмножество значений с - -, принятых в результате пересмотра равными оо. Для вычисления нижней оценки оптимального значения целевой функции, соответствующей циклу, который является дополнением частичного цикла, можно применить тот же метод, что и в алгоритме задания маршрутов. С другой стороны, можно определять оптимальное решение задачи о назначениях, включив в эту задачу коэффициенты с -, принадлежащие строкам и столбцам, не связанным с подмножеством xti 1, которые входят в частичный цикл.  

В таких случаях существует бесконечно много планов, отвечающих оптимальному значению целевой функции. В многомерном случае говорят, что гиперплоскость постоянной прибыли параллельна гиперплоскости - границе одного из ресурсов.  

Теорема 4.1. Последовательность Q (Xh) сходится к оптимальному значению целевой функции детерминированной задачи, эквивалентной двухэтапной стохастической задаче линейного программирования. Последовательность лг / J содержит сходящуюся подпоследовательность. Каждая сходящаяся подпоследовательность из Xh сходится к оптимальному предварительному плану х двухэташюй стохастической задачи.  

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.  

В начале любой итерации t известна верхняя оценка х а оптимального значения целевой функции.  

В заключительной части настоящего раздела обсуждается вопрос о приближенных методах оценки оптимальных значений целевой функции при различных предположениях относительно структуры стохастической модели. В следующем разделе рассматривается другая формулировка двухшаговой стохастической задачи линейного программирования, допускающая переход к стандартной модели линейного программирования с сохранением размерности.  

Действительно, согласно (VI5), значение двойственной функции всегда меньше оптимального значения целевой функции. Отсюда расчет двойственной функции при любых значениях множителей Лагранжа дает нижнюю оценку данного варианта ветвления.