Параметры и спектр сигнала при импульсной модуляции. Особенности импульсной модуляции

Преобразование аналогового сигнала в дискретный называется дискретизацией. В результате получается последовательность периодических импульсов. Простейший вид модуляции этой последовательности - амплитудно-импульсный. Различают амплитудно-импульсную модуляцию первого (АИМ-1) и второго рода (АИМ-2).

В данной курсовой работе необходимо осуществить АИМ первого рода. При этом амплитуда каждого импульса несущей определятся законом изменения модулирующего сигнала, т.е.

В формуле приняты обозначения:

U0 - амплитуда немодулированных прямоугольных импульсов;

mАИМ - глубина модуляции импульсов (коэффициент АИМ);

Нормированный модулирующий сигнал;

Последовательность немодулированных импульсов, период следования T0;

Момент появления k-го импульса относительно:

где - время начала действия первого импульса.

Определим спектр сигнала АИМ-1, если модулирующий сигнал имеет вид, где - амплитуда гармонического сигнала.

В этом случае выражение принимает вид:

Так как функция является периодической, её можно разложить в ряд Фурье. В результате разложения она получит вид:

Постоянная составляющая;

Амплитуда гармоники, В;

Круговая частота основной (первой) гармоники прямоугольных импульсов (частота дискретизации), рад/с;

Начальная фаза гармоники.

Подставим выражение в равенство и преобразуем:

Таким образом, в спектре АИМ-1 сигнала наблюдаются следующие составляющие:

Постоянная составляющая;

Несущая;

и - нижняя и верхняя боковые полосы соответственно.

Теперь, исходя из полученных формул, выполним расчёт для заданных номеров гармоник (1-ой, 2-ой, 3-ей, 15-ой, 30-ой). Приведём примеры полного расчёта для нулевой и первой гармоник.

1) Постоянная составляющая:

2) Амплитуда бокового спектра постоянной составляющей:

3) Несущая, нижняя и верхняя частоты:

4) Амплитуда первой гармоники на несущей частоте:

Амплитуды боковых спектров частот:

• 5) Частоты боковых полос:
• 6.1) левая боковая полоса
• 6.1.1) нижняя частота:
• 6.1.2) верхняя частота:
• 6.2) правая боковая полоса.
• 6.2.1) нижняя частота:
• 6.2.2) верхняя частота:

Аналогичным образом осуществляется расчёт для остальных гармоник. Для наглядности сведём результаты в таблицу 1. В этой таблице зафиксированы:

• ? номера гармоник (в таблице обозначены буквой);
• ? соответствующие им несущие и боковые частоты;
• ? амплитуды сигнала на указанных частотах (т.е. все несущие и боковые).

Таблица 1- Результаты расчёта спектра модулированного АИМ сигнала

По полученным данным построим спектральную характеристику. Для того чтобы на этой характеристике получить чёткое и понятное изображение, осуществим разрыв оси абсцисс в двух местах с соблюдением размерностей. На графике видно, что каждая гармоника имеет несущую на частоте, на которую приходится большая часть энергии (большая амплитуда) и две боковые полосы. Их нижние амплитуды значительно меньше, а верхние приняты равными нулю. Значения всех амплитуд постепенно уменьшаются с ростом номера гармоники; так, для первой гармоники значение амплитуды несущей составляет 0.0835 В, а для тридцатой - 0.06937 В.

По оси абсцисс откладывается частота в радианах в секунду с масштабом. На оси сделаны разрывы для более наглядного изображения диаграммы. Максимальное значение по этой оси - . По оси ординат расположены значения амплитуд гармоник в вольтах с масштабом.

Рассмотрение амплитудной манипуляции и амплитудной импульсной модуляции (АИМ) позволяет проиллюстрировать особенности анализа модулированных сигналов при дискретной и импульсной модуляциях.

3.5.1. Амплитудная манипуляция (АМн).. В этом виде дискретной модуляции в роли информационного параметра переносчика выступает амплитуда, которая изменяется скачкообразно под воздействием модулирующего сигнала (отсюда и название - амплитудная манипуляция) . Амплитудная манипуляция относится к классу

Рассмотрим особенности анализа АМн сигнала для случая, когда в роли переносчика выступает гармоническое колебание а в роли модулирующего сигнала - периодическая последовательность прямоугольных импульсов

где - длительность импульсов; период последовательности. В этом случае амплитуда манипулированного сигнала принимает два значения:

Обычно коэффициент модуляции выбирают равным единице. Поэтому амплитуда манипулированного сигнала изменяется скачком в моменты времени и принимает два значения: и 0. На рис. 3.2 показаны временные диаграммы модулирующего и манипулированного сигналов. Можно заметить, что при АМн источник высокочастотных колебаний работает в режиме прерывистой генерации.

Аналитически АМн сигнал записывают так:

Определим спектр этого сигнала. Представим в виде ряда Фурье

где Подставив (3.24) в (3.23), получим

На рис. 3.3 показан построенный по формуле (3.25) спектр АМн сигнала. Огибающая спектра (штриховая линия) представляет смещенный на частоту спектр одиночного видеоимпульса

Рис. 3.2. Временные диаграммы модулирующего и манипулированного сигналов

Рис. 3.3 Спектр АМн сигнала

С очевидными измейениями полученные результаты справедливы для более общих случаев, когда является случайной последовательностью знакопеременных импульсов с детерминированной амплитудой (см. § 2.4), когда является случайным сигналом и когда являются случайными. Для анализа АМн сигналов в такид более общих случаях применяют алгоритмы, приведенные в § 3.2-3.4.

Например, спектр гармонического колебания, амплитудно-манипулированного случайным телеграфным сигналом с корреляционной функцией (2.27) (модуляция класса имеет

где - дельта-функция . Следовательно, при АМн спектр (2.29) случайного телеграфного сигнала переносится на частоту и «накладывается» на спектральную линию гармонического колебания. Ширина спектра по-прежнему определяется соотношением (2.30).

3.5.2. Амплитудная импульсная модуляция (АИМ). При АИМ роль переносчика выполняет периодическая последовательность видеоимпульсов:

где амплитуда импульсов; функция, описывающая одиночный импульс последовательности; период повторения импульсов; длительность одного импульса. На рис. 3.4 показаны временные диаграммы модулирующего сигнала и АИМ сигнала. Штриховой линией обозначена смодулированная импульсная видеопоследовательность.

Аналитическая запись АИМ сигнала (класс А2) имеет вид

где коэффициент модуляции.

Рис. 3.4. Временные диаграммы модулирующего и АИМ сигнала

Определим спектр Представим в виде ряда Фурье

где круговая частота повторения импульсов. Подставляя значение из (3.28) в (3.27) и используя преобразование Фурье, находим спектр АИМ сигнала

Первая сумма в формуле (3.29) представляет спектр немодулированной последовательности (3.28). Вторая сумма показывает, что амплитудная модуляция вызывает появление возле каждой составляющей этого спектра боковых полос, повторяющих спектр модулирующего сигнала. Поэтому спектр АИМ сигнала представляет упорядоченный набор спектров обычных AM колебаний, в которых роль несущих выполняют гармоники частоты следования видеоимпульсов. Для иллюстрации особенностей АИМ на рис. 3.5 показан типичный вид спектра АИМ сигнала для случая, когда является узкополосным случайным сигналом (см. § 2.6) со средней частотой Штриховой линией показана огибающая спектра немодулированной последовательности видеоимпульсов. Следует уточнить, что в данном случае спектр АИМ сигнала определен не с помощью преобразования Фурье (3.29), а с помощью преобразования Хинчина - Винера (3.3), так как рассматривается модуляция класса

Рассмотрение спектра АИМ сигнала позволяет сделать ряд практически важных выводов. Очевидно, что необходимо выбирать такую минимальную частоту повторения импульсов

при которой не происходит наложения спектров соседних боковых полос. Если условие (3.30) выполняется, можно выделить составляющие модулированного

сигнала с помощью полосовых фильтров и фильтров нижних частот. Практически важной особенностью спектра АИМ сигнала (она проявляется и в других видах импульсной модуляции) является наличие около частоты составляющих модулирующего сигнала (рис. 3.5). Следовательно, демодуляцию АИМ сигнала можно выполнить фильтром нижних частот без дополнительных преобразований. Фильтр должен пропускать частоты от 0 до (рис. 3.5).

Частоте соответствует период Гмакс. Большие временные интервалы между импульсами используют для размещения импульсов других каналов при многоканальной передаче с временным разделением сигналов (см.

Рис. 3.5. Спектр АИМ сигнала

§ 9.2). Длительность импульсов определяется полосой пропускания каналов. Величину называют скважностью, обычно Чаще всего АИМ видеосигнал используют как модулирующий сигнал для создания высокочастогных модулированных колебаний. На первом этапе образуют АИМ сигнал, а на втором - полученный АИМ видеосигнал применяют для модуляции непрерывного высокочастотного переносчика, имеющего частоту После таких преобразований спектр сигнала переносится на частоту несущего высокочастотного колебания. Анализ модулированных высокочастотных колебаний выполняют с учетом вида модуляции методами, изложенными в § 3.2-3.5.

При импульсной модуляции в качестве несущего колебания (поднесуще- го) используют различные периодические импульсные последовательности, один из параметров которого изменяют по закону передаваемого сообщения (рис. 2.45).

Теоретической основой импульсной модуляции служит теорема Котельникова (теорема отсчетов). Упрощенно теорему можно интерпретировать так: произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некото-

Рис. 2.45.

а - периодическая последовательность исходных импульсов; б - модулирующий сигнал; в - ЛИМ; г - ШИМ; д - ФИМ; е - ЧИМ; ж - ИКМ

рой верхнй частотой F n , может быть передан своими отсчетами (или полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений), следующими с интервалом

Заметим, что в теории связи при представлении импульсных, дискретных и цифровых сигналов часто период обозначают как At = Т.

Как правило, достаточно большие временные интервалы между импульсами используют для передачи полезных импульсов от других источников сообщений, т.е. для осуществления многоканальной передачи сигналов с временным разделением (уплотнением) каналов. Положим, что в качестве поднесущего колебания в системе связи с импульсной модуляцией сигналов используется периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U u , длительностью т и и периодом повторения Т (рис. 2.45, а ); соответственно частота следования импульсов несущей F H = = 1 /Т. Для наглядности математических выкладок выберем в качестве модулирующего сигнала (отражающего передаваемое сообщение) гармоническое колебание e(t) = E 0 cosQt (причем Q. = 1 /Г 0), у которого для упрощения принята начальная фаза 0 О = 90° (рис. 2.45, б).

Импульсную модуляцию сигналов в зависимости от выбора изменяемого параметра модулируемой последовательности импульсов делят на такие виды:

• амплитудно-импульсную (АИМ; pulse amplitude modulation - РАМ), когда по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда импульсов исходной последовательности (рис. 2.45, в);
• широтно-импульсную (ШИМ; pulse-duration modulation - PDM), когда по закону передаваемого сообщения изменяется длительность (ширина) импульсов исходной последовательности (рис. 2.45, г);
• фазоимпульсную (ФИМ; pulse-position modulation - PPM), или время- импульсную (ВИМ), когда по закону передаваемого сообщения изменяется временное положение импульсов в последовательности (рис. 2.45, д); ФИМ отличается от ВИМ методом синхронизации - при ФИМ сдвиг фазы импульса производят относительно условной фазы, а не относительно синхронизирующего импульса;
• частотно-импульсную (ЧИМ; pulse-frequency modulation - PFM), когда по закону передаваемого сообщения изменяется частота следования импульсов (рис. 2.45, е)
• импульсно-кодовую (ИКМ; pulse code modulation - PCM) - вид дискретной модуляции {цифровой манипуляции - keying), когда аналоговый сигнал часто кодируется сериями импульсов и превращается в цифровой код - последовательность стандартных импульсов (единиц) и пауз (нулей), имеющих одинаковую длительность. Этот вид наиболее широко применяется в современных системах связи.

Этот вид модуляции, упрощенно рассмотренный в параграфе 2.1, представлен на рис. 2.45, ж. Часто в одном периоде t интервалы между соседними кодовыми посылками отсутствуют (см. рис. 2.2, г). Используют два метода преобразования аналоговых сигналов в цифровые - ИКМ и дельта-модуляцию (ДМ). При ИКМ преобразования аналогового сигнала в цифровой осуществляют в два этапа. На первом этапе сигнал модулирует по амплитуде последовательность импульсов, следующих с частотой более 2F n , где F K - верхняя частота спектра сигнала. На втором этапе диапазон возможных уровней сигнала разбивается на 2" интервалов и определяется, в каком из интервалов находится уровень каждого из модулированных импульсов. В результате каждый импульс преобразуется в н-значную бинарную кодовую комбинацию, соответствующую этому интервалу.

Частота следования импульсов несущей F H в импульсных системах связи определяется максимальной частотой первичного сигнала (здесь - модулирующего F mm = Q): F n > 2Q. Действительно, в импульсных системах связи передаются лишь дискретные отсчеты первичного сигнала e(t). Согласно теореме Котельникова частота дискретизации? д > 2?Х Поэтому частоту дискретизации? д и можно выбрать в качестве частоты следования импульсов F H .

Амплитудно-импульсная модуляция. Оценим характеристики им- иульсно-модулированных колебаний, для чего рассмотрим несложный ЛИМ-сигнал и определим его спектр при модуляции несущей периодической последовательности импульсов гармоническим колебанием e(t) = E 0 cos Qt. Процедуру получения АИМ-сигнала м АИМ (?) удобно рассматривать как непосредственное умножение непрерывного передаваемого сигнала u(t) на вспомогательную последовательность y(t) прямоугольных видеоимпульсов единичной амплитуды (см. далее)

Представим последовательность прямоугольных импульсов u(i), имеющих амплитуду t/ H , длительность т и и период повторения Г, тригонометрическим рядом Фурье (2.17). Введем в соотношение (2.68) в качестве несущего колебания u n (t) = }