Основные методы решения ЗЛП_Методичка. Основные методы решения задач линейного программирования

Как известно, метод Жордана-Гаусса, он же метод последовательного исключения неизвестных, является модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Метод базируется на элементарных преобразованиях (переводящих систему в эквивалентную), к которым относятся:

• прибавление к обеим частям уравнения системы другого уравнения той же системы, умноженного на число, отличное от нуля;
• перестановка местами уравнений в системе;
• удаление из системы уравнений вида 0 = 0.

В отличие от метода Гаусса, на каждом шаге одна переменная исключается из всех уравнений, кроме одного.

Шаг метода состоит в следующем:

• выбрать в очередном уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля (разрешающим элементом);
• разделить выбранное уравнение на разрешающий элемент;
• с помощью выбранного уравнения исключить неизвестное при разрешающем элементе из всех остальных уравнений;
• на следующем шаге аналогично исключается другое неизвестное из всех уравнений, кроме одного;
• процесс продолжается, пока не будут использованы все уравнения.

Алгоритмизировать это можно так:

Для СЛАУ в матричном виде A*x=b (матрица A размерности m*n , совсем необязательно квадратная) составляется следующая таблица:

В таблице выбран разрешающий элемент a r,s ≠0 , тогда r - разрешающая строка, s - разрешающий столбец.

Переход к следующей таблице выполняется по правилам:

1. вычисляются элементы разрешающей строки: a" r,j =a r,j /a r,s - то есть, r-строка таблицы делится на разрешающий элемент;

2. все элементы разрешающего столбца, кроме a r,s , равного единице, становятся равны нулю;

3. элементы вне разрешающих строки и столбца вычисляются по формуле, изображённой ниже:

Легко не запутаться, если увидеть, что числитель этой формулы похож на вычисление определителя матрицы 2 на 2.

4. При ручном расчёте значение в последнем контрольном столбце сравнивается с суммой предыдущих элементов строки. Если значения не совпадают, ошибки надо искать в данной строке. При автоматизированном расчёте контрольный столбец можно опустить.

Возможны следующие случаи:

1. В процессе исключений левая часть уравнения системы обращается в 0, а правая b≠0 , тогда система не имеет решения.

2. Получается тождество 0 = 0 - уравнение является линейной комбинацией остальных и строка нулей может быть вычеркнута из системы.

3. После использования всех уравнений для исключения неизвестных, таблица либо содержит искомое решение, либо показывает несовместность системы ограничений.

Запрограммируем метод в Excel одной формулой, изменять которую должно быть не слишком трудоёмко. Например, для решения СЛАУ

заполним коэффициентами системы ячейки листа от A1 до D4 включительно, выберем разрешающий элемент a 1,1 =1 , а первый шаг метода сделаем в ячейке A6 , куда загоним "универсальную" формулу для преобразования Жордана-Гаусса:

ЕСЛИ(СТРОКА($A$1)=СТРОКА(A1);A1/$A$1;
ЕСЛИ(СТОЛБЕЦ($A$1)=СТОЛБЕЦ(A1);0;(A1*$A$1-
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА(A1);СТОЛБЕЦ($A$1)))*
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА($A$1);СТОЛБЕЦ(A1))))/$A$1))

На следующем шаге разрешающим элементом может быть, например, a 2,2 =1 (ячейка B7). Нам останется скопировать формулу из A6 в A11 (по пустой строке оставляем, чтоб визуально разделить шаги метода), войти в режим редактирования формулы (двойной щелчок по ячейке или выбрать её и нажать клавишу F2) и поправить (аккуратно перетащить мышкой за границу) все закреплённые ссылки с ячейки A1 на B7 .

Конечно, можно заменить везде в формуле закреплённую ссылку $A$1 на конструкцию вида ДВССЫЛ(ЯЧЕЙКА) , образующую динамический адрес ссылки. Скажем, ДВССЫЛ(F8) , а в ячейке F8 будет автоматически формироваться адрес ячейки разрешающего элемента по заданным пользователем номеру строки и столбца. Тогда для этих номеров строки и столбца придётся предусмотреть отдельные ячейки, например, так:

Увы, всё это ничего не даст - вместо $A$1 мы просто вынуждены будем закрепить в формуле ДВССЫЛ($F$8) и всё равно потом перетаскивать столько же ссылок при копировании формулы. Кроме того, "вручную" введённые номера строки и столбца придётся ещё и проверять на допустимость (хотя бы как на рисунке), так что, не будем умножать сущностей.

Посмотреть метод в работе можно на двух первых листах приложенного файла Excel (2 разных примера).

На преобразовании Жордана-Гаусса основан и такой универсальный метод решения линейных задач оптимизации, как симплекс-метод . Описания его обычно страшны, длинны и перегружены теоремами. Попробуем сделать простое описание и разработать пригодный для расчёта в Excel алгоритм. На самом деле, симплекс-метод уже встроен в стандартную надстройку Пакет анализа, и программировать его "вручную" не нужно, так что наш код имеет, скорее, учебную ценность.

Сначала минимум теории.

Если вектор-столбцы СЛАУ линейно независимы, соответствующие им переменные являются базисными , а остальные – свободными . Например, в СЛАУ

переменные x 2 и x 4 - базисные, а x 1 и x 3 - свободные. Базисные переменные между собой независимы, а свободные можно сделать, например, нулями и получить { x 2 =2, x 4 =1 } – базисное решение системы.

Выбирая различные разрешающие элементы, можно получить решения СЛАУ с различными базисами. Любое неотрицательное базисное решение СЛАУ называется опорным .

Симплекс-метод обеспечивает переход от одного опорного решения к другому, пока не будет достигнуто оптимальное решение, дающее минимум целевой функции.

Алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:

1. Задача ЛП преобразуется к каноническому виду:

Это всегда можно сделать следующим образом: к задаче, записанной в стандартной постановке

добавляются дополнительные балансовые переменные , число которых соответствует числу ограничений-неравенств m (ограничения на неотрицательность значений неизвестных не учитываются). После этого неравенства со знаком " ≤ " превращаются в равенства, например, система ограничений вида

2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1 ,x 2 ≥0

примет вид

2*x 1 +3*x 2 +x 3 =20
3*x 1 +x 2 +x 4 =15
4*x 1 +x 5 =16
3*x 2 +x 6 =12
x 1 ,x 2 ,...,x 6 ≥0

То есть, "экономический" смысл балансовых переменных очень прост – это "остатки" неиспользованных ресурсов каждого вида.

Если в исходной задаче искался не минимум, а максимум, целевая функция Z заменятся на Z 1 = -Z . Решения задач совпадают, при этом min Z = - max Z 1 . Например, цель

Z(x 1 ,x 2)=2*x 1 +5*x 2 (max)

переписывается в виде

Z 1 (x 1 ,x 2)=-2*x 1 -5*x 2 (min)

Если в исходной задаче были уравнения-неравенства со знаками " ≥ " вместо " ≤ ", обе части каждого такого неравенства умножаются на -1 , а знак неравенства меняется на противоположный, например,

3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15

превращается в

3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15

Канонический вид модели получен, для него выписывается симплекс-таблица :

В левом столбце записываются базисные переменные (БП), если они ещё не выделены – пусто.

2. С помощью шагов Жордана–Гаусса ищется первоначальный опорный план, т.е. СЛАУ приводится к базисному виду с неотрицательными свободными членами b i >0 . При этом целевая функция Z должна быть выражена только через свободные неизвестные (нулевые коэффициенты в Z-строке стоят только под переменными x i , которые есть в базисе). При выборе разрешающего элемента a r,s в строку r столбца БП выписываем переменную x s , если там уже была переменная – вычеркиваем её (выводим из базиса).

3. Выписываем под столбцами x i опорный план X * : под свободными переменными - нули, под базисными – соответствующие базисной переменной коэффициенты из столбца b .

Ниже выписываем вектор R по правилу: под базисными переменными – нули, под свободными R i =Z i .

Если все R i ≥0 , найдено оптимальное решение X * и значение цели Z min = -q , иначе нужен новый план, а у вас он есть, товарищ Жюков? (п. 4).

4. Для выбора разрешающего столбца s выбираем максимальную по модулю отрицательную компоненту вектора R , разрешающий столбец s выбран. Затем анализируем коэффициенты s-го столбца матрицы системы ограничений. Если все a i,s ≤0 , решения нет и Z min стремится к минус бесконечности, иначе переходим к п.5.

5. Для выбора разрешающей строки r составляем неотрицательные отношения b i /A i,s ≥0 , i=1,2,...,m , и выбираем среди них наименьшее. Если минимум достигается для нескольких строк, за разрешающую можно принять любую из них, при этом, в новом опорном плане значения некоторых базисных переменных станут равными 0, т.е., получаем вырожденный опорный план.

6. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a r,s и переходим к п.3

Геометрически симплекс-методу соответствует кратчайший обход вершин n-мерного выпуклого многогранника, образующего область допустимых решений задачи:

Здесь мы перешли от опорного плана C , представляющего собой одну из вершин многомерного многоугольника, к оптимальному плану E=X * .

Запрограммировать это всё в Excel нелегко, но можно. В прилагаемом документе приведены 3 примера, реализующие решение задач симплекс-методом. Правда, при выполнени шага менять уже придётся 3 формулы, на листе первого примера на симплекс-метод они выделены жёлтым цветом: расчёт отношений для выбора разрешающей строки в ячейке I2 , заполнение столбца БП в ячейке A12 , шаг преобразования Жордана-Гаусса в ячейке B12 . Как и в примере на преобразование Жордана-Гаусса, изменение формул связано только с необходимостью сослаться на новую строку, содержащую адрес ячейки с разрешающим элементом (для первого шага - ячейка C9).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задачи с помощью Excel и симплекс-методом

Задача (распределительная)

Симплекс-метод

Решение задачи с помощью Excel

Задача (распределительная)

Задача 1 (распределительная)

На предприятии 4 вида продукции могут вырабатываться на 3 отдельных взаимозаменяемых машинах.

Известны:

· Производственное задание по выпуску продукции разных видов в планируемом периоде

· Фонд эффективного рабочего времени оборудования в планируемом периоде - ;

· Нормы затрат машинного времени на изготовление единицы продукции - ;

· Прибыль в руб. от реализации единицы продукции, выработанной на том или ином оборудовании - .

Исходная информация отображается в таблице следующей формы.

Таблица 1. Исходные данные

Фонд эф. раб. врем. -	Нормы затрат врем. на ед. продукции - прибыль на ед. продукции -

В задаче требуется найти план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями

при котором задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации продукции.

РЕШЕНИЕ

Разработка экономико - математической модели.

Искомые переменные - характеризуют объём выпуска й продукции м исполнителем.

Тогда матрица искомых переменных

характеризует план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями.

Целевая функция

характеризующая суммарную прибыль от реализации всей продукции, должна быть максимизирована.

Ограничения по наличию и использованию эффективного рабочего времени исполнителей примут вид системы линейных неравенств (2):

Эта система ограничений характеризует условие, что суммарные затраты эффективного рабочего времени каждым исполнителем в планируемом периоде на выпуск всех видов продукции не должны превышать фонда времени. Таким образом, в результате решения задачи каждый исполнитель получит своё задание, исходя из его возможностей. Если в решении задачи какая - то уравновешивающая переменная и примет значение, - она будет характеризовать недоиспользованное эффективное рабочее время у того или иного исполнителя, которое в производственных условиях может быть использовано на выпуск продукции сверх задания.

Следующий блок ограничений должен отражать условие обязательного выполнения общего производственного задания по выпуску продукции по видам и будет представлен системой линейных уравнений (3):

Условие не отрицательности переменных:

Приведём задачу к каноническому виду, для этого в неравенства (2) добавим переменные, а в равенства (3) добавим 4 искусственных базиса. В результате запишем математическую модель задачи в каноническом виде:

Симплекс-метод

Решим данную задачу симплекс - методом, заполнив таблицу. Решение проходит за несколько итераций. Покажем это.

Таблица 1

В самой верхней строке таблицы заносятся коэффициенты целевой функции, вторая строка - это наименование всех неизвестных, входящих в симплексные уравнения. В первый столбец слева записывают коэффициенты, целевой функции, которые соответствуют базисным неизвестным, вошедшим в исходную программу (записанным в столбце). Следующий, третий по счёту, столбец в первой симплексной таблице - заполняется значениями базисных неизвестных. Далее идут столбцы, которые представляют векторы условий. Количество их равно 19. В следующем, первым по счёту после матрицы условий столбце - записываются суммы всех элементов по строкам. В столбце записываются частные от деления элементов итогового столбца В на элементы некоторого столбца, матрицы условий. Так как у нас есть искусственный базис, то в индексной строке будет вести два подсчёта, в первой из них, учитывая переменные, а во втором только искусственный базис. Так как у нас задача максимизации, то необходимо выводить из базиса искусственные базисы. В индексной второй строке выбираем наибольшую положительную оценку. У нас - это первый столбец. Найдём оценочные отношения

и. Из этих отношений выбираем наименьшее, у нас это четвёртая строка, для неё оценочное отношение равно 1300. Выделяем строку. Последний столбец - это коэффициент, на который умножается каждый элемент строки при пересчёте. Он получается делением элементов выделенного столбца на ключевой элемент, который находится на пересечении выделенного столбца и строки, у нас это 1. Пересчёт делаем для всех невыделенных элементов, который осуществляется следующим образом: от пересчитываемого элемента вычитаем элемент ключевой строки, умноженный на пересчитываемый коэффициент строки: и так все элементы. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Последние две строки - индексные строки, где пересчитываются значения целевой функции, а также вся индексная строка, когда все элементы будут положительными или нулевыми - задача будут решена.

Покажем это.

Таблица 2

Выделим столбец с переменной. Находим оценочные отношения, из которых выбираем наименьшее - это 550. Из базиса выводим искусственную переменную, при этом в базис вводим переменную. Когда выводится искусственный базис из базиса, соответствующий столбец убираем.

Таблица 3

Выделим столбец. Наименьшее оценочное отношение 600, находится в шестой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 4

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 28,57, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 5

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 407,7, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 6

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 344,3, находится в седьмой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 7

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 3,273, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 8

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 465, находится в седьмой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 9

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 109, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 10

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 10, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 11

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 147, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 12

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 367, находится в пятой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 13

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 128, находится в четвёртой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 14

Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, получен оптимальный план, при котором объём выпуска продукции представлен матрицей

при этом прибыль максимальная и составляет 17275,31 руб.

Решение задачи с помощью Excel

Математическую модель задачи необходимо перенести в ЭТ EXCEL. Для этого:

· Продумать организацию исходных данных модели (коэффициенты целевой функции и ограничения), снабдив понятными названиями.

· Зарезервировать в отдельных ячейках независимые переменные математической модели.

· В одной из ячеек создать формулу, определяющую целевую функцию.

· Выбрать ячейки и поместить в них формулы, соответствующие левым частям ограничений.

· Войти в пункт меню "Поиск решения", ввести необходимые данные и получить оптимальное решение задачи.

· Проанализировать полученное решение и отчёты.

Рассмотрим последовательность действий по реализации этих этапов решения задачи с помощью EXCEL.

Создадим таблицу для ввода исходных данных.

В созданную форму введём исходные данные.

Коэффициенты целевой функции, выражающие прибыль, от производства единицы продукции каждого вида (единичная прибыль), записаны в ячейки В6:M6.

Коэффициенты ресурсных ограничений, определяющие потребность в каждом из видов ресурсов для производства единицы продукции, размещены в ячейках В9:M15. В ячейках P9:P15 записаны правые части ограничений на ресурсы. Для независимых переменных задачи - искомых объёмов производства продукции зарезервированы ячейки В3:M3.

В ячейку N7 вводим формулу для целевой функции, применив команду вставки функции СУММПРОИЗВ:

А также заполняем ограничения правой части.

После этого можно приступать к поиску решения. Для решения оптимизационных задач в EXCEL используется команда ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС.

Эта команда оперирует с тремя основными компонентами построенной в ЭТ оптимизируемой модели:

· Ячейкой, содержащей целевую функцию задачи.

· Изменяемыми ячейками, содержащими независимые переменные.

· Ячейками, содержащими левые части ограничений на имеющиеся ресурсы, а также простые ограничения на независимые переменные.

Рассмотрим последовательность ввода этих компонентов.

Курсор в ячейку N7 и команда СЕРВИС - Поиск решения. На экране появится диалоговое окно.

В окне заполняем поле Установить целевую ячейку, в котором должен стоять адрес $N$7. Далее устанавливаем кнопку на поиск максимального значения. В поле Изменяя ячейки введём адреса искомых переменных $B3:$M3. Затем следует ввести ограничения, путём кнопки Добавить.

Теперь, когда все ограничения для поиска оптимального решения заданы можем нажать кнопку:

После этого получим решение задачи.

Если вычисления оказались успешными, после завершения поиска решения значения будут вставлены в таблицу, а также можно указать Тип отчёта - Результаты, в результате которого можем получить следующий отчёт. рабочий время оборудование прибыль

Следовательно, решение в EXCEL такое же, как и при СИМПЛЕКС методе, а это значит, что рассматриваемая задача, решена, верно.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Определение оптимального объема выпускаемой продукции математическим методом, симплекс-методом и с помощью Excel. Решение задачи по оптимальному распределению инвестиций с использованием прикладной программы Excel. Составление оптимальной схемы перевозок.

курсовая работа , добавлен 10.09.2012


Планирование прибыли при производстве двух видов топлива. Составление оптимального плана выпуска продукции для получения максимальной прибыли от ее реализации. Определение опорного плана перевозок грузов методом минимальной стоимости и с помощью Excel.

контрольная работа , добавлен 12.11.2014


Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012


Определение с помощью симплекс-метода плана выпуска продукции для получения максимальной прибыли, чтобы сырьё II вида было израсходовано полностью. Решение задач линейного программирования средствами табличного процессора Excel, составление алгоритма.

курсовая работа , добавлен 30.09.2013


Исследование математико-экономической модели компании с целью выработки оптимального решения по выпуску продукции для получения максимальной прибыли и минимизации затрат с помощью методов оптимизации и программы MS Excel и инструментального пакета Matlab.

дипломная работа , добавлен 15.06.2014


Обзор алгоритмов методов решения задач линейного программирования. Разработка алгоритма табличного симплекс-метода. Составление плана производства, при котором будет достигнута максимальная прибыль при продажах. Построение математической модели задачи.

курсовая работа , добавлен 21.11.2013


Определение количества и вида тракторных и автомобильных глушителей, которые следует изготовить предприятию, чтобы прибыль была максимальной. Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом, с помощью табличного редактора Excel.

курсовая работа , добавлен 09.04.2013


Оптимизация затрат на доставку продукции потребителям. Характеристика транспортной задачи, общий вид решения, обобщение; содержательная и математическая постановка задачи, решение с помощью программы MS Excel: листинг программы, анализ результатов.

курсовая работа , добавлен 04.02.2011


Математические основы оптимизации. Постановка задачи оптимизации. Методы оптимизации. Решение задачи классическим симплекс методом. Графический метод. Решение задач с помощью Excel. Коэффициенты целевой функции. Линейное программирование, метод, задачи.

реферат , добавлен 21.08.2008


Определение количества закупаемого сырья на выпуск продукции по месяцам, в течении года и за год в целом. Алгоритм необходимых действий, представление результатов в графическом виде. Решение задачи в табличном процессоре Excel и с помощью средств VBA.

Задача 1 (распределительная)

На предприятии 4 вида продукции могут вырабатываться на 3 отдельных взаимозаменяемых машинах.

Известны:

· Производственное задание по выпуску продукции разных видов в планируемом периоде

• · Фонд эффективного рабочего времени оборудования в планируемом периоде - ;
• · Нормы затрат машинного времени на изготовление единицы продукции - ;
• · Прибыль в руб. от реализации единицы продукции, выработанной на том или ином оборудовании - .

Исходная информация отображается в таблице следующей формы.

Таблица 1. Исходные данные

Фонд эф. раб. врем. -	Нормы затрат врем. на ед. продукции - прибыль на ед. продукции -

В задаче требуется найти план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями

при котором задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации продукции.

РЕШЕНИЕ

Разработка экономико - математической модели.

Искомые переменные - характеризуют объём выпуска й продукции м исполнителем.

Тогда матрица искомых переменных

характеризует план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями.

Целевая функция

характеризующая суммарную прибыль от реализации всей продукции, должна быть максимизирована.

Ограничения по наличию и использованию эффективного рабочего времени исполнителей примут вид системы линейных неравенств (2):

Эта система ограничений характеризует условие, что суммарные затраты эффективного рабочего времени каждым исполнителем в планируемом периоде на выпуск всех видов продукции не должны превышать фонда времени. Таким образом, в результате решения задачи каждый исполнитель получит своё задание, исходя из его возможностей. Если в решении задачи какая - то уравновешивающая переменная и примет значение, - она будет характеризовать недоиспользованное эффективное рабочее время у того или иного исполнителя, которое в производственных условиях может быть использовано на выпуск продукции сверх задания.

Следующий блок ограничений должен отражать условие обязательного выполнения общего производственного задания по выпуску продукции по видам и будет представлен системой линейных уравнений (3):

Условие не отрицательности переменных:

Приведём задачу к каноническому виду, для этого в неравенства (2) добавим переменные, а в равенства (3) добавим 4 искусственных базиса. В результате запишем математическую модель задачи в каноническом виде:

Симплекс-метод

Решим данную задачу симплекс - методом, заполнив таблицу. Решение проходит за несколько итераций. Покажем это.

Таблица 1

В самой верхней строке таблицы заносятся коэффициенты целевой функции, вторая строка - это наименование всех неизвестных, входящих в симплексные уравнения. В первый столбец слева записывают коэффициенты, целевой функции, которые соответствуют базисным неизвестным, вошедшим в исходную программу (записанным в столбце). Следующий, третий по счёту, столбец в первой симплексной таблице - заполняется значениями базисных неизвестных. Далее идут столбцы, которые представляют векторы условий. Количество их равно 19. В следующем, первым по счёту после матрицы условий столбце - записываются суммы всех элементов по строкам. В столбце записываются частные от деления элементов итогового столбца В на элементы некоторого столбца, матрицы условий. Так как у нас есть искусственный базис, то в индексной строке будет вести два подсчёта, в первой из них, учитывая переменные, а во втором только искусственный базис. Так как у нас задача максимизации, то необходимо выводить из базиса искусственные базисы. В индексной второй строке выбираем наибольшую положительную оценку. У нас - это первый столбец. Найдём оценочные отношения

и. Из этих отношений выбираем наименьшее, у нас это четвёртая строка, для неё оценочное отношение равно 1300. Выделяем строку. Последний столбец - это коэффициент, на который умножается каждый элемент строки при пересчёте. Он получается делением элементов выделенного столбца на ключевой элемент, который находится на пересечении выделенного столбца и строки, у нас это 1. Пересчёт делаем для всех невыделенных элементов, который осуществляется следующим образом: от пересчитываемого элемента вычитаем элемент ключевой строки, умноженный на пересчитываемый коэффициент строки: и так все элементы. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Последние две строки - индексные строки, где пересчитываются значения целевой функции, а также вся индексная строка, когда все элементы будут положительными или нулевыми - задача будут решена.

Покажем это.

Таблица 2

Выделим столбец с переменной. Находим оценочные отношения, из которых выбираем наименьшее - это 550. Из базиса выводим искусственную переменную, при этом в базис вводим переменную. Когда выводится искусственный базис из базиса, соответствующий столбец убираем.

Таблица 3

Выделим столбец. Наименьшее оценочное отношение 600, находится в шестой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 4

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 28,57, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 5

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 407,7, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 6

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 344,3, находится в седьмой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 7

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 3,273, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 8

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 465, находится в седьмой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 9

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 109, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 10

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 10, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 11

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 147, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 12

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 367, находится в пятой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 13

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 128, находится в четвёртой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 14

Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, получен оптимальный план, при котором объём выпуска продукции представлен матрицей

при этом прибыль максимальная и составляет 17275,31 руб.

Решение задачи с помощью Excel

Математическую модель задачи необходимо перенести в ЭТ EXCEL. Для этого:

• · Продумать организацию исходных данных модели (коэффициенты целевой функции и ограничения), снабдив понятными названиями.
• · Зарезервировать в отдельных ячейках независимые переменные математической модели.
• · В одной из ячеек создать формулу, определяющую целевую функцию.
• · Выбрать ячейки и поместить в них формулы, соответствующие левым частям ограничений.
• · Войти в пункт меню "Поиск решения", ввести необходимые данные и получить оптимальное решение задачи.
• · Проанализировать полученное решение и отчёты.

Рассмотрим последовательность действий по реализации этих этапов решения задачи с помощью EXCEL.

Создадим таблицу для ввода исходных данных.

В созданную форму введём исходные данные.

Коэффициенты целевой функции, выражающие прибыль, от производства единицы продукции каждого вида (единичная прибыль), записаны в ячейки В6:M6.

Коэффициенты ресурсных ограничений, определяющие потребность в каждом из видов ресурсов для производства единицы продукции, размещены в ячейках В9:M15. В ячейках P9:P15 записаны правые части ограничений на ресурсы. Для независимых переменных задачи - искомых объёмов производства продукции зарезервированы ячейки В3:M3.

В ячейку N7 вводим формулу для целевой функции, применив команду вставки функции СУММПРОИЗВ:

А также заполняем ограничения правой части.

После этого можно приступать к поиску решения. Для решения оптимизационных задач в EXCEL используется команда ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС.

Эта команда оперирует с тремя основными компонентами построенной в ЭТ оптимизируемой модели:

• · Ячейкой, содержащей целевую функцию задачи.
• · Изменяемыми ячейками, содержащими независимые переменные.
• · Ячейками, содержащими левые части ограничений на имеющиеся ресурсы, а также простые ограничения на независимые переменные.

Рассмотрим последовательность ввода этих компонентов.

Курсор в ячейку N7 и команда СЕРВИС - Поиск решения. На экране появится диалоговое окно.

В окне заполняем поле Установить целевую ячейку, в котором должен стоять адрес $N$7. Далее устанавливаем кнопку на поиск максимального значения. В поле Изменяя ячейки введём адреса искомых переменных $B3:$M3. Затем следует ввести ограничения, путём кнопки Добавить.

Теперь, когда все ограничения для поиска оптимального решения заданы можем нажать кнопку:

После этого получим решение задачи.

Если вычисления оказались успешными, после завершения поиска решения значения будут вставлены в таблицу, а также можно указать Тип отчёта - Результаты, в результате которого можем получить следующий отчёт. рабочий время оборудование прибыль

Следовательно, решение в EXCEL такое же, как и при СИМПЛЕКС методе, а это значит, что рассматриваемая задача, решена, верно.

Оптимизационные модели используются, чтобы найти ответы на вопросы типа:

• как составить расписание для сотрудников колл-центра, чтобы оно соответствовало их отпускным запросам, сбалансировало переработки и исключало круглосуточные дежурства?
• какие возможности бурения нефтяных скважин использовать для получения максимального дохода, держа при этом под контролем все риски?
• когда следует делать новые заказы в Китае и как их доставлять, чтобы минимизировать стоимость и соответствовать ожидаемому спросу?

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Целью оптимизации всегда является «максимизация» или «минимизация». Самая распространенная и понятная форма математической оптимизации - это линейное программирование, секретная разработка советских инженеров конца 1930-х годов, ставшая популярной в ходе Второй мировой войны. Кстати, слово «программирование» в данном словосочетании является пережитком военной терминологии того времени и не имеет ничего общего с компьютерным программированием.

Начнем с любимого примера экономистов - пушек и масла. Идет 1941-й год, вы – хозяин французской молочной фермы. Днем вы доите коров и производите сливочное масло, ночью – собираете автоматы. Ваша цель – максимальная прибыль, чтобы как можно дольше производить автоматы. От посредника из Сопротивления вы получаете за каждый автомат по 195 денежных единиц (чтобы не напрягать Excel несуществующими франками, допустим, что это доллары). За каждую бочку масла на рынке вам платят по $150.

Условия и ограничения. Себестоимость одной бочки масла – $100, а одного автомата – $150. Месячный бюджет на производство - $1800. Вы храните продукцию в 21-кубометровом подвале. Автомат занимает ½ м 3 , бочка масла 1½ м 3 . Сколько автоматов и бочек масла вам нужно продать за месяц, чтобы получить максимальную прибыль?

Линейная программа определяется как набор решений, необходимый для оптимизации объекта в свете некоторых условий, где и объект, и условия линейны. Вы можете складывать, вычитать, умножать на константы, но не можете применять для решения нелинейные функции, например, перемножение переменных (нельзя автоматы умножить на масло), возведение в квадрат или логические циклы, такие как ЕСЛИ.

Представим области допустимых значений графически. Во-первых, количество пушек и бочек масла должно быть неотрицательным. Во-вторых, максимально можно произвести $1800/$150 = 12 автоматов или $1800/$100 = 18 бочек масла (рис. 1). Общее название этого треугольника – политоп – фигура с плоскими сторонами (например, бриллиант). В-третьих, подвал может вместить не более 21/(½) = 42 автоматов или 21/(1½) = 14 бочек масла (рис. 2).

Чтобы найти идеальное соотношение автоматов и бочек введем в задачу понятие линии уровня функции . Такая линия в оптимизационной модели включает значения, приносящие одинаковую прибыль. Линию уровня можно задать уравнением:

(195 – 150) * N автоматов + (150 – 100) * N бочек масла = С,

где С – константа.

Например, при С = 450, линия будет проходить через координаты (0;10) и (9;0). Графически идея максимизации прибыли реализуется перемещением линии уровня параллельно самой себе в направлении увеличения значений по осям Х и Y (рис. 3). Любопытно, что для политопа оптимум всегда лежит в одной из вершин (или единственного решения не существует вовсе). На этом свойстве основан алгоритм симплексного метода. Решение задачи в Excel начинают с создания области модели (рис. 4). Формула целевой функции в ячейке В1 =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10).

Рис. 3. Линия уровня и функция для оптимизации прибыли: а) некое произвольное начальное положение; б) линия уровня в оптимальном положении

У вас всё готово, чтобы нажать кнопку ДАННЫЕ –> Поиск решения . (Если вы не видите этой кнопки, установите надстройку Поиск решения; см. , глава 1). В открывшемся окне Параметры поиска решения задайте выделенные опции и нажмите Найти решение .

Рис. 5. Окно Поиск решения

Excel обновит лист и внесет на него результаты расчета (рис. 6).

Что произойдет, если добавить нелинейность? Допустим ваш посредник предлагает $500, если число автоматов в месяц будет более 5. Просто добавьте функцию ЕСЛИ в ячейку с прибылью (В1). Теперь целевая функция выглядит так: =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10)+ЕСЛИ(C4>5;500;0). Жмем Поиск решения . Неудача, Excel сообщает об ошибке – условия линейности не выполнены (рис. 7).

Можно попробовать эволюционный алгоритм, лучше всего работающий с нелинейными моделями, и практически не ограничивающий вас в выборе функций. Работа эволюционного алгоритма в чем-то повторяет принципы работы биологической эволюции:

• генерирует пул исходных решений (что-то вроде генетического пула) разной степени вероятности;
• каждое решение имеет некий уровень пригодности к выживанию;
• решения размножаются перекрестным переносом, то есть их компоненты выбираются из двух или трех существующих решений и затем комбинируются;
• существующие решения мутируют в новые;
• имеет место локальный поиск, в процессе которого генерируются новые решения вблизи лучшего на данный момент решения в популяции;
• происходит отбор: случайно выбранные неуспешные кандидаты в решения выбрасываются из генетического пула.

К сожалению, с эволюционным алгоритмом все же возникают некоторые проблемы:

• Время работы существенно больше, чем при симплекс-методе
• Нет никакой гарантии, что он найдет оптимальное решение. Все, что в его силах - это контроль лучшего решения в популяции, пока не закончится время, либо популяция не изменится в достаточной степени для продолжения, либо вы принудительно не остановите «Поиск решения» нажатием кнопки ESC.
• Эволюционный поиск решения работает довольно медленно. А если области допустимых значений сложные, он часто ругается, не найдя даже места, с которого начать.
• Если вы хотите заставить эволюционный алгоритм хорошо работать в Excel, вам придется определить жесткие границы для каждой переменной решения. Даже если ваше решение более или менее неограниченное, вам все же нужны ограничения.

Принимая во внимание последний пункт, для решения задачи с автоматами и маслом вам нужно добавить ограничение, согласно которому оба решения не должны быть больше 25 (рис. 8). Установив основные параметры модели, кликните на кнопку Параметры . Проработав около минуты, эволюционный алгоритм выдал ожидаемое решение – 6 автоматов и 9 бочек масла. Поскольку без бонуса оптимально сделать лишь три автомата, а бонус выплачивается при производстве более 5 автоматов, очевидно, что оптимальным будет выбор 6 автоматов.

Рассмотрим теперь более сложный пример. Вы работаете в компании, которая производит апельсиновый сок, смешивая натуральные соки разных сортов (рис. 9). Чтобы ваш сок отвечал самым изысканным требованиям:

• отношение по шкале Брикс/кислотность должно оставаться в пределах 11,5–12,5;
• уровень кислотности должен оставаться между 0,75–1%;
• уровень вяжущего вкуса должен быть 4 или ниже;
• цвет должен находиться в рамках 4,5–5,5.

Шеф сообщил вам, что на январь и февраль он ожидает спросу на уровне 600 000 галлонов сока в месяц, а в марте – 700 000 галлонов. И еще, имеется договор со штатом Флорида, предоставляющий налоговые льготы при условии, что компания покупает не менее 40% сока каждый месяц у фермеров, выращивающих сорт Valencia . Договор следует соблюсти.

Рис. 9. Список характеристик для производства свежевыжатого апельсинового сока (чтобы увеличить изображение, кликните на нем правой кнопкой мыши, и выберите Открыть картинку в новой вкладке )

Создайте оптимизационную модель (рис. 10). Формулы можно изучить на соответствующем листе, приложенного Excel-файла. Кликните Поиск решения , и введите параметры (рис. 11). Нажмите Найти решение .

Рис. 11. Заполненное окно Поиск решения для задачи смешивания

Запустив Поиск решения , вы находите оптимальную стоимость закупок - $1,23 млн. (рис. 12). Обратите внимание, что заказ флоридской Valencia проходит по нижней границе условия. Очевидно, эта сделка - не лучший вариант, но приходится смириться. Второй по популярности сорт - это Verna из Мексики, которая чертовски дешева, но ровно настолько же ужасна.

Вы представляете результаты расчета шефу, но он остается недоволен, и говорит о том, что не хочет выходить за бюджет $1,17 млн. Вы возвращаетесь к компьютеру и начинаете понимать, что стоимость перестала быть целевой функцией. Теперь это условие! А какова цель? Вы можете снизить стоимость закупок только смягчив требования к качеству. Вы решаете сформулировать их в терминах процентного сокращения, и делаете новую модель (рис. 13).

Обратите внимание, что в ячейках В26:29 и F26:F29 теперь не константы, а формулы. Ваша новая цель – минимизация процента снижения качества в ячейках G26:G29. Точнее, вы бы хотели минимизировать максимальное из значений в ячейках G26:G29. Однако, если в ячейку D2 поместить формулу =МАКС(G26:G29), модель не будет работать. Напоминаю, функция МАКС не является линейной. Здесь доступна маленькая хитрость – можно внести дополнительное условие в модель: $G$26:$G$29<=$D$2 (рис. 14), а ячейку D2 оставить пустой. Т.е., ячейка D2 будет оптимизироваться не благодаря наличию в ней формулы, а последовательными циклами, запускаемыми этим дополнительным условием.

Нажмите Найти решение . Симплексный алгоритм будет пытаться приблизить D2 к 0 как целевую функцию модели, в то время как ограничения по вкусу и цвету будут пытаться увеличить ее насколько возможно, чтобы получить пригодную для работы смесь. Где же остановится значение D2? Самое меньшее из возможных значений - максимальный процент из четырех сниженных в диапазоне G26:G29. Мы видим (рис. 15, ячейки С26:Е29), что снижение расходов на 5% потребовало выйти за ограничения качества по всем четырем параметрам.

Вы представили данные шефу, который увидел, что сокращение расходов на 5% не стоит снижения качества сока, поэтому он согласовал ваш первый вариант. Но, когда вы принесли его в отдел снабжения, сотрудники возмутились. Как можно было так раздробить поставки!? Снабженцы настаивают, чтобы вы укрупнили партии: не более 4 поставщиков ежемесячно! И вы садитесь за новую модель. К сожалению, использовать функции ЕСЛИ или СЧЁТ вы не можете, так как хотите остаться в рамках линейной модели. Поэтому вам снова приходится прибегнуть к ухищрениям (рис. 16). Вы добавляете в модель область С33:Е43, которую определяете, как бинарную (значения в ней могут быть только 0 или 1), и оставляете ее пустой. А также область F33:H43, где каждая ячейка равна произведению значения из областей С33:Е43 на G5:G15. В параметры Поиск решения (рис. 17) вы добавляете еще одно условие $С$15:$Е$15 <= $F$33:$H$43 и еще одну область переменных – $C$33:$E$43.

Как в этом случае будет работать оптимизационный алгоритм? Когда он стартует все значения в областях С5:Е15, С33:Е43 и F33:H43 равны нулю. Допустим, что алгоритм пытается в ячейку С7 поместить значение 240. Сработает условие С7 <= F35, которое приведет к увеличению значения в F35, которое, в свою очередь, определяется формулой F35 = C35*$G7. Поскольку G7 – константа, а С35 – бинарная переменная, последней присваивается значение 1. Условие С7 <= F35 выполнено, т.к., 240 <= 1200. Таким образом вы моделируете неудобное условие «если… то»: «если заказ сделан, то бинарная переменная включается».

Нажмите Найти решение . Вы заметите, что решение задачи требует больше времени из-за добавления бинарных переменных. Если по какой-то причине Поиск решения слишком затянул свой поиск, вы всегда можете нажать ESC и увидеть лучшее из найденных решений на данный момент.

В принципе, вы уже довольно продвинутый специалист в области линейного программирования. Но, если вы вошли во вкус, и вам нравится разбираться с моделями всё возрастающей сложности, вот вам еще два зубодробительных примера.

Инженеры сообщили, что на производстве появились новые «снижатели кислотности». Данная технология способна нейтрализовать 20% кислоты в соке, протекающем через прибор. Это не только снижает процент кислоты, но и повышает индекс Брикс/кислотность на 25%. Но для «снижателя» нужна энергия и расходные материалы стоимостью $20 за 1000 галлонов сока. Не весь сок, поступающий от поставщиков, нужно прогонять через этот процесс, однако, если поставка по какому-нибудь заказу прогоняется через ионообменник, то должен быть обработан весь ее объем. Постройте модель с участием ионообменника для снижения стоимости.

Проблема с новым правилом заключается в том, что естественный способ его моделирования - нелинейный, что приведет к использованию медленного алгоритма оптимизации. Но, как и в предыдущем примере, можно ввести бинарную переменную в области С25:Е35, которая бы «включалась» при необходимости понизить кислотность партии (рис. 18). Поскольку, нельзя использовать произведение «индикатор понижения кислотности (бинарный) * объем партии», вы создаете область С37:Е47, которая вам пригодятся для уравнивания объемов, подлежащих снижению кислотности, без прямого участия в формулах самих этих объемов. Итак, области С25:Е35 и С37:Е47 не содержат формул. В области G25:I35 используются формулы =С25:Е35*G5:G15 (это ограничение партии общим доступным объемом сока), а в области К25:М35 =Е5:E15-GG5:15*(1-Е25:E35). Это условие заработает только если партия подлежит снижению кислотности.

Также в модели со «снижателем кислотности» были изменены формулы в ячейках С16:Е16 (теперь они учитывают затраты на снижение кислотности по формуле «индикатор (бинарный) * объем партии * $20) и в ячейках С50:Е51 (теперь они учитывают повышение коэффициента Брикс/кислотность на 25% и снижение кислотности на 20% для обработанных партий). В параметрах Поиска решения появились новые переменные и дополнительные условие (рис. 19). К сожалению, нажав кнопку Найти решение , вы узнаете, что надстройка Поиск решения не может справиться с задачей (рис. 20). Модель стали слишком сложной.

Рис. 19. Параметры Поиска решения в модели со «снижателем кислотности»

Рис. 20. Поиск решения не справляется с задачей

Вам нужно загрузить и установить OpenSolver (как это сделать см. , глава 1). OpenSolver «подхватит» установки, введенные только что в окне Поиск решения . Поэтому просто нажмите кнопку Solver . Полученное решение – $1 235 927 более чем на $ 100 000 лучше предыдущего минимума – $1 338 913.

До сих пор мы считали, что поставляемая продукция имеет точно указанные параметры. Резонно предположить, что эти параметры подвержены вариации, характеризуемой среднеквадратичным отклонением (рис. 21; подробнее см. ). Самое известное и широко используемое распределение случайной величины - это нормальное распределение, иначе называемое «колоколообразной кривой». Скажем, в случае с соком из Египта среднее значение отношения Брикс/кислотность будет 13, а среднеквадратичное отклонение (также называемой стандартным отклонением) - 0,9 (рис. 21). В данном примере 13 - это центр распределения вероятности, 68% заказов будут в пределах ±0,9 от 13, а 95% будут в пределах ±1,8 от 13.

Ваша цель - предложить план смешивания стоимостью меньше $1,25 миллиона, который наилучшим образом соответствует ожиданиям по качеству в свете вариабельности поставок.

Мы используем среднее и среднеквадратичное отклонение характеристик, чтобы применить имитационное моделирование по методу Монте-Карло (если вы слышите это название впервые, рекомендую ). В этом методе вместо включения параметров распределения (среднего значения и среднеквадратичного отклонения) в модель напрямую, создается большое число сценариев, основанных на этих самых параметрах распределения.

Сценарий - это один из возможных ответов на вопрос: «Если это - распределения, основанные на статистике, на что же будет похож конкретный заказ?» Каждый сценарий включает сорок параметров десяти сортов сока (рис. 22). Чтобы получить один такой параметр, воспользуйтесь функцией НОРМ.ОБР (подробнее о функции см. ). Например, в ячейке В33 отношение Брикс/кислотность для сорта Hamlin определяется формулой =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();H5;N5). Введите аналогичные формулы в область В33:СW76, сгенерировав 100 сценариев. Поиск решения не сможет работать с этими формулами, так как они нелинейны, поэтому скопируйте их в буфер и вставьте, но уже, как значения.

Цель минимизировать значение в ячейке D2. Т.е., найти решение, которое менее всего снижает границы качества для 100 сценариев. Как и в примерах на рис. 13–15, в ячейке D2 нет формулы. Оптимизация выполняется заданием параметров в окне Поиск решения. Все, что нужно - это поместить во все сценарии границы качества, а не просто ожидаемые значения характеристик. Таким образом, в отношение Брикс/кислотность вы добавляете условия B78:CW80 >= B26 и =< F26, затем проделываете то же самое с кислотностью, вяжущей составляющей вкуса и цветом (рис. 24). Нажмите Найти решение . Решение найдется довольно быстро. Если вы генерировали случайные значения сами, а не использовали те, что находятся в файле для загрузки, ваше решение может отличаться. Для моей сотни сценариев наилучшим показателем, который мне удалось получить, является изменение качества на 133%.

Рис. 24. Настройка Поиска решения для модели с вариабельностью характеристик

Если вы хотите расширить свои знания в области линейного программирования, рекомендую книгу The AIMMS optimization modeling book . Не пропустите две главы про трюки и подсказки – они поистине гениальны.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 129–186. Насчет секретности разработки и Второй мировой – это, похоже, личное мнение автора книги. См. Википедию . – Прим. Багузина .