Методы обнаружения и различения в теории обнаружения сигнала. Способ обнаружения сигнала

Основной проблемой при детектировании сигналов ИФРНС является искажение формы принимаемых радиоимпульсов за счет наложения на поверхностную волну отраженных составляющих. Составляющие сигнала, которые не распространяются вдоль поверхности, проходят различные пути за различное время. Невозможно надежно предсказать время их прихода. Однако, очевидно, что отраженные составляющие сигнала распространяются медленнее поверхностной составляющей. Они также влияют на форму принимаемого сигнала. Форма принимаемого радиоимпульса может изменяться в зависимости от времени года, времени суток, а также от погодных условий и географической местности. Для выполнения задач навигации необходим алгоритм выделения начала поверхностной составляющей радиоимпульса.

Принимаемый сигнал x t (t) во временной области может быть представлен следующим уравнением:

(1)

Где x g (t) – поверхностная составляющая, амплитуда и задержка n-ной отраженной составляющей определяются коэффициентами k n и t n , а e (t) - шумовая компонента.
Ниже изображены эталонный импульс ИФРНС и его спектр после прохождения полосового фильтра приемника. Частота дискретизации составляет 5 МГц.

В качестве примера рассмотрим смоделированный радиоимпульс, состоящий из поверхностной и отраженной составляющих. На рисунках ниже представлены графики, на котором изображена модель импульса, состоящая из двух составляющих смещенных друг от друга на 130 мкс. Амплитуда отраженной составляющей в 2 раза ниже амплитуды поверхностной составляющей.

Эквивалентное представление сигнала в частотной области описывается как:

(2)

Где X t (f) , X g (F) и E (f) - спектры сигналов x t (t) , x g (t) и e (t) .
Примем, что спектр эталонного нормированного сигнала системы «Лоран-С» или «Чайка» обозначается как X 0 (f) .
Очевидно, что
(3)

Где k g - амплитуда поверхностной составляющей. Если выражение для X g (f) из формулы (3) подставить в формулу (2) и разделить почленно все слагаемые на X 0 (f) , получится выражение

(4)

На рисунке ниже изображен график результата деления спектра сигнала на спектр эталона. Изображенный красным, график представляет собой горизонтальную пилообразную линию во всей области частот.

Обратное преобразование Фурье над выражением (4) дает формулу
(5)

Математический смысл выражения (5) заключается в том, что во временной области мы получаем пики в виде дельта-функций в моменты появления как поверхностной, так и всех отраженных составляющих сигнала, нормированные по амплитуде.
На рисунке ниже изображен график детектирования начала составляющих сигнала. Как видно из графика отношение амплитуд составляющих сигнала равно двум и расстояние между пиками составляет 130 мкс, что соответствует параметрам построенной модели.

Метод обычного деления спектров хорошо действует для идеальных сигналов. При добавлении в сигнал шумовой составляющей эффективность метода резко ухудшается. На рисунках ниже изображен график детектирования начала сигнала при соотношении сигнал/шум 25 дБ. Как видно из рисунков определение начала сигналов выполнить невозможно.

На графике спектра можно заметить, что внутри полосы шириной приблизительно 30 кГц с центром в точке 100 кГц результат деления спектров имеет горизонтальный пилообразный вид как при использовании метода деления спектров на идеальном не зашумленном сигнале. Использование прямоугольного окна шириной 30 кГц с центром в точке 100 кГц позволяет устранить влияние шумов перед операцией обратного преобразования Фурье. На рисунке ниже изображен график детектирования начала сигнала при использовании оконной фильтрации зашумленного сигнала. Два максимума графика позволяют обнаружить начало каждой из составляющих сигнала на фоне шума и также оценить отношение их амплитуд.

Метод деления спектров с применением оконного сглаживания эффективен при соотношении сигнал/шум выше 12 дБ. Наиболее эффективным типом окна признано прямоугольное окно с полосой 30 кГц. На рисунках ниже изображен реальный импульс цепочки Northern Sea of China Chain и график обнаружения его начала.

Оригинальная статья расположена . Алгоритм в настоящее время применяется мной для контроля параметров станций ИФРНС Дальневосточного региона.

Таблица 6. Способ расчета р(Н) и p(FA) по полученным данным в методе МО

Теперь мы имеем 6 пар вычисленных р(РА) и р(Н) и, следовательно, имеем 6 точек РХ. Взяв больше категорий, мы построим РХ более подробно, но слишком большое число категорий требует очень длительного эксперимента (надо, чтобы каждая категория встречалась не слишком редко, иначе частота будет плохой оценкой вероятности) и поэтому на практике встречается не часто.

Методические рекомендации по выполнению учебных заданий по теме "Методы обнаружения сигнала"

На первом занятии, которое проходит в форме семинара, проводится обсуждение основ психофизической теории обнаружения сигнала (ТОС), являющейся рабочим инструментом современной психофизики. К этому занятию студенту необходимо прочесть данную главу учебного пособия. В качестве альтернативной и/или дополнительной литературы может быть рекомендована глава 7 книги К.В Бардина (1976). Для студентов, имеющих более солидную математическую подготовку и дополнительный интерес к освоению методов обнаружения сигнала, будут полезны 1-3 главы монографии Дж. Игана(1983). Часть первого и второе занятия посвящаются планированию предстоящего эксперимента, освоению программного обеспечения, с помощью которого проводится отработка учебного задания (см. Приложение 2), и выполнению тренировочных серий эксперимента. Третье (и при необходимости четвертое) занятие отводится для проведения основных серий эксперимента и подготовки отчета.

Предполагается, что студент уже имеет элементарные навыки самостоятельной работы на IBM-совместимом персональном компьютере.

Основное внимание при обсуждении теоретических основ ТОС необходимо обратить на те теоретические предположения, которые делаются в психофизической теории обнаружения сигнала, на отличие данного подхода к измерению чувствительности от классического фехнеровского подхода. Известную трудность при изложении данной модели обнаружения сигнала составляют особенности ее формально-математического описания, тем не менее они не выходят за рамки тех минимальных знаний об интегральном и дифференциальном исчислении, которые были получены студентами на 1-м курсе. Кроме того, в ходе освоения материала нетрудно отделить собственно психологические предположения и ограничения, накладываемые моделью в силу упрощения или даже примитивизации описываемой реальности, и следующие из этого математические допущения. Нужно себе четко представлять, что попытка формально-математического описания даже таких "низкоуровневых" процессов как обнаружение или различение простых сенсорных сигналов, сталкивается с необходимостью "вынести за скобки", нивелировать большинство таких детерминант сенсорно-перцептивного процесса, как колебания внимания, когнитивно-стилевые особенности человека, индивидуальность его мотивации и др. Хорошо это или плохо, но большинство попыток модельного описания психических процессов, представленных в современной литературе, в той или иной степени приводит к аналогичному результату (см., например, модели памяти Аткинсона или когнитивные варианты современных моделей мотивации, где делаются более глобальные и далеко идущие предположения и ограничения в описании куда более сложной моделируемой реальности).

Для наглядности изложения введем основные понятия и характеристики оптимального обнаружения, иллюстрируя их на простейшем примере. Предположим, что на интервале наблюдения (обработки) может присутствовать или отсутствовать полезный сигнал, характеризуемый постоянным значенизм (рис. 4.1, а). В качестве обнаруживаемого сигнала можно было бы принять отрезок синусоиды с постоянной амплитудой, однако это не изменит существа рассматриваемой ниже процедуры обнаружения.

Достоверному обнаружению сигнала мешает наличие шума (рис. 4.1, б), в смеси с которым наблюдается сигнал (когда он присутствует). Следовательно, по реализациям, содержащим смесь сигнала с шумом (рис. 4.1, в) или только шум, необходимо установить факт присутствия сигнала.

Таким образом, процедура обнаружения сводится к обработке реализаций случайной функции

В каждой из этих реализаций возможно наличие или отсутствие обнаруживаемого сигнала.

Будем обозначать случайные функции и случайные величины большими (заглавными) буквами а набор их возможных значений, а следовательно, и аргументы (независимые переменные) соответствующих законов распределения - малыми буквами, например

Достаточно полной статистической характеристикой случайной функции является ее многомерная плотность

распределения. Она вводится следующим образом. Рассматриваются значения случайной функции в дискретные моменты времени что означает замену случайной функции случайной последовательностью. На всей совокупности возможных реализаций значения случайной функции в моменты времени представляют собой последовательность случайных величин Такую последовательность иногда называют многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Совместная плотность распределения этих случайных величин где на практике принимается за статистическую характеристику случайной функции Такая многомерная плотность распределения зависит от наличия или отсутствия сигнала. В этом смысле она является условной, что отмечено введением в аргумент плотности распределения символа

Степень детализации случайного процесса, которая имеет место при описании его -мерной плотностью распределения, будет тем выше, чем больше значение

Совокупность значений утв случайных величин полученная из каждой конкретной реализации (рис. 4.1, г), называется выборкой. В ряде случаев саму совокупность случайных величин называют обобщенной выборкой.

Использование многомерных распределений для обнаружения позволяет получить обозримые результаты и технически реализуемые обнаружители лишь при определенных ограничениях, которым должна удовлетворять обрабатываемая случайная последовательность. В большинстве случаев эти ограничения не обременительны для практических приложений. Одним из таких ограничений может явиться требование нормальности случайных величин Другое, часто используемое ограничение, состоит в том, что рассматриваемые случайные величины принимаются независимыми. Независимость может быть обеспечена надлежащим выбором моментов отсчета

В дальнейшем будем полагать, что такая независимость имеет место. Тогда при наличии сигнала

а при отсутствии сигнала

Следовательно, многомерные плотности распределения достаточно просто выражаются через одномерные.

В статистической радиотехнике, которая использует аппарат математической статистики, выводы о наличии сигнала и его параметрах делаются на основе принятых реализаций и соответствующих им выборок. Хотя эти реализации и содержат всю информацию об интересующих нас явлениях, получить такую информацию непосредственно из реализации или выборкичасто не представляется возможным. Они должны подвергнуться обработке (анализу). Важным элементом этого анализа является получение некоторых усредненных характеристик выборки. Весьма продуктивной и в ряде случаев оптимальной будет обработка выборки на

основе использования функции правдоподобия и отношения правдоподобия.

В математической статистике функция правдоподобия формируется из многомерной плотности распределения (4.4.2) случайных величин путем замены в ней независимых переменных значениями выборки утв, полученными в результате приема каждой конкретной реализации.

В задачах обнаружения функции правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала будут равны соответственно

Обычно в литературе не делают различий в обозначениях аргументов функций распределения (4.4.2), (4.4.3) и числовых данных каждой конкретной выборки (4.4.4), (4.4.5), что нередко приводит к недоразумениям. Поэтому в дальнейшем выборочные данные, представляющие набор случайных чисел и функций от них, которые также являются случайными числами на совокупности выборок, будут снабжаться индексом (выборка).

Величина функции правдоподобия для каждой конкретной выборки характеризует, какое из двух событий или является более правдоподобным. При построении процедур обнаружения сигналов на основе рассмотренных выше статистических характеристик выборочных данных бывает удобнее сравнивать между собой не величины а их отношение

называемое отношением правдоподобия, с порогом Отношение правдоподобия также является случайной величиной на совокупности выборок.

По соображениям, которые станут ясными из дальнейшего, предпочитают сравнивать с порогом не само значение а его натуральный логарифм, т. е.

где Поскольку логарифмическая функция неубывающая, а - неотрицательная величина, оказываются эквивалентными процедуры сравнения с порогом с порогом С.

Процесс обнаружения сводится к следующему. Для каждой реализации вычисляется логарифм отношения правдоподобия и сравнивается с порогом С. Если оказывается, что то принимается решение о наличии сигнала в данной реализации, а при сигнал считается отсутствующим.

При сравнительно малых отношениях сигнал/шум, а также вследствие случайности принимаемых реализаций логарифм отношения правдоподобия является случайной величиной и возможно выполнение неравенства при отсутствии сигнала. В этом случае обнаружитель примет ошибочное решение о наличии сигнала. Ошибки такого рода называются ложными тревогами. И наоборот, если при наличии сигнала, то выдается ошибочное решение, называемое пропуском сигнала.

При низком пороге пропуски сигнала будут практически отсутствовать, но сильно поднимется процент ложных тревог. Завышение порога увеличит число пропусков сигнала при уменьшении ложных тревог. Интуитивно чувствуется, что существует оптимальное значение порога. Такое значение действительно имеется, причем оно зависит от ряда условий, и в частности от критерия, положенного в основу построения оптимального обнаружителя. Выбор того или иного критерия оптимальности системы, в том числе и для систем обнаружения сигналов, является в значительной степени субъективным актом, т. е. критерий не выводится из теории, а назначается волевым приемом, исходя из особенностей функционирования конкретной оптимизируемой системы. Разумность и ценность принятого критерия качества работы системы проверяется на практике.

Так, установлено, что для оптимизации обнаружителей радиолокационных станций целесообразно использовать критерий Неймана - Пирсона, а для систем связи более подходит критерий идеального наблюдателя. При использовании критерия Неймана - Пирсона задается уровень ложных тревог и требуется, чтобы вероятность обнаружения при этом была бы максимальной. Критерий идеального наблюдателя требует, чтобы суммарная ошибка, вызванная

как ложными тревогами, так и пропуском сигнала, была минимальной.

После того, как критерий принят, определяется оптимальное значение порога С на основании требований данного критерия и устанавливается структура оптимального обнаружителя.

Логарифм отношения правдоподобия определяемый формулой (4.4.7), представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины Вид плотности распределения этой случайной величины зависит от того, присутствует в данной реализации сигнал или его нет.

Обозначим через плотность распределения V при наличии сигнала в реализации, а через при его отсутствии. В соответствии с принятыми ранее определениями, вероятность ложной тревоги выражается формулой:

а вероятность пропуска сигнала -

Полученным результатам можно дать наглядное геометрическое представление (рис. 4.2). Здесь изображены плотности распределения случайной величины V (логарифма отношения правдоподобия) соответственно при отсутствии и наличии сигнала. Вероятность ложной тревоги представляет собой площадь под кривой справа от порогового значения С (луч а вероятность пропуска сигнала площадь под кривой слева от него (луч

Очевидно, что вероятность правильного обнаружения будет равна

Эта вероятность определяется как площадь под кривой справа от порога С.

Как следует из приведенного рисунка, с увеличением порогового уровня уменьшается вероятность ложной тревоги, но одновременно уменьшается и вероятность правильного обнаружения. При снижении порога картина будет обратной.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться и непосредственно совместными плотностями распределений последовательности случайных величин порождающих анализируемые выборки утв. Такая возможность обусловлена правилами обнаружения, сформулированными ранее. Пространство всех возможных выборок (пространство существования случайного вектора разбивается на две непересекающиеся области Попадание данной конкретной выборки в область эквивалентно тому, что случайная величина V примет значение попадающее на луч оси (рис. 4.2). Если выборка попадает в область то будет находиться на луче Отсюда следует, что

т. е. при таком подходе к определению требуется вычисление -кратных интегралов, поэтому на практике чаще пользуются выражениями (4.4.8) и (4.4.9).

Проведенный анализ показывает, что путем вычисления отношения правдонодобия удалось преобразовать -мерное (а в пределе бесконечномерное) пространство выборок (пространство наблюдений) в одномерное. Подобные преобразования широко применяются в математической статистике и составляют суть анализа опытных данных для получения из них определенных выводов.

Если преобразование осуществляется так, что не происходит потери информации, содержащейся в исходной

выборке, то оно называется достаточным, а полученная в результате его случайная величина - достаточной статистикой. Отношение правдоподобия является достаточной статистикой.

Оптимальность критерия Неймана - Пирсона состоит в том, что при его использовании оперируют с достаточными статистиками (отношением правдоподобия), и выявляется лишь при сравнении с другими процедурами обработки, не приводящими к достаточным статистикам. Такое сравнение показывает, что при заданном уровне ложных тревог процедура Неймана - Пирсона дает наибольшую вероятность правильного обнаружения. Пороговое значение при использовании критерия Неймана-Пирсона находится в результате решения уравнения

в котором заданы вид плотности распределения и величина допустимой вероятности ложной тревоги

Для определения порогового уровня Сии при использовании критерия идеального наблюдателя необходимо вычислить вероятность полной ошибки

где априорные (т. е. задаваемые до начала анализа реализации) вероятности отсутствия и наличия сигнала соответственно.

Для нахождения порога который обеспечивает минимум необходимо производную по С от правой части выражения (4.4.14) приравнять нулю. В результате получается уравнение

Решая это уравнение относительно порога, находят значение соответствующее критерию идеального наблюдателя.

С принципиальной точки зрения критерий идеального наблюдателя кажется более содержательным в сравнении с критерием Неймана - Пирсона, так как в нем учитывается

прошлый опыт, отраженный в величинах априорных вероятностей Однако на практике бывает очень трудно найти ситуации, в которых можно заранее и достаточно обоснованно указать величины поэтому часто их берут равными Тогда уравнение для определения будет иметь вид:

Этот частный случай критерия идеального наблюдателя иногда называют критерием максимального правдоподобия.

Условие (4.4.16) означает, что порог должен соответствовать точке пересечения кривых на рис. 4.2, поэтому ложные тревоги и пропуски сигнала будут наблюдаться с равными вероятностями. При использовании критерия Неймана - Пирсона порог обычно устанавливается так, чтобы вероятность ложных тревог была существенно меньше вероятности пропуска сигнала. В этом основное различие рассмотренных критериев.

Общим для этих критериев является то, что процедуры обнаружения при использовании каждого из них строятся на основе вычисления отношения правдоподобия. Это обстоятельство обусловлено тем, что они входят в качестве подклассов в более общий так называемый байесовский критерий или, как его еще именуют, критерий минимума среднего риска.

Байесовское обнаружение, разработанное в теории статистических решений, состоит в том, что помимо выборки и априорных вероятностей задаются еще определенные потери или ущерб, которые вызываются ложными тревогами и пропуском сигнала. По этим данным вычисляется средний риск, связанный с принятием решения о наличии или отсутствии сигнала. Пороговое значение С выбирается так, чтобы средний риск был минимален. Если потери, обусловленные ложными тревогами и пропуском сигнала, принять одинаковыми, то байесовский критерий переходит в критерий идеального наблюдателя.

Поскольку задать обоснованные величины потерь для реальных ситуаций очень трудно, практическая ценность байесовского критерия невелика. Однако он позволяет в теоретическом плане более четко обосновать оптимальность всех процедур обнаружения, построенных на основе вычисления отношения правдоподобия.

Для построения структурных схем обнаружителей, использующих приведенные выше критерии, и получения данных о качестве работы этих обнаружителей необходимо задаться конкретным видом плотностей распределения последовательности случайных величин из которых формируется выборка .

При переходе к непрерывному процессу обработки многомерные условные плотности распределения преобразуются (там, где это возможно) в функционалы соответственно, а логарифм отношения правдоподобия записывается в виде

Если сигнал обнаруживается в белом шуме, имеющем спектральную плотность то вычисления по формуле (4.4.17) дают

Здесь энергия сигнала, выделяемая за время В задачах обнаружения известного сигнала считается заданной. Величина полученная от каждой реализации, сравнивается с порогом

для критерия Неймана - Пирсона и

для критерия идеального наблюдателя. Здесь отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности шума; а аргумент интеграла вероятности, вычисленный для заданного значения вероятности ложной тревоги.

На основании (4.4.18) получается структурная схема оптимального обнаружителя, показанная на рис. 4.3.

Основные операции, выполняемые в обнаружителе подобного типа, сводятся к следующим. Принимаемая смесь сигнала с шумом или один шум умножаются в устройстве

с коэффициентом передачи на копию сигнала которая должна храниться в приемнике. Коэффициент передачи умножителя введен лишь для согласования размерностей и величина его не имеет принципиального значения. Поэтому часто его полагают равным единице. С выхода умножителя напряжение подается на интегратор, где оно интегрируется в течение времени и далее через звено с коэффициентом передачи поступает на пороговое устройство Множитель введен для нормировки, а коэффициент так же, как и коэффициент согласует размерность тракта обработки сигнала.

В момент окончания интегрирования на выходе звена образуется сигнал

который сравнивается в пороговом устройстве с напряжением для вынесения решения о наличии или отсутствии сигнала в принятой реализации. После этого интегратор устанавливается на нуль и цикл обнаружения начинается вновь. Коэффициент

Величины пороговых напряжений ипин и для критериев идеального наблюдателя и Неймана - Пирсона получаются из (4.4.18) - (4.4.20) и равны

Напряжение на выходе интегратора, отсчитываемое в момент времени представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины распределенной по нормальному закону. Его математическое ожидание Май и дисперсия при отсутствии сигнала равны соответственно

при наличии сигнала

Вычисление вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения осуществляется по формулам:

При расчетах по формулам (4.4.26) и (4.4.27) пороговый уровень определяется соотношениями (4.4.22) и (4.4.23) в зависимости от принятого критерия обнаружения.

Для облегчения расчетов по формулам (4.4.22), (4.4.23) (4.4.26) и (4.4.27) разработаны таблицы и графики .

Схема на рис. 4.3 отображает оптимальный обнаружитель корреляционного типа или, как его еще называют, корреляционный приемник. Можно показать, что эта схема эквивалентна по качественным показателям обнаружения схеме с согласованным фильтром (рис. 4.4). Согласованный фильтр задается весовой функцией или комплексной частотной характеристикой причем с точностью до постоянного множителя является зеркальным отображением сигнала относительно прямой Ключ замыкается в момент окончания сигнала.

Выбор схемы обнаружителя в форме корреляционного приемника или согласованного фильтра диктуется лишь удобствами конструирования.

Практически разработанные системы обнаружения часто еще далеки по своим свойствам от рассмотренных выше оптимальных обнаружителей. Это объясняется рядом причин, которые условно можно разбить на две группы.

Первую группу составляют те, которые вызваны изменением условий, принимаемых при синтезе оптимального обнаружителя, относительно обнаруживаемых сигналов и помех, в силу следующих обстоятельств: помеховое воздействие не может быть сведено к белому шуму; в месте приема не известна фаза принимаемого колебания; производится прием флуктуирующего сигнала; не известно положение принимаемого сигнала на оси времени и т. д.

Вторая группа вызвана отказом от применения тех элементов оптимальной схемы, которые сложны в технических реализациях.

Ухудшения предельных показателей, вызванных перечисленными причинами, принято характеризовать потерями чувствительности обнаружителя.

Небелый гауссов шум будем характеризовать нулевым средним значением и корреляционной функцией Такой шум называют также коррелированным или «окрашенным». Для получения алгоритма работы оптимального обнаружителя сигнала, принимаемого в смеси с коррелированным шумом, необходимо выполнить те же операции, что и в случае белого шума, т. е. вычислить логарифм отношения правдоподобия и сравнить его с порогом, величина которого зависит от принятого критерия. Отличие от обнаружения сигнала в белом шуме состоит лишь в больших трудностях, возникающих при вычислении отношения правдоподобия. Эти трудности связаны с тем, что при «окрашенном» шуме обобщенная выборка представляет собой систему коррелированных случайных величин совместная плотность распределения которых уже не может быть представлена в виде произведения плотностей распределения каждой из этих величин.

Наиболее известными являются два подхода к вычислению отношения правдоподобия, которым соответствуют две формы структурной схемы оптимального обнаружителя. Первый метод состоит в том, что отношение правдоподобия вычисляется непосредственно на основе многомерных

плотностей распределения коррелированных случайных величин при наличии и отсутствии сигнала .

При втором подходе случайную функцию раскладывают на интервале в ортогональный ряд, который обычно называют рядом Корунена - Лоэва. Удобство такого разложения состоит в том, что коэффициенты этого ряда образуют систему некоррелированных случайных величин, а если анализируемые процессы нормальны, то эти коэффициенты еще и статистически независимы. Поэтому в отношении их применима рассмотренная ранее методика построения оптимальных обнаружителей сигнала в белом шуме. Получение независимых отсчетов для коррелированного нормального процесса называют иногда отбеливанием «окрашенного» шума .

Рассмотрим основные результаты, которые дают два упомянутых подхода к синтезу оптимальных обнаружителей. Наибольшая сложность, возникающая при вычислении многомерной плотности распределения статистически зависимых случайных величин, состоит в нахождении матрицы обратной по отношению к корреляционной матрице При непрерывной обработке принимаемых реализаций обращение матриц сводится к решению интегрального уравнения

где непрерывный аналог обратной корреляционной матрицы. По аналогии с обратной матрицей функцию называют иногда обратнокорреляционной функцией.

Основные трудности в решении уравнения (4.4.28) вызывают конечные пределы интегрирования. Если уравнение (4.4.28) решено и определена то логарифм отношения правдоподобия запишется в виде

Если шум белый, т. е. то из (4.4.28) находим Подставляя это значение обратнокорреляционной функции в (4.4.29), получаем выведенное ранее отношение (4.4.18).

Для удобства построения структурной схемы обнаружителя введем функцию определив ее как

Если принять, что функция выполняет роль некоторого обобщенного опорного сигнала, то можно усмотреть аналогию в выражениях (4.4.18) и (4.4.31) и построить-структурную схему обнаружителя в виде, представленном на рис. 4.5. Здесь напряжение умножается на принимаемую реализацию а результат умножения интегрируется в течение интервала времени

Напряжение сформированное на выходе интегратора в момент времени

сравнивается в пороговом устройстве с пороговым уровнем который определяется формулами (4.4.22), (4.4.23), если в них положить

Показателями достоверности работы обнаружителя по-прежнему являются вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, которые вычисляются по формулам (4.4.26) и (4.4.27). Соотношение (4.4.33) показывает, что достоверность обнаружения теперь зависит от формы сигнала. Напомним, что при обнаружении сигнала в белом шуме величина определялась лишь энергией сигнала и спектральной плотностью шумов, а форма сигнала на нее не влияла.

Функция может быть вычислена непосредственно по корреляционной функции шумов без перехода к обратнокорреляционной функции Для этого выражение (4.4.28) следует умножить справа и слева на «с проинтегрировать полученное соотношение от до и заменить переменную интегрирования

Возможно также построение оптимального обнаружителя сигнала в коррелированном шуме по схеме с согласованным фильтром. Весовая функция такого фильтра вычисляется по виду обобщенного сигнала определяемого выражением (4.4.34). Поэтому в любом случае для построения оптимального обнаружителя необходимо решать интегральное уравнение (4.4.34).

В работе показано, что если интегрирование производится в бесконечных пределах или же когда спектральная плотность помехи описывается дробно-рациональной функцией частоты то решение уравнения (4.4.34) получается в замкнутой форме.

Структура согласованного фильтра при коррелированном шуме такова, что этот фильтр ослабляет в большей степени те спектральные составляющие принимаемой реализации, частоты которых соответствуют частотам наибольшей интенсивности в спектре шума.

Процесс оптимального обнаружения сигнала в коррелированном шуме, основанный на переходе к статистически независимым выборочным значениям, в случае непрерывной обработки реализации сводится к введению в схему обнаружителей так называемого отбеливающего фильтра. Структурная схема подобного обнаружителя представлена на рис. 4.6. Реализация на выходе отбеливающего фильтра

Представляет собой смесь преобразованного сигнала и белого шума.

Для сохранения необходимых соотношений между преобразованной реализацией и опорным сигналом на обоих входах умножителя в тракт последнего также вводится аналогичный фильтр. Остальная часть схемы полностью соответствует схеме оптимального обнаружителя сигнала в белом шуме.

Для нахождения параметров отбеливающего фильтра положим, что на его вход подано лишь шумовое воздействие с нулевым средним значением и корреляционной функцией Весовая функция фильтра должна быть такова, чтобы шум на его выходе имел корреляционную функцию, равную т. е.

Таким образом, для нахождения структуры отбеливающего фильтра необходимо решить интегральное уравнение (4.4.35). Это решение зависит исключительно от вида корреляционной функции входного шума. Если длительность обрабатываемой реализации больше времени памяти фильтра, то допустимо расширение пределов интегрирования до бесконечности. В этом случае при стационарном шумовом воздействии уравнение (4.4.35) легко решается с помощью преобразования Фурье

Отсюда находим выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра через одностороннюю спектральную плотность коррелированного шума на его входе и спектральную плотность белого шума на его выходе.

Рассмотренная ранее задача, в которой при приеме были точно известны амплитуда и начальная фаза обнаруживаемого сигнала, на практике не встречается и принятое условие является удобной математической абстрацией, служащей для получения предельных значений достоверности обнаружения. Реальные условия приема радиосигналов намного сложнее. Первое приближение к таким условиям соответствует случаю, когда в точке приема точно известны частота полезного сигнала и его положение на оси времени с точностью до периода высокочастотных колебаний, а неизвестными являются начальная фаза и амплитуда.

Применительно к радиолокационным задачам подобная ситуация характеризует обнаружение отраженного от цели сигнала при неизменном и заранее известном расстоянии между целью и точкой приема. Предполагается также, что частота передатчика РЛС абсолютно стабнльна или влияние нестабильности исключается путем запоминания частоты излучаемого сигнала до момента прихода отраженного импульса.

Если какой-либо параметр сигнала точно неизвестен, а заданы лишь его статистические характеристики, то теория оптимальных методов приема рекомендует для этого случая два различных подхода. Согласно первому неизвестный параметр должен быть измерен, т. е. получена его оптимальная оценка, и в схему обнаружителя вводится сигнал, который вместо неизвестного параметра содержит оценку этого параметра. Такая рекомендация приводит к получению достаточно сложных схем с одновременным обнаружением и измерением (23, 164, 98]. Однако если влияние неизвестных параметров на достоверность обнаружения невелико, такое усложнение нецелесообразно. В этом случае предпочтителен другой подход, в соответствии с которым необходимо усреднить отношение правдоподобия по неизвестным параметрам и тем самым исключить их из структуры оптимального обнаружителя. Этот подход основан на не совсем точной концепции, состоящей в том, что неизвестные

Следующим этапом приближения к реальным условиям работы обнаружителя является принятие допущения о неизвестной несущей частоте сигнала и неизвестном положении его на оси времени. Частота сигнала бывает неизвестна в силу нестабильности частоты передатчика, а также из-за наличия допплеровского смещения частоты, вызванного взаимным перемещением пунктов передачи и приема. Отсутствие данных о расстоянии между радиолокационной станцией и целью, а также между двумя корреспондентами в системе связи приводит к тому, что становится неизвестным положение сигнала на оси времени.

В теоретическом плане задача сводится к так называемому сложному или многоальтернативному обнаружению. Оптимальный обнаружитель в этом случае строится в виде многоканальной схемы. Возможный диапазон задержек сигнала разбивается на интервалы, каждый из которых соответствует одному элементу разрешения цели по дальности. Для каждого такого интервала строится оптимальный обнаружитель. Отметим, что в таком многоканальном обнаружителе осуществляется процедура обнаружения и измерения, так как появление сигнала в том или ином канале позволяет установить по номеру канала временную задержку сигнала, а следовательно, и дальность до цели. Аналогично строится и многоканальная схема с частотным разделением каналов, если неизвестна частота сигнала.

Теория оптимального обнаружения сигналов, основанная на анализе отношений правдоподобия, предполагает известными распределения вероятностей принимаемых реализаций. Вид закона распределения вероятностей определяет структуру обнаружителя, а знание параметров этого закона позволяет рассчитать величину порога, необходимую для получения требуемой достоверности обнаружения.

В математической статистике методы, в которых для получения статистических выводов необходимо знание законов распределения анализируемых процессов, называют параметрическими. Несмотря на широкое применение параметрических методов в статистической радиотехнике, их использование может натолкнуться на трудности принципиального

характера, что наблюдается, например, при недостатке статистических данных в описании процессов на входе радиотехнического устройства или при изменении таких данных во времени непредсказуемым образом. Простейшей, но весьма характерной ситуацией подобного рода является возрастание интенсивности шумов на выходе приемника, вызванное либо увеличением коэффициента его усиления, либо действием широкополосных шумовых помех. Если параметры обнаружителя оставить неизменными, то это приведет к повышению вероятности ложной тревоги.

Для стабилизации уровня ложной тревоги в рассмотренные выше обнаружители параметрического типа вводят дополнительный канал приема, в котором осуществляется оценка интенсивности шумов. В радиолокационных устройствах такой канал может быть выполнен дополнительным стробированием приемника на дистанции (временном интервале), где заведомо отсутствует сигнал цели. Измеренное значение интенсивности шумов используется либо для изменения порога, либо для нормировки шумов. Некоторые алгоритмы стабилизации ложных тревог путем изменения порога приведены в 182, 179]. Теоретическое обоснование нормирования шумов в оптимальном обнаружителе с неизвестной их интенсивностью дает правило, называемое -тестом Стьюдента 112]. Приближенно это правило реализуется в системах автоматической регулировки усиления приемника по шумам (ШАРУ).

Основной недостаток рассмотренных схем стабилизации ложных тревог состоит в том, что получаемая в таких схемах оценка интенсивности шумов отличается от ее истинного значения на величину ошибки измерения, к которой очень чувствительны обнаружители параметрического типа. Например, в показано, что ошибка измерения среднего уровня шумов, составляющая 10%, вызывает изменение вероятности ложной тревоги приблизительно на порядок. Отмеченная особенность, а также чувствительность подобных обнаружителей к изменению вида закона распределения помех послужили причиной разработки обнаружителей непараметрического типа, для построения которых требуются очень ограниченные сведения о распределениях анализируемых реализаций.

Непараметрическая теория решений позволяет получать алгоритмы (на основе которых делаются статистические выводы), инвариантные к форме закона распределения.

Однако в практическом приложении этой теории применительно к обнаружению сигналов вопрос так широко не ставится. Обычно под непараметрическим обнаружением понимают алгоритм, который обеспечивает независимость от формы закона распределения какой-либо характеристики качества обнаружения. Такой характеристикой чаще всего бывает уровень ложных тревог. Следовательно, в непараметрических обнаружителях обеспечивается стабилизация ложных тревог при изменении условий приема. Это свойство приобретается ценой потери оптимальности. Однако показатели качества подобных обнаружителей могут быть сделаны достаточно близкими к оптимальным .

Простейшим обнаружителем непараметрического типа является знаковый обнаружитель . Этот обнаружитель строится на основе следующих предположений относительно статистических свойств принятых реализаций. Если сигнал отсутствует и реализация утв состоит лишь из шумовых компонент, то принимается, что случайные величины

Одной из разновидностей знакового обнаружителя является так называемый фазовый автокоррелятор , функциональная схема которого представлена на рис. 4.7. Широкополосный и узкополосный фильтры (ШФ и УФ)

настроены на частоту сигнала. Полоса пропускания узкополосного фильтра согласована с длительностью сигнала т. е. Для соотношения полос фильтров ШФ и УФ выполняется следующее условие:

Напряжение с выходов фильтров подаются на ограничители и далее на каскад совпадений (КС), формирующий импульсы нормированной амцлитуды, длительность которых пропорциональна времени совпадения положительных полярностей напряжений, поступающих с ограничителей. Далее следует интегратор и пороговое устройство (ПУ). Обнаружение сигнала производится по превышению напряжения на выходе интегратора порогового уровня иа. В статье рассмотрен усовершенствованный вариант знакового обнаружителя.

Глава 2. МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА
§ 1. Общие понятия
В этой главе рассматриваются методы, отличающиеся от предыдущей группы методов новым подходом к локализации точки на психологической шкале, иначе говоря, другим подходом к измерению граничного шкального значения, разделяющего имеющееся множество стимулов на два класса: обнаруживаемые и необнаруживаемые, различаемые и неразличаемые и т.п.

В классических психофизических методах, хотя и изучаются сенсорные способности наблюдателя, не ставится вопрос о вероятности обнаружения стимула, а учитывается лишь вероятность ответов испытуемого “Да” (слышу или вижу). Однако легко себе представить такую ситуацию, когда испытуемый, находясь в ситуации тестирования (экспертизы), захочет показать максимум своих сенсорных способностей, и будет давать ответ “Да” почти в каждой пробе. Естественно, что в таком случае количество утвердительных ответов не будет сколько-нибудь точно отражать его предельные сенсорные способности. Надежда -эксперта на честность испытуемого, по-видимому, не самое лучшее средство для обеспечения надежности проводимых измерений. Таким образом, достаточно очевидно, что результат пороговых измерений может сильно зависеть от стратегии испытуемого давать ответы определенного рода, и, следовательно, появляется задача прямого учета поведения наблюдателя в ситуации принятия решения об обнаружении или различении сигнала.

Новая методология, называемая психофизической теорией обнаружения сигнала (Green, Swets, 1966), содержит в себе представление о наблюдателе как не о пассивном приемнике стимульной информации, но как об активном субъекте принятия решения в ситуации неопределенности.

Вкратце этот подход можно охарактеризовать следующим образом. В стимульном потоке выделяется та его часть, на которую указанием ее пространственной и/или временной области или ее характерного паттерна обращается внимание наблюдателя . Эта выделенная часть называется стимулом или предъявлением (стимула). Выделяется некоторый физический признак (свойство, характеристика стимульного потока), который может присутствовать в одних пробах - значащий или сигнальный стимул, и отсутствовать в других - пустой стимул . Наблюдатель, от которого требуется обнаруживать этот признак , решает задачу бинарной классификации: относит каждое предъявление к одному из двух классов - “Нет признака”, “Есть признак”. Эта задача решается путем установления схемы соответствия (которая называется также правилом принятия решения ) между особенностями сенсорного образа предъявляемого стимула и выбираемым решением. Эта схема соответствия может корректироваться под влиянием как предварительного информирования наблюдателя о частоте сигнальных или пустых стимулов в последующих предъявлениях, так и обратной связи - оценки правильности принимаемых наблюдателем решений.

В следующих трех разделах будут описаны три классических метода обнаружения сигналов: метод “Да-Нет”, двухальтернативный вынужденный выбор и метод оценки уверенности.
§ 2. Метод “Да-Нет”
В этом методе используются два стимула: один значащий - , и другой пустой - . Предъявления следуют друг за другом обыкновенно через более или менее регулярные интервалы времени и после каждого предъявления испытуемый отвечает “Да”, если был сигнал, или “Нет”, если он не обнаружил сигнала. Предъявление стимулов полностью рандомизировано , т.е. каждое очередное предъявление независимо от предыдущих может может быть с некоторой вероятностью P(S) сигнальным (и, следовательно, с вероятностью P(N) = 1 - P(S) - пустым); P(S) и P(N) сохранятся постоянными на протяжении всей серии предъявлений. Таким образом, если общее число предъявлений N в эксперименте достаточно велико, то число сигнальных и пустых предъявлений приблизительно равно, соответственно N P(S) и N P(N) (очевидно, N P(S) + N P(N) = N).

Рассмотрим теперь возможные комбинации <предъявление - ответ>, которые могут встретиться в эксперименте. Их четыре: , , , , причем первые два сочетания являются правильными, два последние - ошибочными исходами. Каждое их этих сочетаний имеет свое специальное название, как это показано в табл. 1.
^ Таблица 1

Исходы эксперимента по обнаружению сигнала

Попадание и ложная тревога будут в дальнейшем обозначаться через H (от английского hit) и FA (от английского false alarm). Обозначения для пропусков и правильных отрицаний - O (omission) и CR (correct rejection). Пусть мы пересчитали количество сочетаний каждого типа: n (H), n (FA), n (O), n (CR). Очевидно, что:
n(H) + n(O) = N P(S) , (1)
n(FA) + n(CR) = N P(N) . (2)
Зная эти качества и нормировав каждое из них по N (т.е. поделив на общее количество предъявленных проб), мы получим статистические оценки вероятностей появления исходов каждого типа:
P(H) = n(H)/N, P(O) = n(O)/N , ... и т.д. (3)
Однако такие вероятности еще не говорят нам прямо о способности наблюдателя обнаруживать сигнал. Действительно, величина p(H) зависит не только от того, как часто наблюдатель идентифицирует как сигнал, но и от того, сколь часто предъявлялось в эксперименте . Поэтому, чтобы охарактеризовать деятельность испытуемого в данном эксперименте, отделив ее от деятельности экспериментатора (решающего, в частности, сколько раз предъявить , а сколько - ), принято представлять результаты эксперимента в виде оценок условных вероятностей - вероятностей того, что испытуемый ответит правильно (неправильно) при условии, что был предъявлен данный стимул. Такие вероятности обозначаются так: P ("Да"/S), P ("Да"/N), P ("Нет"/S), P ("Нет"/N). В частности, первая из этих вероятностей есть вероятность правильного ответа при условии, что было предъявлено . Легко видеть, что:
P(" Да "/S) = P(H)/P(S) = n(H)/ N P(S), (4)
P(" Да "/N) = P(FA)/P(N) = n(FA)/ N P(N). (5)
Если вычислены две эти условные вероятности, вычисление двух остальных уже не требуется. Они не несут дополнительной информации, т.к.:
P(" Нет "/S) + P(" Да "/S) = 1, (6)
P("Нет"/N) + P(" Да"/N) = 1. (7)
Итак, при данных (выбранных экспериментатором) величинах N и P(S) результаты эксперимента обычно представляют только двумя условными вероятностями: вероятностью попадания - p(H)=P(“Да”/S) и вероятностью ложной тревоги p(FA)=P(“Да”/N).

Заметим, что при всех приведенных выше расчетах из общего числа N предъявлений обычно исключают несколько первых (порядка 40-50), предполагая, что в этих первых пробах испытуемый постоянно меняет схему соответствия, “подстраивая” ее к информации, полученной от экспериментатора и в ходе эксперимента. Когда схема соответствия устанавливается стабильно, говорят, что решение задачи вышло на асимптотический уровень . Асимптотический уровень характеризуется тем, что если все число предъявлений (после исключения первых) произвольно разбито на несколько групп и по каждой из них в отдельности вычислено P(H) и P(FA), то все эти пары не будут статистически значимо отличаться друг от друга.

Полная характеристика эксперимента требует указания еще двух факторов: наличие/отсутствие предварительной информации и наличие/отсутствие обратной связи. Предварительная информация - это формальный признак, означающий сообщение испытуемому величины P(S). Например: “В 80% всех проб будет предъявляться пустой стимул” (т.е. P(S) = 0,2) или - “Сигнальное предъявление будет встречаться в 3 раза чаще пустого” (P(S)/P(N) = 3, т.е. P(S) = 0,75). Сама инструкция, разъяснение испытуемому формы предъявления, характера сигнала и т.п. - все это не входит в термин “предварительная информация”. Заметим, что предварительная информация, если она вводится, может быть и ложной, т.е. испытуемому может сообщаться не та величина P(S), которая есть на самом деле. Эта специальная модификация “Да-Нет”-эксперимента, которая здесь рассматриваться не будет. Термин обратная связь включает информацию об истинности/ложности ответов испытуемого, сообщаемую ему после каждого предъявления, или сообщение о частоте правильных ответов, даваемое после некоторой группы (скажем, через каждые 50) предъявлений. В специальных модификациях метода такая обратная связь также не всегда должна быть истинной. Иногда, например, используют такой вариант, когда после каждой пробы (предъявления) испытуемому с вероятностью P(k) сообщают важную информацию о правильности или ложности его ответа, а с вероятностью 1 - P(k) его “обманывают” (в этом варианте P(k) - формальная мера правдивости обратной связи).

Цель введения обратной связи и предварительной информации - попытка контроля схемы соответствия между свойствами ощущений и принимаемыми решениями, которую устанавливает испытуемый (правила принятия решения). Очевидно, однако, что если испытуемый не очень заинтересован в том, чтобы почаще отвечать правильно, то такой контроль может оказаться неэффективным. Кроме того, испытуемый может, устанавливая правило принятия решения, руководствоваться неизвестными экспериментатору субъективными “весами” различных типов ошибок. Например, он может стараться минимизировать число пропусков и не очень заботиться об уменьшении числа ложных тревог (т.е. “цена” пропуска выше “цены” ложной тревоги). Чтобы сделать контроль правила принятия решения более эффективным и дифференцированным, обратная связь может быть дополнена системой “выплат” и “штрафов”, соответственно за верные и ложные ответы, организованной в денежной или какой-либо другой (например, просто игровой) форме. Это можно записать в форме следующей платежной матрицы :

где V и W - положительные числа. Такая форма представления особенно удобна, так как она позволяет ограничиться только двумя числами, V и W, для характеристики всей платежной матрицы. Матрица называется симметричной, если V = W. Для определения оптимального правила принятия решения, т.е. такого из имеющегося у наблюдателя набора возможностей, которое максимизирует выигрыши, решающее значение имеет соотношение не самих V и W, а P(S)·V и P(N)·W (они совпадают, только если P(S) = 0,5). Если P(S)·V = P(N)·W, правило принятия решения должно быть установлено так, чтобы минимизировать вероятности ошибок обоих родов. Если же P(S)·V > P(N)·W, то правило целесообразно изменить так, чтобы сделать возможно меньшей вероятность пропуска, 1-p(H), даже если при этом увеличивается вероятность ложной тревоги, p(FA).

Возникает вопрос: что ограничивает набор возможных схем соответствия? Почему, в частности, испытуемый не всегда может выработать “правильную” схему соответствия, при которой p(H)=1 и p(FA)=0 ? Ответ на эти вопросы требует построения формальной модели следующих процессов: 1) какое соответствие существует между предъявлениями и и их сенсорными репрезентациями; 2) как по данной сенсорной репрезентации строится ответ (“Да” или “Нет”). Мы изложим здесь одну из простейших моделей, отвечающих на эти вопросы.

Суть модели состоит в следующем. Любой стимул ( или ) связан с его сенсорными репрезентациями стохастически (т.е. вероятностно, случайно), а не детерминистически. Это означает, что один и тот же стимул, повторяясь в различных пробах, вызывает различные сенсорные образы, так что в каждой отдельной пробе можно говорить только о вероятностях возникновения тех или иных сенсорных образов. Причины такой стохастичности многочисленны. С одной стороны, они могут лежать в природе самого стимула (например, количество квантов, излучаемых источником света в данном направлении в единицу времени - величина принципиально стохастическая) и в ограниченной точности приборных измерений. С другой стороны, стохастичность связана со случайными флуктуациями в сенсорной системе, например, со спонтанной нервной активностью в проводящих путях. Последняя, в частности, обеспечивает наличие различных сенсорных образов и в том случае, если пустой стимул представляет собой отсутствие энергии в данной пространственно-временной области. Кроме того, известный вклад в стохастичность сенсорных эффектов безусловно вносят и так называемые внешние факторы: нестабильность стимуляционной аппаратуры, различного рода помехи и т.д.

Далее в излагаемой модели предполагается, что установленное правило соответствия имеет детерминистическую структуру, т.е. данный сенсорный образ, если он в точности повторился в двух пробах (причем за время между пробами схема соответствия не изменилась), вызовет всегда один и тот же ответ. Другими словами, любое правило принятия решения однозначно разбивает множество всех возможных ощущений на два класса - один, связанный с ответом “Да”, другой - с ответом “Нет”. На рис. 1 точками заполнены те области, которые связаны с ответом “Да”. На рис. 2 области с горизонтальной (вертикальной) штриховкой соответствуют ощущениям, которые могут быть вызваны стимулами и .

Линии 1, 2 и 3 показывают границы разбиения, соответствующего трем схемам соответствия, причем область “Да” при всех схемах соответствия лежит слева от этих границ. Рассмотрим сначала схему соответствия 1. Мы видим, что при такой схеме всегда будет идентифицироваться правильно, т.е. p(FA)=0. Однако, иногда (когда ощущение, вызванное , попадает правее

Рис.1. Два множества ощущений, вызывающих ответ "Да"

Рис.2. Множества непересе-кающихся ощущений, вызыванных значащим и пустым стимулами: S - значащий стимул; N - пустой стимул; 1,2 и 3 - линии, показывающие границы разбиения множества ощущений
границы - эта область помечена точками) вызовет ответ “Нет”, т.е. испытуемый будет иногда пропускать сигнал, p(H)<1. При схеме соответствия 2 ситуация обратна. Испытуемый всегда идентифицирует как “Да”, т.е. p(H)=1, но иногда (эта область помечена точками) будет вызывать ответ “Да” (ложная тревога), т.е. p(FA)>0. Легко видеть, однако, что при данном сорасположении ощущений, вызываемых и , испытуемый может в принципе выработать такую схему соответствия (граница 3, штриховая линия), при которой можно избежать ошибок, т.е. p(FA)=0 и p(H)=1. Причина, обеспечивающая эту возможность, заключается в том, что указанные области не пересекаются, т.е. нет ни одного ощущения, которое могло бы быть вызвано (пусть с разной вероятностью) как , так и . Если это условие не выполняется (см. рис. 3), то, очевидно, при любой схеме соответствия испытуемый будет совершать ошибки того или иного рода (O или FA), либо и те, и другие.

Рис. 3. Два пересекающихся множества ощущений, вызванных значащим и пустым стимулами
Такова суть модели. Чтобы представить модель в количественной форме, допускаются два дополнительных упрощения . Первое из них может быть разъяснено следующим образом. Схема соответствия с содержательной точки зрения представляет собой соответствие данного ответа некоторому комплексу свойств сенсорного образа: “Если образ обладает свойствами таким-то и таким-то, то следует выбрать ответ “Да”, в противном случае - “Нет”. Очевидно, что не все свойства образа при этом используются. Рассматриваемое упрощение состоит в предположении, что решение принимается всегда на основе интенсивности какого-то одного качества сенсорных образов (“сладкость”, “наклонность”, “яркость” и т.п.), причем правило принятия решения имеет форму: “Если интенсивность (выраженность) качества больше некоторой величины C , то следует выбрать “Да”, в противном случае - “Нет”. Интенсивность качества, как это видно из предыдущей фразы, предполагается представимой действительным числом . Таким образом все возможные значения интенсивности данного качества занимают какую-то часть оси действительных чисел (например, всю положительную полуось), причем каждое из этих значений при предъявлении данного стимула может быть вызвано с тем или иным правдоподобием . Если значения интенсивности сенсорных образов образуют непрерывный континуум , то это правдоподобие выражается не вероятностью, а плотностью вероятности . Плотность вероятности возникновения ощущения со значением интенсивности ощущения X при подаче стимула A условимся обозначать через f (X/A).

Вернемся теперь к нашей ситуации, где стимул есть либо , либо . Каждому из стимулов соответствует своя функция плотности вероятности: f (X/S) и f (X/N) (рис. 4).

Согласно принятому утверждению, правило принятия решения определяется выбором граничной точки C (ее еще называют критической точкой или величиной критерия принятия решения о наличии сигнала), такой, что если интенсивность X в данной пробе превышает C, то следует ответ “Да”, если же не превышает, то - “Нет”. Легко видеть по рисунку, что вероятность ложной тревоги p(FA) равна вероятности того, что интенсивность X (при условии, что предъявлен ) превзойдет C, т.е. равна заштрихованной области под кривой f (X/N). Вероятность попадания p(H) равна вероятности того, что X (при условии, что предъявлен ) превзойдет C, т.е. равна незаштрихованной области под кривой f (X/S).

(8)
(9)
Если критерий C находится далеко вправо (показано на рис. 4 одной стрелкой), то, очевидно, p(FA)=p(H)=0. Если теперь начать двигать критерий справа налево, то при каждом очередном значении мы будем получать новую пару p(FA) и p(H), причем оба значения будут возрастать (или по крайней мере не убывать), пока при достаточно далеком левом положении C оба не станут равны 1 (показано двумя стрелками на рис. 4). Поскольку каждое значение C однозначно определяет пару чисел p(FA) и p(H), то ему можно поставить в соответствие точку внутри квадрата (рис. 5), на вертикальной стороне которого откладывается p(H), а на горизонтальной - p(FA), и таким образом представить результат работы наблюдателя.

Рис. 4. Общая модель обнаружения сигнала: справа –- распределение сенсорных эффектов при воздействии значащего стимула, слева – пустого стимула
Полученная по этим точкам кривая называется рабочей харак-теристикой наблюдателя или просто - PX . Любая пара распределений, f(X/S) и f(X/N) однозначно определяет PX, но обратное неверно: одна и та же PX может определяться раз-личными парами f(X/S) и f(X/N). PX идет из точки (0,0) квадрата в точку (1,1) и при этом располагается выше его главной диагонали. Последнее следует из того, что распределение f(X/S) сдвинуто вправо относительно f(X/N), т.е. p(H) превышает p(FA).

Рис.5. Рабочая характеристика идеального наблюдателя
Вероятности p(H) и p(FA) меняются содружественно , т.е. нельзя только путем изменения схемы соответствия одновременно увеличить одну из них и уменьшить другую (или, что то же самое, нельзя одновременно уменьшить или увеличить вероятности ошибок обоих родов, FA и O). Это очень важное положение верно для любых пар f(X/S) и f(X/N). Из него следует, что только пара этих вероятностей, а не каждая в отдельности, характеризует сенсорную способность наблюдателя.

Допустим, в эксперименте с симметричной платежной матрицей (V=W) и P(S) = 0,5) испытуемый установил положение критерия, как это показано на рис. 6а.

Рис.6. Модели обнаружения сигнала:

а - симметричный; б -либеральный; в -жесткий кри-терий принятия решения; вертикальная штриховка - p(H), косая - p(FA)
Результаты этого мысленного эксперимента с так называемым симметричным критерием представлены в таблице 3.

Это положение критерия оптимально в том смысле, что суммарный выигрыш испытуемого в этом случае будет максимален.

Пусть теперь в следующем эксперименте платежная матрица осталась симметричной, а P(S)=0.9.

Таблица 2

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.5

^ Таблица 3

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.9
Таблица 4

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.1

Теперь (рис. 6б), чтобы сохранить тот же выигрыш, наблюдателю необходимо сдвинуть критерий так, чтобы p(H) резко возросло, даже за счет возрастания p(FA) - теперь важнее не пропустить сигнал, чем не дать ложную тревогу! Следовательно, критерий C сдвинется влево. В данном случае говорят, что наблюдатель использует либеральный критерий.

Пусть в третьем эксперименте при симметричной платежной матрице P(S) установили равной 0.1.

В этой ситуации (рис. 6в) критерий должен быть сдвинут вправо, и в этом случае говорят об использовании строгого критерия. Аналогичные изменения положения критерия принятия решения можно рассмотреть и при изменениях платежной матрицы при постоянной ве-личине P(S).

Для каждой пары f(X/S) и f(X/N), если заданы V,W и P(S), может быть рассчитано оптимальное положение C - то, при котором выигрыш максимален. В cоответствии с данной логикой можно исследовать вопрос, насколько реальное положение критерия, выбираемое испытуемым, близко к оптимальному. Но, разумеется, это можно сделать лишь в том случае, если мы можем восстановить по результатам экспериментов теоретическую схему, т.е. построить функции распределения f(X/S) и f(X/N) и найти критерий C .

Итак, перед нами стоит задача восстановления теоретической схемы по экспериментальным данным . Прежде всего, разберемся в том, что представляют собой экспериментальные данные. Пусть выбраны стимулы и и проведен эксперимент по методу “Да-Нет”. Результатом эксперимента является пара вероятностей p(H), p(FA). Далее какие-то параметры эксперимента меняются (изменятеся P(S) и/или платежная матрица, или снимается обратная связь и заменяется на предварительную информацию или что-то еще), и эксперимент повторяется с теми же и . Получаем, вообще говоря, другую пару p(H), p(FA). Повторяя эксперимент несколько раз, мы будем иметь в результате несколько пар p(H), p(FA), т.е. несколько точек PX. Разумеется, и это очень важно, мы можем считать все эти пары p(H) и p(FA) точками одной PX лишь постольку, поскольку предполагается, что изменения экспериментальных параметров могут привести только к изменению положения критерия C , но не к изменению схемы соответствия, в более широком смысле слова включающем возможное привлечение новых сенсорных качеств, замену одного качества на другое и в результате, если это новое качество одномерно, - получению новой пары распределений f(X/S) и f(X/N). Таким образом, проблема формулируется так: по нескольким точкам PX нужно восстановить f(X/S), f(X/N) и C. Однако, мы уже говорили, что в таком виде проблема не решается, так как даже если бы была известна вся PX (т.е. все точки, а не несколько, чего никогда, естественно, не бывает), распределения f(X/S) и f(X/N) не восстановимы однозначно. Поэтому в модели, которую мы излагаем (обычно называемой, хотя и не совсем точно, теорией обнаружения сигналов , ТОС) принимается еще одно упрощающее предположение (впрочем, в отличие от первого, оно допускает прямую экспериментальную проверку, о чем речь пойдет ниже): существует такая монотонная трансформация оси интенсивности, в результате которой оба распределения становятся нормальными . Для краткости трансформированную ось мы будем обозначать просто через z и говорить о z-значениях. Под монотонной трансформацией понимается система всевозможных растяжений и сжатий различных областей оси X так, что если точка q лежит левее r, то после трансформации это отношение сохраняется. Примером такой трансформации является логарифмирование, растягивающее положительную полуось действительных чисел на всю действительную ось. Итак, мы имеем два нормальных распределения, причем всегда можно считать, что на оси выбрана такая позиция нуля и такой масштаб, что f(Z/N) имеет центр в нуле и стандартное отклонение, равное 1. Для восстановления теоретической картины, таким образом, необходимо определить положение центра и стандартное отклонение распределения f(Z/S).

Если допустить, что s s,n = 1, т.е. дисперсии обоих распределений равны, а центр распределения f(Z/S) сдвинут вправо от центра распределения f(Z/N) на величину a , тогда

(10)
В этом случае вместо a обыкновенно пишут специальный символ d" и называют эту величину мерой чувствительности наблюдателя к сигналу. Чувствительность к сигналу характеризуется степенью отличия Z-величин, вызываемых , от Z-величин, вызываемых . Чем меньше величина d", тем больше перекрываются области Z-значений, соответствующих и (рис. 7).

Рис. 7. Модель ТОС при различных уровнях обнаружимости сигнала
Легко видеть, что при одном и том же положении критерия ^ C , а следовательно, при одной и той же величине p(FA), величина p(H) тем ближе к p(FA), чем меньше d". Если d" = 0, то p(FA) = p(H) при всех C и, следовательно, PX в таком эксперименте совпадает с главной диагональю квадрата (рис. 8). Если d" > 0, PX лежит выше диагонали и имеет гладкий и симметричный вид относительно побочной диагонали, идущей из (0,1) в (1,0). Чем больше d", тем более выпукла PX влево-вверх и тем дальше она отстоит от главной диагонали. Как же практически вычислить d" и C по результатам эксперимента? Сколько точек PX следует для этого иметь?

Оказывается, достаточно только одной точки, т.е. только одной пары p(FA), p(H). Действительно,

(11)
Это уравнение необходимо решить относительно C . Введем новый термин: нахождение C по P в уравнении (12):

Называется Z-преобразованием P:
C = Z [P]. (13)

Рис.8. PX при различных уровнях обнаружимости стимула
Сделать Z-преобразование можно по обычной таблице нормального распределения. Если есть таблица, показывающая для каждого C значение интеграла (12), то нужно попросту отыскать в таблице значение интеграла, наиболее близкое к P, и посмотреть слева, какому C оно соответствует. Легко показать, что уравнение (11) в терминах Z-преобразования имеет решение:

C = -Z . (14)
Теперь допустим, что C найдено. Как, зная p(H), найти величину d" ? Рассмотрим теоретическую картинку, из которой удалено распределение, соответствующее N (оно уже не понадобится, см. рис. 9а). Сдвинем все распределение вдоль оси Z вместе с критерием C влево так, чтобы центр совместился с точкой 0. Критерий С при этом, очевидно, займет позицию (С - d" ), а заштрихованная область не изменится и останется равной по площади p(H) (см. рис. 9б). Но наше сдвинутое распределение имеет центр в нуле и единичную дисперсию. Следовательно:

(15)
С - d" = z. (16)
Сопоставив (14) и (16), получим:

d" = z - z. (17)
Допустим теперь, что проведен новый эксперимент с измененными параметрами, так что получена новая пара p(FA) и p(H). Если наше предположение относительно f(Z/S) и f(Z/N) верно (т.е. они оба нормальны и имеют одну и ту же дисперсию), то, несмотря на изменение величины С,

Рис.9. Теоретическое распределение ощущений при действии значащего стимула:

а - .сдвинутое на величину d" относительно "шумового" распределения; б - с центром, смещенным влево до точки 0; ось X - величина единичного среднеквадратичного отклонения; ось Y - плотность вероятности величины сенсорного эффекта; точка С - положение критерия
прямо определяемой по формуле (14), величина d", определяемая по формуле (17), должна оставаться постоянной. Мы приходим к важному заключению: если по оси абсцисс откладывать величины Z, а по оси ординат - z, то точки PX должны выстроиться в прямую линию, описываемую уравнением (17): z = z + d", и наклоненную под 45 к оси абсцисс. График зависимости Z от Z (см. рис. 10) называется PX в двойных нормальных координатах. Из соотношения (17) вытекает способ экспериментальной проверки предположений, принятых о нормальности распределений и равенстве дисперсий. Пусть мы провели K экспериментов и получили K точек PX (K  2).

Построим РХ в двойных нормальных координатах: z и z . Поскольку вероятности p(H) и p(FA) оценивались по частотам (т.е. мы имеем лишь их приблизительные значения), то точки, соответствующие z-преобразованиям, будут отклоняться от теоретической прямой (с наклоном 45 градусов) даже в том случае, если проверяемые предположения верны. Следовательно, надо провести прямую наилучшего приближения и проверить с помощью стандартных статистических средств, значимо или не значимо ее наклон отличается от 45°. Если отличие не значимо, исходные предположения могут считаться верными, а величина свободного члена в формуле прямой дает нам статистическую оценку d". Разумеется, всем этим выводам должна предшествовать проверка того, является ли расположение экспериментальных точек хорошим приближением к прямой линии, т.е. необходимо провести статистический тест на линейность.

Рис.10. PX в двойных нормальных координатах, s S =s N
Допустим теперь, что удалось показать, что z-преобразованная PX не является прямой с наклоном в 45 градусов. Тогда мы можем обратиться к более общему варианту нашей теоретической схемы: допустить, что s S распределения f(z/S) произвольна, но оба распределения нормальны. Очевидно, формула (14) сохраняет свою силу, так как C определяется только по p(FA). Изменения по отношению к случаю с s s,n = 1 появляются лишь в том месте, где распределение f(z/S) вместе с критерием C сдвигается влево до совмещения центра с нулевой точкой. Теперь мы уже не можем написать формулы (15) и (16), так как сдвинутое распределение описывается формулой:

Однако, если мы вдобавок к сдвигу сожмем ось Z ровно в  раз, то распределение приобретет нужную нам табличную форму. При этом критерий C , который после сдвига занял позицию C - a (мы уже не напишем d" вместо a ), займет позицию. Итак:

(19)
Сопоставляя (14) и (19) имеем:

(20)
Итак, если оба распределения нормальны, то график PX в двойных нормальных координатах должен быть прямой линией с наклоном 1/s (см. рис.11). Для проверки предположения о нормальности нужно оценить возможность описания экспериментальных точек линейной функцией или, (другими словами) “хорошесть” подгонки прямой линии к экспериментальным точкам.

На основании статистических оценок предположение о нормальности отвергается, если даже наилучшая (в смысле метода наименьших квадратов, например) прямая плохо подходит к данным.

Предположим, что распределения f(z/S) и f(z/N) имеют одинаковые дисперсии, то есть PX в двойных нормальных координатах является прямой линией с наклоном 1. Положение каждой отдельной точки на PX соответствует некоторому положению критерия C .

Можно показать, что при сделанных нами допущениях о нормальности распределений и равенстве дисперсий каждому положению C взаимно однозначно соответствует так называемое отношение правдоподобия (в точке C ) -– b, которое определяется как:

Рис.11. PX в двойных нормальных координатах,  S  N .

(21)
Здесь f(C/S) и f(C/N) представляют собой значения функций плотности вероятности f(X/S) и f(X/N), взятые в критической точке ^ C . Отношение правдоподобия  характеризует то, во сколько раз правдоподобнее, что сенсорная репрезентация, равная по величине значению C , будет вызвана значащим стимулом, чем стимулом пустым.

По некоторым теоретическим соображениям положение критерия принято характеризовать именно этим значением b, а не самой величиной C .

Значения f(C/S) и f(C/N) легко найти, зная p(H) и p(FA). Для этого необходимо воспользоваться таблицей плотности нормального распределения: найти значения плотностей, соответствующие Z и Z (что мы уже умеем делать). Эти значения обозначаются через f и f. Таким образом:

(22)
Оказывается, однако, что не обязательно искать f-преобразования для того, чтобы вычислить . Вместо этого проще (и полезнее) вычислить ln прямо по z-преобразованным вероятностям. Дело в том, что в формулы, выражающие p(H) и p(FA) через d" и , последняя входит только в форме ln(попытайтесь сами вывести эти соотношения):

Отсюда легко вывести формулу для вычисления lnβ:

(25)
§ 3. Метод двухальтернативного вынужденного выбора (2АВВ)
В методе 2АВВ предъявления всегда осуществляются парами , причем предъявления в одной паре либо следуют друг за другом во времени, либо осуществляются одновременно, но ясно разделены пространственно. Одна пара всегда состоит из и , и это испытуемому известно, но какое именно из предъявлений (первое или второе, правое или левое и т.п.) содержит сигнал, а какое является пустым, должен определить испытуемый. Например, предъявляется пара линий, одна из которых наклонена, а другая вертикальна. Линии располагаются слева и справа от фиксационной точки и после каждого предъявления испытуемый должен решить, какая линия (слева или справа) имела наклон. Другой пример. Испытуемый слышит постоянный белый шум. Во время прослушивания дважды (скажем, с интервалом в полсекунды) загорается и гаснет (в течении 50 мс) индикатор начала и конца предъявления. В одном из двух предъявлений к шуму добавляется слабый тон частотой 1000 Гц, и задача испытуемого состоит в том, чтобы указать, в первом или во втором предъявлении присутствовала тональная добавка.

Чтобы различать варианты организации пары стимулов, условимся один из элементов пары называть “первым” и записывать на первом месте, а другой - “вторым” и записывать на втором месте. Таким образом пара может иметь либо форму , либо форму . Допустим, если в нашем первом примере наклонная линия находится слева, мы имеем , а если справа - , где B означает “вертикальна”, H - “наклонна”. Соответственно, если испытуемый считает, что наклонная линия находится слева, то его ответ может быть записан как “”. В общем случае матрица стимулов-ответов представима в форме:

Во всех остальных отношениях 2АВВ ничем не отличается от метода “Да-Нет”. Если условиться идентифицировать пару по ее первому элементу, то можно даже не менять обозначений. Например,
^ P(S) = P(), P(N) = P() = 1 - P(S).
Правильный ответ 1 можно условно считать попаданием и обозначать его условную вероятность через p(H)=p("Да","Нет"/); ошибку 2 можно условно считать ложной тревогой и использовать обозначение p(FA)=p ("Да","Нет"/) и т.д. Аналогично методу “Да-Нет” вводятся платежные матрицы, обратная связь, предварительная информация. Укажем, однако, на одно существенное отличие. Если в методе “Да-Нет” P(S) и платежная матрица таковы, что мы допускаем, что субъективные цены обеих ошибок (FA и O) одинаковы, то вовсе не необходимо, чтобы условные вероятности этих ошибок были равны. Или, что то же самое, нет оснований, вообще говоря, ожидать, что p(H) = p(CR). В методе 2АВВ, однако, пары и

симметричны и при сделанных предположениях условные вероятности правильных ответов 1 и 2 должны быть равны. Это интуитивное соображение подкрепляется теоретической моделью, к изложению которой мы переходим. Но прежде введем новое обозначение. Условимся через р(C) (от английского correct - правильный) обозначать суммарную вероятность правильного ответа:

р (C) = P(S)·p(H) + P(N) · р (CR). (26)
Результаты 2АВВ называются несмещенными , если
p(H) = p(CR) или, что то же самое, p(H)+p(FA)=1 .
Теоретическая модель 2АВВ является простым распространением модели, изложенной в предыдущем разделе. Мы сразу предположим, что все сделанные там допущения и упрощающие предположения сохраняют свою силу по отношению к и по отдельности, а когда и объединяются в пару, их сенсорные репрезентации независимы друг от друга, причем испытуемый никогда не путает, какому (“первому” или “второму”) члену пары соответствует данный образ. Каждый образ оценивается по интенсивности некоторого выбранного качества, так что образ пары оценивается по паре интенсивности сенсорного качества , записанных в той же последовательности, что и стимулы. Если предъявляется , то X1 имеет распределение f(X/S), X2 - распределение f(X/N). Если предъявляется , то наоборот X1 распределяется по f(X/N), а X2 - по f(X/S). Имея , испытуемый должен решить, первая или вторая интенсивность соответствует . Естественным правилом решения здесь является следующее: берется разность X1-X2 и сравнивается с критическим значением C* . Если X1- X2 > C* , то дается ответ “Да, Нет”, если же X1- X2 < C* , то “Нет, Да”. Как видим, C* играет здесь ту же роль, что и критерий C в методе “Да-Нет”. Заметим, что разность берется всегда в одном и том же направлении, скажем от “первой” интенсивности ко “второй”, X1-X2, независимо от того, было ли предъявлено или . Начнем с рассмотрения случая предъявления . Поскольку X1 и X2 суть случайные величины, то их разность тоже является случайной величиной, распределение которой мы обозначим через f(Δx/). f(x/) есть плотность вероятности того, что X1 - X2 = Δx при предъявлении . Эта функция однозначно определяется, если известны два распределения f(X/S) и f(X/N). Пусть теперь предъявлена пара . Очевидно, что в этом случае разность X2 - X1 распределена точно так же, как разность X1 - X2 в первом случае, т.е. плотность вероятности события X2 - X1 = Δx/ равна плотности вероятности события X1 - X2 = Δx/; но ведь событие X1 - X2 = Δx/ равносильно событию X2 - X1 = Δx/. Мы получаем важное соотношение:
f (Δx/) = f(- Δx/) , (27)
где разность всегда берется от “первой” интенсивности ко “второй”, X1-X2. Соотношение (27) означает, что функции распределения f(Δx/) и f(Δx/) являются зеркально симметричными. В этом существенное отличие теоретической схемы для 2АВВ от теоретической схемы для метода “Да-Нет”: f(X/S) и f(X/N) могут быть сколь угодно непохожими друг на друга, но f(Δx/) и f(Δx/) являются зеркальными копиями. Введем в теоретическое представление критерий C* . На рис. 12 заштрихованные области равны по площади вероятностям p(CR) и p(H). Легко видеть, что несмещенный 2АВВ, при котором p(CR) = p(H), будет иметь место только в случае C* = 0 . При отрицательных C* испытуемый будет более часто правильно указывать сигнал, если сигнальное предъявление было “первым”, чем если оно было “вторым” (при этом говорят, что наблюдатель имеет предрасположение к “первому” стимулу). При C*>0 испытуемый имеет предрасположение ко “второму” стимулу: p(CR) > p(H) . Двигая C* справа налево и фиксируя различные пары p(H), p(FA) (p(FA) = 1 - p(CR)) , мы можем построить кривую PX для 2АВВ (рис. 13).

В силу зеркальной симметричности распределений кривая PX для 2АВВ всегда симметрична относительно побочной диагонали. Это следствие в принципе позволяет экспериментально проверить валидность схемы с оценкой разностей X1 - X2, но, к сожалению, строгое статистическое доказательство симметричности PX провести довольно сложно. В эксперименте различные точки PX можно получить, задавая асимметричные платежные матрицы (например, штрафуя за пропуск “первого” сигнала значительно больше, чем за пропуск “второго”), подавая одну комбинацию (например, ) чаще, чем другую и т.д. - совершенно аналогично методу “Да-Нет”.

Рис.12. Геометрическая модель обнаружения стимулов в методе 2ABB: вертикальная штриховка - p(H); горизонтальная - p(CR); C* - положение критерия принятия решения
До сих пор мы не использовали предположения о возможности монотонной трансформации X в Z, при которой f(X/S) и f(X/N) переходят в нормальные распределения f(Z/N) и f(Z/S).

Рис.13. PX для эксперимента по методу 2ABB
Если теперь это предположение принять и использовать разности Z1 - Z2, то можно показать следующее: если f(Z/N) имеет центр равным 0 и дисперисию равной 1, а f(Z/S) - центр в точке а и дисперсию равной Δ , то f(ΔZ/) и f(ΔZ/) являются тоже нормальными распределениями с одной и той же дисперсией, равной

И с центрами, соответственно, в точках а и -а (см. рис. 14).

Рассмотрим, каковы соотношения между вероятностями p(H) и p(FA) при произвольном значении C* . Для этого сдвинем левое распределение вместе с критерием до совмещения его центра с нулем и сожмем ось Z ровно в раз. Распределение после этого станет табличным, а критерий займет позицию
Отсюда:

Рис. 14. Переход от распределений сенсорных эффектов, возникающих под действием пустого и значащего стимулов ( и ), к паре равновариативных распределений разности этих же сенсорных эффектов - и :ось абсцисс - интенсивность сенсорного эффекта (верхний график) или разница интенсивностей сенсорных эффектов (нижний график); ось ординат - плотность вероятности соответствующих сенсорных эффектов

Вернемся теперь к исходной картинке и, сдвинув правое распределение вместе с критерием влево на а и, сжав z-ось в раз, получим:

(31)
Откуда:

Итак, в двойных нормальных координатах PX для 2АВВ описывается прямой линией с наклоном 45 градусов (заметьте, при любой величине ). Отсюда следует способ экспериментальной проверки предположения о нормальности f(z/S) и f(z/N) в методе 2АВВ: по z-преобразованным точкам PX строится прямая наилучшего приближения, проверяется удовлетворительность приближения и незначимость отличия наклона от 45 градусов. Если дополнительно предположить, что  = 1 , т.е. f(z/S) и f(z/N) имеют одинаковые дисперсии, то свободный член в формуле (32) станет равен (или, применяя стандартное обозначение,). В этом случае для разности z - z в 2АВВ тоже иногда используют обозначение d" и пишут:

Часто это соотношение (не очень корректно) читается так: чувствительность в 2АВВ в выше, чем в “Да-Нет”. Этот вывод вряд ли покажется неожиданным для психолога, поскольку почти очевидно, что в условиях, где у испытуемого имеется возможность сравнения , результаты будут выше, чем в тех условиях, где такая возможность отсутствует (метод "Да-Нет").

В заключение мы остановимся на одном удивительном соотношении между 2АВВ и методом “Да-Нет”. Мы знаем, что чувствительность (отличимость сигнального стимула от пустого) может быть измерена числом d" , если на распределении f(X/S) и f(X/N) наложено весьма жестко требование о существовании монотонной трансформации XZ, переводящей эти распределения в два нормальных с равными дисперсиями. Если это требование не выполняется, но f(X/S) и f(X/N) могут быть переведены путем монотонной трансформации в два нормальных распределения с разными дисперсиями, то в методе “Да-Нет” чувствительность характеризуется уже парой чисел (а,  ), что весьма неудобно, поскольку к парам чисел неприложимы оценки “больше-меньше”, “возрастает-убывает” и т.д. Разумеется, в этом случае можно предложить какую-либо другую скалярную (т.е. выразимую одним действительным числом) меру чувствительности (на рис. 15 показана одна такая мера, называемая d yn), которая с формальной точки зрения будет являться скалярной функцией от а и  например,

Или можно обратиться к 2АВВ, взяв за меру чувствительности свободный член уравнения (32). Однако часто возникает вопрос, что делать в том случае, когда проверка отвергает предположение о нормальности? Существует ли какая-либо простая скалярная мера чувствительности, применимая при любых f(X/S) и f(X/N)? Такая мера действительно существует: площадь под кривой PX . Интуитивно эта мера представляется весьма удачной. Она универсальна (применима к любой PX) и всегда позволяет сказать, в каком сигнальном стимуле, S1 или S2, сигнал более обнаруживаем (в сопоставлении с одним и тем же N). Но у этой меры (обозначим ее U, см. рис. 16) есть существенный недостаток - для ее вычисления необходимо знать достаточно много точек PX.

Допустим, однако, что для некоторой пары и было проведено подробное исследование и вычислена мера U. Пусть теперь мы используем те же и в методе 2АВВ. Мы провели всего один эксперимент и получили (с точностью до статистических вариаций) следующий результат:

Результаты показывают, что выбор является несмещенным: p(H) = p(CR). Мы знаем, что в этом случае общая вероятность правильного ответа P(C) (см. формулу (26)) равна p. Удивительное соотношение между “Да-Нет” и 2АВВ, о котором идет речь, состоит в том, что если изложенная модель обнаружения верна, то должно быть U = p. Другими словами: в несмещенном случае P(C) 2АВВ = = U "Да-Нет" . Таким образом, в качестве хорошей и простой (пожалуй, самой простой) меры чувствительности в 2АВВ может использоваться процент правильных ответов P(C).

Рис. 15. Графическое представление меры чувствительности d YN на РХ в двойных нормальных координатах

Рис. 16. Графическое пред--став-ление меры чувствительности U на РХ в двойных нормальных координатах

§ 4. Метод оценки
Этот метод может быть использован как модификация метода “Да-Нет” и как модификация метода 2АВВ. Здесь будет изложен только первый вариант, поскольку перенесение его на случай 2АВВ является тривиальным.

Как мы уже знаем, в ряде случаев (для проверки гипотез о форме распределений или для вычисления таких мер чувствительности, как U) требуется PX по достаточно большому количеству точек. Для получения нескольких точек PX методом “Да-Нет” необходимо несколько раз провести эксперимент с одной и той же парой и , но с различными параметрами организации эксперимента, такими как P(S), платежная матрица и т.п. Каждый эксперимент должен содержать большое количество предъявлений для того, чтобы, во-первых, можно было исключить первые пробы, в которых схема соответствия еще не установилась, и, во-вторых, чтобы частоты событий (“Да”/S) и (“Да”/N), высчитанные по оставшимся пробам (асимптотический уровень), достаточно точно соответствовали вероятностям p(H) и p(FA). Более того, поскольку от эксперимента к эксперименту чувствительность наблюдателя к данному сигналу может меняться, эксперимент с одними и теми же параметрами организации желательно повторить несколько раз на разных этапах (скажем, ближе к началу, середине и концу) всей серии экспериментов. Все это довольно громоздкая работа. Метод оценки (МО) дает нам возможность получить несколько точек PX в результате только одного эксперимента, хотя его объем, обыкновенно, превышает объем одного эксперимента “Да-Нет”.

Процедура метода оценки (МО) отличается от метода “Да-Нет” только тем, что после каждого предъявления вместо ответа “Да” или “Нет” испытуемый указывает степень его уверенности в наличии/отсутствии сигнала в этом предъявлении. Например, “совершенно уверен, что сигнал был”, “уверен, что сигнал был”, “скорее был, чем не был”, “не могу выбрать”, “скорее не был, чем был”, “уверен, что сигнала не было”, “совершенно уверен, что сигнала не было”. Эти 7 категорий естественно обозначить числами в том же порядке: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3. В методе оценки уверенности набор категорий всегда задается испытуемому заранее и обычно кодируется некоторой числовой системой. Иногда используется процентная шкала, когда испытуемый говорит о сигнале: “На 50% был”, “На 100% был” (точно был), “На 10% был”, “На 0% был” (точно не был). В этом случае либо испытуемого просят пользоваться только определенными (например, только круглыми: 0, 10, 20 ...%) числами, либо он может называть произвольные проценты (скажем, 78%), но потом ответы объединяются в несколько групп (например, все числа меньше 5% - в группу 0, все числа между 5 и 15 - в группу 10% и т.д.). Для конкретности предположим, что испытуемому заданы 7 категорий, названных в нашем примере. Обыкновенно эксперимент проводится без платежной матрицы или с симметричной платежной матрицей и с P(S) = P(N) = 0.5. Результаты эксперимента могут быть представлены в виде следующей таблицы (см. табл. 5).
^ Таблица 5

Теоретические результаты эксперимента с использованием метода оценки

Р(n), n=-3,...+3, есть оценка условной вероятности P(n/S), получаемая путем деления числа всех случаев, когда предъявлялось и был дан ответ “n”, на число всех предъявлений . Аналогично q(n) есть оценка условной вероятности P(n/N). Теоретическое осмысление этих данных в рамках модели, изложенной в двух предыдущих разделах, состоит в предположении, что если испытуемому заданы K категорий (от полной уверенности в отсутствии до полной уверенности в наличии S), то он так же, как и в условиях эксперимента “Да-Нет”, базируется на интенсивности некоторого сенсорного качества, но делит ее не на две, а на K областей, как показано на рис. 17.

Как видим, совсем необязательно, чтобы границы между областями разных ответов следовали через равные интервалы или каким-нибудь закономерным образом: единственное, что предполагается - что область ответа R 1 лежит левее области ответа R 2 , если С 1 < С 2 . Итак, если выбранное качество сенсорного образа имеет интенсивность, лежащую между C 0 и C 1 , то испытуемый дает ответ “0”, если интенсивность лежит правее C 3 - то “3” и т.д.

Теперь приведем следующее рассуждение. Допустим, что те же стимулы и используются в эксперименте “Да-Нет”, причем критерий C будет последовательно помещаться в позиции С 3 , С 2 , С 1 , С 0 , С -1 , С -2 . При каждом положении критерия будем вычислять соответствующую пару p(H) и p(FA). Вероятность p(H) равна площади под кривой f(X/S) , лежащей правее С, а p(FA) равна площади под кривой f(X/N) , лежащей правее С. Обозначим площадь под кривой f(x/S) между С i и C i+1 (i = -2, -1 ... 2 в нашем случае на рис. 17)

Рис. 17. Модельное представление ситуации обнаружения сигнала в методе МО
через A S (C i , C i+1), а площадь, лежащую правее С i - через A S (C i , C Ґ). Для кривой f(X/N) - аналогичные обозначения: A N (C i ,C i+1) и A N (C i , C Ґ). Если критерий С помещен в позицию С i , то p(H) = A S (C i , C Ґ), p(FA) = A N (C i , C Ґ). С другой стороны, ясно, что p(i) - вероятность ответа «i» при предъявлении S, равна A S (C i , C i+1), если i < 3 и равна A S (C 3 , C Ґ), если i = 3. Аналогично q i = A N (C i ,C i+1), если i < 3 и A N (C 3 , C Ґ), если если i = 3. Но, очевидно, что, A S (C 0 , C Ґ) = = A S (C 0 , C 1) + A S (C 1 , C 2) + A S (C 2 , C 3) + A S (C 3 , C Ґ), и аналогично раскладываются любые другие A S (C i , C Ґ) и A N (C i , C Ґ).

Следовательно, мы получаем следующую цепочку равенств (табл. 6):
^ Таблица 6

Способ расчета p(H) и p(FA) по полученным данным в методе МО

Теперь мы имеем 6 пар вычисленных p(FA) и p(H) и, следовательно, имеем 6 точек PX. Взяв больше категорий, мы построим PX более подробно, но слишком большое число категорий требует очень длительного эксперимента (надо, чтобы каждая категория встречалась не слишком редко, иначе частота будет плохой оценкой вероятности) и поэтому на встречается не часто.
^ Методические рекомендации по выполнению учебных заданий по теме “Методы обнаружения сигнала”
На первом занятии, которое проходит в форме семинара, проводится обсуждение основ психофизической теории обнаружения сигнала (ТОС), являющейся рабочим инструментом современной психофизики. К этому занятию студенту необходимо прочесть данную главу учебного пособия. В качестве альтернативной и/или дополнительной литературы может быть рекомендована глава 7 книги К.В Бардина (1976). Для студентов, имеющих более солидную математическую подготовку и дополнительный интерес к освоению методов обнаружения сигнала, будут полезны 1-3 главы монографии Дж. Игана (1983). Часть первого и второе занятия посвящаются планированию предстоящего эксперимента, освоению программного обеспечения, с помощью которого проводится отработка учебного задания (см. Приложение 2 ), и выполнению тренировочных серий эксперимента. Третье (и при необходимости четвертое) занятие отводится для проведения основных серий эксперимента и подготовки отчета.

Предполагается, что студент уже имеет элементарные навыки самостоятельной работы на IBM-совместимом персональном компьютере.

Основное внимание при обсуждении теоретических основ ТОС необходимо обратить на те теоретические предположения, которые делаются в психофизической теории обнаружения сигнала, на отличие данного подхода к измерению чувствительности от классического фехнеровского подхода. Известную трудность при изложении данной модели обнаружения сигнала составляют особенности ее формально-математического описания, тем не менее они не выходят за рамки тех минимальных знаний об интегральном и дифференциальном исчислении, которые были получены студентами на 1-м курсе. Кроме того, в ходе освоения материала нетрудно отделить собственно психологические предположения и ограничения, накладываемые моделью в силу упрощения или даже примитивизации описываемой реальности, и следующие из этого математические допущения. Нужно себе четко представлять, что попытка формально-математического описания даже таких “низкоуровневых” процессов как обнаружение или различение простых сенсорных сигналов, сталкивается с необходимостью “вынести за скобки”, нивелировать большинство таких детерминант сенсорно-перцептивного процесса, как колебания внимания, когнитивно-стилевые особенности человека, индивидуальность его мотивации и др. Хорошо это или плохо, но большинство попыток модельного описания психических процессов, представленных в современной литературе, в той или иной степени приводит к аналогичному результату (см., например, модели памяти Аткинсона или когнитивные варианты современных моделей мотивации, где делаются более глобальные и далеко идущие предположения и ограничения в описании куда более сложной моделируемой реальности).

При проработке материала следует обратить внимание на двухэтапность описываемого процесса обнаружения сигнала. Первый этап связан непосредственно с сенсорной репрезентацией действующих стимулов, т.е. с отражением стимульной энергии в величину вызванного ими ощущения; и как результат - постулируемое распределение (на оси X) интенсивности сенсорных эффектов или, что тоже самое, - ощущений заданного в инструкции сенсорного качества. Основные детерминанты этого (сенсорного) этапа – физические характеристики стимуляции и особенности анализаторной системы. Сразу же отметим, что делаемое допущение о нормальности гипотетического распределения на сенсорной оси есть не только дань простоте при математическом моделировании, но и следствие обобщения опыта многочисленных пороговых измерений, известного в истории психологии как “фи-гамма” гипотеза. В этой связи полезно вспомнить, почему данную модель считают “непороговой”. Такое определение основывается на принятии за основу вероятностного принципа отображения энергии стимула в величину ощущения (сравните с детерминистическим определением порога как границы в классической психофизике), из чего следует отсутствие как такового порога на сенсорной оси и, следовательно, непороговый принцип работы сенсорной системы.

Второй этап характеризует процесс принятия решения о полученном ощущении и связан с внесенсорной детерминацией процесса обнаружения (различения) сигнала. Критерий принятия решения является тем интегральным показателем, который и определяет окончательный результат процесса обнаружения сигнала. Обычно при описании данной модели критерий наблюдателя помещают на сенсорной оси, тем самым указывая на его природу. Подчеркнем, что, являясь по своей сути сенсорным эталоном обнаруживаемого сигнала, стандартом для сравнения с текущим стимулом, критерий формируется не только и не столько под действием стимуляции (например, в ходе тренировки), но во многом зависит от несенсорных факторов. Различного рода экспериментальные установки и ожидания, сформированные инструкцией экспериментатора и/или самоинструкцией, влияют на выбор стратегии испытуемого при принятии решения о наличии сигнала в очередной пробе. В Приложении 1 приведены дополнительные сведения о различных критериях оптимальности принятия решения, используемых в современной психофизике, и описан принятый в ТОС критерий наблюдателя, основанный на оценке отношения правдоподобия. Расчет отношения правдоподобия - один из основных способов параметрического (т.е. основанного на законах постулируемого в ТОС нормального распределения сенсорных эффектов) измерения критерия наблюдателя. Следует особо подчеркнуть, что сам математический аппарат, описывающий работу человека (или кибернетического устройства) с различными критериями, пришел в психологию из математической теории игр, и является не более, чем формальным описанием тех гипотетических процессов принятия решения, которые имеют место в ситуациях повышенной неопределенности. Очевидно, что задача обнаружения порогового сигнала, когда наблюдатель работает на пределе своих сенсорных способностей, представляет собой такую ситуацию. Учитывая формальный характер описания работы наблюдателя с определенным критерием, апелляцию к определенному критерию (например, критерию по типу отношения правдоподобия) нужно рассматривать не более, чем формализованное (модельное) описание результата некоторых гипотетических процессов принятия решения. В этом смысле психологический анализ деятельности наблюдателя должен идти от содержательной психологической интерпретации использования им того или иного критерия, а не от вычисления определенной математической функции, описывающей критерий, которая сама по себе может быть свободна от психологического содержания.
Задание 1. Обнаружение зрительного сигнала методом «Да-Нет»
Цели задания.

1. Практическое освоение метода «Да-Нет» на примере обнаружения зрительного сигнала.

2. Исследование динамики d" и β в зависимости от влияния несенсорных факторов.
Методические замечания по планированию и проведению эксперимента.
При планировании предстоящего исследования стоит обратить особое внимание на важность тренировочных серий эксперимента и вспомнить, каким требованиям должен удовлетворять идеальный испытуемый (наблюдатель). Прежде всего еще раз подчеркнем, что в предлагаемой модели описывается ситуация обнаружения сигнала порогового уровня, следовательно в ходе тренировочных серий необходимо подобрать соответствующие параметры обнаруживаемого сигнала. В компьютерной программе стимуляции (см. Приложение 2) предлагаются на выбор различные сигнальные и несигнальные стимулы, например: обнаруживать букву R на фоне L, I на фоне 1 или Q среди O. Естественно, принимая во внимание индивидуальные особенности зрения испытуемого, следует подобрать такие стимулы, которые будут с трудом отличаться друг от друга, и в этом смысле, по-видимому, вариант R и L (это достаточно хорошо различимые конфигурации) будет адекватен лишь для тех студентов, у кого не очень хорошее зрение. В противном случае, как показывает наш опыт, даже при минимальном времени экспозиции стимулов на экране дисплея после хорошей тренировки некоторые испытуемые показывают практически 100%-е обнаружение такого сигнала. Интересно, что поначалу это может показаться весьма сомнительным, но поработав 15-20 минут, как правило, все убеждаются, что тренировка идет и, несмотря на невысокую уверенность каждого отдельного ответа в прошедшей серии, результат обнаружения почти 100%-й. И, следовательно, время предыдущих тренировочных серий потрачено не оптимально. Таким образом, с самого начала нужно четко представлять себе, что следует выбрать такие стимулы и такую их длительность, чтобы обеспечить пороговый уровень обнаружения сигнала. Для более четкой ориентации введем операциональный критерий “пороговости” обнаружения сигнала: индекс сенсорной чувствительности d" должен быть в диапазоне от 1 до 2, что соответствует вероятности попаданий явно меньшей 1 и вероятности ложных тревог, превышающей 0. Например, если тренировочные серии проводятся при априорной вероятности предъявления сигнала, равной 0.5, то соответствующие значения вероятностей попаданий и ложных тревог будут приблизительно такими: p(H) - от 0.7 до 0.8, а p(FA) - от 0.1 до 0.3.

Следующий немаловажный момент касается вопроса о достижении испытуемым асимптотического (предельного) уровня обнаружения порогового сигнала, а именно, достиг ли он того предельного уровня тренировки, когда со временем практически не происходит существенных изменений d". Самым простым подтверждением достижения асимптотического уровня обнаружения будет относительное постоянство показателей обнаружения в 3-4 следующих друг за другом тренировочных сериях при неизменных стимульных параметрах. Полезно также посмотреть, как изменяется среднее время реакции (ВР) и его вариативность. Стабилизация величины среднего ВР и его разброса служит хорошим доказательством выхода испытуемого на асимптотический уровень обнаружения. В табл. 7 приведены реальные результаты тренировочной серии эксперимента (данные студента Е.К., 1994 г.), показывающие достижение к шестой серии асимп-тотического уровня обнаружения сигнала.

Таблица 7

Результаты тренировочных серий (задача – обнаруживать Q на фоне О, длит. стимула – 250 мс, МСИ – 2000 мс)
Естественным будет вопрос о пределах вариабельности индекса d". Укажем, что строгая статистическая оценка различий d", полученных в разных сериях одного эксперимента или разных экспериментах производится с использованием критерия хи-квадрат (можно воспользоваться специальной программой hi_sq.exe, которая находится в той же директории, что и основная программа yes_no.exe), однако для быстрой оценки существенности полученных различий можно использовать чисто эмпирический критерий, проверенный на практике: 25-30%-е различие индексов d", как правило, не значимо. Несмотря на то, что данная величина на первый взгляд кажется достаточно большой, следует учесть, что d" оценивается вероятностно и является производным показателем, зависящем как от P(H), так и от P(FA), которые, в свою очередь, представляют собой тоже случайные величины, оцениваемые в опыте также вероятностно. Таким образом, следует обратить особое внимание на достоверность оценки этих 2-х вероятностей, что непосредственно определяется количеством предъявляемых стимулов - сигнальных и несигнальных. Интуитивно ясно, что по 5-10 пробам невозможно оценить вероятность появления какого-либо события; можно показать, что по 85-100 (т.е общее число проб = 190-200 при P(S) = 0.5) предъявлениям сигнальных и шумовых проб оценка вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги становится статистически надежной. Из данных соображений и следует исходить при решении вопроса об определении минимального количества проб в каждой серии. Естественно, следует учитывать и значение априорной вероятности появления сигнальной или шумовой проб: чем меньше выбирается вероятность данного стимула (сигнального либо шумового), тем большее количество проб в данной серии следует предъявить испытуемому. Поэтому даже в тренировочных сериях (кроме самых предварительных) не следует “экономить” на количестве проб. Использование малого количества проб в серии может привести к следующему результату: показатели обнаружения сигнала (P(H), P(FA) и как интегральный показатель - d"]) могут сильно изменяться от серии к серии, а мы не сможем определить, в чем же причина этой вариабельности - либо в том, что имеет место тренировка, либо это просто случайные вариации оцениваемых вероятностей от серии к серии. Данное замечание следует учитывать особо в том случае, если в основном эксперименте в качестве несенсорного фактора варьируется априорная вероятность предъявления сигнальной пробы (в отличии от варианта с использованием платежной матрицы). Как показывает практика, при низких значениях вероятности (0.1 и 0.9) следует предъявлять не менее 450-500 проб, при вероятностях 0.2 и 0.8 – 300-350, при равновероятном предъявлении – 190-200.

Важное значение при выполнении данного задания имеет учет фактора утомления. Эксперимент проходит достаточно длительное время, поэтому после каждой серии необходимо устраивать небольшой перерыв для отдыха.

Особое внимание следует уделить планированию основного эксперимента. Основная цель данного учебного задания - провести модельный эксперимент в рамках ТОС и познакомиться с методом “Да-Нет”. Таким образом, непосредственная задача эксперимента заключается в построении РХП, т.е. в варьировании несенсорных факторов, задающих несколько различных критериев принятия решения. При выборе конкретного приема экспериментального воздействия (использование априорной вероятности, платежной матрицы либо инструкции) стоит учесть, что для неопытного (наивного) испытуемого большое значение имеет правильное представление о критерии оптимальности выполняемой задачи и однозначное понимание и принятие задачи эксперимента 1 . В этом смысле более предпочтительным оказывается использование различных платежных матриц или варьирование априорной вероятности . Эти приемы наиболее прямо и наглядно показывают испытуемому, как следует изменить стратегию обнаружения сигнала, чтобы оптимальным образом выполнить свою задачу – эффективнее обнаруживать сигнал в ситуации неопределенности. И в том, и в другом случае испытуемый должен четко и однозначно представлять себе, что влечет за собой определенное изменение априорной вероятности или платежной матрицы. Так, еще до начала основного эксперимента полезно прикинуть, как следует себя вести в сериях с различной априорной вероятностью появления сигнального стимула, и что же реально происходит, когда в одной серии P(S)= 0.1, а в другой P(S) меняется на 0.9. Очевидно, что изменение априорной вероятности формирует соответствующие изменения ожиданий испытуемого в отношении последовательности предъявляемых в данной серии стимулов, что немаловажно в ситуации повышенной неопределенности (т.е. далеко не 100%-й обнаружимости сигнала). Иначе говоря, когда вы не очень-то уверены, какой из 2-х сигналов был предъявлен, и у вас возникает сомнение, то важным несенсорным признаком стимуляции оказывается знание вероятности предъявления сигнального стимула, которое поможет правильно угадать. А теперь давайте прикинем, насколько оптимально следовать таким правилам “игры”. Примем условно, что явно сомнительных ощущений из 200 проб оказалось 100, т.е. половина. Допустим, что в данной серии P(S)=0.9. Тогда становится ясно, что даже обычное гадание в этих “сомнительных” 100 пробах на основании простого учета вероятности появления сигнала (ведь шанс правильно угадать - 90 из 100 !) может принести наблюдателю заметную пользу и, что тоже не маловажно, снять излишнюю напряженность в работе (ведь гадаем-то на основании трезвого расчета). Несложно “проиграть” аналогичную ситуацию “со знаком минус” - когда P(S)=0.1, и распространить эту стратегию на другие значения априорной вероятности.

В том случае, когда студенты (экспериментатор и испытуемый составляют симметричную пару) выбирают в качестве экспериментального воздействия платежную матрицу, то ситуация становится еще более прозрачной - ведь каждый четко знает, сколько в данной серии стоит каждый тип ответов. Меняя цены наград и штрафов (как правило, оба партнера договариваются об этом сами, прикидывая максимально возможный выигрыш и проигрыш), не очень сложно построить 5-7 платежных матриц, градуально задающих строгость/либеральность критерия принятия решения об обнаружении сигнала. Так, сильно штрафуя ложные тревоги по отношению к пропускам сигнала и умеренно вознаграждая правильные ответы, однозначно поощряем строгий критерий. И наоборот, значительное поощрение правильных обнаружений с существенным наказанием пропусков и мягким наказанием за ложные тревоги объективно подталкивает испытуемого к использованию либерального критерия. Выбрав достаточно большой масштаб изменения наград и штрафов, не представляет особого труда составить ряд платежных матриц от явно строгого до явно либерального критерия. Стоит подчеркнуть, что в данном эксперименте партнеры должны строго соблюдать следующее правило: подсчитывать свои выигрыши (проигрыши) после каждой серии, сравнивать их, а разницу фиксировать в протоколе, чтобы было точно понятно, кто в данной серии выиграл и сколько. Опыт показывает, что целесообразно использовать реальные деньги, а не просто очки или баллы. Нужно помнить, что в реальном психофизическом эксперименте испытуемым всегда платят деньги, так что лучше не нарушать традицию. Конечно, стоит заранее договориться и ограничить максимально возможный размер проигрыша и выигрыша при неоптимальной и оптимальной стратегиях, соответственно.

И еще несколько слов по поводу планирования эксперимента. Стоит помнить о двух основных факторах, мешающих проведению нашего эксперимента и способных исказить его результат - это тренировка и утомление . Учет и того, и другого очень важен, поскольку эксперимент состоит из нескольких серий, распределенных во времени. Каким образом избежать возможного влияния этих факторов? Для этого используют прием, называемый позиционным уравниванием. Каждую серию эксперимента (допустим, что их будет 5 - по числу разных априорных вероятностей) разбивают на две подсерии и эти половинки располагают в эксперименте в следующем порядке:
P(0.1) - P(0.3) - P(0.5) - P(0.7) - P(0.9) - P(0.9) - P(0.7) - P(0.5) - P(0.3) - (0.1).
Задавая такой порядок следования отдельных серий эксперимента, мы тем самым уравниваем возможное влияние факторов тренировки и утомления на деятельность испытуемого, усредняя показатели обнаружения сигнала по двум соответствующим половинкам. Резон здесь такой: для первой половины каждой серии минимально утомление, но и тренировка минимальна тоже, для второй половины - наоборот. Поэтому, усредняя данные по двум сериям, мы тем самым уравниваем разнонаправленное влияние этих факторов на результаты обнаружения сигнала. Кроме того, усредняя данные, взятые из разных временных срезов эксперимента, мы отчасти компенсируем влияние других неконтролируемых случайных факторов (внешние помехи, случайные колебания стимуляции и т.д.).

Оценивая возможное влияние различных нежелательных факторов на показатели обнаружения сигнала, сделаем еще несколько замечаний относительно проведения эксперимента. Во-первых, весь эксперимент следует проводить на одном и том же компьютере. Во-вторых, если весь эксперимент не получается провести в один день , то в следующий раз необходимо провести тренировочную серию и убедиться в том, что вы достигли прежнего уровня обнаружения сигнала. В-третьих, ни в коем случае не меняйте параметры стимуляции по ходу основного эксперимента, помня, что вы имеете дело только с изменением несенсорных факторов, будь то априорная вероятность или платежная матрица, в то время как детерминанты сенсорной части процесса обнаружения должны оставаться неизменными.
^ Обработка и интерпретация результатов.
По окончании каждой серии, студент получает файл с результатами обнаружения сигнала. Целесообразно записывать в отдельный протокол значения основных показателей обнаружения сигнала: P(H), P(FA), d", b, среднее ВР, а также параметры стимуляции (дли-тельность стимула, количество стимулов в серии) и варьируемые несенсорные факторы - априорную вероятность или вид платежной матрицы. Кроме того, после каждой серии полезно делать хотя бы короткие записи самоотчетов , где фиксировать свои впечатления о прошедшей серии.

По итогам эксперимента необходимо рассчитать усредненные по двум половинам каждой серии вероятности попаданий и ложных тревог и построить РХП в линейных и z-координатах . Если в линейных координатах РХП имеет достаточно стандартный вид (сравните с рис. 8), то проведите через все точки “на глазок” плавную кривую. Имеет смысл построить для каждой точки РХП гипотетический 10-20% доверительный интервал , и проводить наилучшую кривую с учетом такого разброса оценок каждой вероятности (это не совсем корректно в смысле строгой статистики, но, тем не менее, позволит вам почувствовать проблему вероятностной подгонки полученных данных под ожидания модели). На графике в z-координатах следует нанести все экспериментальные точки и, следуя ожиданиям модели, провести через них прямую линию. При решении проблемы, как провести через все точки наилучшую прямую (для РХП в z-координатах), следует воспользоваться методами регрессионного анализа. Задача подгонки прямой линии под экспериментальные точки решается следующим образом (принимая во внимание, что и по оси абсцисс и по оси ординат мы имеем оценки функции, необходимо построить наилучшую прямую с учетом вероятного разброса оценок по каждой из них). Нужно построить линейную регрессию z(H) по z(FA) – это наилучшая прямая с учетом разброса по X, и аналогичную регрессию z(FA) по z(H) - это наилучшая прямая с учетом разброса по Y, и изобразить обе эти прямые в осях z(H) - z(FA). Проведя биссектрису угла между этими прямыми, мы получим наилучшую (с точки зрения метода наименьших квадратов) прямую с учетом разброса оценок как z(H), так и z(FA). Для решения этой задачи можно использовать статистический пакет “Stadia”: введите в первую колонку z-оценки ложных тревог, а во вторую - попаданий; после этого выберете в меню статистических методов рубрику “Регрессионный анализ”, а в ней опцию - простая регрессия (тренд). После входа в соответствующее меню нужно выбрать линейную модель и произвести два раза регрессионный анализ - z(H) по z(FA) и z(FA) по z(H) (не забудьте списать c экрана рассчитанные коэффициенты полученных линейных функций). Целесообразно также посмотреть полученные графики на экране компьютера. В том случае, если оба варианта подгонки статистически достоверно описываются линейными функциями (см. заключение «Stadia» внизу экрана результатов), то с большой долей вероятности можно считать, что РХП в двойных нормальных координатах имеет форму прямой. Таким образом проверяется первое основное пред-положение модели о нормальности распределения сенсорных эффектов. Для проверки второго предположения о равновариативности сигнального и шумового распределений нужно оценить угол наклона прямой РХП. Исходя из опыта, можно принять, что хорошим соответствием ожидаемому наклону в 45 градусов будет разброс ± 5-7 градусов. Однако можно сделать такую проверку и более строго, для чего достаточно всего лишь оценить гипотезу о равенстве дисперсий оценок по обоим осям – z(H) и z(FA), ведь при равенстве дисперсий эта прямая очевидно пройдет под углом 45 градусов! Для этого можно воспользоваться статистическим критерием Фишера в меню описательной статистики системы «Stadia». В том случае, если расчеты показывают, что дисперсия значений переменной z(H) достоверно не отличается от дисперсии переменной z(FA), можно принять гипотезу о наклоне прямой в 45 градусов. В противном случае это предположение отвергается.

В обсуждении результатов эксперимента следует обратить особое внимание на то, как изменялись показатели сенсорной чувствительности (d") и критерия () в разных сериях опыта и сопоставить их динамику с предположениями ТОС. В случае заметных расхождений следует дать содержательную интерпретацию таким различиям (при этом имеет смысл обратиться к записям самоотчетов). В том случае, когда в одной-двух сериях получены результаты, сильно отличающиеся от ожидаемых, целесообразно эти серии переделать.
Задание 2. Обнаружение тонального сигнала на фоне шума методами двухальтернативного вынужденного выбора и оценки
Цели задания. 1. Практическое освоение методов на примере обнаружения акустического сигнала. 2. Сопоставление разных методов и мер, предлагаемых для оценки сенсорной чувствительности.
Методика

Аппаратура. Звуковые сигналы предъявляются испытуемому через аудиометрические головные телефоны (например, “ТД-6” или “TDH-39”). Синтез и предъявление звуковых стимулов осуществляется с помощью прецизионного генератора аудиометрических частот 1 , управляемого персональным компьютером. Управление стимуляцией, сбор ответов испытуемого и оперативная обработка полученных данных осуществляются компьютерными программами 2abb.exe и cr.exe .

Стимуляция. Звуковые сигналы представляют собой отрезки широкополостного белого шума, к части из которых “примешан” тональный сигнал частотой 1000 Гц. Длительность звуковой посылки - 100 мс, интенсивность - 70-80 дБ по международной шкале SPL (шкала уровней звукового давления, где нулевому уровню соответствует величина среднего абсолютного порога слышимости). Интенсивность тональной добавки регулируется с дискретностью ± 0.1 дБ.

В эксперименте по методу 2АВВ в каждой пробе “сигнальный” и “шумовой” стимулы предъявляются парами, с интервалом 500 мс. В опыте по методу ОУ в каждой пробе предъявляется только один стимул (сигнальный или шумовой).

Перед каждой пробой на экране дисплея в качестве сигнала “Внимание” предъявляется порядковый номер пробы.

Процедура. Каждый студент участвует в эксперименте в качестве испытуемого. Группа студентов делится пополам. Одна половина группы сначала делает серию 2АВВ, потом ОУ, другая половина группы - наоборот. В обоих опытах в сигнальной пробе используется одно и то же отношение сигнал/шум, найденное в тренировочной серии. Если весь эксперимент проводится в один день, то тренировочная серия проводится лишь перед первым опытом, а перед вторым можно ограничиться лишь небольшой серией (40-50 проб), чтобы познакомиться со стимульной парадигмой и четко понять инструкцию. Если эксперимент про-должается в другой день, то перед началом следующего опыта рекомендуется провести хотя бы небольшую тренировочную серию (около 100 проб). В том случае, когда между двумя опытами прошел достаточно большой промежуток времени, стоит подумать о более длительной тренировочной серии, чтобы убедиться в достижении прежнего уровня продуктивности обнаружения сигнала.
^ 1. Метод вынужденного выбора. Процедура опыта.

Опыт состоит из тренировочной и основной серий. В тренировочной серии испытуемый знакомится со стимульными условиями и процедурой эксперимента. В первой (ознакомительной) ее части предъявляются 20 проб (10 сигнальных и 10 несигнальных) с высоким отношением сигнал/шум в сигнальной пробе, т.е. к шуму “примешан” достаточно сильный тональный сигнал, и обе звуковые посылки (<шум> и <сигнал+шум>) без труда отличимы друг от друга. Во второй (тренировочной) части задача испытуемого состоит в подборе пороговой интенсивности тональной добавки и достижении асимптотического уровня обнаружения тонального сигнала. Стратегия работы испытуемого в тренировочной серии опыта и ее задачи подробно описаны в учебном задании, посвященном методу “Да-Нет”.

Для оптимизации тренировочного процесса при прослушивании стимулов испытуемый может включить режим “Подсказки”, когда перед каждой пробой указывается, какой из стимулов был сигнальным.

По окончании пробы в течение 3-4-секундного межпробного интервала (испытуемый сам подбирает его величину в тренировочной серии) испытуемый должен решить, какой стимул в паре (первый или второй) был сигнальным и дать ответ, нажимая на клавиши <1> или <2> цифровой клавиатуры, соответственно.

Опыт включает 400 проб: в 200 пробах на первом месте в паре предъявляется сигнальный стимул, в других 200 - пустой. Место сигнального стимула в паре меняется в квази-случайном порядке. После 200 проб делается перерыв.

После опыта целесообразно записать хотя бы краткий самоотчет, в котором стоит отметить свои наблюдения над особенностями стимуляции, своими переживаниями по ходу опыта, применявшимися способами выбора ответа и их изменениями в ходе опыта, если они имели место.

^ 2. Метод оценки. Процедура опыта.

Структура опыта в целом почти ничем не отличается от изложенной выше для метода 2АВВ. В инструкции испытуемому подчеркивается, что после окончания каждой пробы в период межстимульного интервала необходимо оценить степень своей уверенности в наличии сигнала в данной пробе, используя 5-балльную шкалу оценок: <5> - “точно, был сигнал, 100% уверенности”; <4> - “скорее всего, это был сигнал, 75% уверенности”; <3> - “то ли сигнал, то ли шум, 50% уверенности”; <2> - “скорее всего, это был шум, 25% уверенности”; <1> - “уверен в том, что это был шум, 0% уверенности” . Ответ дается нажатием соответствующих клавиш на цифровой клавиатуре. Очень важно, чтобы в ходе ознакомительной серии испытуемый хорошо понял инструкцию и научился быстро и точно нажимать на нужные клавиши.

Опыт включает 500 проб: 250 сигнальных стимулов и 250 пустых или шумовых. Место сигнального стимула в последовательности проб меняется в квази-случайном порядке. В середине опыта делается перерыв.

После окончания опыта стоит также записать самоотчет.

1.3.1. Методы прямой классификации

Первой группой методов обнаружения сигнала с известными параметрами являются методы, основанные на пороговой сегментации участков сигнала, соответствующих различным состояниям.

Сюда входят статистические алгоритмы, которые используются при наличии вероятностных зависимостей между значениями участков сигналов и класса, к которому эти участки относятся }